Реферат: Теоретико-ймовірнісні моделі розрахунку ринкової вартості основних типів цінних паперів

Міністерство Освіти України

Львівський Національний Університет ім. І. Франка

Кафедра математичного моделювання

Курсова робота

натему:

«Теоретико-ймовірніснімоделірозрахункуринковоївартостіосновнихтипівціннихпаперів (опціонів)»

Виконав студент групи МТм-44

Маркіян Муж

Науковий керівник -

Микола Іванович Бугрій

Львів

2000

1. Поняттяціннихпаперів, їхкласифікація

2. Похідніцінніпапери. Опціони.

Видиопціонів

3. Основніпоняттяпророботуопціонів. Опціонністратегії

4. Методивизначенняціниопціона

5. Розрахуноквартостітахедж-стратегійдляопціонівЕвропейськоготипу

6. Прикладироботизопціонами

7. Використаналітература

1. Поняттяціннихпаперів, їхкласифікація

Цінніпапери - грошовідокументи, щозасвідчуютьправоволодінняабовідносинипозики, визначаютьвзаємовідносиниміжособою, якаїхвипустила, таїхвласникоміпередбачають, якправило, виплатудоходуувиглядідивідендівабопроцентів, атакожможливістьпередачігрошовихтаіншихправ, щовипливаютьзцихдокументів, іншимособам.

Цінніпапериможутьбутиіменнимиабонапред'явника. Іменніцінніпапери, якщоіншенепередбаченоЗакономУкраїни «Процінніпапериіфондовубіржу» абовнихспеціальноневказано, щовонинепідлягаютьпередачі, передаютьсяшляхомповногоіндосаменту (передавальнимзаписом, якийзасвідчуєперехідправзаціннимпаперомдоіншоїособи). Цінніпапериможутьбутивикористанідляздійсненнярозрахунків, атакожякзаставадлязабезпеченняплатежівікредитів.

ВідповіднодоЗаконуУкраїни «Процінніпапериіфондовубіржу» вУкраїніможутьвипускатисятаківидиціннихпаперів:

-акції;

-облігаціївнутрішніхтазовнішніхдержавнихпозик;

-облігаціїмісцевихпозик;

-облігаціїпідприємств;

-казначейськізобов'язанняреспубліки;

-ощаднісертифікати;

-інвестиційнісертифікати;

-векселі;

-приватизаційніпапери.

2. Похідніцінніпапери. Опціони.

Видиопціонів

Крімосновнихціннихпаперів —акційтаоблігацій, наміжнародно­муринкупротягомостанніх 10-20роківвсеширшерозповсюджуютьсятакзваніпохідніцінніпапери, щоїхінколиназиваютьдерівативами. Донихналежитьопціони, варанти, ваучеритаф'ючерсніконтракти.

Варант —цеціннийпапір, щовипускаєтьсякомпанієюабофірмою, інадаєйоговласникуправопридбативказанукількістьакційданоїфірмичикомпаніїпофіксованійціні. Варантможебутивикористанийубудь-якиймоментчасудофіксованоїдати.

Ваучер —цеціннийпапір, щодаєйоговласникуправопридбатибудь-якуакціюпономінальнійвар­тості (позначенійнаакції).

Ф'ючерс, абоф'ючерснийконтракт —цеугодапрокупівлюабопродаждеякоготоварувмайбутнійфіксованиймоментчасуповизначенійціні. Ф'ючерсніконтрактиукладаютьсяякнакупівлю-продажтоварівчисировини —буряків, пшеницііт.д., такінакупівлю-продажвалюти. Особливістютакихконтрактівєте, щовониукладаютьсянабіржііконтрактніціниф'ючерснихопераційви­значаютьсявідкритимиринковимиаукціонами. Ф'ючерсніконтрактивідрізняютьсявідстроковихконтрактівтим, щоклірингова (розрахун­кова) палатаздійснюєреєстрацію, контрольівідповіднийрозрахунокміжпокупцеміпродавцем. Кліринговапалатаепокупцемдляпрода­вцяіпродавцемдляпокупця. Зазначимо, щоф'ючерсніконтрактинапродаж-купівлювалютивбільшостівтрачаютьсилуінереалізуються.

