| БАЛТИЙСКИЙ ВОЕННО-МОРСКОЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
КУРСОВАЯ РАБОТА
Тема: «Элементы математической статистики
и корреляционного анализа»
Руководитель:
кандидат физико-математических наук
доцент Спектор В. Е.
Выполнил:
ст 2 ст Смоколов Т. В.
422я учебная группа
Вариант 18
Содержание
| Введение ……………………………………………………………………….
|
Стр.3
|
| |
|
| Глава I «Обработка данных наблюдений и проверка гипотез» …………….
|
Стр.4
|
| |
|
| §1. Статистическое распределение выборки ………………………………
|
Стр.5
|
| §2. Расчет сводных характеристик выборки……………………………….
|
Стр.6
|
| §3. Расчет интервальных оценок генеральных параметров ………………
|
Стр.7
|
| §4. Проверка гипотезы о нормальном распределении
|
|
| генеральной совокупности по критерию Пирсона ………………………….
|
Стр.8
|
| §5. Построение гистограммы выборки и теоретической
|
|
| нормальной кривой ……………………………………………………………
|
Стр.9
|
| |
|
| Глава II «Элементы корреляционного анализа» …………………………….
|
Стр. 11
|
| |
|
| §1. Корреляционная таблица и корреляционное поле ………………………
|
Стр. 12
|
| §2. Нахождение выборочного коэффициента корреляции …………………
|
Стр. 12
|
| §3. Нахождение доверительного интервала для
|
|
| генерального коэффициента корреляции…………………………………….
|
Стр. 16
|
| §4. Нахождение выборочного уравнения прямой
|
|
| регрессии Y на X и построение ее графика ………………………………….
|
Стр. 16
|
| |
|
| Заключение …………………………………………………………………….
|
Стр. 18
|
| |
|
| Список использованной литературы ………………………………………...
|
Стр. 19
|
ВВЕДЕНИЕ
Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные. Невозможно учесть влияние на результат всех причин, поскольку число их очень велико и законы их действий неизвестны. Поэтому Т.В. не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, -она просто не в силах это сделать.
По –иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событий. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается Т.В. Итак, предметом Т.В. является изучение вероятностных закономерностей однородных массовых случайных событий. Знание закономерностей которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.
Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз,
а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Зарегистрироваться и Начать продвижение
Методы Т.В. широко применяются в различных отраслях естествознания и техники. В последние годы методы Т.В. все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.
Краткая историческая справка. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI–XVII вв.).
Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654–1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.
Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.
Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева (1821–1894) и его учеников А.А.Маркова (1856–1922) и А.М.Ляпунова (1857–1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.) В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским математикам.
ГЛАВА I
Обработка данных наблюдений и проверка гипотез
Задание:
В результате независимых измерений получены n
значений ошибки точности настройки РПУ на заданную частоту: х1
, х2
,…хn
. Произвести полный статистический анализ данных выборки и сделать соответствующие выводы.
Значения выборки
| -0,787
|
1,473
|
0,159
|
0,940
|
-0,842
|
| 0,308
|
-1,266
|
0,889
|
-1,100
|
2,199
|
| 1,159
|
0,702
|
0,533
|
-0,536
|
0,926
|
| -0,660
|
1,071
|
1,306
|
1,121
|
0,571
|
| 0,989
|
-0,383
|
-0,256
|
-0,126
|
2,945
|
| -1,019
|
0,167
|
1,183
|
1,506
|
0,881
|
| 0,090
|
-0,348
|
-0,292
|
0,054
|
0,971
|
| -0,709
|
0,192
|
-0,122
|
-1,671
|
1,033
|
| 0,122
|
-1,447
|
0,525
|
0,349
|
-0,511
|
| 0,476
|
0,495
|
-0,326
|
-0,883
|
0,181
|
| -1,487
|
-1,060
|
0,891
|
-0,056
|
-0,486
|
| 0,062
|
-1,441
|
-1614
|
0,759
|
-0,256
|
| 0,251
|
0,495
|
1,654
|
1,443
|
0,065
|
| -0,381
|
-1,060
|
-0,170
|
0,889
|
1,147
|
| 1,531
|
-1,441
|
0,873
|
0,627
|
-0,199
|
| -0,443
|
-0,598
|
0,845
|
-0,435
|
-0,508
|
| 1,409
|
-0,361
|
0,874
|
-1,220
|
-0,124
|
| 1,730
|
-0,079
|
1,485
|
-1,007
|
-0,992
|
| -0,266
|
0,503
|
0,934
|
0,883
|
0,969
|
| -0,592
|
-1,080
|
0,084
|
1,018
|
0,983
|
§1. Статистическое распределение выборки
1. По данным выборки найдем:
а) Размах варьирования: R = xmax
– xmin
,
Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Зарегистрироваться в сервисе
б) Количество интервалов (разрядов):
| k = 5lg n
|
Или
|
k = log2
n+1
|
| k = 5lg 100 = 10
|
k = log2
100+1 = 8
|
k
»
10
.
