| ВВЕДЕНИЕ
Методические указания по выполнению практических и лабораторных работ по статистике содержат требования по их выполнению, порядок расчетов вручную и с использованием MS Excel, ППП Statistica.
Часть II методических указаний характеризует расчет показателей вариации: размаха вариации, квартилей и квартильного отклонения, среднего линейного отклонения, дисперсии и среднего квадратического отклонения, коэффициентов осцилляции, вариации, асимметрии, эксцесса и других.
Расчет показателей вариации наряду с построением интервальных и дискретных вариационных рядов и расчетом средних величин, представленными в части I методических указаний, имеет большое значение для анализа рядов распределения.
1. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3
РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИИ
Цель работы: получение практических навыков в расчете различных показателей (меры) вариации в зависимости от поставленных исследованием задач.
Порядок выполнения работы:
1. Определить вид и форму (простая или взвешенная) показателей вариации.
2. Рассчитать показатели степени вариации для сгруппированных и несгруппированных данных и показатели формы распределения.
3. Сформулировать выводы.
Пример расчета показателей вариации
1. Определение вида и формы показателей вариации.
Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным относятся: размах вариации, квартильное отклонение, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Относительными показателями являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и т. д.
Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака и определяется по следующей формуле:
 , (1)
где  – наибольшее значение варьирующего признака;
 – наименьшее значение варьирующего признака.
Квартильное отклонение (Q) – применяется для характеристики вариации признака в совокупности. Может использоваться вместо размаха вариации во избежание недостатков, связанных с использованием крайних значений.
 , (2)
где  и  – соответственно первая и третья квартили распределения.
Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине ; 25% единиц будут заключены между и  ; 25% единиц будут заключены между  и , и остальные 25% превосходят .
Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз,
а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Зарегистрироваться и Начать продвижение
Квартили определяются по формулам:
 , (3)
 где  – нижняя граница интервала, в котором находится первая квартиль;
 – сумма накопленных частот интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится первая квартиль;
 – частота интервала, в котором находится первая квартиль.
 , (4)
где Ме – медиана ряда;
 , (5)
условные обозначения те же, что и для величины .
В симметричных или умеренно асимметричных распределениях Q»2/3s. Так как на квартильное отклонение не влияют отклонения всех значений признака, то его использование следует ограничить случаями, когда определение среднего квадратического отклонения затруднительно или невозможно.
Среднее линейное отклонение ( ) представляет собой среднюю величину из абсолютных отклонений вариантов признака от их средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или наличия частот в ряду распределения.
 (6) - невзвешенное среднее линейное отклонение,
 (7) - взвешенное среднее линейное отклонение.
Дисперсия ( ) – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия вычисляется по формулам простой невзвешенной и взвешенной.
 (8) - невзвешенная,
 (9) - взвешенная.
Среднее квадратическое отклонение (s) – наиболее распространенный показатель вариации, представляет собой квадратный корень из значения дисперсии.
 (10)
Размах вариации, квартильное отклонение, среднее линейное и квадратическое отклонения – величины именованные, имеют размерность осредняемого признака.
Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Чаще всего относительные показатели выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности.
Коэффициент осцилляции рассчитывается по формуле:
 , (11)
Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации):
 , (12)
Относительный показатель квартильной вариации:
 (13) или  (14)
Коэффициент вариации:
 , (15)
Наиболее часто применяемый в статистике показатель относительной колеблемости – коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (Ефимова М.Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики: Учебник М.: Финансы и статистика, 1991 г., стр. 105).
Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Зарегистрироваться в сервисе
Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму).
В практике статистического исследования приходится встречаться с самыми различными распределениями. При изучении однородных совокупностей имеем дело, как правило, с одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности, появление двух и более вершин говорит о необходимости перегруппировки данных с целью выделения более однородных групп. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Симметричным
является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой. В связи с этим простейший показатель асимметрии
основан на соотношении показателей центра распределения: чем больше разница между средними  , тем больше асимметрия ряда.
Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывают относительный показатель As:
 . (16)
Величина показателя As может быть положительной и отрицательной. Положительная величина показателя указывает на наличие правосторонней асимметрии (правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая). При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение:  . Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии (Рисунок 1). Между показателями центра распределения в этом случае имеется такое соотношение:  .
Рисунок 1 – Распределение: 1 – с правосторонней асимметрией; 2 – с левосторонней асимметрией. Другой показатель, предложенный шведским математиком Линдбергом, рассчитывают по формуле:
 , (17)
где П – процент тех значений признака, которые превосходят по величине среднюю арифметическую.
Наиболее точным и распространенным является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка (в симметричном распределении его величина равна нулю):
 , (18)
где  - центральный момент третьего порядка:
 (19) - для несгруппированных данных;
 (20) - для сгруппированных данных.
σ – среднеквадратическое отклонение.
Применение этого показателя дает возможность не только определить величину асимметрии, но и ответить на вопрос о наличии или отсутствии асимметрии в распределении признака в генеральной совокупности. Оценка степени существенности этого показателя дается с помощью средней квадратической ошибки, которая зависит от объема наблюдений n и рассчитывается по формуле:
 . (21)
Если отношение  , асимметрия существенна, и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если отношение  , асимметрия несущественна, ее наличие может быть объяснено влиянием различных случайных обстоятельств.
Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса
(островершинности). Линдбергом предложен следующий показатель для оценки эксцесса:
 , (22)
где П – доля (%) количества вариантов, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения в ту или другую сторону от средней арифметической.
Наиболее точным является показатель, использующий центральный момент четвертого порядка:
 , (23)
где  - центральный момент четвертого момента;
 (24) - для несгруппированных данных;
 (25) - для сгруппированных данных.
На рисунке 2 представлены два распределения: одно – островершинное (величина эксцесса положительная), второе – плосковершинное (величина эксцесса отрицательная). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. В нормальном распределении отношение  .
Рисунок 2 – Распределение: 1,4 – нормальное; 2 – островершинное; 3 – плосковершинное
Средняя квадратическая ошибка эксцесса рассчитывается по формуле:
 , (26)
где n – число наблюдений.
Если  , то эксцесс существенен, если  , то несущественен.
Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпирическое исследование к типу кривых нормального распределения.
2. Рассмотрим методику исчисления показателей вариации.
Пример 1.
Таблица 1 - Данные об объеме продаж валюты нескольких отделений Центробанка.
| Номер отделения
|
Объем продаж, млн. руб.
|
| 1
|
10,2
|
| 2
|
15,7
|
| 3
|
24,3
|
| 4
|
17,5
|
| 5
|
16,8
|
| 6
|
19,2
|
| 7
|
15,4
|
Определить средний объем продаж валюты по совокупности отделений, рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации.
Рассчитаем размах вариации:
R =  = 24,3 - 10,2 = 14,1 млн. руб.
Для определения отклонений значений признака от средней и их квадратов строим вспомогательную таблицу:
Таблица 2 – Расчетная таблица
| Номер отделения
|
|
|
|
| 1
|
10,2
|
-6,81
|
46,38
|
| 2
|
15,7
|
-1,31
|
1,72
|
| 3
|
24,3
|
7,29
|
53,14
|
| 4
|
17,5
|
0,49
|
0,24
|
| 5
|
16,8
|
-0,21
|
0,04
|
| 6
|
19,2
|
2,19
|
4,80
|
| 7
|
15,4
|
1,61
|
2,59
|
| Итого
|
119,1
|
108,91
|
Среднее значение находим по формуле средней арифметической простой:
 млн. руб.
Среднее линейное отклонение:
 млн. руб.
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
 млн. руб.
Рассчитаем относительные показатели вариации.
Коэффициент осцилляции:
Относительное линейное отклонение:
Коэффициент вариации:
Для расчета показателей формы распределения строим вспомогательную таблицу:
Таблица 3 – Расчетная таблица
| 
|
|
|
|
| 10,2
|
-6,81
|
-315,82
|
2150,743
|
| 15,7
|
-1,31
|
-2,25
|
2,945
|
| 24,3
|
7,29
|
387,42
|
2824,295
|
| 17,5
|
0,49
|
0,12
|
0,058
|
| 16,8
|
-0,21
|
-0,01
|
0,002
|
| 19,2
|
2,19
|
10,50
|
23,003
|
| 15,4
|
-1,61
|
-4,17
|
6,719
|
| 75,79
|
5007,764
|
Далее рассчитываем показатели асимметрии, эксцесса и их ошибки:
Пример 2.
Таблица 4 - Данные о товарообороте предприятий одной из отраслей промышленности.
| Группы предприятий по объему товарооборота
|
Число предприятий
|
| 10-15
|
3
|
| 15-20
|
7
|
| 20-25
|
10
|
| 25-30
|
18
|
| 30-35
|
22
|
| 35-40
|
12
|
| 40-45
|
5
|
| 45-50
|
3
|
| Итого
|
80
|
Определить средний объем товарооборота, структурные средние, абсолютные и относительные показатели вариации и насколько фактическое распределение согласуется с нормальным (по показателям формы распределения).
Для расчета показателей построим вспомогательную таблицу.
Таблица 5 – Расчетная таблица
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 12,5
|
3
|
3
|
37,5
|
-17,5
|
52,5
|
918,8
|
-16078,13
|
281367,2
|
| 17,5
|
7
|
10
|
122,5
|
-12,5
|
87,5
|
1093,8
|
-13671,88
|
170898,4
|
| 22,5
|
10
|
20
|
225,0
|
-7,5
|
75,0
|
562,5
|
-4218,75
|
31640,6
|
| 27,5
|
18
|
38
|
495,0
|
-2,5
|
45,0
|
112,5
|
-281,25
|
703,1
|
| 32,5
|
22
|
60
|
715,0
|
2,5
|
55,0
|
137,5
|
343,75
|
859,4
|
| 37,5
|
12
|
72
|
450,0
|
7,5
|
90,0
|
675,0
|
5062,50
|
37968,8
|
| 42,5
|
5
|
77
|
212,5
|
12,5
|
62,5
|
781,3
|
9765,63
|
122070,3
|
| 47,5
|
3
|
80
|
142,5
|
17,5
|
52,5
|
918,8
|
16078,13
|
281367,2
|
| Итого
|
80
|
2400
|
520
|
5200
|
-3000,00
|
926875,0
|
Размах вариации:
 млн. руб.
