| Лекція 18
Збудження об’ємних резонаторів.
1.
Доведемо ортонормованість власних функцій резонатора.
 ,  , бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання:  .
  ,
  .
Проінтегрувавши обидві рівності по всьому об’єму та врахувавши властивості  векторного добутку, отримаємо:
 ,
 .
Враховуючи, що  та позначивши  маємо лінійну однорідну систему відносно  з коефіцієнтами  та  :
 . Система має нетрівіальні розв’язки якщо  ;  . Тоді  , тобто  . Таким чином маємо ортонормованість власних функцій резонатора з нормою  , яку легко знайти.
2.
Знайдемо поля  та  всередині резонатора при наявності струмів.
 - рівняння Максвела.
Псевдовектор
в математиці – вектор, що змінює свій напрямок при інверсії системи координат (напрямок, векторний добуток). У фізиці псевдовектор змінює напрямок при інверсії часу  . Наприклад, при інверсії часу електрон починає обертатися в протилежному напрямку, а відповідно змінює і напрямок МП.
Таким чином, МП – псевдовектор, ЕП – вектор. Звідси можна зробити висновок, що гамільтоніан не може містити  (щоб він був інваріантний до інверсії часу). Ще один висновок – що немає магнітного п’єзоефекту
.
 Існує іще одна класифікація:
соленоїдальні та потенціальні.
Потенціальний (поздовжній):
 - немає вихорів.
 Соленоїдальний (поперечний):
 - немає вузлів.
Записавши  ми зробили помилку, бо не врахували потенційні поля, пов’язані з електростатичними полями зарядів, що збуджують струми.
Отже,  ,  , де  ,  . Взагалі то,  , бо магнітних зарядів не існує. Проте, є припущення про існування магнітних зарядів – монополь Дірака
; тоді  .
 ,
 .
Підставимо в рівняння Максвела:  . Прирівнявши відповідні коефіцієнти при базисних функціях  та  , одержимо  - з рівняння а). Оскільки  , то  .
 .  ;  .
Таким чином, для гармонічних полів:  . Тоді  . Використаємо  ,  .  ,  бо  . Таким чином, довели строге рівняння Пуансона для електростатичної частини полів.
Проінтегруємо  по  , попередньо помноживши на  :
 .
В результаті отримаємо:  , маємо систему двох рівнянь з двома невідомими. Амплітуда  .
Ми отримали формулу для резонансного збудження. Тут не враховано дисипацію
, тому можливо  . Якщо дисипацію врахувати наступним чином:  , то отримаємо Лоренцівську резонансну криву:  .
|