Опціон — контракт, якийдаєправовласникові (аленезобов'язуєйого) купитиабопродатипевнийактивподоговір­нійціні (цінівиконання) увизначенийтермін.

Слідзауважити, щоінодівиникаютьпитанняпроте, доякогови­ду —основнихчипохідних —віднеститічиіншіцінніпапери.

Доречі, навеликихбіржахопціонівторгуютьдвомаосновнимиви­дамиопціонів: опціономнакупівлюіопціономнапродаж.Оп ­ ціон па купівлю (calloption) забезпечуєвласниковіконтрактуправопротягомпевногоперіодукупуватинапередвизначенукількістьакцій (чиіншихціннихпаперів) пофіксованійцілі. Та­куфіксовануцінуназиваютьціною виконання (exerciseprice)опціона. Опціон на продаж (putoption) даєвласни­ковіконтрактуправопродажупротягомпевногоперіодунапе­редвизначеноїкількостіакцій (чиіншихціннихпаперів) пофік­сованійціні.

Якщоцінаопціонунакупівлюпозакінченнітермінудорів­нюєнулеві, тойогоназиваютьопціоном із збитком . Якщодомоментузакінченнятермінуцінаопціонунакупівлювиявитьсядодатноювеличиною, тотакийопціонбудевиконаний, ійогоназиваютьопціоном з доходом . Терміни, якіхарактеризуютьспіввідношенняміжціноювико­нанняопціонаіціноюпобазовихакціяхдомоментузакінченнятерміну, частовживаютьсяпротягомтермінудіїопціону. Отже, говорятьпроопціонинакупівлюіззбитком, знульовим доходом іздоходомзалежновідтого, чибудецінавико­наннявідповідновищою, ближчедокурсубазовихціннихпа­перів, чинижчоюзанього. Вартістьопціонунакупівлюдомо­ментузакінченнятерміну, якправило, називаютьйоговнутріш ­ ньою вартістю .

Отже, якявищезазначав, опціондаєправойоговласникукупитиабопро­дативизначенукількістьпевноготоварунадеякихвказанихумовах: завизначенуцінуабодопевногостроку. Останняумоваеознакою, заякоюопціониподіляютьсянадваосновнихтипи: опціониЄвропей­ськогоіАмериканськоготипів. ОпціонЄвропейськоготипумаєфіксо­ванудатувиконання. НавідмінувідньогоопціонАмериканськоготипуможебутивикористанийвбудь-якиймоментчасудодеякоїфіксованоїдати.

3. Основніпоняттяпророботуопціонів. Опціонністратегії

Приймаючирішенняпроуправлінняпортфелемфінансовихак­тивів, інвесториможутьвикористатимножинурізнихогщіоннихстратегій.

Опціони на купівлю

Опціоннакупівлюнадаєправокупитиакціїпоцінівиконанняопціону. Ціна, якуінвесторсплачуєзате, щобпридбатиправовмайбутньомукупитиціакції, називаєтьсяпремією опціону на ку ­ півлю (callpremium), чиціною опціону на купівлю (callprice). Як­щоінвесторзаплативпреміюрозміром W_k у.о., придбавшиопціоннакупівлю, тоневажкообчислитийогодохідчизбитокдомоментузакінченнятерміну. Якшоцінаакційдоцьогомо­ментувиявитьсянижчоюзацінувиконанняопціонуЦ,тоінвеcтopнескористаєтьсяопціономіматимезбиток, якийдорівнюєпреміїрозміромW_k у.о., яківінзаплативприкупівлі. Якщоцінаакційдоцьогомоментувиявитьсявищоюзацінувиконанняопціону, тоінвесторотримаєдохідувиглядірізниціміжринковоюціноюпоякійпродаютьсяакції, івитратаминакупівлюопціону. Доходи (збитки) продавцяіпокупцяопціонуподанонаМал.3.1. Доходи (збитки) продавцяопціонудомоментузакінченнятермінудорівнюютьзбиткам (доходам) покупцяцьогоопціону.