Среднее значение находим по формуле средней арифметической взвешенной:
 млн. руб.
В интервальных рядах распределения мода определяется по формуле:
 (27)
В нашем случае мода будет равна:
 млн. руб.
В интервальном вариационном ряду медиана определяется по формуле:
 (28)
В нашем случае медиана будет равна:
 млн. руб.
Квартильное отклонение:
 млн. руб.
где  и  – соответственно первая и третья квартили распределения.
Квартили определяются по формулам:
 млн. руб.
 млн. руб.
 млн. руб.
Среднее линейное отклонение:
 млн. руб.
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
 млн. руб.
Рассчитаем относительные показатели вариации.
Коэффициент осцилляции:
Относительное линейное отклонение:
Относительный показатель квартильной вариации:
Коэффициент вариации:
Определим показатели формы распределения:
3. Формулировка выводов.
Сформулируем выводы по рассчитанным показателям вариации примера 2, в котором представлен интервальный ряд распределения предприятий по объему товарооборота, млн. руб.
Размах вариации свидетельствует о том, что разница между максимальным и минимальным значением составляет 40 млн. руб. Средний объем товарооборота – 30 млн. руб. Чаще всего встречающееся значение объема товарооборота в рассматриваемой совокупности предприятий – 31,4 млн. руб., причем 50% (40 предприятий) имеют объем товарооборота менее 30,5 млн. руб., а 50% свыше.
Квартильное отклонение, равное 5, свидетельствует об умеренной асимметрии распределения, так как в симметричных или умеренно асимметричных распределениях  (в рассматриваемом примере  ).
Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности. Так, средняя величина колеблемости объема товарооборота предприятий отраслей промышленности составляет: по среднему линейному отклонению - 6,5 млн. руб. (абсолютное отклонение); по среднему квадратическому отклонению - 8,1 млн. руб. Квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины равен 65.
Разница между крайними значениями признака на 33,3% превышает среднее значение ( = 133,3%).
Относительное линейное отклонение ( = 21,7%) и относительный показатель квартильной вариации ( = 16,4%) характеризуют однородность исследуемой совокупности, что подтверждает рассчитанный коэффициент вариации, равный 27% (V =27% меньше 33%).
По рассчитанным показателям асимметрии и эксцесса можно сделать вывод, что распределение плосковершинно (Ex < 0) и наблюдается левосторонняя асимметрия (As < 0). Асимметрия и эксцесс являются несущественными.
2. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Таблица 6 - Данные о производительности труда 10 рабочих
| Произведено продукции одним рабочим за смену, штук
|
| Табельный номер рабочего
|
1 вариант
|
2 вариант
|
3 вариант
|
4 вариант
|
5 вариант
|
6 вариант
|
| 1
|
11
|
23
|
43
|
63
|
85
|
59
|
| 2
|
15
|
27
|
49
|
75
|
96
|
48
|
| 3
|
18
|
34
|
45
|
81
|
79
|
56
|
| 4
|
10
|
37
|
47
|
63
|
85
|
39
|
| 5
|
11
|
37
|
45
|
58
|
90
|
56
|
| 6
|
14
|
25
|
43
|
63
|
78
|
61
|
| 7
|
13
|
27
|
45
|
71
|
85
|
59
|
| 8
|
11
|
37
|
48
|
75
|
76
|
47
|
| 9
|
9
|
34
|
39
|
71
|
69
|
60
|
| 10
|
15
|
25
|
51
|
63
|
90
|
54
|
Рассчитать показатели вариации и показатели формы распределения, сделать соответствующие выводы.
Таблица 7 – Данные о распределении населения по уровню среднедушевых денежных доходов в регионах страны
| Среднедушевой денежный доход в месяц, руб.
|
Численность населения, тыс. чел.
|
| 1 вариант
|
2 вариант
|
3 вариант
|
4 вариант
|
5 вариант
|
6 вариант
|
| до 800
|
12,7
|
10,2
|
13,1
|
30,3
|
15,4
|
2,3
|
| 800-1000
|
16,7
|
13,4
|
18,2
|
60,7
|
39,4
|
16,7
|
| 1000-1200
|
25,1
|
18,5
|
29,4
|
110,5
|
78,1
|
24,4
|
| 1200-1400
|
19,4
|
23,5
|
20,5
|
182,5
|
159,2
|
430,2
|
| 1400-1600
|
10,5
|
36,7
|
17,2
|
70,6
|
198,5
|
10,5
|
| 1600-1800
|
6,5
|
19,1
|
10,1
|
54,8
|
156,4
|
6,5
|
| 1800-2000
|
2,7
|
13,5
|
5,2
|
32,1
|
54,1
|
6,7
|
| 2000 и выше
|
1,3
|
4,2
|
5,1
|
15,7
|
24,9
|
2,7
|
Определить показатели вариации и показатели формы распределения, сделать соответствующие выводы.
|
