| Реферат
на тему: “Похідна суми, добутку та частки
з наведеними прикладами”.
Теорема: Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу ]a; b[, то
(u(x)±(x))’ = u’(x)±n’(x)
для любого х є ]a; b[. Кортше,
(u±n)’ = u±n’
Доведення: Суму функцій u(x)+n(x), де х є ]a; b[, яка представляє собою нову функцію, позначим через f(x) і найдем похідну цієї функції,
Нехай х0
– деяка точка інтервала ]a; b[.
Тоді
Також,
Так як
х0
– допустима точка інтервала ]a; b[, то маєм:
Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.
Наприклад,
а)
б)
в)
Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1
(x) + u2
(x) +… кінцевого числа складених.
Теорема. Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервала ]a; b[, то
для любого х є ]a; b[. Коротше,
Доведення. Позначим похідні через х є ]a; b[, і найдем похідну цієї функції, виходячи із опреділення.
Нехай х0
– деяка точка інтервала ]a; b[. Тоді
Навіть так як
то
Так як х0
– вільна точка інтервала ]a; b[, то маєм
Теорема доведена.
Приклад,
а)
б)
в)
Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаєм
Приклади.
а)
б)
Похідна частки двох функцій .
Теорема. Якщо функції мають похідні у всіх точках інтервалу ]a; b[, причому для любого х є ]a; b[, то
для любого х є ]a; b[.
Доведення. Позначим тимчасово через найдем використовуючи опреділення похідної.
Нехай х0
– деяка точка інтервала ]a; b[.
Тоді,
Навіть, так як
то
і послідовно
Так як х0
– вільна точка інтервалу ]a; b[, то в послідній формулі х0
можна замінити на х. Теорема доведена.
Приклади.
а)
б)
Формули (3) (стор 20) [2] Д.М. Роматовський “Збірник задач з ТМ”.
Літ [4] табл.6 стор 323 А.М. Кменжова і В.А. Малов “Довідник з ТМ” т.І.
|
