Нестандартный анализ неклассического движения
Павел Полуян
Математическое псевдоевклидово пространство и физические размерности
Как известно, фундаментальным достижением релятивистской физики явилось объединение пространства и времени в 4-мерном псевдоевклидовом континууме Минковского. Скорость света С оказалась коэффициентом пропорциональности, связывающим координаты x и t в рамках некоторого линейного пространства, обладающего псевдоевклидовыми метрическими свойствами. Иными словами, было построено пространство, где по осям откладываются величины с размерностью длины (пространственного протяжения), но на одной из них эта размерность появляется за счет умножения временного периода на коэффициент iC.
Если рассматривать простейшее движение материальной точки вдоль прямой, псевдоевклидово пространство оказывается комплексной плоскостью, причем в качестве мнимой оси представлена ось времени t[с]. Можно подойти к этому построению формально, отвлекаясь от исторических аспектов формирования этих представлений, то есть поставить вопрос: если величины x[м] и t[с] связаны коэффициентом пропорциональности и могут быть представлены в качестве координатных осей единого пространства – это объективная предпосылка, то почему мы берем за основу псевдоевклидово пространство с размерностью длины? Ведь ничто не мешает нам использовать коэффициент пропорциональности для перевода размерности x[м] в размерность t[с] для того, чтобы построить комплексную плоскость, где мнимой осью станет ось x. С формальной точки зрения такое построение совершенно равноправно с традиционным, но его физическая интерпретация с первого взгляда не ясна.
Предположим, что мы построили соответствующую комплексную плоскость (здесь и далее рассматривается простейший случай двумерного псевдоевклидова пространства), где размерность по осям – время, а мнимой осью оказывается x с коэффициентом i·1/C[с/м]. Понятно, что возникнут здесь аналоги преобразований Лоренца, а величина 1/C окажется неким инвариантом одинаковым для всех «систем отсчета» – предельным значением, к которому будут при соответствующем законе сложения приближаться складываемые «обратные скорости». Значит ли это, что должна быть аналогичная скорости света предельная минимальная скорость? Такое предположение кажется довольно произвольным, а вводимая таким образом «скорость темноты» – выглядит экзотично. Однако, если мы не будем однозначно отождествлять размерность [с/м] с характеристикой поступательного перемещения, а просто признаем, что эта размерность соответствует некоей реальной константе, то вопрос разрешается элементарно. Если эмпирическая предельная скорость C реально существует и измеряется в [м/с], то должна существовать некая эмпирическая константа, измеряемая в [с/м]. Требуемая константа в физике известна – она образуется из соотношения e2
/h где e – заряд электрона, а h – постоянная Планка.
Подведем итог. Мы начинали с констатации бесспорного факта: между пространством и временем, величинами x и t существует пропорциональность, позволяющая в релятивистской теории построить псевдоевклидов континуум Минковского. Мы пришли к выводу, что с формальной точки зрения открываются два альтернативных варианта: в качестве мнимой может быть представлена ось t (размерность координатных осей [м]), или ось x (размерность координатных осей [с]). Последняя конструкция, математически равноправная с исходной, являясь также псевдоевклидовым пространством, в качестве коэффициента пропорциональности требует величины i·1/C с размерностью [с/м]. Эта «обратная скорость света» должна, следовательно, также найти свою репрезентацию среди физических эмпирических констант, что нетрудно сделать, отождествив ее с комбинацией e2
/h (e – это заряд электрона, h – постоянная Планка).
Отношение скорости света к данной комбинации эмпирических констант дает нам безразмерную величину, именуемую постоянной тонкой структуры. Ее величина округленно равна 137, и до сих пор не прекращаются попытки выразить это число через комбинацию математических констант «π» и «е». Теперь можно утверждать, что эти попытки не лишены оснований.