Дохід

W_k Продавець опціону

0

- W_k Покупець опціону

W ` Ц Ціна акції

Мал .3.1. Динамікадоходів (збитків) покупцяіпродавцяопціонунакупівлю

Опціон на продаж

Опціонпапродажнадаєправопродажуакціїпоцінівиконанняопціону. Якщозапридбанняопціонунапродажінвесторпла­титьпремію W_k , тоневажковизначитидоходичизбиткидомоментузакінченнятермінуопціону. Якщоцінаакційнаденьза­кінченнятермінуєменшоюзацінувиконанняопціону, інвес­торможеотриматидохід, щодорівнюєрізниціміжціноювико­нанняопціонуіакції. Якщожцінаакціїєвищоюзацінувико­нанняопціону, тоінвесторнебудевиконуватиопціоніматимезбиток, якийдорівнюєпремії, сплаченійзапридбанняданогоопціону.

ДинамікуодержаннядоходівізбитківнамоментзакінченнятермінудляпокупцяіпродавцяподанонаМал.3.2.Утихви­падках, колицінаакційперевищуєцінувиконанняопціону, продавецьопціонунамоментзакінченнятермінуматимедохід, щодорівнюєотриманійнимпремії, аопціоннебудевиконано. Однакякщоцінаакційнадатузакінченнятермінуєнижчою, ніжцінавиконанняопціону, точистийдохідпродавцядорівнюватимеД_п =W_р - (Ц - W_k ).

Дохід

W_k Продавець опціону

0

- W_k Покупець опціону

Ц Ціна акції

Мал .3.2. Динамікадоходів (збитків) покупцяіпродавцяопціонунапродаж

Купівля захисного опціону на продаж

Стратегіяхеджування, якапередбачаєкупівлюакційі, одночасно, опціонунапродажциxакцій, єаналогічноюпридбаннюстраховогополісавіднебажаноїзміниціннаакції. Захисний опціон на продаж (protectiveput) даєзмогууникнутиризикупадіннякурсуакцій. Такастратегіяназиваєтьсякупівлеюзахисногоопціонунапродаж. НаМал.3.3показанодинамікуодсржаннядоходів (збитків) привикористанністратегіїкупівліза­хисногоопціонунапродаж. Дляспрощенняприпускається, щозмоментупродажуопціонбувзнульовимдоходом, апреміядорівнювалаW_p . Припустимо, шоцінаакційнаденьзакінченнятермінуперевищуєцінувиконанняопціону. Тодівартістьопціонудорівнюєнулевіівартістьпортфеля —цініакціймінуспрсмія, сплаченаприкупівліопціону. Зіншогобоку, якщоцінаакційдомоментузакінченнятермінуєнижчою, ніжцінавиконанняопціону, інвесторможевикопатиопціонізбутиакціїпродавцевіопціону, отримавшисумуЦ (цінакупівліакції, передбаченаопціоном); зрештоювінзазнаєзбитку, щодорівнюєW _р . Отже, прикупівлізахисногоопціонунапродажмаксимальноможливийзбитокінвестораєобмеженим.

Купівля активу

Дохід

W_p Дохід хеджування

0

- W_p

Купівля опціону на продаж

-Ц

Ц Ціна акції

Мал .3. 3 . Динамікадоходів (збиткі) привикористанністратегіїзахисногоопціонунапродаж

Продаж покритого опціону на купівлю

Данастратегіяприпускаєпридбанняакційіодночаснийпродажопціонунакупівлюакцій. Якщоцінаопціонунамоментзакінченнятермінуопціонуєменшою, абодорівнюєцінівиконанняпціону, йоговласникнескористаєтьсясвоїмправом, іінвесторотримаєпреміюопціонунакупівлюакцій (щозбільшитьвартістьйогопортфеля). Зіншогобоку, якщоцінаакційдомоментузакінченнятермінуопціонуєвищою, ніжцінайоговиконання, тоінвесторможенаденьзакінченнятермінупродатиакціїпокупцевіопціонуіотриматисумуЦ . Динамікуодержаннядоходів (збитків) відпродажупокритогоопціонунакупівлюакційпоказанонаМал.3.4.

