Реферат: Шпоры к Экзамену

1 Понятие о равновесии. Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и внутренние (в-2.,3.)

Внешние нагрузки:

Р –сосредоточ (а<< h)

q – интенсивность

распределенной нагрузки. Равнодействующая = q*a (площадь эпюры q) Преложена равн-щая в центре тяжести эпюры.

М – пара сил (сосредоточенный момент)

Внутренние силы – это силы взаим-ия м/д отдельными эл-ми конструкции, возник-ие под действием внеш сил т.о. если F_внеш отсутствует, то F_внут = 0.

R- главный вектор M_R гл векторный момент.

N_я - продольная сила (раст\сжат)

Q_{x или у} поперечная (сдвиг\срез)

М_{к ( z )} крутящий момент (кручение)

М_{из (х или у)} изгуб-щий момент (изгиб

чистыйМ_и ≠0 поперечный М_и ≠0 Q≠0

2 Аксиомы статики. Связи, реакции связей.

1Если на свободное абс. Твёрдое тело действует 2 силы, то тело может нах-ся в равновесии если эти 2 силы= и направлены по 1 прямой в противопол-е стороны. |P₁ |=|P₂ |

Равнов-е – это состояние

покоя или равномерного

движ-я по отношению к

др. телам.

2.Действие данной системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Две системы сил отличающ-ся на уравнов-ую систему наз-ся эквивалентными.

3.Равнодействующая 2 сил,

сходящихся в 1-ой точке,

изображается диагональю

параллелограмма, построенного на этих силах.

4.III з-н Ньютона: Всякое действие одного тела на др вызывает такое же по вел-не, но противопп-е по направлению противодействие.

5.Любое не свободное тело можно рассматр-ть как своб-ое, если мысленно отбросить связи и заменить их реакциями. (Р-ция связи – это усилие, с которым опора препятствует перемещению тела в опред. направлении. Р-я всегда противоп-на внешним воздействиям.

6.Принцып отвердения: Равновесие деф-ого тела, наход-ся под действием системы сил, не нарушается, если считать тело абсолютно твёрдым. Все ур-я равновесия в статике будем применять к свободному телу поэтому кроме заданных внеш сил необходимо опр и прилож к нему р-ции связи.

Связи:

1)Свободное опирание тела на связь

2)Гибкие связи – это нити,

цепи, тросы, работают на

растяж-е р-ции напр вдоль нити

3)Жесткие стержни,

работают на растяж\сжа

р-ции напр вдоль стержн

4)Шарнирно-подвижная опора(1р-ция)

5)Шарн-неподвиж опора (2 реакции)

6)Жёсткая заделка (3 реакции)

3 Система сходящихся сил. Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

Система сходящихся сил

(2 или более сил, сход в

1 точке) может быть заменена 1-й силой, которая наз-ся равнодействующей ‾R∑(‾P_i ). Урав-новешивающая сила R’= по модулю равнодействующей, но напр по той же прямой в противоположную сторону.|R’|=|R|

опред равнодействующей:

1)Графическое суммирование

2) Аналитическое R_y =∑(P_i )=P₁ sin(a)+P₂ sin90+P_n sin(b)- алгебр сумма проекций на осьОУ. R_z =∑(P_i )=P₁ cos(a)+P₂ cos90+P_n cos(b)- алгебр сумма проекций на осьОZ. R=√R_y ² +R_z ²

Любую систему сил произвольно располож в плоскости можно заменить 1-й силой R прилож-й в произвольном центре приведения О и 1-м моментом М_о . R-гл вектор = векторной сумме сил, вход-х в систему или его проекций.М_о - гл момент и = алгеб суммемоментов всех сил системы, взятых относительно центра приведения иалгеб сумме пар сил, действующих на тело.

М_о =m_o (P₁ )- m_o (P₂ )+M₁ -M₂

Условие равновесия плоской системы сход-ся сил: необходимо и дост-но, чтобы равнодействующая системыR=0

а)при граф-ом суммировании силовой многоугольник должен быть замкнут.

б)при аналитическом R_y иR_z должны=0.

Условие равновесия: R=0 (∑(P_i )_z =0, ∑(P_i )_y =0); M_o =0 (∑m_o (P_i )+∑M_i =0)

4 Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной плоскости. (в-3)

Пара сил – это 2 силы = по вел-не, параллельные и против-но направ-ные, не леж-щие на1-ой прямой.(при этом равнод-щая R=0). М=Р*h,h-плечо М хар-ся вел-ой и направл вращения.

Св-ва пар сил:

Две пары сил статистически эквивал-

ны(оказывают на плечо одинак действие), если их моменты =

М₁ =М₂ если P₁ *h₁ =P₂ *h₂

5 Пару сил можно переносить в плоскости её действия в любое

6

1)Чистый изгиб М_изг ≠0, Q=0,N=0,M_к =0

2)Поперечный М_изг ≠0, Q≠0,N=0,M_к =0

По расположению силовой плос-ти:

1)Прямой или плоскийили простой – это когда силов плос-ть прох-т ч/з одну из главных центр-х осей попер-ого сечения балки. Центр-е оси прох-т ч/з центр тяж-ти, главные оси- оси симметр-ии или оси относ-но которых осевые моменты инерции J_x J_y имеют экстремальные знач-я J_x =∫y² dF (поF) J_y =∫x² dF (по F)

2)Косой изгиб- сложная деф-я. Деф-ции не лежат в силовой плоскости

Внутр усилия опр-ся с помощью метода сечений. Внут ус-я должны уравновеш-ть внеш воздействия.

