Реферат: "Построение конечно-разностных формул на границе дискретной области счёта"

Российско-Армянский (Славянский) Государственный Университет

Факультет Прикладной математики и информатики

Кафедра Математики и Математического Моделирования

Курсовая работа

на тему:

"Построение конечно-разностных формул на границе дискретной области счёта"

Выполнила: студентка 3-его курса Амирбекян Алиса

Руководитель: к.ф.м.н., доцент В.С. Бондаренко

г. Ереван

2004

Понятие дискретной области при численном решении дифференциальной задачи.

При численном решении уравнений математической физики важным становится вопрос замены непрерывной области изменения аргумента дискретной и замены дифференциального оператора разностным. Сделав указанные замены, мы переходим от дифференциальной задачи к разностной схеме.

Таким образом, задача о численном решении исходного дифференциального уравнения сводится к нахождению решения полученной разностной схемы.

. Так как при численном решении математической задачи не возможно воспроизвести разностное решение для всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой области, то в этой области нужно выбрать некоторое конечное множество точек и приближенное решение искать только в этих точках. Такое множество точек называется сеткой , а отдельные точки называют узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

Сетка является дискретной областью изменения аргумента, которой заменяется непрерывная область. Всякая сетка характеризуется величиной близости узлов сетки друг к другу. Обозначим эту величину через h . Ясно, что чем меньше h , тем лучше описывает сетка реальну‏ю непрерывную область, однако уменьшение величины h увеличивает число узлов сетки, что приводит к увеличению времени счёта и громоздкости программ.

Если непрерывная область квадратная или прямоугольная, то её можно заменить сеткой, раномерной повсюду, а если непрерывная область имеет криволинейную границу, то она заменяется сеткой, которая неравномерна вблизи границы. Узлы, которые отстоят на одинаковом расстоянии от ближайших внутренних узлов, называются регулярными . Если имеются граничные узлы, отстоящие от границы на меньшем расстоянии, чем от ближайших внутренних узлов, то они называются нерегулярными.

Конечно-разностные формулы для производных

Пусть дан линейный диференциальный оператор L , действующий на функцию u = u (х). Заменяя входящие в Lu производные разностными отношениями, мы получим вместо Lu разностное выражение L_h u_h , являющееся линейной комбинацией значений сеточной функции u_h на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном.

Такая приближенная замена Lu на L_h u_h называется разностной аппроксимацией оператора L .

Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора L , необходимо выбрать шаблон, т. е. указать множество соседних с узлом х узлов, в которых значения сеточной функции u (х) могут быть использованы для аппроксимации оператора L .

Рассмотрим примеры разностной аппроксимации:

Пусть дана гладкая функция u =u ( x ). Фиксируем некоторую точку х оси Ох и возьмем точки х - h и х + h . В качестве разностной аппроксимации первой производной u '( x ) можно использовать следующую формулу:

(1)

Ясно, что формулы (1) и (2) приближенные и имеют невязку равную:

Эта невязка называется погрешностью аппроксимации. Тогда погрешность аппроксимации при замене всех производных, входящих в оператор L, конечно-разностными соотношениями типа (1) будет выглядеть так:

( 2 )

В точке x разложим u ’( x + h ) в ряд Тейлора:

,

тогда

,

отбрасывая члены порядка O ( h ² ) получим:

( 3 )

Погрешность получаем порядка O ( h ).

Разностная аппроксимация второй производной:

В качестве разностной аппроксимации второй производной u ''( x ) можно использовать следующую формулу:

(4)

Вычислим погрешность:

Погрешность получаем порядка O ( h ² ).

Здесь используются 3 точки х – h , х, х + h . Это трехточечный шаблон.

В качестве примера рассмотрим разностный оператор Лапласа для функции u ( x , y ) на регулярном шаблоне:

(x,y+h)

●

(x-h,y) ● ● (x+h,y)

(x,y-h) ●

В точке ( x , y ) аппроксимируем и . Здесь используются точки (х – h , y ), ( х, y ), ( х+ h , y ),( x , y - h ), ( x , y + h ). По формуле (5):

Получим:

Вычислим погрешность:

То есть разностный оператор L u аппроксимирует оператор Лапласа D u со вторым порядком на регулярном шаблоне.

Теперь рассмотрим нерегулярный шаблон. Здесь используются точки (х – h , y ), ( х, y ), ( х+ d , y ),( x , y - h ), ( x , y + h ), где d ¹ h .

(x,y+h)

(x-h,y) (x+δ,y)

(x,y-h)

Обозначим:

Определим:

Посчитаем погрешность аппроксимации. В точке (x , y ) разложим в ряд Тейлора:

Подставим:

Для точек (х – h , y ), ( х, y ), ( х+ d , y ),( x , y - h ), ( x , y + d ), где d ¹ h .

(x,y+δ)

(x-h,y) (x+δ,y)

(x,y-h)

Погрешность, как и в предыдущем случае, равна O ( q ).

Таким образом, на нерегулярном шаблоне разностный оператор L u имеет первый порядок аппроксимации. Для того чтобы ошибка не была столь большой, приближаясь к границу нужно брать шаг h , равным h ² . То есть надо брать шаг равным погрешности аппроксимации на регулярном шаблоне.

Рассмотренный подход показывет, что при приближении к естественной границе области счёта приходится использовать неравномерную сетку. На разных участках естественной границы неравномерность разностной сетки будет иметь разный характер, что порождает использование разных аппроксимаций. Это в свою очередь усложняет общий вид разностной сетки, а также программу, реализующую численный расчёт. Этих трудностей можно избежать передвинув естественную границу так, чтобы разностная сетка была бы регулярной, но при этом уже нарушаются условия задачи.

Литература:

Самарский А.А., Теория разностных схем, М