Контрольная работа: Решения с подробным описанием Векторы

˙ 1. ˜ ß Œ ß a = 3i + j Ł b = 2i + 3j .

(a) ˇ æ Ł Œ Ł Ł Ø ºŁ ß ª º Ł , Ł a .

(b) ˇ æ Ł Œ a/ 2 − b .

— ł Ł :

(a) ¯æºŁ a - Œ , |a | - ºŁ Œ a , ºŁ Œ a/ |a | Ł Ł ,

Ł æ√ º √æ a . ˜ºŁ Œ Œ Ł æ ß Œ Œ Ł :

|a | = 3² + 1² = 10, ŁæŒ ßØ Œ

(b)

˙ 2. ˜ ß Œ

.

˝ Ø æ Ł t , Ł Œ ßı

(a) ´ Œ a Ł b Œ ººŁ ß.

(b) ´ Œ a Ł c ŁŒ º ß.

(c) ´ Œ a , b Ł c Œ º ß.

(d) ´ Œ a , b Ł c Æ ßØ Æ Łæ.

— ł Ł :

(a) ´ Œ a Ł b Œ ººŁ ß ª Ł º Œ ª , Œ ª Łı Œ Ł ß Ł º ß.

ˇ æŒ º Œ ł Ł æº Łı Œ Ł -4, ŒŁ º Æß Ł ł Ł ßı Ł ßı Œ Ł :

8/t = −4 ⇐⇒ t = −2, (−2 − 10)/ 3 = −4.

(b) ´ Œ a Ł c ŁŒ º ß ª Ł º Œ ª , Œ ª Łı æŒ º

Ł 0. Œ º Ł Ł ( æ ßı Ł ŁØ

Ł … ßı Œ Ł ):

(a,b ) = −8t − 3 + 2 = −8t − 1 = 0 ⇐⇒ t = −1/ 8.

(c) ´ Œ a , b Ł c Œ º ß ª Ł º Œ ª , Œ ª ºŁ º Ł ß,

— æ º ß º Ł t = 4 ŁºŁ t = −2.

(d) ´ Œ a , b Ł c Æ ßØ Æ Łæ ª Ł º Œ ª , Œ ª ºŁ º Ł ß, æ æ º Ø Ł Œ Ł Œ Œ Łı æº Ł º Ł º .

ºŁ º æ Ł ß ø Œ Ł (t −4)(t +2).

ß Ł º Ł º Ł t < −2 ŁºŁ t > 4.

˙ 3. ˜ºŁ Œ a , |a | = 2. ˜ºŁ Œ b , |b | = 3. ª º

Œ Ł a Ł b , ϕ = 60^◦ . ˝ Ø Ł

(a) ˜ºŁ ß Ł ª º Ø ºº º ª , æ ª Œ ı a Ł b . (b) ˇº ø ºº º ª , æ ª Œ ı 2a − b Ł a + 3b . — ł Ł :

,

√ √

ºŁ ß Ł ª º Ø ß 7 Ł 19.

(b) ˇº ø ºº º ª , ª 2 Œ , ºŁ Œ ª Ł Ł Łı ı Œ . ´ Œ Ł Ł ı Œ

º Ł Ł Łı ºŁ æŁ æ ªº Ł Ł,

º Ł ŁŒ º Ł Æ Ł Ł Æ æ Ł Ł ØŒ Œ , :

.

˜ºŁ a Œ

Œ º ß Ł Ł ı Œ º æ Łæº , æ ßı

Ł ŁØ Ł … ßı Œ Ł .

Œ º Ł Ł Œ

3

˜ºŁ a Œ

.

˛ æ º ø ª º ŁŒ

OC~ = C~ − O~ = −3 − 0 = −3

0 0 0

−1 0 −1

OB~ = B~ − O~ = −3 − 0 = −3

5 0 5

3 0 3

OA~ = A~ − O~ = 5 − 0 = 5 4 0 4

´ß ŁæºŁ æ ł Ł Ł …ı Œ , æ Ł ºŁ º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ Œ Ł ß ª Œ , Ø ª , Ø - Œ Ł ß ª Œ .

ˇ æ Ł ºŁ º æ æ ø Ø Ł ß:

ˇ æ ł Ł Ł (OA,~ OB,~ OC~ ) = −128. ˛ æ Æœ… Ł Ł ß

64/ 3.

Œ ,	ŁŒ º ßØ æ Ł , Œ æŒ æ ßæ , ŁºŁ
Œ	ºŁ Œ º æŒ æ Ł, ı ø Ø æ Ł . æ Ł æ
Œ. — ææ	Ł Œ
Ł
Æß º	Ł Œ ºŁ ( ŁŒ º ßØ) Œ º æŒ æ Ł, ı ø Ø
Ł	ŒŁ, Œ , º øŁ Ø º æŒ æ Ł Ł Łı
Œ	Ł Ł .
´ Œ ß	Ł Ł ı Œ º æ ŁØ Œ , º ßØ
ŁŒ º	Æ Ł Œ Ł Æ øŁØ æ Ł Ł ØŒ Œ .
´ß ŁæºŁ	Œ Ł Ł …ı æ æ , æ Ł
æ	ºŁ º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ Œ Ł ß
ß,	Ø Ł Ø - Œ Ł ß ª Ł ª Œ æ æ .

˛ Ł ª Ł æŒŁı Ł ŁØ æŒ º ª Ł Ł ı Œ

5

˜ºŁ a Œ

.

˜ºŁ Œ ŁŁ Œ OA ^~ Œ AB ^~ × AC ^~ :

.

˙ 5. ˜ ß Œ

.

(a) ˜ Œ , Œ ß a , b Ł c Æ Æ Łæ. (b) ˝ Ø Ł Œ Ł ß Œ d Æ Łæ .

— ł Ł :

(a) ØŒ Œ æ æ IR³ Æ Æ Łæ ª Ł º Œ ª , Œ ª

ºŁ º Ł ß, æ æ º Ø Ł Œ Ł Łı Œ ,

º .

(b) Æß Ø Ł Œ Ł ß Œ d Æ Łæ , Æı Ł Ø Ł ŒŁ ø æ ß Łæº x ₁ , x ₂ Ł x ₃ , ax ₁ + bx ₂ + cx ₃ = d , Ł ª ,

.

(a) ˛Æ æ Ł æ Ł i Ł j (æ Œ ø… R_i ↔ R_j ),

(b) Ł æ i º Łæº r (æ Œ ø… R_i → rR_i ), (c) ˙ æ i ª Ł æ Œ j (æ Œ ø… R_i →

R_i − rR_j ),

º Œº æ Ł ŁŁ æłŁ Ø Ł ß æŁæ ß Œ Ł Ł Ø

, Ł … Œ, Æß Œ Ø æ Œ ß º ß º

Æߺ Ł Ł , Ł æ º ß Ł ß Ø Ł Ł Ø ÆߺŁ º Ł. ¨ Œ Ø Ł … Ø Ł Ł Ø ß æłŁ Ø Ł ß æŁæ ß º ªŒ º æ … ł Ł .

Łæ ŁØ æ æº Ø Ł Ø Œ æ æłŁ Ø Łæ

Œ Œ