в) Длину разряда: 
Интервал (-1,671 ; 2,945) расширим до интервала (-1,9 ; 3,1). Сдвиг в каждую стороны при этом не превысит:  .
Для нового интервала изменения признака (-1,9;3,1) при k
»
10
длина разряда получается равной 
2. Произведем группировку опытных данных и построим интервальный вариационный ряд. Расчет оформим в виде таблицы 1.
Таблица № 1
| Границы
интервалов
|
(-1,9;-1.4]
|
(-1.4;-0.9]
|
(-0.9;-0.4]
|
(-0.4;0.1]
|
(0.1;0.6]
|
(0.6;1.1]
|
(1.1;1.6]
|
(1.6;2.1]
|
(2.1;2.6]
|
(2.6;3.1]
|
| Подсчет
частот
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Частоты ni
|
6
|
9
|
13
|
19
|
16
|
20
|
13
|
2
|
1
|
1
|
| Относительные
частоты ni
/n
|
6/100
|
9/100
|
13/100
|
19/100
|
16/100
|
20/100
|
13/100
|
2/100
|
1/100
|
1/100
|
| Накопленные
частоты Σni
|
6
|
15
|
28
|
47
|
63
|
83
|
96
|
98
|
99
|
100
|
§2. Расчет сводных характеристик выборки
1. Вычислим моду  и медиану  выборочного распределения.
2. По интервальному вариационному ряду, полученному в §1 составить дискретный вариационный ряд в виде таблицы 2, в котором в качестве вариант берём середины разрядов
Таблица № 2
| xi
|
-1.6
|
-1.1
|
-0.6
|
-0.1
|
0.4
|
0.9
|
1.4
|
1.9
|
2.4
|
2.9
|
| n
i
|
6
|
9
|
13
|
19
|
16
|
20
|
13
|
2
|
1
|
1
|
Вычислим выборочную среднюю  (математическое ожидание) и выборочную дисперсию  :
3. Для расчета сводных характеристик выборки по методу произведений составим таблицу 3.