Принцип относительности и две формы представления движения
То, что чисто формальный математический подход позволяет здесь получить необычный физический результат, а безразмерная физическая константа – постоянная тонкой структуры – приобретает тут важный математический смысл, связано с нетривиальной математической проблемой. Речь идет о логической связи стандартного классического анализа и нестандартной модели анализа, с необходимостью расширения поля действительных чисел за счет введения гипердействительных чисел – актуально бесконечно малых и актуально бесконечно больших, для которых свойственно нарушение аксиомы Евдокса–Архимеда. Этому вопросу посвящены работы основателя нестандартного анализа Абрахама Робинсона. Он, в частности, писал: «Мы собираемся показать, что в настоящих рамках можно развить исчисление бесконечно малых и бесконечно больших величин. Это дает нам возможность заново сформулировать многие известные результаты теории функций на языке бесконечно малых так, как это было предсказано в неопределенной форме еще Лейбницем» [1, с.325]. И еще: «Нестандартное дифференциальное исчисление может конкурировать в простоте с самым ортодоксальным подходом» [1, с.340]. Об интегрировании: «Наше ограничение разбиениями на интервалы одинаковой длины слишком искусственно. Мы построим аппарат, который позволит нам рассмотреть более общие разбиения» [1, с.341]. Мы не будем касаться этой проблемы, а сосредоточимся на физической интерпретации полученного результата.
Инвариант C – скорость света – это не просто эмпирическая константа, а фундаментальная величина, входящая в важнейшие физические уравнения. Понятие скорости – это одно из основных физических представлений. А в нашем случае мы получили некую комбинацию констант, которая, хотя и имеет подходящую размерность – обратную скорости, но ее теоретическая значимость и связь с основополагающими понятиями физики пока не ясны. Тем не менее, оказывается, такую связь можно проследить.
Начнем с основополагающего для механики представления – с принципа относительности. Содержание принципа относительности изложить легко: абсолютного движения нет, то есть две точки могут двигаться только относительно друг друга. Если мы берем одну из них за точку отсчета, то полагаем ее покоящейся, а другая относительно нее оказывается двигающейся. Совершенно так же мы можем эту движущуюся принять за неподвижную точку отсчета и считать двигающейся другую. Представление о движении совершенно естественно и необходимо требует принципа относительности – ведь изменение расстояния между точками со временем происходит между ними.
Схематически принцип относительности поясняется на примере двух точек.
А―В
Принимаем одну за систему отсчета – вторая «движется относительно ее» и наоборот. Представим: в пустом пространстве находятся две точки (математически безразмерные), разделенные некоторым расстоянием. Теперь постараемся представить, что это расстояние изменяется... Но каким образом можно здесь зафиксировать «изменение»? Анри Пуанкаре однажды провел мысленный эксперимент – спросил: что было бы, если бы расстояния между всеми точками мира внезапно увеличились в два раза? И ответил: мир этого не заметил бы. Думаю, все понятно. Для того, чтобы можно было говорить об изменении расстояния между двумя точками, надо представить себе наличие еще одной точки C, которая относительно какой-либо из заданных неподвижна.
А←const→В―С
Неподвижна – то есть находится все время от нее на одном и том же расстоянии. Тут пока никаких сложностей нет: просто мы декларируем, что нам нужна не точка, а система отсчета с заданным эталоном длины. Но ведь мы начинали с двух точек, потом добавили третью и вроде как можем теперь говорить о движении, однако правомерно задать вопрос: как мы определим, что между точками А и В расстояние постоянно, а между А и С изменяется? Ведь с таким же успехом мы можем принять расстояние ВС за эталон, а прежний эталон считать изменяющимся!
А―В←const→С
В этих рассуждениях нет ничего нелогичного, наоборот, мы ввели третью точку и эталонное расстояние именно потому, что не могли определить изменение расстояния, но точно также мы не можем определить и неизменность его меры. Точнее можем определять его и так и так: то АВ берем за неизменный эталон и говорим, что точка С равномерно удаляется от А и от В, то берем за неизменность расстояние между В и С, тогда прежнее эталонное расстояние АВ должно полагаться изменяющимся.
