Выполнил: ученик 11 Б класса Назаркин Павел Дмитриевич
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №43»
Саранск, 2004
Постановка задачи.
Произвести необходимые расчеты для нахождения минимальной скорости тела, брошенного через прямоугольное препятствие.
Методы выполнения работы.
Для выполнения данной работы проделаем ряд математических вычислений и преобразований с использованием физических формул.
Зная, что траекторией движения тела, является парабола, а также математическую формулу записи данной линии, будем использовать уравнение параболы общего вида в качестве начальных данных поставленной задачи. В выбранной нами прямоугольной системе координат запишем данное уравнение для двух точек, принадлежащих линии движения – начальной точке А и точке В, в которой тело окажется через некоторый промежуток времени t. Решая систему полученных при этом уравнений, путем математических замен и преобразований выведем формулу зависимости движения тела от одной переменной L, т.е. коэффициенты k и b, участвующие в общем виде уравнения параболы, выразим через L. Затем, используя физический закон движения тела, брошенного под углом к горизонту, выразим переменную L через и V . В результате получим уравнение движения, в качестве коэффициентов в котором будут выступать переменные и V. Затем составим систему двух уравнений, полученных подстановкой координат точек А и В в последнее уравнение движения. Решая данную систему, мы найдем неизвестные нам величины и V, выразив их через имеющиеся известные нам параметры – ширину и высоту прямоугольного препятствия. Для нахождения Vmin воспользуемся производной функции.
Решение.
![](/images/paper/19/80/7308019.png)
Уравнением линии движения тела, брошенного через прямоугольное препятствие, в общем виде является уравнение параболы :
y=-kx2+b
Введем прямоугольную систему координат и свяжем ее с прямоугольным препятствием, как показано на рисунке.
В данной системе координат уравнение движения тела в точках А и Б примет вид:
0=-k(a+L)2+b,
h=-ka2+b.
Выразим k и b через одну неизвестную L:
Вычитаем 1)-ое из 2)-ого:
h=k(a2+2aL+L2-a2),
h=k(2aL+L2) , (*);
![](/images/paper/22/80/7308022.png) h=b-ka2+b b=h+ka2 . (*)
Получилось, что уравнение движения зависит только от L:
y=-kx2+b, где коэффициенты k и b имеют вид (*).
Найдем зависимость L от и V.
Из курса физики известно: что движение тела, брошенного под углом горизонта описывается уравнениями
![](/images/paper/25/80/7308025.png) ![](/images/paper/26/80/7308026.png) x=Vxt L=Vxt L=Vcos t
![](/images/paper/28/80/7308028.png) y=Vyt+gt2/2 h=Vyt-gy t2/2 gt2-2Vyt+2h=0.
gt2-2Vyt+2h=0.
.
Мы рассматриваем время движения от точки А до Б, значит
, где Vy=Vsin .
Итак, ![](/images/paper/32/80/7308032.png)
Умножив обе части уравнения на g, получим:
(1)
Известно, что т.е. ![](/images/paper/35/80/7308035.png)
(2)
С другой стороны tg =y’ в точке А, т.е. tg =y’(-a-L);
![](/images/paper/37/80/7308037.png)
Подставив значение tg в (2), получим:
V2sin2 =g(a+L) tg ![](/images/paper/18/80/7308018.png)
![](/images/paper/38/80/7308038.png) V2sin cos =g(a+L) Lg=V2sin cos -ga (3)
Сравнив (1) и (3) получаем, что:
![](/images/paper/40/80/7308040.png)
.
Получили уравнение с двумя неизвестными V и : выразив V через , мы получим ту самую функцию, которую мы должны были найти:
Пусть z=V2, тогда z cos2 (z sin2 -2gh)=g2a2;
z2 cos2 sin2 - z cos2 2gh-g2a2=0;
Получили квадратное уравнение относительно z
![](/images/paper/42/80/7308042.png)
Очевидно, значит, т.к. z=V2>0, то ![](/images/paper/44/80/7308044.png) .
Вместо зависимости V от рассмотрим зависимость z от , и обозначив получим зависимость z от t.
Получим , где z=V2, .
Выразим через t, если ; ![](/images/paper/50/80/7308050.png) ![](/images/paper/51/80/7308051.png)
Значит, ![](/images/paper/52/80/7308052.png)
Т.е. ![](/images/paper/53/80/7308053.png)
![](/images/paper/54/80/7308054.png)
Таким образом, чтобы найти Vmin и , нам нужно во-первых, найти fmin и t.
![](/images/paper/55/80/7308055.png) .
Умножив обе части уравнения на , получим
![](/images/paper/58/80/7308058.png)
![](/images/paper/59/80/7308059.png)
![](/images/paper/60/80/7308060.png)
Прежде чем возвести обе части в квадрат, сделаем предварительный анализ получившегося уравнения: т.к. ![](/images/paper/61/80/7308061.png)
то и ![](/images/paper/62/80/7308062.png)
т.е. и ![](/images/paper/64/80/7308064.png)
![](/images/paper/65/80/7308065.png)
![](/images/paper/66/80/7308066.png)
![](/images/paper/67/80/7308067.png)
![](/images/paper/68/80/7308068.png)
Умножив обе части уравнения на (t-1)2, получим
![](/images/paper/69/80/7308069.png)
![](/images/paper/70/80/7308070.png)
Т.к t<2 и t>1 (т.к. ), то можно извлечь корень.
![](/images/paper/73/80/7308073.png) ![](/images/paper/74/80/7308074.png)
![](/images/paper/75/80/7308075.png)
![](/images/paper/76/80/7308076.png) ![](/images/paper/77/80/7308077.png)
![](/images/paper/78/80/7308078.png)
; (4)
![](/images/paper/55/80/7308055.png)
![](/images/paper/80/80/7308080.png)
Итак, f(t)=2h+2a, значит .
Т.к. z=V2, то т.е. (5)
Осталось найти L:
Его найдем используя (3).
![](/images/paper/85/80/7308085.png)
![](/images/paper/86/80/7308086.png)
![](/images/paper/87/80/7308087.png) ![](/images/paper/88/80/7308088.png)
![](/images/paper/89/80/7308089.png)
![](/images/paper/90/80/7308090.png) ![](/images/paper/91/80/7308091.png)
![](/images/paper/92/80/7308092.png)
Результаты работы.
Проделанным расчетом мы нашли зависимость скорости, движения брошенного через прямоугольное препятствие тела, так чтобы она была минимальной, от длины и высоты прямоугольного препятствия. То есть, зная данные препятствия, - его длину и ширину – а так же формулы, полученные в данной работе, мы можем определить на каком расстоянии от препятствия, под каким углом и с какой минимальной скоростью необходимо бросить тело, чтобы оно перелетело через это препятствие.
Актуальность темы.
Данные расчеты и выведенные формулы используются в различных сферах деятельности человека. В частности, в военной практике, для правильного расчета движения траектории снарядов.
Приложение.
К работе прилагается программа, результатом которой является вывод на экран траектории движения тела, брошенного через прямоугольное препятствие. Входными параметрами программы являются данные прямоугольного препятствия – его длина и высота. Программа написана на языке программирования Delphi.
|