ГЛАВА 1
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Основные сведения
Функция f
(x
),
определенная на всей числовой оси называется периодической
, если существует такое число  , что при любом значении х
выполняется равенство  . Число Т
называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т
есть периодическая функция периода Т
.
2) Если функция f
(x
) период Т
, то функция f
(ax
)имеет период  .
3) Если f
(x
)- периодическая функция периода Т
, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т
(при этом интеграл существует), т. е. при любых a
и b
справедливо равенство  .
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Если f
(x
) разлагается на отрезке  в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:
 (1)
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
 , где n
=1,2, . . .
Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье
, а  коэффициентами ряда Фурье.
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка  разрыва функции  называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом  функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ ] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f
(x
) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f
(x
) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2. Если f
(x
) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f
(x
) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f
(x
) - четная функция с периодом 2L
, удовлетворяющая условию f
(-x
) = f
(x
) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
 =
 =
 = 0 , где n
=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L
выглядит так:
Пусть теперь f
(x
) - нечетная функция с периодом 2L
, удовлетворяющая условию f
(-x
) = - f
(x
).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
 , где n
=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L
выглядит так:
Если функция f
(x
) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то 
, где ,
 ,
 ,
Если f
(x
) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L
], то доопределив заданную функцию f
(x
) соответствующим образом на [-L,
0]; далее периодически продолжив на (T
=2L
), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a
,b
], надо : доопределить на [b
,a
+2L
] и периодически продолжить, либо доопределить на [b
-2L
,a
] и периодически продолжить.
Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций  непрерывных на отрезке [a
,b
], называется ортогональной системой функции на отрезке
[a
,b
], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
 
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f
(x
) - любая функция непрерывная на отрезке [a
,b
]. Рядом Фурье
такой функции f
(x
) на отрезке [a
,b
] по ортогональной системе
называется ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
 n=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [a
,b
] ортонормированная, то в этом случаи
 где n
=1,2,...
Пусть теперь f
(x
) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a
,b
]. Рядом Фурье такой функции f
(x
) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
 ,
Если ряд Фурье функции f
(x
) по системе (1) сходится к функции f
(x
) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a
,b
]. В этом случае говорят что f
(x
) на отрезке [a
,b
] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение  называется комплексной формой ряда Фурье функции f
(x
), если  определяется равенством
 , где
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
  (n
=1,2, . . .)
Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l
с концами x=
0 и x
=l
. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u
(x,t
) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t,
удовлетворяет уравнению
 (1) , где а - положительное число.
Наша з а д а ч а - найти функцию u
(x,t
) , график которой дает форму струны в любой момент времени t
, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
 (2)
и начальных условиях:
 (3)
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u
(x
,t
) 0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u
(x,t
)=X
(x
)T
(t
), (4) , где  ,  .
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X
(0)=0, X
(l
)=0, докажем, что  отрицательное число, разобрав все случаи.
a) Пусть  Тогда X
”=0 и его общее решение запишется так:
откуда  и  ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.
б) Пусть  . Тогда решив уравнение
получим  , и, подчинив, найдем, что 
в)  Если  то
Уравнения имеют корни :
получим:
где  -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:
откуда  , т. е.
 (n
=1,2,...)
 (n
=1,2,...).
Учитывая это, можно записать:
 (n=1,2,...).
и, следовательно
 , (n
=1,2,...),
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
 , (n
=1,2,...),
где  и  произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u
(x,t
) начальным условиям, т. е. подберем  и  так , чтобы выполнялись условия
Эти равенства являются соответственно разложениями функций  и  на отрезки [0, l
] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой
где
 (n
=1,2,...)
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f
(x
) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на 
 (т.е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [-L
, L
] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f
(x
)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где  ,
 .
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f
(x
)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что  , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x
=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
 (3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f
(x
) запишется так:
 ,
где a
(u
) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f
(x
) :
 (4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
 ,
где b
(u
) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
 , (5)
где
 .
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f
(x
).
Если в формуле (5) заменить c
(u
) его выражением, то получим:
 , где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
где n
=1,2,... , k
=1,2,...
Дискретным преобразованием Фурье - называется N
-мерный вектор 
при этом,  .
ГЛАВА 2
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
Исходные данные :
 (Рис. 1)
Функция периодическая с периодом  .( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке  конечное число точек разрыва первого рода.
Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине  , где  -точки разрыва.
Рис. 1
Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.
1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале  .
2) F(x) - кусочно-монотонна.
Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.
Представление функции рядом Фурье.
Из разложения видим, что при n нечетном  принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.
Поэтому формулу для можно записать в виде:
( так как  ).
Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
 .
Подставим найденные коэффициенты в получим:
и вообще
 .
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника  ,
2-ая гармоника  ,
3-ая гармоника  ,
4-ая гармоника  ,
5-ая гармоника  ,
и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.
Запишем комплексную форму полученного ряда
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
 ,
но при  не существует, поэтому рассмотрим случай когда n
=+1 :
 (т.к.  см. разложение выше)
и случай когда n
=-1:
 (т.к.  )
И вообще комплексная форма:
или
или
|
