| Дисциплина: "Высшая математика"
Тема: "Мера угла"
1. Градусная и радианная мера угла
Как было показано ранее, функция задает определенное соотношение между двумя числовыми множествами. Однако в некоторых случаях область определения функции может являться множеством чисел, имеющих размерность. В частности, речь идет о множестве значений некоторого угла. Прежде чем приступить к рассмотрению подобных функций, напомним некоторые факты, связанные с измерением углов.
Определение 1. Углом в  называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющей длину, равную ее  части.
Исторически сложилось деление градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд, то есть:  ,  . Секунды делятся на десятые, сотые и т.д. части. Градус является наиболее распространенной единицей измерения углов.
Определение 2. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющую длину, равную ее радиусу
.
Таким образом, для отыскания радианной меры  центрального угла достаточно длину дуги (l), на которую он опирается, разделить на длину радиуса (R), то есть  .
Из сказанного выше следует, что полной окружности будет соответствовать в градусах угол в 360 раз больший, то есть  . В радианах это будет  радиан. Необходимо также отметить, что величина угла в градусной и радианной мере никак не связана с радиусом окружности. Следовательно, в дальнейшем можно рассматривать окружность любого радиуса, проще всего - единичного.
Формулы перехода от градусной меры дуг и углов к радианной и наоборот имеют вид:
,  .
Отсюда следует, что
1 рад =  , а  рад 0,01745 рад.
Рассмотрим теперь координатную плоскость с началом координат в точке О. Проведем окружность единичного радиуса с центром в точке О и отметим точки ее пересечения с осями координат.
Рассмотрим произвольную точку M на окружности и вектор  , который называется радиус-вектором точки M.
Будем рассматривать центральные углы AOM, образованные векторами  и при перемещении точки M по окружности.
 Если точка M совпадает с точкой A, то  полагают равным нулю. Будем считать положительным, если вращение вектора от начального положения происходит в направлении противоположном движению часовой стрелки. В противном случае будем считать отрицательным.
Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз,
а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Зарегистрироваться и Начать продвижение
Так как полный оборот вектора приводит его в то же положение, однозначно определить величину угла, если это не оговорено, нельзя. Иначе говоря, в общем случае
Или
 .
2. Элементарные тригонометрические функции произвольного угла
Введем определение основных тригонометрических функций угла. Для этого изобразим вначале единичную окружность.
 Определение 1. Синусом угла  называется отношение ординаты  конца подвижного радиус-вектора , который образует угол с осью абсцисс, к длине этого радиус-вектора и обозначается 
.
Определение 2. Косинусом угла называется отношение абсциссы  конца подвижного радиус-вектора , который образует угол с осью абсцисс, к длине этого радиус-вектора и обозначается 
.
Определение 3. Тангенсом угла называется отношение ординаты конца подвижного радиус-вектора , который образует угол с осью абсцисс, к абсциссе конца этого радиус-вектора и обозначается 
.
Определение 4. Котангенсом угла называется отношение абсциссы конца подвижного радиус-вектора , который образует угол с осью абсцисс, к ординате конца этого радиус-вектора и обозначается 
.
Из приведенных определений следует, что
,  ,  ,
причем у единичной окружности
,  .
Введение произвольных по знаку и абсолютной величине углов позволяет каждому действительному числу поставить в соответствие угол в радиан и, наоборот, каждому углу - однозначно определяемое действительное число, равное числу радиан. Такое взаимнооднозначное соответствие позволяет определить тригонометрические функции числового аргумента.
Определение 5. Тригонометрическая функция числа это та же тригонометрическая функция угла величиной в радиан
.
Рассмотрим графики основных элементарных тригонометрических функций.
 .
 Здесь
 ;  ;
период  ;  ; корни  , где  .
2.  .
 Здесь
; ;
период  ;  ; корни  , где  .
3.  .
 
Здесь
 ,
где ;  ; период  ;  ; корни  , где .
4.  .
Здесь
 ,
где ;  ; период ;  ; корни  , где .
5.  .
 Здесь
 ;  ;  ; корень  .
6.  .
 Здесь
 ;  ;  ; корень  .
7.  .
Здесь  ;  ;  ; корень  .
8.  .
Здесь
 ;  ;  ; корней нет.
Литература
1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.
2. Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. Изд-во: ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.
3. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Издательство "Академия/Academia", 2009. - 2008c.
4. Фролов С. Начертательная геометрия Учебник.3-е изд., перераб. и доп. Изд-во: ИНФРА-М, ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ, 2007. - 286c.
|