Но ведь, если менять местами эталоны длины, получится странная картина. Мысленно представим, что «равномерно движущаяся» С как бы неподвижна и задает нам меру расстояния «=const», тогда «реально неподвижная» относительно этой меры будет двигаться неравномерно: В приближается к А все время замедляясь. В самом абсурдном варианте она ускоряется от нуля до бесконечности, потом «прилетает» из бесконечности с другой стороны и начинает опять замедляться до нуля – всю оставшуюся в запасе вечность.
Вышеописанный вывод кажется настолько «диким», что первое желание – отбросить его за ненадобностью. Проблема в том, что если мы в принципе относительности Галилея – Ньютона открываем для себя взаимоэквивалентность двух точек именно в процессе их мысленной замены, то почему в логически необходимой системе из трех точек вдруг должны отвергнуть взаимозамену совершенно такую же? Логические возможности возникают не для того, чтобы мы их просто отбрасывали, надо все-таки попытаться понять, что обнаруживается в этой странной ситуации. Может быть, все дело в неправильной интерпретации полученных результатов?
Во-первых, представляется значимым, что в «диком» варианте мы получили сразу представление о всех возможных скоростях. То есть, эта «взбесившаяся» точка начинает с какого-то минимального расстояния (равного заданному) потом пробегает все возможные значения скорости до бесконечности, затем прилетает «с другой стороны» замедляясь опять до нулевого (при условии, что мы начали с какого-то момента, а на весь цикл отпустили вечность, и, конечно, при том условии, что «реально двигающаяся» точка сближалась с точкой отсчета, а сблизившись – полетела дальше удаляясь).
Во-вторых, стандартный вариант, если внимательнее присмотреться, не очень-то прост. Если у нас задана только одна единственная равномерная постоянная скорость, то ее количественное выражение может быть двояким. Скорость – как отношение отрезка пути к заданной единичной мере времени [м/с], и совершенно эквивалентное отношение периода времени, затраченного для прохождения единичного отрезка расстояния [с/м].
Зададимся простым вопросом: почему в обычном понимании движения исключена альтернативная размерность, почему мы не выражаем скорость как количество секунд, затрачиваемых на прохождение единицы расстояния – ведь это отношение логически допустимо, а математически вполне индивидуально для каждой конкретной скорости?
Разве нас удивляет, что на стадионе спортивный результат судьи выражают не в численном значении скорости бегуна, а в количестве времени, затраченном на прохождение дистанции? Это ведь уникальный факт: движение измеряется не метрами за секунду, а временем, которое потребовалось для преодоления заданного расстояния! Тем не менее, в физике данная мера движения с размерностью [с/м] отвергается. Почему?
На этот «детский» вопрос можно дать вполне серьезный ответ. Множество всевозможных скоростей люди упорядочивают по принципу «медленнее-быстрее», и, сообразно этому, выстраивают по вектору «меньше-больше»: чем быстрее скорость, тем она численно больше, – большее количество метров преодолевается за единицу времени. Взяв же иную меру, мы столкнемся с обратным соотношением: большей быстрости вынуждены будем приписывать меньшее число, – чем быстрее движется материальная точка, тем меньшее количество секунд ей требуется для прохождения единичного расстояния.
Традиционный спектр скоростей начинается с нуля (покой) и количественно возрастает по мере увеличения-убыстрения скорости (в классической механике верхний предел скорости неограничен). «Самая быстрая», бесконечно большая скорость – это бесконечное количество метров за единицу времени. А вот с альтернативной размерностью [с/м] все выглядит точно наоборот: покой – это бесконечное количество секунд, затрачиваемых на «прохождение» единичного расстояния, так сказать, бесконечно большая медленность. Согласитесь, считать от бесконечности к нулю, по крайней мере, не удобно.
Может показаться, что наши рассуждения – мудрствования на пустом месте. Однако это не так. Достаточно сказать, что Готфрид Лейбниц при создании математического анализа неоднократно размышлял над этим вопросом. Он писал: «Покой может рассматриваться как бесконечно малая скорость или как бесконечно большая медленность» [2].