Q=∑(P_i )_y М_и =∑m_o (P_i )+ ∑M_i

Q-попереч сила в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме проекций всех внеш сил действ-х на левую или правую часть балки. Q=f(q,P) M-не влияет на Q

Правило знаков:

М_и -изгиб-й момент в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме моментов внеш сил взятых относит-но центра тяжести сечения и сумме сосредоточенных моментов действующих по 1-у стороны от сеч-я. М_и =f(q,P,M) Q и М_и -могут быть с разными знаками. Правило знаков:

Постр-е эпюр Q и Ми:

1)Из условия равновесия балки опр реа-ии опор которые явл такие же как и внеш нагрузки (для консоли р-ии можно не опр-ть, часть с заделкой отбрасывают).

2)Балка разбив-ся на отдельные уч-ки в пределах которых з-н изменения Q и Ми одинаковый. (Границы берутся в точках прилож-я Р, М и в начале и конце q)

3)Сост-ся аналитич-ие выр-я для Q и Ми для каждого из уч-ков.

4)По получ-м выр-ям вычисл-ся ординаты эпюр на границах уч-ов

5)Если есть точки где Q=0 то опр-ся местный экстремум.

При движ-ии слева направо:

1)На уч-ах балки где Q>0 Ми-возрас-т

Где Q<0 Ми-убывает

2)Чем больше по абсол-й вел-не знач-е Q тем круче круче линия огранич-ая

эпюру Ми. |Q|↑ то крут-на Ми↑

если Q_i >Q_j M_{и i} >М_{и j} α_i >α_j

3)На уч-ах балки на которых Q=const эпюра Ми- прямая

4)В сеч-ях где Q=0 Ми- достигает экстремального знач-я.

27 Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование для проверки правильности эпюр.

Q_I =R_a +P-q*z

М_{и I} =R_a *z+P*(z-a)-q*z² /2+M

Q_II =R_a +P-q*(z+dz)

М_{и II} =R_a *(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)² /2+M

Q_II -Q_I =dQ

dQ=q*dz

q = dQ / dz

Производная от поперечной силы по абсциссе сеч-я балки z(dQ)= интенсивности распред-ой нагрузки q.

М_{и II} -М_{и I} =dМ_и = R_a *(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)² /2+M- R_a *z-P*(z-a)+q*z² /2-

-M= R_a *dz+P*dz-q*z*dz-(q*d² z)/2

(q*d² z)/2→0 dМ_и = (R_a +P-q*z)*dz= =Q_I *dz Q=d М_и /dz

Производная от изгибающего момента Ми по абсциссе сечения балки = поперечной силе Q

28 Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные формы поперечных сечений балок.

Ми≠0(чист из-б)

у-расст-е от

нейтрального слоя

до другого.

Справедлива гипотеза плоских сеч-й.

Продольные линии при чистом из-бе искривл-ся по дугам окруж-ти при этом волокна лежащие на оси балки не меняют своей длины.

a'b’-удлинились

c’d’=cd

e’f ‘-укоротились

ρ-радиус изгиба

О-центр тяж-ти.

Совокупность волокон не меняющих своей длины при изгибе наз-ся нейтральным слоем. Нейтр слой-цилиндр поверхность с радиусом ρ. Линия перес-я нейтр слоя с плоскостью попереч сеч-я наз-ся нейтр-ой осью. Линия перес-я силовой плоскости с плос-ю попер-ого сеч-я наз-ся силовой линией и проходит ч/з центр тяж-ти попер-ого сеч-я.

ε(относ удлин-е аb) =Δab/ab=bb’/cd

ac=y ε=(y*dθ)/(ρ*dθ)=y/ρ ρ=const

т.к. γ=0, то τ=0 т.к.ε≠0 σ≠0

ε=σ/Е σ =Е*ε=Е*у/ρ

Предполагая что средние волокна не давят друг на др можно сказать что каждое волокно испытывает одноосное растяж/сжатие. Относит продольная деф-я ε и продольные напряж-я σпри чистом изгибе измен-ся по высоте попереч сечения балки прямо пропорционально расстоянию у от нейтр оси.

Сила действ-ая

на элемен-ую

площадку σ*dF

1)∑(P_i )_x =0 тожд-

2)∑(P_i )_y =0 ва

3)∑m_z (P_i )=0 0=0

положение, а также можно переносить в плоскость || плоскости её действия.Результат действия на тело этой пары сил при этом не изменится.

Сложение пар сил, леж в одной плоскости: равнодействующий момент = алгебр сумме моментов.

М=∑М_i . Условие равновесия системы пар сил: необх и дост-но чтобы алгеб сумма всих моментов =0. М_R =∑М_i =0

Момент силы относ

точки= m_o (P_i )=|P|*h

Следствия: 1)момент

силы относ любой точки, располож-ой на линии действия силы =0

m_o (P_i )=|P|*h т.к. h=0 <= m_o (P_i )=|P|*h=0

2)Алге сумма моментов сил образующ

пару, относ-но произвольной точки, лежащей в плоскости пары, величина постоянная, равная моменту пары сил.