Купівля активу

Дохід Дохід хеджування

W_p

0

Купівля опціону

- W_p на продаж

-Ц

Ц Ціна акції

Мал .3. 4 . Динамікадоходіо (збиткіо) привикористанністратегіїпокритогоопціонунакупівлю

Визначення опціонної маржі

і доходів від зберігання

Колиопціоникупуються, продаютьсяабовикористовуютьсядляформування-портфеля, можутьвиникнутиускладненняпривнзначеннідоходузаперіодзберіганняопціону. Якщо, наприклад, стратсгіязводитьсядопродажунепокритого опціону (nakedoption) накупівлюакцій, топродавецьотримуєгрошовізасоби, скажімо, W _р у.о. закоженпроданийопціон. Оскількипродажопціонупороджуєризик, пов'язанийзнеобхідністюреальногопродажуакцій, виникаєпотребавнестивизначенучасткувартостіцихціннихпаперів —маржу наспеціальнийрахунок.

Зіншогобоку, колимирозглядаємопозиціїпопокритихопціонахнакупівлю, можутьвиникнутискладнішівимогивід­носномаржі. Якщоопціоннакупівлюакційвиявитьсяіззбит­ком, тодімаржаєнеобхідноютількипоакціях, аленевимагає­тьсядодатковоїмаржіпоопціону. Якщожопціонвиявитьсяздоходом, товимагаєтьсяідодатковамаржапоопціону; алема­ржа, обчисленадляпозиціївцілому, зменшуєтьсянадоходивідпродажуопціону.

Отже, ізщойносказаноговипливає, шоопціониускладню­ютьзадачі, пов'язаніізвизначеннямдоходузаперіодволодінняпортфелем. Існуючіправилавнесеннямаржідаютьзмогуінвес­торупідібратитакікомбінаціїфінансовихінструментів, якімі­німізуютьпотрібнусукупнумаржу.

Оцінка вартості опціона

Цінаопціонузавждиповиннабутибільшоюабодорівнюватицінійоговиконання, тобтосумідоходу, якийможнаотримати, використовуючивиконанняопціону. Увипадках, колицінавиконанняопціонудорівнюєЦіцінаакції — Ц_а , вартістьопціонунапродажіопціонунакупівлюповиннавизначатися, відповідно, такиминерівностями: W_k max[0,Ц_а -Ц] і W_p max[0,Ц-Ц_а ], де W_k і W_р — відповідноціниопціонунакупівлюіопціонунапродаж.

4. Методивизначенняціниопціона

Оцінка на момент закінчення терміну дії опціону

Припустимо, щонасцікавитьвартістьопціону «код» (даліпросто «опціон») намоментзакінченняйогодії. Вартістьопціонубуде:

V₀ = max (V_s - E, О)

деV₀ - ринковацінаодноїакції;

Е - цінавикористанняопціону;

max - вибірнайбільшоїздвохальтернативV_s - Eабо 0

Щобпроілюструватицюформулу, припустимо, щоопціоннаакціюMicrosoftCorporationкоштує 25 дол. намоментзакінченнятермінудіїопціонуіцінакористувачаопціонускладає 15 дол. Вартістьопціонубудестановити 25 дол. - 15 дол. = 10 дол. Зауважимо, щовартістьопціонувизначаєтьсявиключновартістюакціїмінусцінавикористання; алеопціоннеможемативід’ємнувартість. Колицінавикористанняперевищитьвартістьакції, вартістьопціонустаєрівноюнулю.

Цезауваженняпроілюстрованографічнонамал. 4.1., депоказанатеоретичнавартістьварранту. Цінавикористанняопціонурозташованавздовжлініїтеоретичноївартості; горизогнтальнавісьявляєсобоюцінуакціїнамоментзакінченнятермінудіїопціону.

Ціна

опціону

Ринкова

вартість

Теоретична

вартість

Ціна виконання опціону

Мал . 4 . 1. Взаємозв’язокціниакціїтаціниопціона

Оцінка до закінчення терміну дії опціону .

