Доклад: Предмет математики

ЧТО ЖЕ ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?

На вопрос "Что же такое математика?", как и на вопрос "Что

же такое философия" ответить однозначно и конкретно в прин-

ципе не возможно. Эти две области мировоззрения весьма об-

ширны и постоянно богатеют все новыми и новыми идеями, так

что даже для того чтобы сделать только поверхностный обзор

математики потребуется очень много времени, поэтому этим я

заниматься не буду, а рассмотрю со своей точки зрения, опи-

раясь на точку зрения Канта, только небольшой вопрос касаю-

щийся математики и может частично (далеко не полностью) по-

пытаюсь ответить, что же все таки такое математика.

Всякая математика по Канту имеет приложение только к об-

ласти явлений, а математика чистая т.е. теоретическая, -

только к априорно-созерцательным формам, будучи ими же по-

рождена. Кант отрицает, что математические построения отра-

жают свойства объективной реальности. Он прав, полагая, что

собственно геометрическое пространство реально вне нас не

существует, а абсолютное пространство Ньютона не реально. У

Канта пространство и время тоже "абсолютны", но уже в том

смысле, что абсолютно не зависят ни от вещей в себе, ни от

чувственной эмпирии. Однако очень трудной задачи выяснения

статуса математических абстракций и их отношения к действи-

тельности он разрешить не смог. Хотя исторически арифметика

и геометрия выросли из практического опыта древних, но

исходными пунктами при аксиоматическом построении математи-

ческих дисциплин оказываются не индуктивные обобщения и во

многих случаях даже не идеализирующие абстракции от этих

обобщений, а так называемые чистые идеальные конструкты.

Правда, в случае, например, геометрии Евклида, в единствен-

ности и абсолютной универсальности которой у Канта в общем

нет сомнений, ее аксиомы и постулаты в совокупности

представляют собой гносеологически еще более сложное образо-

вание, будучи совокупным результатом идеализируещего абстра-

гирования и идеального, т.е. чисто абстрактного, конструиро-

вания. В последнем случае отражение объективной реальности в

теории происходит "окольным" путем приблизительной интерпре-

тации. Только физическая интерпретация, проверяемая затем в

практике научных экспериментов, в состоянии решить, какая из

известных ныне геометрических систем истинна, т.е. соот-

ветствует свойствам реального физического пространства. За-

метим так же, что изображенная Кантом структура математики,

которая включает в себя не только чувственную интуицию и

синтезирующую конструкцию, но и аналитичность, как бы по

частям возродилась в интуиционистском, конструктивистском и

чисто аналитическом направлениях философии математики ХХ в.

Но каждое из этих направлений односторонне.

Важный вопрос заключается в том, можно ли считать, что от-

крытие Лобачевским неевклидовых геометрий в принципе подор-

вало учение об априорности пространства, поскольку оно пока-

зало, что тезис об априорной общеобязательности геометрии

Евклида как единственного будто бы возможного для всякого

субъекта способа восприятия чувственных феноменов не имеет

силы.

Лобачевский не отрицал эмпирической предпочтительности ге-

ометрии Евклида как геометрии обычного восприятия и привыч-

ного для нас макромира, и эту-то "привилегированность" и

закрепленную в филогенезе "очевидность" евклидовского виде-

ния пространства Кант как раз и пытался объяснить

посредством априоризма, так что неокантианец Э.Кассирер уви-

дел в открытии Лобачевского даже подтверждение кантианской

позиции. Конечно зависимость выбора между неевклидовыми гео-

метриями от физических и предметных интерпретаций наносит по

априоризму "критического" Канта сильный удар. Однако сам

факт создания подобных геометрий не столько побуждает к его

модификациям: ведь метод идеальных конструктов в современной

математике и освобождение абстрактных геометрических постро-

ений наших дней от остатков былой "воззрительности" в первом

приближении с априористской иллюзией совместимы. Кант был

знаком через Ламберта с допущениями математиков насчет воз-

можности неевклидовых постулатов и писал: "...возможно, что

некоторые существа способны созерцать те же предметы под

другой формой, чем люди". Уже это его допущение свидетельст-

вует о том, что, кроме однозначного априоризма и конвенциа-

нолизма, идеализм в математике способен апеллировать и к

иным гносеологическим построениям. Однако тезис общей тео-

рии, относительности, что выбор той или иной геометрии есть

физическая проблема, а также вывод из этой теории, что при

определенных условиях распределения масс во Вселенной ее

пространство имеет именно неевклидовую структуру, подрывают

априоризм в самой его основе.