P=P’

∑m_o (P_i )=|P|*ОА–Р’*OB=P*(OA-OB)=

P*AB=P*h => m_o =M

5 Теорема о параллельном переносе силы на плоскости. Приведение сил к данному центру. (в-3, 4)

Силу Р можно ||

переместить в

любую точку О,

добавив при этом

момент присо-единённой пары сил = моменту данной силы относительно точки приведения О. М_пр = Р*h.

6Условия равновесия произвольной плоской системы сил. (в-3)

7.Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений. (в-1)

1Материал конструкции однородный и сплошной т.е. его св-ва не зависят от формы и размеров тела и одинак во всех его точках.

2.Мат-л конс-ии изотропен,т.е.его св-ва по всем направлениям одинаковы. (99% мат-ов)

3.Мат-л обладает св-вом идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанав-ть первонач-ю форму и размеры после снятия внеш нагрузок(это справедливо для напр-ий не превыш-их предел упругости).

4.З-н Гука: дефор-ция мат-ла конструк прямо пропорциональна напряжениям

ε = σ / Е γ = τ / G

E-модуль Юнга(модуль упр 1-го рода) G-модуль упругости 2-го рода. (З-н Гука справедлив до предела пропорциональности)

5.Деф-ции констр малы и не влияют на взаимное расположение нагрузок.

6.Принцип независимости действия сил (принцип наложения): результат воздействия на конструкцию системы нагрузок= сумме результатов возд от каждой нагрузки в отдельности

δ = δ^Р + δ^М + δ^q (справедлив если выполняются 4и5 предпосылки).

7.Гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сеч-я бруса, плоские до приложения, остаются плоскими и после прилож-я нагрузки(справедлив для всех видов деф-ции).

8.Принцип Сен-Венана: если не интересоваться местными деф-ми (в малой части объёма тела), то нагрузку, прилож-ю к малой части объёма тела можно заменить статистически ей эквивалентной или равнодействующей

если а<<L то:

Метод сечений: в интересующем нас месте рассекаем брус; отбрасываем одну из частей бруса(лучше ту, где больше внеш сил); взаимодейс-е частей бруса друг на друга заменяем внутр усилиями, которые уравновешивают внешниесилы.

Σ(Р_i )_z =0

8 Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях.

Напр-ем наз-ся внутр сила, приходя-щаяся на ед-цу площади рассматриваемого сеч-я. Р_{среднее} =ΔR/ΔF

P_{истинное} = lim ΔR/ΔF(приΔF→0) [H/м² =Па]

σ_z – (нормальное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я перпендикулярная плоскости сеч-я.

τ_{( zx или zy )} - (касательное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я, лежащая в плоскости сечения.

Плоская задача

Р=√σ² +τ²

N=f(σ)→σ_max <=[ σ]

Q=f(τ)→τ_max <=[ τ] условия

M_к =f(τ)→ τ_max <=[ τ] прочности

M_и =f(σ)→ σ_max <=[ σ]

Деф-ции:

1.линейные а)абсолютные Δl=l₁ -l Δh=h₁ -h[м,см] З-н Гука в абсол вел-х:

Δl=N*l/(E*F) –раст\сжатие

φ = М_к *l /(G*J_p ) – кручение

k= 1/ρ= M_из /(E*J_x ) – изгиб

ΔS= Q*a / (G*F) – сдвиг\срез

В этих 4-х формулах знаменатель= жесткость сечения бруса.

б) относительные ε=Δl/l ε=Δh/h ε=σ/E (E- модуль Юнга)

2.угловые деф-ции γ (угол сдви-га)=α+β, γ=τ/G(G-модуль упр 2 рода)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины. Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_{i - I} =Σ(Δl_i )

условие жесткости: δ_max <= [δ]

9 Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.

Центральным р\с наз-ся деф-ция при которой в поперечных сечениях бруса возникает только 1-но внут усилие- продольная сила N. Оно вызыв-ся силами действ-ми вдоль оси бруса.

Напряж-е τ =0 γ= 0 σ ≠ 0 = const

σ_i =N_i /F_i <=[σ_c ],[σ_p ]- условие проч-ти.

Деф-ция: ε = σ / Е - з-н Гука Δl/l=N/(F*E) Δl=N*l/(F*E)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины.

Попереч деф-я:

ε'= - μ*ε ε’-относ

попер деф-я, μ- коэф

Пуассона, ε – относ

Продольная деф-я.

μ хар-ет способность

мат-ла к попер деф-м.

Δ b=ε’ * b

Перемещение (δ) относится к сечению

4)∑(P_i )_z =0 ∫σdF (поF)=E/ρ∫ydF(поF)=0 ∫ydF- обознач-ся S_x и наз-ся статисти-ческий момент сечения относ-но оси х

S_x =y_ц.т. *F т.к.Е/ρ≠0, то S_x =0 Ось х прох-т ч/з центр тяж-ти.

5)∑m_y (P_i )=0 x- плечо σ*dF- сила ∫x*σdF=E/ρ∫xydF ∫xydF= J_xy наз-ся центробежным моментом инерции сеч-я относ-но х и у. Если он=0 то оси х и у явл-ся главными осями сеч-я.

