ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка.
Пусть имеются два множества комплексных точек  и  . Если задан закон  , ставящий в соответствие каждому  точку (или точки)  , то говорят, что на множестве  задана функция комплексной переменнойсо значениями в множестве  . Обозначают это следующим образом:  . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)
Задание функции  эквивалентно заданию двух действительных функций  и тогда  , где  ,  . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
1.   - линейная функция. Определена при всех  . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость  . Функция  и обратная ей  - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный  , растягивает (сжимает
) ее в  раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину  . Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2.  . Определена на всей комплексной плоскости, причем  ,  . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки  . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. 
- показательная функция. По определению  , т.е.  ,  ,  . Из определения вытекают формулы Эйлера:
 ;  ;  ;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.  периодична с периодом  . Отображает каждую полосу, параллельную оси  , шириной   в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие:  , 
4. 
- логарифмическая функция (натуральный логарифм
). По определению:  .  Выражение  называется главным значением  , так что  . Определен для всех комплексных чисел, кроме  .  - бесконечно-значная функция, обратная к .  , 
5. 
 - общая показательная функция. По определению,  . Определена для всех , ее главное значение  , бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции  ; ; ; По определению,  ;  ;
 ; 
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:
, 
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел:  ,  ,  ,  ,
Решение.
По определению,  , ,  ; если  , то очевидно,  ,  ,
 ,  , 
 ,  ,  , 
 ,  ,  , 
Найти суммы:
1) 
2) 
Решение.
Пусть:  , а
 . Умножим вторую строчку на  , сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: 
 ; Преобразуя, получим:
 , 
3. Доказать
, что: 1)  2)
3) 4)
Доказательство:
1) По определению, 
2) 
3)  ; 
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1)  ; 2)  ; 3)  ;
Решение: 
и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
 ,  ,  ,
Напомним, что 
2) 
 ,  ,
3) 
 ,  ,
 ,  .
Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:  ;  ; 
Решение.
Следуя решению примера 4, будем иметь:
 ;  ;  ;  ;
 ; 
Вычислить:
1)  ; 3)  ; 5)  ;
2)  ; 4)  ; 6)  ;
Решение.
По определению,  , 
1) ,  ,  ,
2)  ,  ,  ,
3)  , ,  , 
4) ,  ,  ,
5) ,  ,  ,
6) ,  ,  , 
Найти все значения следующих степеней:
1)  ; 2)  ; 3) ; 4) ;
Решение.
Выражение  для любых комплексных  и  определяются формулой 
1) 
2)
3) 
4)  .
8. Доказать следующие равенства:
1)  ;
2)  ;
3) 
Доказательство:
1)  , если  , или  , откуда  , или  .
Решив это уравнение, получим  , т.е.  и 
2)  , если  , откуда  , или  , следовательно,
 , 
3)  , если  , откуда  , или
 .
Отсюда  , следовательно, 
|
