| Курсовая работа
Исполнитель: Бугров С К.
Москва, 2003
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§
1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
§
2. Алгоритм решения.
Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.
Записываем ответ.
I. Решить уравнение
 (1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :
 или 
График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения  относительно х.
Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение  .
Если а Î  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и  , получаем
  и  .
Если а Î  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
Ответ:
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È, то  ;
Если а Î , то  , ;
Если а Î , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение  имеет три различных корня.
Решение.
Переписав уравнение в виде  и рассмотрев пару функций  , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции  , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции  .
В системе координат хОу построим график функции  ). Для этого можно представить её в виде  и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку график функции  – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный  , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции  . Поэтому находим производную 
Ответ:  .
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим  при  Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители
Множеством точек плоскости  , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые
 и 
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то  .
Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы
В этом случае уравнение
имеет один корень, откуда находим :
Следовательно, исходная система не имеет решений при  , а при  или  имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а Î (-¥;-3] È( ;+¥).
IV. Решить уравнение
Решение.
Использовав равенство  , заданное уравнение перепишем в виде
Это уравнение равносильно системе
Уравнение  перепишем в виде
 . (*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций  и  Из графика следует, что при  графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.
Если  , то при  графики функций совпадают и, следовательно, все значения  являются решениями уравнения (*).
При  графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой  . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение -  .
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям
Пусть , тогда . Система примет вид
Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда  . Система неравенств примет вид
Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но , поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .
Ответ:
если аÎ (-¥;3), то решений нет;
если а=3, то хÎ [3;5);
если aÎ (3;7), то ;
если aÎ [7;+¥), то решений нет.
V. Решить уравнение
 , где а - параметр. (5)
Решение.
При любом а : 
Если  , то  ;
если  , то  .
Строим график функции  , выделяем ту его часть , которая соответствует  . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует  .
По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.
Ответ:
если  , то  
если  , то  ;
если  , то решений нет;
если  , то  ,  .
VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров  и  , при которых системы
 (1)
и
 (2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
С учетом того, что  имеет смысл только при  , получаем после преобразований систему
 (3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
 (4)
Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом 
Поскольку  , а  , то  , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При  окружность касается прямой  и система (4) имеет пять решений.
Таким образом, если  , то система (4) имеет четыре решения, если  , то таких решений будет больше, чем четыре.
Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда  , и больше четырех решений, если  .
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.
При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением  , иметь общие точки с гиперболой  при  (прямая  всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).
Для решения этого рассмотрим уравнение
 ,
которое удобнее переписать в виде
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:
если  , т.е. если  , то система (3) имеет два решения;
если  , то система (3) имеет три решения;
если  , то система (3) имеет четыре решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда  .
Ответ: 
II. Неравенства с параметрами.
§1. Основные определения
Неравенство
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.
 называется допустимым значением х, если
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство
¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
§2. Алгоритм решения.
Находим область определения данного неравенства.
Сводим неравенство к уравнению.
Выражаем а как функцию от х.
В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
Исследуем влияние параметра на результат.
найдём абсциссы точек пересечения графиков.
зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥
Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
§3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
Если  , то решения исходного неравенства заполняют отрезок  .
Ответ:  ,  .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
 (*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где  , а значения  и  находятся из системы
а значения  и  находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
Ответ: 
III. Решить неравенство  на  в зависимости от значений параметра а.
Решение.
Находим область допустимых значений – 
Построим график функции в системе координат хОу.
при  неравенство решений не имеет.
при  для  решение х удовлетворяет соотношению  , где 
Ответ: Решения неравенства существуют при 
 , где  , причем при  решения  ; при  решения  .
IV. Решить неравенство
Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
 
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :
Разложим числитель на множители.
т. к.  то
Разделим обе части равенства на  при  . Но  является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при  .
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
| ?
|
точка
|
неравенство: 
|
вывод
|
| 1
|
|
|
-
|
| 2
|
|
|
+
|
| 3
|
|
|
-
|
| 4
|
|
|
+
|
| 5
|
|
|
-
|
| 6
|
|
|
+
|
| 7
|
|
|
-
|
| 8
|
|
|
+
|
| 9
|
|
|
-
|
5. Найдем точки пересечения графиков
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.
Ответ.
при  
при  
при  
при  решений нет
при  
Список литературы
Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.
Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.
|