6)∑m_x (P_i )=0 ∫yσdF=М_и Е/ρ∫у² dF=М_и ∫у² dF=J_x - наз-ся осевым моментом инерции сеч-я относ-но оси х

Е/ρ*J_x =М_и 1/ρ=М_и /(Е*J_x ) – кривизна нейтр-ого слоя.

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_и /(Е*J_x )= у*М_и /*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Наиб эконом формы попер сеч балок:

1)Надо выбирать балки у котор большая часть мат-ла удалена от центра тяж-ти. Выгодно:

2)Расположение балки делают таким чтобы J_x =max

3)Выбор формы сеч-я зависит от мат-ла. Для пластич мат-ла лучше использ-ть балки с симметр сеч-ми относит-но нейтр оси у которых σ_{max p ас} =σ_{max сж}

для хрупк ассиметр сеч-я при этом сеч-я располагают так чтобы

σ_{max pас} <=σ_{max сж}

т.к. [σ_сж ]=(3-5)*[σ_рас ]

29 Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.

Усл проч-ти для симметр сеч-й относ-но оси х:

σ_{max p ас} =σ_{max сж} =М_и *0.5*h/J_x =М_и /W_x W_x =J_x /y –наз-ся осевым моментом сопр-я при изгибе.

1)пластич мат-л: σ_max =М_и /W_x <=[σ]

2)хруп мат-л: σ_max =М_и /W_x <=[σ_рас ]

Ассиметричные сеч-я:

σ_{max рас} =М_и *y_{max рас} /J_x <=[σ_рас ]

σ_{max сж} =М_и *y_{max сж} /J_x <=[σ_сж ]

30 Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе.

А_внеш =М₁ *θ₁ /2 dA_внут = - М_и *dθ/2

ρ – радиус крив-ны k –кривизна

dz=ρ*dθ

dθ=dz/ρ

k=1/ρ=М_и /(Е*J_x )

dθ= М_и *dz/(Е*J_x ) dA= - М_и ² *dz/(2*Е*J_x ) U= -A_внут =

= -∫-М_и ² *dz/(2*Е*J_x )=∫М_и ² *dz/(2*Е*J_x ) (от0 до L). – для попер изг-а М_и ≠const.

Для чистого изгиба: М_и =const

U= М_и ² *L/(2*Е*J_x )

31 Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные.

Поперечный М_изг ≠0, Q≠0,N=0,M_к =0

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_и /(Е*J_x )= у*М_и /*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Касат напряж в произвольной точке попер сеч-я: τ_zy =τ=Q_y *S_x /(J_x b_y )

Q_y -попер сила в рассматр сеч-и S_x -статистич момент относит-но нейтр-ой оси той части сеч-я, которая распол-на по одну сторону прямой, провед-ой ч/з данную точку J_x - момент инерции всего сеч-я относит-но нейтр оси b_y -ширина попер сечения на уровне рассматриваемой точки.

32 Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование.

Перемещения: у- прогиб – это перемещ-е точек оси балки по нормали её недеформированной оси.

max прогиб-это стрела прогиба. Условие жесткости: у_max <=[y]

[y]=(0.01-0.001)*L

θ_A -угол поворота попер сеч-я балки, буде считать его = углу наклона касательной к оси z т.е. углу поворота оси балки. y=f(z) θ_A =tg θ_A при α<<

θ_A =dy/dz=y’ Условие жесткости: θ_max <=[θ] [θ]=(0.5-1)*град.

Изогнутая ось балки y=f(z) наз-ся упругой линией балки. Расчёт балки на жест-ть позволяет опр-ть размеры попереч сечения при которых перемещ-е не превышает установленные нормами пределы.

Правило знаков: y>0-перемещ вверх θ>0- поворот сеч-я против часовой стрелки.

Из матем-ки: k=1/ρ =y’’/(1+(y’)² )^3/2

Из сопромата: k=1/ρ =M_и /(ЕJ_x )

Точное диф ур-е:

y’’/(1+(y’)² )^3/2 = M_и /(ЕJ_x )

y’=θ→min т.к.y’-мал,то (y’)² -пренебре-

гаем. Получаем: y’’= M_и /(ЕJ_x )

M_и = y’’ЕJ_x - основное диф ур-е упругой линии балки.

y'’=d² y/dz² =dy’/dz

аналитическое решение: M_и = y’’ЕJ_x ЕJ_x =const ЕJ_x d(y’)=M_и dz

ЕJ_x y’= ∫M_и dz+C y’=θ=(∫M_и dz+C)/( ЕJ_x )

ЕJ_x dy/dz= ∫M_и dz+C

ЕJ_x dy= dz(∫M_и dz+C)

ЕJ_x = ∫dz∫M_и dz+C*z+D

C и D- произвольные const их опр-ют из условия операния балки.

y_A =0 θ_A =0

y_A =0 y_B =0

33 Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок.