Розглянемотепервартістьопціонузаодинперіоддозакінченнятермінуйогодії. Дляспрощенняприпустимо, щодіяопціонуможезакінчитисьлишевденьзакінченнядії. Вартістьакціїнамоментзакінченнядіїневідома, ашвидшеєоб’єктомймовірногоаналізу. Доти, покиєхочабякийсьчасдозакінченнятермінуопціону, йогоринковавартістьможебутибільштеоретичною. Причинавтому, щоопціонможемативартістьівмайбутньому. Цепитанняобмірковувалосьповідношеннюдоварранту, томувподальшійдискусіїнемаєнеобхідності. Реальнувартістьопціонуможнавідобразитиперерваноюлінієюнамал. 4.1.

Ціна

опціону

Лінія теоретичної

вартості

3

2

1

Ціна виконання опціону

Мал . 4 . 2. Взаємозв’язокціниакціїтаціниопціонаприрізнихтермінахдії

Вплив терміну дії до закінчення дії опціону . Звичайно, чимбільшийтерміндомоментузакінченнядіїопціону, тимвищайоговартістьпорівнянозтеоретичною. Цеочевидно, томущоопціондовшебудевартісним. Більшетого, чимпізнішехтосьплатитьцінувикористання, тимнижчапоточнавартістьопціону, іце, яснаріч, збільшуєвартістьопціону.

Вмірунаближеннязакінченнятермінуопціонулінія, якапоказуєвзаємнузалежністьвартостіопціонутаакції, стаєбільш «випуклою». Цевідлображенонамал. 4.2. Лінія 1 являєсобоюопціонзкоротшимтерміномдозакінченняйогодії, порівнянозлінією 2, лінія 2 - опціонзменшимтерміномдозакінченнядіїопціонупорівнянозлінією 3.

Вплив змінності . Звичайно, найбільшважливийфактор, щовпливаєнаоцінкуопціону, - цезмінаціниакцій, звязанихзним. Конкретніше, чимбільшаймовірністькрайніхнаслідків, тимбільшавартістьопціонудляйоговласника (приіншихрівнихумовах). Мипередбачаємонаявністьнапочаткуперіодудіїопціонудвохвидівакцій, якімаютьнаступніймовірнірозподілиможливоївартостінамоментзакінченнятермінудіїопціону:

Очікуванацінаакціївкінціперіодуоднаковадляобидвохвидів - 40 дол. Але, дляакціїВрозбіжністьможливоївартостізначновища. Припустимо, щоцінавикористанняопціонівнакупівлюакційАіВвкінціперіодутакожоднакова, скажімо 38 дол. Такимчином, акціїдвохвидівмаютьоднаковуочікуванувартістьвкінціперіоду, іопціонимаютьоднаковуцінувикористання. ОчікуванавартістьопціонудляакційАвкінціперіоду:

опціонА= 0(0,10) + 0(0,25) + (40 дол. - 38 дол.)(0,30) + (44 дол. - 38 дол.)(0,25) + (50 дол. - 38 дол.)(0,10) = 3,30 дол., тодіякакціїВ:

опціонВ = 0(0,10) + 0(0,25) + (40 дол. - 38 дол.)(0,30) + (50 дол. - 38 дол.)(0,25) + (60 дол. - 38 дол.)(0,10) = 5,80 дол.

Такимчином, більшарозбіжністьможливоївартостіакційВведедобільшоїочікуваноївартостіопціонунамоментзакінченнятермінуйогодії. Причинакриєтьсявтому, щовартістьопціонівнеможебутивід’ємною. Врезультаті, чимбільшарозбіжність, тимбільшечислопозитивнихнаслідків, вимірянихзаформулоюринковацінамінусцінавикористання. Збільшенняколиваньвартостіакційцимсамимзбільшуютьчислопозитивнихвартостейдляпокупцяопціонуі, значить, збільшеннявартостіопціону.

5. Розрахуноквартостітахедж-стратегійдляопціонівЕвропейськоготипу.

Дискретнийчас

Нагадаємо, щорозглядається( В , S) -ринокоблігаційтаакцій, вар­тістьякихзмінюєтьсязаформулами:

B_t =B₀ (1+a)^t (5.1)

dS_t =S_t (dt+dW_t ) (5.2)

початковізначення—В ₀ таS₀ відповідноіна заданосімействоймовірніснихмірP={P} , причомувідноснокожноїзмірР послідовність( р ₁ , р ₂ , ... , р _N ) — ценезалежніоднаковорозподіленівипадковівеличини

P{p₁ =)=p, P(p₁ =)=q=1-p,

0< р <1, -1 < < a < .