У Лейбница есть еще одно примечательное рассуждение: он отождествляет нулевую скорость движения по окружности с бесконечной скоростью, когда «каждая точка окружности должна всегда находиться в одном и том же месте» [3]. То есть логически отождествляются не только «0м/с» и «∞с/м» (соответственно «∞м/с» и «0с/м»), но также «0м/с» и «∞м/с» при циклическом движении. Это последнее отождествление открывает перед нами одну интересную возможность.
Почему не удобно отсчитывать увеличение скорости движения в мере [с/м]? Потому, что приписывая системе отсчета бесконечную медленность и вводя для движущейся точки некую единичную медленность 1[с/м], мы не получим равномерную шкалу величин, где можно арифметически складывать А[с/м]+В[с/м]=(А+В)[с/м]. То есть такое сложение будет противоречить нормальному представлению о том, как оцениваются скорости при переходе от одной системы отсчета к другой. Но дело коренным образом измениться, если мы воспользуемся, так сказать, «преобразованием Лейбница».
В самом деле, когда мы в классическом принципе относительности выявили необходимость введения третьей точки, задающей неизменную меру расстояния, именно эта третья точка и служила прообразом покоя – за любой период времени она «могла пройти» только нулевое расстояние. Если мы, вслед за Лейбницем, отождествим покой и бесконечную скорость циклического движения, то обнаружим удивительную вещь: приписав такой покоящейся точке бесконечную скорость, мы вместе с мерой длины вводим и меру круговой траектории, длина которой определяется мерой длины как радиусом. Тогда оказывается, что в мере медленности [с/м] эта скорость будет уже обладать не бесконечной, а нулевой медленностью: для обегания этого радиуса ей требуется ноль секунд. Теперь мы уже можем вести нормальное сложение медленностей, но единичной медленностью будет считаться 1 секунда, требуемая для обегания единичной круговой траектории. Соответственно, обегание этой траектории за 2 секунды дает другую величину скорости движения – более медленную и т.п. При этом относительность в таком круговом движении полностью сохраняется, а «медленности» можно складывать арифметически. Иными словами, теперь для величин медленности строится нормальная ось, где отсчет идет от нуля до бесконечности. Правда, к бесконечной медленности – к полному покою – двигаются не линейные перемещения по прямой, а скорости передвижения по единичной круговой траектории.
А теперь самое интересное. Если для такой величины как медленность также должен действовать неархимедов закон сложения, аналогичный релятивистскому сложению обычных скоростей, то до бесконечной медленности нам не добраться. Должна существовать верхняя грань – предел медленности, столь же недостижимый, как скорость света. Мерой этого предела будет, естественно, [с/м] – то есть величина обратная мере скорости. И если эмпирическая предельная скорость C реально существует и измеряется в [м/с], то должна существовать некая эмпирическая константа, измеряемая в [с/м]. Это и есть, введенная нами выше «обратная скорость света» – «скорость темноты» – а на самом деле константа e2
/h. Этот результат, в принципе, не удивителен. В самом деле, если переход от классической физики к релятивистской выразился в том, что роль бесконечности стала исполнять конкретная величина – скорость света C[м/с], то вполне логично, что должен теперь по иному пониматься и статус нижней границы – нуля. Мы просто обнаружили, что вместо нуля появилась некая величина с размерностью [с/м], столь же недостижимая, как и скорость света.
Математические абстракции и механическое движение
Можно задаться вопросом: значит ли все вышеизложенное, что для абстрактного линейного континуума существуют естественная метрика и реальный закон, упорядочивающий возрастание величины в области действительных чисел, располагающихся между недостижимыми точками «0» и «∞»? Я полагаю, что – да. Правда, для того чтобы это четко показать надо точно уяснить: что он из себя представляет – этот линейный континуум? Мы опять возвращаемся к математической проблеме о существовании гипердействительных чисел, нестандартному анализу и необходимости расширения поля действительных чисел.