Для данного

напавления

все знаки +

1) ЕJ_x θ= ЕJ_x θ₀ +∑M(z-a)+(∑P(z-b)² )/2+ +(∑q(z-c)³ )/6+…

2) ЕJ_x y= ЕJ_x y₀ + ЕJ_x θ₀ z+(∑M(z-a)² )/2+ +(∑P(z-b)³ )/6+ +(∑q(z-c)⁴ )/24+…

1)справедливы для балок с постоян жёсткостью ЕJ_x =const 2)Необходимо иметь только расчётную схему 3)Если q имеет разрыв непрерывности до сечения т.е.

то берутся дополнит слогаемые в 1-е: -(∑q(z-d)³ )/6, во 2-е: -(∑q(z-d)⁴ )/24

∑-алгеб сумма 4) y₀ и θ₀ опред-ся из условия операния балки.

34 Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения.

Объёмная деформация. ( В-12)

Объёмное или 3-х осное напяж сост

σ₁ ≠0

σ₂ ≠0

σ₃ ≠0

Объем деф-я х-ся изменением объёма

υ=(V₁ -V₀ )/V₀ υ-относит изменение объёмаV₁ -объем после деф-ииV₀ -до

деф-ии

бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_{i - I} =Σ(Δl_i )

условие жесткости: δ_max <= [δ]

E- модуль Юнга- модуль упругости 1-го рода (модуль продольной упр-ти) Е_стали =2*10⁵ МПа.

10 Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии.

Элементарная dА_внеш =P*dδ P=f(δ) Δl=δ=P*l/(E*F) P=E*F*δ/l dA=(E*F*δ/l)*dδ A_внеш =

Работа внеш сил выражается площадью диаграммы построенной в коор-х Р*δ и равна половине произведения окончательной силы Р и перемещения δ.

dA_внут = - N*Δ(dz)/2

Δ(dz)=N*dz/(E*F)

dA_внут = -N² *dz/(2*E*F)

A_внут =-N² *dz/(2*E*F)

A_внут = -N² *l/(2*E*F)

Потен эн-я деф-ии наз-ся вел-на = работе внутр сил взятых с противопол знаком:

U= - A_внут =N² *l/(2*E*F), U=N² *dz/(2*E*F) A_внут = -А_внеш , U=A_внеш

11 Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.

Разбиваем брус на уч-ки границы кот-х нах-ся в точках прилож-я сосред-х сил

0<=z₁ <=a a<=z₂ <= a+b

Для каждого из уч-ов опр-ем вел-ну продольной силы N (в пределах уч-ка N=const) N₁ =P₁ N₂ = - P₂ +P₁ строим эпюру прод сил.

Для каждого из уч-ов опр-ем напряж-е: σ_i =N_i /F_i

Для кажд уч-ка опр-ем абсол деф-ю:

Δl_i =N_i *l/(E*F_i ) и опр-ем перемещ-я (Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_{i - i} =Σ(Δl_i )

12 Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.

Напряж-е сост-е в точке хар-ся совокупностью напряж-й возникающ-х на бесконеч-ом множестве произ-но ориентированных площадок произ-но проведённых ч/з эту точку. Напряже сост хар-тся 9 компонентами σ_x σ_y σ_z τ_xy τ_xz τ_yx τ_yz τ_zx τ_zy

Главные площ-ки τ=0 х-ся 3 комп-ми: σ₁ >σ₂ >σ₃ (в алгебр смысле). Направлении┴ глав площ наз-ся глав-

ми напр-ми Деф-ии┴ глав площ наз-ся глав-ми деф-ми

Линейное или одноосное напр сост:

σ_3или1 ≠0,

σ₂ =σ_1или3 =0

F_α =F/ cosα

1) ∑(Р_i )_{площадка} =0 σ_α *F_α –σ₁ *F*cosα=0

σ_α * F/ cosα –σ₁ *F*cosα=0

σ_α =σ₁ *cos² α

2) ∑(Р_i )_{площадка} =0 τ_α *F_α –σ₁ *F*cosα=0

τ_α * F/ cosα –σ₁ *F*cosα=0

τ_α =σ₁ *cos α * sin α = 0.5* σ₁ * sin 2α

τ_max |_{α =45} = σ₁ /2 τ_min | _{α =0, α =90} = 0

σ_{α +π/2} =σ₁ *cos² (α+π/2)=

=σ₁ *sin² α т.о.

σ_α + σ_{α +π/2} = σ₁ *cos² α +

+ σ₁ *sin² α = σ₁

т.о. сумма на 2-х взаимоперпендикуля

площ-ах = σ₁

τ_{α+ π /2} =0.5*σ₁ *sin2(α+π/2)=0.5*σ₁ sin(2α+ +π)= - 0.5*σ₁ sin(2α)

τ_α + τ_{α+ π /2} =0.5*σ₁ sin(2α)- 0.5*σ₁ sin(2α)=0

З-н парности кас напряж: на 2-х взаимоперпендик площ-х действуют = по вел-не и обратные по знаку касательные напр-я (τ).

τ_xy = - τ_yx

τ_zy = - τ_yz

τ_xz = - τ_zx

13 Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона. (в –9)

14 Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности.

N=f(σ)→ σ_i =N_i /F_i <=[σ]–для пластично

σ_ic <=[ σ_с ] σ_{i р} <=[ σ_р ] –для хрупкого

15 Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики.

16 Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.

17 Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности.

