| МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники (ТУСУР)
Кафедра Экономики
Контрольная работа
по дисциплине “Математические модели в Экономике ”
Вариант №18
Выполнил:
Студент гр. з822
________ Васенин П.К.
Проверила:
________ Сидоренко М.Г.
г. Томск 2003
Задание №1
1. Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x как функция
 . Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.
Решение:
Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X*
Определим прибыль 
Воспользуемся соотношением  - т.е. частные производные приравняем к нулю, найдём оптимальное количество вложенного труда
Задание №2
2. Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения S=100+3p от цены. Найдите равновесную
цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
Решение:
Равновесная цена находится путём приравиевания спроса и предложения, т.е. 200-2p=100+3p; p*=20 – равновесная цена.
Найдём прибыль при равновесной цене:
Найдём цену, определяющую максимум выручки:
При p*(200-2p) максимум достигается в точке p’=50 (определили через производную)
W (50)=50*(200-2*50)=5000
Таким образом, максимальная выручка W(p’)=5000 достигается не при равновесной цене.
Задание №3
3. Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры)  .
Решение:
1- способ.
Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В матрице седловой точки нет.
 Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения:
Найдём средний выигрыш за партию Первого – это математическое ожидание случайной величины W(x,y):
Оптимальные стратегии игроков:
2 – способ.
Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей оптимальные смешанные для 1 и 2 игроков и цена игры получаются из решения уравнений:
Откуда, Оптимальные стратегии игроков:
Задание №4
4. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат  и вектор конечной продукции  . Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невыраженных матриц и приближённо), заполнить схему межотраслевого баланса.
Решение:
I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближённо, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
Матрица косвенных затрат первого порядка:
Матрица косвенных затрат второго порядка:
Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо):
II. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невыраженных матриц:
a) Находим матрицу (E-A):
b) Вычисляем определитель этой матрицы:
c) Транспонируем матрицу (E-A):
d) Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)’:
Таким образом:
e) Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
Таким образом, расчёты первым и вторым способом получились разные – это произошло из-за того, что второй способ наиболее точен (рассчитан по точным формулам), а первый способ рассчитан приближённо, без учёта косвенных затрат выше второго порядка.
Для заполнения межотраслевого баланса необходимо найти величину валовой продукции:
Схема межотраслевого баланса
| Производящие
отрасли
|
Потребляющие отрасли
|
| 1
|
2
|
3
|
Конечная продукция
|
Валовая продукция
|
| 1
2
3
|
2574,67
1839,05
0
|
464,32
232,16
232,16
|
0
0
3328,64
|
640
250
600
|
3678,
1
2321,6
4160,8
|
| Условно чистая продукция
|
-735,62
|
1392,96
|
832,16
|
1490
|
|
| Валовая продукция
|
3678,
1
|
2321
,6
|
4160,8
|
|
10160,5
|
Задание №5
5. Проверить ряд  на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящеё средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (а=0,1), представить результаты графически, определить для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперёд.
Решение:
a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит для выявления аномальных уровней, т.е. – это отдельное значение временного ряда которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве значения уровня ряда, оказывает существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, и на трендовую модель.
Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой:
 Расчётные значения:
| t
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
| 
|
-
|
1,06
|
0,53
|
1,06
|
0,53
|
0,53
|
0,53
|
0,53
|
1,06
|
0,53
|
Необходимо, расчётные значения сравнить с табличными критерия Ирвина  , и если окажется, что расчётное больше табличного, то соответствующее значение  уровня ряда считается аномальным.
Табличные значения для уровня значимости a
=0,05, т.е. с 5% ошибкой:
| n
|
2
|
3
|
10
|
20
|
30
|
50
|
100
|
| 
|
2,8
|
2,3
|
1,5
|
1,3
|
1,2
|
1,1
|
1
|
Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных уровней нет, т.е.  .
b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:
| t
|
|
Метод простой скользящей средней, 
|
| 1
|
53
|
--
|
| 2
|
51
|
--
|
| 3
|
52
|
52
|
| 4
|
54
|
52,3
|
| 5
|
55
|
53,6
|
| 6
|
56
|
55
|
| 7
|
55
|
55,3
|
| 8
|
54
|
55
|
| 9
|
56
|
55
|
| 10
|
57
|
55,6
|
c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 – параметр сглаживания:
| t
|
|
Экспоненциальный метод, 
|
| 1
|
53
|
52,1
|
| 2
|
51
|
51,99
|
| 3
|
52
|
51,99
|
| 4
|
54
|
52,19
|
| 5
|
55
|
52,47
|
| 6
|
56
|
52,82
|
| 7
|
55
|
53,04
|
| 8
|
54
|
53,14
|
| 9
|
56
|
53,42
|
| 10
|
57
|
53,78
|
d) Представим результаты графически:
e) Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель):
Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо выполнение следующих условий:
a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:
Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно выполняться:
| t
|
Фактическое 
|
Расчётное 
|
Отклонение 
|
Точки пиков
|
| 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
53
51
52
54
55
56
55
54
56
57
|
51,97
52,49
53
53,52
54,03
54,55
55,06
55,58
56,09
56,61
|
1,03
-1,49
-1
0,48
0,97
1,45
-0,06
-1,58
-0,09
0,39
|
--
1
0
0
0
1
0
1
0
--
|
| 55
|
543
|
542,9
|
0,1
|
3
|
b) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения:
Необходимые условия:
Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере распределения случайной компоненты принимается, если выполняется хотя бы одно из следующих неравенств:
то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель признаётся неадекватной.
1)
2)
Таким образом, одно из неравенств не выполняется, трендовая модель неадекватна, значит, дальнейшее исследование не имеет смысла.
Задание №6
6. Пункт по приёму квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад. Интенсивность потока  , производительность пункта  . Определить вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную способности, среднее число занятых бригад.
Решение:
Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время использования одной заявки)
a) Вероятность того, что оба канала свободны:
b) Вероятность того, что один канала занят:
c) Вероятность того, что оба канала заняты:
d) Вероятность отказа в заявке:
e) Относительная пропускная способность:
f) Абсолютная пропускная способность:
g) Среднее число занятых бригад:
|