Как уже отмечалось, релятивистский закон сложения обычных скоростей нарушает аксиому Евдокса–Архимеда, и хотя сам этот закон является следствием преобразований Лоренца для 4-х мерного псевдоэвклидового простраства-времени, нестандартный подход позволяет взглянуть на суть дела несколько по иному.
Ничто не мешает нам перевернуть отношение и сказать, что неархимедово сложение величин является первопричиной, а псевдоевклидово пространство – моделью, которая отражает это более фундаментальное отношение. Иными словами, для любой величины, изменяющейся по линейному закону от нуля до бесконечности, мы можем ввести мнимую дополнительную координатную ось и коэффициент перевода этой величины в ее мнимую меру. Тем самым будет задан закон преобразований, по которому линейное прибавление единичных величин будет осуществляться по неархимедовому закону сложения. Возникает вопрос: если скорость – это отношение расстояния и периода времени, то каким образом мы должны определять скорость изменения величины по отношению к самой себе?
В настоящий момент в теоретической физике обсуждается дискуссионная проблема о введении так называемого «пятого измерения», которое помещается в область микровеличин и играет роль только в этой области, «исчезая» для более глобальных масштабов. Такие попытки отражают фундаментальную теоретическую потребность, глубокую неудовлетворенность физиков конструктивными особенностями стандартных математических представлений.
Наиболее явно эту неудовлетворенность выразил Ричард Фейнман в курсе лекций «Характер физических законов». Он пишет: «Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны. Говоря это, я, конечно, всего лишь пробиваю брешь в общем здании физики, ничего не говоря о том, как ее заделать» [4].
Более того, расхождение между математическими понятиями и физическими представлениями давно уже зафиксировано самими математиками. Вот какое примечательное суждение высказано в известной книге Д.Гильберта и П.Бернайса: «На самом деле мы вовсе не обязаны считать, что математическое пространственно-временное представление о движении является физически осмысленным также и в случаях произвольно малых пространственных и временных интервалов. Более того, у нас имеются все основания предполагать, что, стремясь иметь дело с достаточно простыми понятиями, эта математическая модель экстраполирует факты, взятые из определенной области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который еще доступен нашему наблюдению... Подобно тому, как при неограниченном пространственном дроблении вода перестает быть водой, при неограниченном дроблении движения также возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение» [5].
Прошу прощения за столь обширное цитирование, оно понадобилось, чтобы проиллюстрировать основные предпосылки важной проблемы:
Существует принципиальное расхождение между современными физическими представлениями о движении и классическими понятиями анализа. Иными словами, классическая модель, где отождествляются механическая скорость и математическая производная, оказалась для неклассической физики недостаточной.
Возможно построение более общей «математической модели», которая будет описывать движение более адекватно и подойдет для описания микро-движения в масштабах «недоступного наблюдению порядка величин».
Однако – на самом деле – речь надо вести не о модели, и не о построении. Речь идет о том, чтобы внутри самой логики классической математики найти основания для дальнейшего развития теории. Как старался показать автор, в элементарных представлениях о механическом движении-перемещении такие основания уже обнаруживаются.
В упомянутой выше работе «Нестандартный анализ неклассического движения» автором предлагается общая модель т.н. движения с неопределенной скоростью, где прямая траектория оказывается частным, вырожденным случаем перемещения по фрактальной, «бесконечно изломанной линии». При этом ординарный линейный континуум временного порядка моделируется с помощью нового упорядоченного множества, которое именуется «ареальным». Названная работа может быть выслана всем желающим файлом в формате PDF объемом 2,3Мб (на русском и английском языках).
Список литературы
Введение в теорию моделей и мета-математику алгебры. М.: Наука, 1967.
ЛейбницГ.В. Сочинения в четырех томах. Т.1. М.: Мысль, с.205. См. также т.3, с.199.
ЛейбницГ.В. Сочинения в четырех томах. Т.3. М.: Мысль, с.290.
FeynmanR. The Character of Physical Law. Русский перевод: Р.Фейнман. Характер физических законов. М.: Мир, 1968, стр.184.
ГильбертД., БарнайсП. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979, с.41, первое издание – 1934г.
|