НехайH = ( H _п , 0 п N ) — самофінансованастратегія,

x^H = (, 0 п N) — капітал, щовідповідаєційстратегії,

f_N = f_N ( S ₀ , S ₁ ( ), ... , S_N ( )) —фіксовананевід'ємнафункція. НехайтакожЕ * позна­чаєматематичнесподівання (середнє) відносноміриР * такої, щор =p*= , P(p₁ = )=p*.

Теорема 5.1. Для того , щоб самофінансована стратегія H була мінімальним ( х , f_N )-xe дж e м , необхідно і достатньо , щоб початковий капітал х дорівнював

x = (1+a)^-N E*f_N (S₀ , S₁ (), ... ,S_N ()) (5.3)

Наслідок . Вумовах( В , S ) -ринкусправедливацінаопціонуЄвропей­ськоготипудорівнює

C_N =(1+a)^-N E*f_N ,

деN —фіксованиймоментвиконанняопціону,

f_N = f_N ( S ₀ , S ₁ , ... , S_N ) —фіксованафункціяплатежів. ТутЕ * — математичнесподіваннявідноснотакоїміриР *, що

P* (p₁ = ) = р * = .

Існуємінімальнийсамофінансований( С _N , f_N ) -хеджH* = (, 0 п N) = (, , 0 п N) такий, що

беретьсязрозкладу:

Y_n = ,

іприцьомузначеннякапіталувмоментчасу t = n дорівнює

= (1 + a)^n-N E*(f_N /F_n ) .

Розглянемотеперчастковийібільшпростийвипадок, колифункціяплатежівf_N залежитьневідвсієї " траєкторії " S₀ , S₁ , ... , S_N , алишевідвартостіакціїS_N вмоментвиконанняопціону, тобтоf_N =f(S_N ) . На­приклад, дляЄвропейськогоопціонукупівлі

f_N =(S_N - k)⁺ = max (S_N - k , 0) ,

адлявідповідногоопціонупродажу

f_N =(k - S_N )⁺ = max (k - S_N , 0) ,

деК — договірнавартість, щоїїобумовленовмо­ментпридбанняопціону, ізаякоювмоментN будутькупуватисяабопродаватисяакції. Вцьомувипадкуможна, задопомогоюбіноміаль­ногорозподілу, безпосередньопідрахуватиЕ * f_N і, такимчином, спро­ститиформулусправедливоїціниопціону:

C_N = (1+a)^-N E*f_N .

Сфор­мулюємовідповіднийрезультатбездоведення. Розглянемофункцію

F_n ( x , p ) = f ( x (1+ ) ^k (1+ ) ^{n - k} ) p^k (1- p ) ^{n - k} (5.4)

( —цечислокомбінаційзnпоk, , = 1).

Теорема 5.2. ДляопціонуЄвропейськоготипузфункцієюпла­тежівf_N = f ( S_N ) маютьмісценаступнітвердження:

1.Справедливацінаопціонудорівнює

C_N =( 1 +a) ^{- N} F_N (S ₀ ,P *),

дер *= ;

2.Існуєсамофінансованиймінімальнийхедж

=( , )=( , , ) ,

причому

= ;

3.Капітал X^ в момент п , 0 <, п < N для мінімального хеджу дорівнює

=(1+a)^n-N F_N-n (S_n , p*) .

Теорема 5.3. Справедлива ціна C_n Європейського опціону купівлі з функцією платежів f(S_N ) = (S_n - К )⁺ дорівнює :

1. C_N =S₀ B(k₀ , N , p) - K(1+a)^-N B(k₀ ,N,p*) ,

де k ₀ =1+ , якщо ;

2. C_N = 0 , якщо k ₀ > N .

Встановимотеперзв'язокміжсправедливоюціноюC_N розгляну­тоговищеопціонукупівлііціноюстандартногоЄвропейськогоопціонупродажузфункцієюплатежівf ( S_N ) = (K-S_n )⁺ . Дляцьогозапишемотакутотожність:

(- x )⁺ = тах (— x , 0) = max ( x , 0) — x = x ⁺ — х ,

звідки( К - S_N )⁺ =( S_N - K )⁺ — S_N + K . ЯкщoпозначитисправедливуцінуопціонупродажучерезP_N , то

P_N = Е * ( К - S_N )⁺ (1 + а )^-N = (1 + а )^-N [E* [ (S_N - K)⁺ -S_N ] + К ] = = (1+a)^-N K + C_N - (1 +a)^-N E*S_N .