Т.к. детали и сооруж-я должны безопасно работать и при неблагоприят условиях, то напряж-я должны быть ниже тех предельных напряж-й при которых может произойти разрушения или возник-ть пластич дефор-ции. Т.о.

[σ]= σ_u /n [σ]-допускаемое напяж-е

σ_u - предельное напяж-е материала

n – нормативный коэф запаса прочности (коэф безопасности). Коэф запаса проч-ти вводится для того чтобы обеспечить безопасную, надёж работу сооружений и отдельных его частей. Вопрос о “n” решается с учётом имеющегося опыта эксплуатц.

18 Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации.

Чистый сдвиг – напряж сост-е если на гранях эл-та действует только τ. Площ-ки на которых действует только τ наз-ся площ-ми чист сдвига. Q≠0 (Q_x или Q_y ) Q=f(τ). Практические деф-ции сдвига/среза возник-ет когда брус нагружен 2-мя равными силами действующие на малом раст-ии друг от друга ┴ оси бруса и навстречу друг другу.

Напр-я: Q=P τ = Q/F (т.к равномерно распред-ны по сечению)

Деф-ия: γ – угловая деф-я γ= tgγ ΔS (абсолют деф-я)= γ*a γ =τ/G

V₀ =1

l₁ =l₂ =l₃ =1

для ед длины:ε₁ =Δl₁ /l₁ = Δl₁ /1= Δl₁ =>

V₁ = (1+ ε₁ )* (1+ ε₂ )* (1+ ε₃ )=1+ +ε₁ ε₂ +…+ ε₁ ε₂ ε₃ +…+ ε₁ + ε₂ + ε₃

Т.к деф-ии малы то произвед-ями ε₁ ε₂ +…+ ε₁ ε₂ ε₃ ε₂ +…можно пренебречь.=> V₁ = 1+ ε₁ + ε₂ + ε₃

υ=(V₁ -V₀ )/V₀ =(1+ ε₁ + ε₂ + ε₃ -1)/1= ε₁ + +ε₂ + ε₃

ε₁ = ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃ =1/Е*(σ₁ -μ*(σ₂ +σ₃ ))

ε₂ = ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃ =1/Е*(σ₂ -μ*(σ₁ +σ₃ ))

ε₃ = ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃ =1/Е*(σ₃ -μ*(σ₁ +σ₂ ))- обобщенный з-н Гука для объем н.с. υ=(1-2μ)*(σ₁ +σ₂ +σ₃ )/E

35 Обобщённый закон Гука.

Обобщ з-н Гука – это зависимость м/д деф-ми и напяж-ми при плоском и объёмном напр сост. Предпосылки для вывода: 1)используем з-н Гука для одноосного н.с.: ε=σ/Е 2)связь м/д продольными и попереч деф-ми:

ε’= -μ*ε 3)принцып наложения (независимости действия сил)

1)Для плоского н.с.:

ε_{12 1-} направление деф-ии _2- причина деф

ε₁₁ = σ₁ /Е ε₂₂ = σ₂ /Е

ε₂₁ = -μ*ε₁₁ = -μ* σ₁ /Е ε₁₂ = -μ*ε₂₂ =

= -μ* σ₂ /Е =>

ε₁ = ε₁₁ +ε₁₂ = σ₁ /Е - μ* σ₂ /Е=

=1/E *(σ₁ -μσ₂ )

ε₂ = ε₂₂ +ε₂₁ = σ₂ /Е - μ* σ₁ /Е=

=1/E *(σ₂ -μσ₁ )

2)Для объёмного н.с.:

ε₁ = ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃ =1/Е*(σ₁ -μ*(σ₂ +σ₃ ))

ε₂ = ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃ =1/Е*(σ₂ -μ*(σ₁ +σ₃ ))

ε₃ = ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃ =1/Е*(σ₃ -μ*(σ₁ +σ₂ ))

(и В-34)

36 Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.

ε₁ = ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃ =1/Е*(σ₁ -μ*(σ₂ +σ₃ ))

ε₂ = ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃ =1/Е*(σ₂ -μ*(σ₁ +σ₃ ))

ε₃ = ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃ =1/Е*(σ₃ -μ*(σ₁ +σ₂ ))

удельная потенц энергия е_р =U/V₀

Полная энергия U=∫е_р dV(по V)

V₀ =1 е_р =U/1=U= - A_внут = - (A_{внут 1} +

+ A_{внут 2} + A_{внут 3} )

A_{внут 1} = - (σ₁ * ε₁ )/2 A_{внут 2} = - (σ₂ * ε₂ )/2 A_{внут 3} = - (σ₃ * ε₃ )/2

е_р =(σ₁ * ε₁ )/2+(σ₂ * ε₂ )/2+(σ₃ * ε₃ )/2

подставив ε₁ ε₂ ε₃ получим:

е_р =

е_р = е_р ^{формоизменения} + е_р ^{объёмоизменения}

е_р ^ф зависит от угловых деф-ий

е_р ^о зависит от линейных деф-й сторон

е_р ^ф =(1+μ)(σ₁ ² +σ₂ ² +σ₃ ² -σ₁ σ₂ -σ₁ σ₃ -

-σ₂ σ₃ )/3Е

е_р ^о =(1-2μ)*(σ₁ +σ₂ +σ₃ )² /6Е

37 Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений. (В-12)

1)Прямая задача для плоского н.с.:

σ_α =σ₁ *сosα+σ₂ *sinα

τ_α =((σ₁ -σ₂ )/2)*sinα

τ_max |_{α =45} =(σ₁ -σ₂ )/2

2)Обратная задача для плоск н.с.