Таблица № 3
| Разряды
|
n
i
|
u
i
|
n
i
u
i
|
n
i
u
i
2
|
n
i
u
i
3
|
n
i
u
i
4
|
(u
i
+
1)
|
(u
i
+
1)4
|
ni
(u
i
+
1)4
|
| 1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
| -1.6
|
6
|
-5
|
-30
|
150
|
-750
|
3750
|
-4
|
256
|
1536
|
| -1.1
|
9
|
-4
|
-36
|
144
|
-576
|
2304
|
-3
|
81
|
729
|
| -0.6
|
13
|
-3
|
-39
|
117
|
-351
|
1053
|
-2
|
16
|
208
|
| -0.1
|
19
|
-2
|
-38
|
76
|
-152
|
304
|
-1
|
1
|
19
|
| 0.4
|
16
|
-1
|
-16
|
16
|
-16
|
16
|
0
|
2
|
0
|
| 0.9
|
20
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
20
|
| 1.4
|
13
|
1
|
13
|
13
|
13
|
13
|
2
|
16
|
208
|
| 1.9
|
2
|
2
|
4
|
8
|
16
|
32
|
3
|
81
|
162
|
| 2.4
|
1
|
3
|
3
|
9
|
27
|
81
|
4
|
256
|
256
|
| 2.9
|
1
|
4
|
4
|
16
|
64
|
256
|
5
|
625
|
625
|
| |
100
|
|
-135
|
549
|
-1725
|
7809
|
|
|
3763
|
Контроль расчетов производим по формуле:
4. Вычислим начальные условные эмпирические моменты:
   
5. Используя начальные моменты  , вычислим центральные моменты:
6. Найдем выборочную среднюю (выборочное математическое ожидание):
 ,
где С = 0,09
7. Вычислим выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию:
 ,
8. Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение (с.к.о.) и исправленное выборочное с.к.о.:
 ,
9. Определим, чему равны выборочная асимметрия и выборочный эксцесс:
§3. Расчет интервальных оценок генеральных параметров
Построим доверительные интервалы для оценки генерального математического ожидания mx
и генерального с.к.о. σх
. Для этого по заданной доверительной вероятности (надежности) γ из таблицы функции Лапласа найдем значение аргумента tγ
этой функции, для которого Ф(tγ
) = γ.
Используя найденное tγ
, рассчитаем границы доверительного интервала для
Интервальную оценку генерального с. к. о. определим по одной из формул :
| 
|
|
| В данном варианте q<1 то 0,77181272<σx
<1,15290728
|
§4. Проверка гипотезы о нормальном распределении
генеральной совокупности по критерию Пирсона
Для того, чтобы при заданном уровне значимости α = 1 – γ проверить гипотезу о нормальном распределении обследуемого признака X генеральной совокупности, заполним таблицу 5.
Таблица №5
| xi
|
ni
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
| -1,6
|
6
|
-1,91
|
0,111
|
5,7961
|
0,20387267
|
0,041564066
|
0,007171
|
6,211043676
|
| -1,1
|
9
|
-1,38
|
0,217
|
11,3312
|
-2,33116784
|
5,434343513
|
0,479593
|
7,148424692
|
| -0,6
|
13
|
-0,86
|
0,332
|
17,3362
|
-4,33616463
|
18,80232367
|
1,084572
|
9,748407658
|
| -0,1
|
19
|
-0,34
|
0,391
|
20,4170
|
-1,41698906
|
2,007858005
|
0,098343
|
17,68135345
|
| 0,4
|
16
|
0,18
|
0,364
|
19,0071
|
-3,00712025
|
9,042772216
|
0,475757
|
13,46863684
|
| 0,9
|
20
|
0,70
|
0,263
|
13,7332
|
6,266833444
|
39,27320141
|
2,859734
|
29,1265673
|
| 1,4
|
73
|
1,23
|
0,144
|
7,5193
|
5,48069968
|
30,03806898
|
3,994796
|
22,47549543
|
| 1,9
|
2
|
1,75
|
0,065
|
3,3941
|
-1,39412862
|
1,9435946
|
0,572634
|
1,178505723
|
| 2,4
|
1
|
2,27
|
0,023
|
1,2010
|
-0,20099936
|
0,040400741
|
0,033639
|
0,832639913
|
| 2,9
|
1
|
2,79
|
0,006
|
0,3133
|
0,68669582
|
0,471551149
|
1,505091
|
3,191786334
|
| |
|
|
|
|
|
|
11,111329
|
111,06286
|
Контроль вычислений производим по формуле:
Обозначим сумму элементов восьмого столбца  , и для заданного уровня значимости α числа свободы р = k – 3 находим критическую точку  (α; р)
ВЫВОД: так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно).
§5. Построение гистограммы выборки и теоретической
нормальной кривой
1. Для построения гистограммы в выбранной системе координат на оси абсцисс откладываем разряды, а на каждом из разрядов как на основании строим прямоугольник с высотой  , составляя таблицу 6.
