План.
1. Сопряженный оператор.
2. Сопряженная однородная задача.
3. Условия разрешимости.
Сопряженный оператор.
Обозначим через  дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
 (1)
где  представляют собой непрерывные функции в промежутке  . Если  и  - дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем:
 (2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:
 (3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через  , т.е.  (4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
 (5)
Оператор называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на  и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы и взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
 (6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
 (7)
Если же  , то оператор и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что тогда и только, когда:
Таким образом, оператор будем самосопряженным тогда и только тогда, когда  .
При этом:
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию  .
Дифференцируя соотношение (5) по  , получаем так называемую формулу Лагранжа:
 (8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
 (9)
где
   (10)
Отметим, что:
 и следовательно, матрица  -невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:
 (11)
Сопряженная однородная задача.
Введем следующее невырожденное линейное преобразование  в вектор  :
  (12),
где
 
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам . Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку  , мы можем обратить преобразование (12) и получить:
 .
При этом (11) можно переписать как:
или
 (13),
где  (14)
Билинейная форма  в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)
и  и получим:
 (15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:
 (16)
 (17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
 (18)
При ненулевом векторе последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты  и  принимали любые требуемые значения, лишь бы и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия  . При этом из соотношения (11) следует, что  . Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства  . При этом из соотношения (11) вытекает, что  . Таким образом, задача, сопряженная задаче  (19)
имеет вид:
 (20)
где  и  связаны с компонентами  вектора  соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда  и каждая из двух компонент и является линейной комбинацией  и  , т.е. пропорциональна .
Один из определителей:
матриц-блоков
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что  . Далее, выберем такие и , чтобы строки матрицы А были линейно независимы.
Например, положим  и  .
При этом матрица А примет вид:
 (21).
Из формулы (19) следует, что  .
Тогда
 (22)
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):
 Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:
 (22)
 (23)
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы и чтобы каждая из компонент  и  являлась линейной комбинацией  и  . Как указывалось выше, тогда и только тогда, когда . При этом условия (21) и (20) принимают вид:
 (24)
Разрешая равенства относительно  и  при  и заменяя на  , получаем:
 (25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:
 (26)
Краевая задача при  самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство .
Условие разрешимости.
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:
 (27)
 ,
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:
 (27)
Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь  и  с вектором  , описываемую формулой (14а) т.е.:
 (28)
При этом соотношение (27) принимает вид:
Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.
|