ОскількиS_N = S₀ (1+p₁ ) (1+p₂ ) ... (1+ p_N ) , тозважаючинанезалежністьіоднаковурозподіленістьвипадковихвеличинр ₁ , р ₂ ,..., p_N маємо, що

статочно

P_N =(1+a)^-N K + C_n - S₀ .

Цюрівність,щопов'язуєсправедливіціниопціонівкупівлітапро­дажу, називаютьпаритетом "колл-пут" (купівлі-продажу).

6. Прикладироботизопціонами

НехайS_n , 0 n N — цевипадковаеволюціявар­тості100 0 доларівСША (USD), щовимірюєтьсявукраїнськихгривнях (Грн). НехайS ₀ = 5400 гривеньівмоментn = 1 цінаможедорівнювати: S ₁ =

ТодіS ₁ = S ₀ (1+ p ₁ ), звідки1+p₁ = , p₁ = - 1 , тобтовипадковавеличинар ₁ можематидвазначення:

p ₁ =

Нехайбанківськийрахунокнезмінюється: В_п = B ₀ = 1, а = 0 (зфінан­совоїточкизоруцеозначає, щобанкненараховуєпроцентівнавнесокінеберепроцентівзапозику).

1. Розрахунок справедливої ціни . НехайN = 1, К = 5400 Грн , f(S₁ ) = (S₁ - K)⁺ = (S₁ - 5400 )⁺ =max(S₁ -K,0). Цеозначає, щоприпідвищеннікурсудоларапокупецьЄвропейськогоопціонукупівліодержить5700 — 54 00 = 300 Грн , a припадіннікурсу

f(S₁ )=max(0, 5200-5400 )=0 , тобто

дохід =

Видно, що , .

Томуймовірністьр * = .

Якщоприпустити, щоP(p₁ =3/54)= p *=2/5, P(p₁ =-1/27)=3/5, тосправедливацінаопціонудорівнює:

= 120 Грн

2. Розрахунок хедж - стратегії інвестора . Вданомувипадкуінвес­тор — цепродавецьопціонукупівлі. Якщосправедливуцінурозрахованозаймовірністюр *, товпочатковиймоментчасуінвестородержаввідпо­купцясумув120 Грн , іцейогопочатковийкапіталX₀ .

Тобто, X₀ = 120, = 0, В ₀ = 1, S₀ = 5400, . Передмоментомчасуn = 1 продавецьповиненперетворитисвійпортфель (,) впортфель (,) такимчином, щобпісляоголошеннязначеннябулабможливістьвико­натиумовиконтракту, тобтозаплатитигрошіпокупцюіповернутиборг (боргвідповідаєвід'ємнимзначенням, якщоборгє). Підра­хуємотепер, , щовідповідаютьмінімальномусамофінансованомухеджу, заформуламитеореми 5.2 (п.2). Одержимо: = .

ОскількиX₀ = B₀ + S₀ іВ ₀ = 1 , томожназнайти = X₀ -S₀ = = 120 - 3240 = -3120 . Від'ємністьвеличини = -3120 означає, щоінвестор (тобтопродавецьопціону) берепозикуврозмірі3120 Грн . Такимчином, вінмаєХ ₀ - В ₀ = 120 + 3120 = 3240 Грн .