по σ_α σ_β τ найти σ₁ σ₂

а) tg2ψ₀ =2τ/(σ_β -σ_α )-

положение

глав площ-ки

σ_{1( max )/3( min )} = (σ_α -σ_β )/2±(√((σ_α -σ_β )² +4τ² ))/2 вел-на глав напр-й (+для σ_{1( max )} -для

σ_{3( min )} )

б)для кручения

с изгибом

tg2ψ₀ =2τ/σ

σ_1/3 =σ/2±(√(σ² +4τ² ))/2

(+для σ_{1( max )} -для σ_{3( min )} )

38Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности.

1)линейное н.с.(раст\сж, изгиб)

2)простое плоское н.с.(кручение, срез)

3)сложное н.с.

Гипотезы проч стремятся установить критерии проч-ти для мат-ла находящ-ся в сложном н.с. При этом слож н.с. сводится к одноосному линейному н.с. которое обознач-ся σ_экв и явл-ся равноопасным заданным плос или объёмным сост-м. σ_экв выр-ся ч/з напряж-я σ₁ σ₂ σ₃ т.о. σ_экв =f(σ₁ σ₂ σ₃ ) и устанавливается гипотезами прочн-и

σ_экв <=[σ]- условие проч при слож н.с.

I)гипотеза наиб-х нормальных напряж

σ_1/3 <=[σ] (практикой не подтверждено)

II)гипотеза наиболь линейных деф-й

ε_1/3 <=[ε]=σ/E(практикой не подтвержд)

III) Гипотеза max касательн напряж-й

τ_max (для слож н.с.)<=[τ](для линей н.с.) τ_max =(σ₁ -σ₃ )/2 [τ]=[σ]/2

(σ₁ -σ₃ )/2<=[σ]/2 σ₁ -σ₃ <=[σ] =>

σ_{экв III} = σ₁ -σ₃ т.к. не уч-ет σ₂ то погрешность сост≈ 15% прошла пров-ку временем но исполь только для пластических мат-ов

IV)Гипотез энергии формоизменения:

Прочность мат-ла при сложном н.с. обеспеч-ся если удельная потенц энергия формоизменения (е_р ^ф ) не превосходит допустимой е_р ^ф установленной для одноосного н.с.

е_р ^ф (для слож н.с.)<=[е_р ^ф ](для линей н.с.

σ_{экв IV} ==

=<=<= [σ] –самая применимая более всего оправдавшая себя на практике применима для пластич мат-лов

Мора) σ_{экв М} = σ₁ - ν σ₃ <=[σ_р ] или [σ_сж ]

ν=[σ_р ] / [σ_сж ] подтверж практикой применимо для хрупких мат-ов

Для плоского н.с.(круч с изгибом):

σ₁ = σ₃ =

σ_{экв III} = σ₁ - σ₃ ==

=<<=[σ]

σ_{экв IV} ===

=

σ_{экв М} = σ₁ - ν σ₃ =1/2*=

==

σ_экв =М_прив /W_x <=[σ] W_x =0.1d³

ΔS= τ*a/G=Q*a/(G*F) – з-н Гука в абс вел-нах, где G- модуль сдвига (модуль упругости II рода) хар-ет способность мат-ла сопротив-ся деф-ям сдвига.

А_внеш = -А_внут U= -A_внут = P*ΔS/2=

=Q* ΔS/2= Q² *a/(2*G*F)

19 Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.

Δ l=0 σ =0 γ (угол сдвига)≠0

τ (кас напр)= G*γ

Кручением наз-ся вид деф-ии при кот-м в поперечном сеч-ии возникает только 1-о внутр усилие – крутящий момент (М_кр )

Внеш скруч

мом-ы: М_скр

М_{к i} = ΣM_{скр i} Крутящий момент = алгеб сумме внеш-х скруч моментов действующих по1-ну сторону от сечения. Касатель напр-я: τ = G*γ

М_кр = f (τ)

Справедлива гипотеза Бернулли (о плоских и жест сеч-ях) Ось вала осталась прямолинейная. Геометр размеры без изм-я.

γ-угол сдвига образующей φ-угол закручивания или угол поворота попереч сечения. r- радиус γ_max =tg γ_max =NN’/dz=r dφ/dz γ_ρ = tg γ_ρ =kk’/dz= ρ dφ/dz τ_ρ =G*dφ/dz* ρ

dφ/dz=const G=const G* dφ/dz=const

S=0 → τ=0 S= r → τ_max

При круч-ии деф-ии сдвига γ и кас напр τ пропорц-ны расстоянию от оси вала ρ. dM_к = τ_ρ *dF *ρ M_к =∫dM_к (по F) = =∫ ρ *τ_ρ *dF = ∫ ρ² *G ( dφ / dz ) dF = G * dφ/dz ∫ ρ² dF ∫ ρ² dF=J_p - полярный момент инерции поперечного сечения.

dφ/dz=М_к /(G*J_p )