Таблица №6
| Разряды
|
-1.6
|
-1.1
|
-0.6
|
-0.1
|
0.4
|
0.9
|
1.4
|
1.9
|
2.4
|
2.9
|
| 
|
0,12
|
0,18
|
0,26
|
0,38
|
0,32
|
0,40
|
0,26
|
0,04
|
0,02
|
0,06
|
В последней строке результаты вычислений округлим до 0,01.
На этом же графике строим гипотетическую (предположительную) теоретическую нормальную кривую. Для этого берем середины разрядов хi
и выравнивающие частоты ni
из таблицы 5. Эти данные заносим в таблицу 7.
3.Таблица №7
| xi
|
-1.6
|
-1.1
|
-0.6
|
-0.1
|
0.4
|
0.9
|
1.4
|
1.9
|
2.4
|
2.9
|
| 
|
0,12
|
0,23
|
0,35
|
0,41
|
0,38
|
0,27
|
0,15
|
0,07
|
0,024
|
0,006
|
наносим точки с координатами  и соединяем их плавной линией, получая искомую кривую.
ВЫВОД: В данной части курсовой работы проверена гипотеза Пирсона, ее нет оснований отвергнуть, другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно).
ГЛАВА
I
I
Элементы корреляционного анализа
ВАРИАНТ №
18
Дано
: Результаты исследований зависимости между случайными величинами X и Y
представлены в виде таблицы 8:
Таблица №8
| Y
|
X
|
| 30
|
35
|
40
|
45
|
50
|
55
|
ny
|
| 45
|
4
|
2
|
|
|
|
|
6
|
| 55
|
|
5
|
3
|
|
|
|
8
|
| 65
|
|
|
5
|
45
|
5
|
|
55
|
| 75
|
|
|
7
|
8
|
2
|
|
17
|
| 85
|
|
|
|
4
|
3
|
7
|
14
|
| nx
|
4
|
7
|
15
|
57
|
10
|
7
|
|
Произвести корреляционный анализ зависимости Y от X, для чего:
1) построить корреляционное поле;
2) найти выборочный коэффициент корреляции  ;
3) получить доверительный интервал rxy
для с надежностью γ;
4) найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X;
5) в выбранной системе координат построить точки (xi
,
yi
) и выборочное уравнение регрессии Y на X.
§1. Корреляционная таблица и корреляционное поле
Представим данные корреляционной таблицы в виде корреляционного поля. Для этого в выбранной системе координат изобразим точки (xi
,
yj
) и рядом с каждой точкой укажем, если это позволит масштаб, соответствующую частоту nxy
. По расположению точек можно сделать предположение о наличии (или отсутствии) линейной корреляционной зависимости между обследуемыми признаками X и Y.
Для данных таблицы 8 корреляционное поле имеет вид:
Расположение точек говорит о наличии положительной корреляции между признаками X и Y.
§2. Нахождение выборочного коэффициента корреляции
Вычисления можно значительно упростить, если перейти от истинных вариант xi
, yj
к условным ui
, vj
соответственно, а именно:
| 
|
|
| C1
= 45
h1
= 5
u
1
= -3
u
2
= -2
u
3
= -1
u
4
= 0
u
5
= 1
u
6
= 2
|
C2
= 65
h2
= 10
v1
= -1
v2
= 0
v3
= 1
v4
= 2
|
Формула для вычисления эмпирического коэффициента корреляции в условных вариантах имеет вид:
Для нахождения   составим расчетную таблицу 9.
