В. Березин
Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом (в переводе с греческого слово это означает «устройство листа»).
Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.
Филлотаксис подсолнечника — одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в которой
Fn
= Fn–1
+ Fn–2
.
Неожиданная встреча с этой последовательностью состоится сейчас и у нас. Предположим, что α2
= 1 – α.
Выразим значения степеней α3
, α4
, α5
, ... через 1 = α0
и α:
| α3
= |
α·α2
= 2α – 1, |
| α4
= |
2 – 3α, |
| α5
= |
5α – 3, ... |
Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начиная с члена F1
? По-видимому, и для любого n можно записать формулу
αn
= (–1)n
(Fn–1
– Fn
α),
где Fn–1
и Fn
— члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:
| αn+1
= αn
·α |
= (–1)n
(Fn–1
α – Fn
α2
) = (–1)n
(Fn–1
α – Fn
(1 – α)) = |
| = (–1)n
(–Fn
+ (Fn–1
+ Fn
)α) = (–1)n+1
(Fn
– Fn+1
α). |
У уравнения α2
= 1 – α два корня — положительный α = (√5 – 1)/2 и отрицательный α = –(√5 + 1)/2. Как мы убедились,
| |
(–1)n
α1
n
= Fn–1
– Fn
α1
, |
| |
| |
(–1)n
α2
n
= Fn–1
– Fn
α2
. |
Решая эту систему относительно Fn
, получаем, что
| Fn
= |
1
√5
|
( |
1 + √5
2
|
) |
n
|
– |
( |
1 – √5
2
|
) |
n
|
. |
И этот результат довольно неожидан — последовательность целочисленная, а общий её член выражается через квадратные радикалы.
Следующую неожиданность получим, если вычислим
Это знаменитое «золотое сечение» (о нём см., например, «Квант», 1973, №8, с.22 и далее). Прямоугольный предмет с таким отношением сторон наиболее приятен для глаза.
Существует много формул, связывающих между собой члены последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:
| n |
n |
| Fn+2
= 1 + |
∑ |
Fk
, F2n
= |
∑ |
F2k–1
, |
| k=1 |
k=1 |
| n |
2n–1 |
| F2n+1
= 1 + |
∑ |
F2k
, F2n–2
= –1 + |
∑ |
(–1)k–1
Fk
, |
| k=1 |
k=1 |
| 2n–1 |
| F |
2
2n
|
= |
∑ |
Fk
Fk+1
, F2n–1
= F |
2
n
|
+ F |
2
n–1
|
. |
| k=1 |
Выкладывание этой скромной по размеру статьи преследует несколько целей. Во-первых, «всякое может быть». Возможно, эту публикацию увидит школьник, впервые услышавший о числах Фибоначчи и желающий узнать о них побольше. Он сможет здесь найти названия книг для дальнейшего чтения. Во-вторых, данная статья упоминалась в другой, уже выложенной статье о сопряжённых числах, и я постарался (в меру сил), чтобы тем, кто добрался до тамошнего списка дополнительной литературы, не пришлось далеко ходить. :) И наконец, главное: этот файл содержит линк на видеоролик, в котором рассказывается и про подсолнух, и про прямоугольник, «приятный глазу», и про золотое сечение. В общем, почти видеоверсия данной статьи. А то, что закадровый комментарий на английском, так это и неплохо — лишний повод поупражняться в языке.
|