τ_ρ = G* ρ* М_к /(G*J_p )= М_к * S/J_p

J_p (для круга)=0.1*d⁴

J_p (пусто-ого вала)=0.1*D⁴ *(1-c⁴ ) c=d/D

τ_max =М_к *r /J_p = M_к /W_p <=[τ] –усл проч-и

W_p =J_p /r W_p – полярный момент сопротивления = отнош-ю поляр моменту инер-ии к расст до наиболее удалённых волокон вала (r)

W_p (круг)= 0.2*d³

W_p (пустотел вал)= 0.2*D³ *(1-c³ ) c=d/D

dφ =М_к * dz /(G*J_p ) проинтегрируем обе части (правую от0доφ, лев от0доL)

М_к /(G*J_p )=const φ= М_к *l/(G*J_p ) – з-н Гука

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_i

Условие жесткости: δφ_max <=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_к /(G*J_p )

Услов жесткости: θ <= [θ]

20 Полярный момент инерции, полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при кручении. ( в-19)

21 Потенциальная энергия деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого бруса.

A_внеш =М_скр1 *φ₁ /2 dА_внут = - М_к *φ/2

U= -А_внут =∫ М_к ² * dz /(2*G*J_p (от0 доL) U=М_к ² * l/(2*G*J_p )

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_i

Условие жесткости: δφ_max <=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_к /(G*J_p )

Услов жесткости: θ <= [θ]

τ_max =М_к *r /J_p = M_к /W_p <=[τ] –усл проч-и

22 Испытание материалов на кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические характеристики при кручении.

23 Расчёт на прочность заклёпочного и болтового соединений.

d-диаметр отверстия d_зак -диам заклёпк d≈d_зак +(0.5-1)мм

1)Р-равномер распред-но м/д заклёп (болтами) Q_{1-й зак} =P/n n-число заклёпок

2)По плоскости среза τ распед равном

τ=Q/F

условие проч-ти: τ=Q/F=4P/(nπd² )<=[τ_cp ] [τ_cp ]≈0.8[σ]

n>=4P/(πd² [τ_cp ]) n-числ зек из расчёта на прочность.

Расчёт на смятие:

F_смят =d*δ_min

δ_min -min толщина места. σ_смят =Q/F_смят =P/(n’dδ_min )<=[σ_{c м} ]<=2*[σ]

n’-число зак из расчёта на смятие

n’>=P/([σ_{c м} ]*d* δ_min ) из n и n’выбир >

24 Расчёт на прочность сварных швов.

Для соед-я встык – расчёт на обычное растяж\сжат: σ=P/F_шва <=[σ]

Соед-е внахлёст:

Шов хар-ся катетом: АВ=ВС=δ=катет

На биссектрису дейст-ет τ_мах . Ширина опасного сечения = 0.7*катет

Площади опасного сечения швов:

F_лоб =b_∑ *0.7*кат-т F_фронт =l_∑ *0.7*кат-т

Допустимая нагрузка:

(l_∑ +b_∑ )*0.7*кат-т*[τ]>=P

25 Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага.

α<=10-12град

D-сред диамет

пружины

d-диам проволок

h-шаг

с=D/d-индекс пруж

с=4-12

n-число раб витков

n_пол =n+1.5-2.5

λ-удлинение/осадка

в сечении 2 внутренних усилия:

Q-поперечная сила, М_к -крутящ момен

Q=P M_к =P*D/2

M_к : τ_max =М_к /W_p =P*D/2*W_p

W_p =π*d³ /16 τ_max =8PD/πd³

Q: τ=Q/F=4P/ πd²

Условия проч в опасной точке: τ_max = τ_{max( Мк )} + τ_max(Q) = 8PD/πd³ +4P/ πd² = =(8PD+4Pd)/ πd³ = =8PD/πd³ *(1+d/2D)<=[τ]

Если d/2D<=1/6, то τ_max =8PD/πd³ <=[τ]

d>= λ=8PD³ n/Gd⁴

хар-ка пруж-ы график P=f(λ)

k-жёсткост k=P/ λ [H/мм]

26 Изгиб чистый, поперечный. Внутренние силовые факторы при изгибе, построение их эпюр.

Изгибом наз-ся деф-я сопровождающ изменением кривизны оси стержня.

Стержни раб-щие в основном на изгиб наз-ся балками

Виды изгиба по внутр-м усилиям:

d_проч =

39 Гипотеза max касательных напряжений ( III гипотеза прочности) (В-38)

40Гипотеза энергии формоизменения ( IV гипотеза прочности) (в-38)

41 Критерий Мора. (в-38)

42 Расчёт на прочность круглого бруса при одновременном действии изгиба и кручения. (в-38)

1)строим эпюры

М_к1 =0 М_к2 =М

М_и1,2 =Р*z_1,2 |₀ =0|_L =P*l

2)опасные сечения:

М_к2 =М М_и2 =P*l

3)исследу-ые напр-я:

τ_max (М_и )=М_к /W_p

σ_max (M_и )=М_и /W_x

τ_max (Q)=Q*S_x /(b*J_x )

4)опасная точ на

поверхности вала:

σ=М_и /W_x

τ_max =М_к /W_p = М_к /2W_х

W_p =J_p /r=2*J_x /r W_x = J_x /r= W_p /2

J_p =