Таблица №9
| xi
|
ui
|
ni
|
ni
ui
|
ni
ui
2
|
(ui
+ 1)
|
(ui
+ 1)2
|
ni
(ui
+ 1)2
|
| 30
|
-3
|
4
|
-12
|
36
|
-2
|
4
|
16
|
| 35
|
-2
|
7
|
-14
|
28
|
-1
|
1
|
7
|
| 40
|
-1
|
15
|
-15
|
15
|
0
|
0
|
0
|
| 45
|
0
|
57
|
0
|
0
|
1
|
1
|
57
|
| 50
|
1
|
10
|
10
|
10
|
2
|
4
|
40
|
| 55
|
2
|
7
|
14
|
28
|
3
|
9
|
63
|
| |
|
100
|
-17
|
117
|
|
|
183
|
Контроль
 ,
то есть вычисления верны
Так как  , то 
Аналогичные вычисления проводим для v
в таблице 10.
Таблица №10
| yj
|
vj
|
nj
|
nj
vj
|
nj
vj
2
|
(vj
+ 1)
|
(vj
+ 1)2
|
nj
(vj
+ 1)2
|
| 45
|
-2
|
6
|
-12
|
24
|
-1
|
1
|
6
|
| 55
|
-1
|
8
|
-8
|
8
|
0
|
0
|
0
|
| 65
|
0
|
55
|
0
|
0
|
1
|
1
|
55
|
| 75
|
1
|
17
|
17
|
17
|
2
|
4
|
68
|
| 85
|
2
|
4
|
28
|
56
|
3
|
9
|
126
|
| |
|
100
|
25
|
105
|
|
|
255
|
Контроль вычислений производим по формуле:
вычисления верны.
Для вычисления  требуется еще найти . Для ее нахождения составим корреляционную таблицу 11 в условных вариантах.
Подставив найденные значения в формулу (*), получим
Таблица №11
| ui
vj
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
|
|
| -3
|
|
|
-12
|
|
|
-4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-16
|
48
|
| |
4
|
|
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| -12
|
|
|
-6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| -2
|
|
|
|
|
|
-10
|
|
|
-3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-13
|
26
|
| |
|
|
|
5
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
-10
|
|
|
-6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| -1
|
|
|
|
|
|
-
|
|
|
-5
|
|
|
0
|
|
|
5
|
|
|
|
0
|
0
|
| |
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
45
|
|
|
5
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
-5
|
|
|
-45
|
|
|
-5
|
|
|
|
|
|
| 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-7
|
|
|
0
|
|
|
2
|
|
|
0
|
-5
|
0
|
| |
|
|
|
|
|
|
7
|
|
|
8
|
|
|
2
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
0
|
|
|
0
|
|
|
0
|
|
|
|
|
|
| 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
|
3
|
|
|
|
17
|
17
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
3
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
| 
|
-12
|
-16
|
-11
|
-41
|
-2
|
7
|
|
|
| 
|
36
|
32
|
11
|
0
|
-2
|
14
|
|
контроль
|
§3. Нахождение доверительного интервала
для генерального коэффициента корреляции
Задана надежность γ = 0,99. Доверительный интервал для генерального коэффициента корреляции rxy
имеет вид:
 
Следовательно с вероятностью 0,99 доверительный интервал имеет вид:
§4. Нахождение выборочного уравнения прямой
регрессии Y на X и построение ее графика
Общий вид уравнения прямой линии регрессии Y на X имеет вид:
Полученное уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется значение признака Y в зависимости от изменения признака Х.
В выбранной системе координат строим прямую  и точки (xi
, yi
) корреляционного поля.
Таблица для построения графика
| 30
|
35
|
40
|
45
|
50
|
55
|
| 43,877
|
52,225
|
60,572
|
68,919
|
77,266
|
85,613
|
ВЫВОД:. Построив корреляционное поле мы убеждаемся, что расположение точек говорит о наличии положительной корреляции между Х и Y. По расположению точек можно судить о линейной зависимости между Х и Y.
Заключение
В проделанной курсовой работе была предоставлена возможность проверить гипотезу Пирсона, опираясь на полученные результаты я могу утверждать, что эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно. Так же был проведен корреляционный анализ, была выявлена сильная линейная зависимость между величинами X и Y
Список использованной литературы
1. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей математической статистики» – М.: Высшая школа, 1999 г.
2. «Пособие и методические указания к выполнению курсовой работы» – Калининград: 1998 г.
|