Розглянемотепер, щовідбуваєтьсяпіслямоментуN = 1 , колибулооголошеноновийкурсдолара. Можливідваваріанти (взв'язкузпопереднімиприпущен­нями):

а) курсдоларапіднявся(p1 = = 1/6) , тобтовмоментчасуN = 1 , 1000 USD дорівнюють5700 Грн . Вцьомувипадкуінвесторповиненвиплатитипокупцюсумуврозміріf(S1)= m ах (0, 5700-5400) = 300 Грн . I вінсправдіможецезробити, оскількийогокапіталвмоментчасуN = 1 дорівнює

Х ₁ =B₁ +S₁ = -3120 + (3/5) - 5700 = -3120+3420=300 Грн . Тоб­токапіталS₁ =3240 Грн єдостатнімдлясплати300 Грн покупцюіповерненняборгув3120 Грн набанківськийрахунок;

б) курсдоларазменшився( р ₁ = = -1/27), тобтовмоментчасуN = 1 , 1000 USD дорівнюють5200 Грн . Вцьомувипадкуінвесторнічогонесплачуєпокупцю, томущоf(S₁ )= m ах (0,5200-5400) = 0 , алеповиненповернутиборгв3120 Грн набанківськийрахунок. Вінзновужтакиможецезробити, оскількийогокапіталдорівнює

Х ₁ =B₁ + S₁ = -3120 + (3/5) - 5200=-3120+3120=0.

Тобтоінвестородержує. S₁ = 3120 Грн і, повернувшитакийсамийборг, маєнульовийкапітал.

Підсумки

Маючидвізв’заниходназдругоюстатттіфінансовихактивів - акціїтаопціонинаціакції, миможемовстановитибезрисковухеджуванупозицію. Коливанняціннаодинфінансовийактивбудутькомпенсовуватисьпротилежнимиколиваннямицінинаінший. Хеджуванапозиціяможебутивстановленазадопомогоюкупівліакцій (таїхтривалогозберігання) тапідписанняопціоннихдомовленостей. Якщовартістьакційпіднімається, мивиграємовтакзваній «довгійпозиції», тобтовакціях. Мивтрачаємонаопціонах, якімипідписали, боціна, якумиповиннізаплатитизаакціїдлятого, щобнадатиїхособі, якавикористовуєопціон, вища, ніжцінавмоментпідписанняопціону. Якщоцінаакційпадає, стаєтьсязворотнє. Мивтрачаємовнашій «довгійпозиції», алевиграємонапідписаномунамиопціоні.

Такимчином, якщотриматиіакціїіопціони, коливанняціниакційкомпенсуютьсяколиваннямивартостіопціонів. Якщозробитицеграмотно, тозагальнапозиціяможестатисяпрактичнобезризиковою. Вринковійрівновазікоженочікуєотриманнябезризиковогорівняначіткохеджованупозицію.

Упроцесіаналізупохіднихфінансовихінструментівшироковикористовуютьсярізноманітніобчислю­вальніметоди. Безвідповідногоматематичногоінструментаріюпрактикоюнеможливооцінитивартістьцихактивів; нерозумію­чичіткопринципівфінансовихрозрахунків, неможливоправи­льновизначитивплив, якийздійснюєтьсяопераціямизпохід­нимифінансовимиінструментаминаефективністьуправлінняпортфелемактивів.

7.Використаналітература

-БондаревБ.В., ШуркоИ.Л. Финансоваяматематика. -- Донецк, Кассиопея, 1998. -- 164 с.

-ШиряевА.Н. Онекоторыхпонятияхистохастическихмоделяхфинансовойматематики // Теориявероятностииееприменения. 1994. -- Т. 39, N. 1. -- С.5-22

-ЗаконУкраїнипроцінніпапериіфондовубіржу // СD:«Лігапрактик»

-Дж.К. ВанХорнОсновыуправленияфинансами. -- Москва, Финансыистатистика, 1996. -- 800 с.

-ЛеоненкоМ.М., МішураЮ.С., ПархоменкоВ.М., ЯдренкоМ.Й. Теоретико-ймовірніснітастатистичніметодивеконометрицітафінансовійматематиці. – Київ, Інформтехніка, 1995. -- 380 с.

-КолесникВ.В. Введениеврынокценныхбумаг. -- Киев, А.Л.Д. 1995. -- 176 с.

-ШиряевА.Н., КабановЮ.М., КрамковД.О.,

МельниковА.В. Ктеориирассчетовопционов. I. Дискретноевремя // Теориявероятностииееприменения.

1994. -- Т. 39, N. 1. -- С.23-79