Висновки.

В результаті написання кваліфікаційної роботи мною була досягнута мета за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:

Систематизувала відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи. Розглянула всі основні способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь.

З’ясувала місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувала вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.

Проаналізувала сучасні діючі і пробні підручники з алгебри і початків аналізу. Провела логіко-дидактичний аналіз тем «Показникова функція» і «Логарифмічна функція».

Запропонувала методичні рекомендації щодо викладання тем «Показникова і логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.

Сформулювала навчальні цілі, розробила тематичні плани до тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція», план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: І Розв’язування логарифмічних рівняняьІ за підручником «Алгебра і початки аналізу» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук .

Підібрала диференційовану систему вправ, подала приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.

За допомогою комп’ютера і використовуючи програму ^Arbаit, розробила самоконтролюючу та контолюючу програму для перевірки знань учнів, ^{яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції».}

У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функції, їх властивості та графіки, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової і логарифмічної функції, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи, здійснювати обчислення числових виразів з логарифмами і степенями.

Учні повинні навчитися схематично зображати графіки показникових і логарифмічних функцій при різних основах, пам’ятати основні властивості цих функцій та вміти використовувати їх при розв’язанні показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей та їх систем. Бажано ознайьмити учнів на факультативних чи гурткових заняттях із схематичним зображенням графіків показникових та логарифмічних функцій з модулями.

У процесі розв’язування показникових і логарифмічних рівнянь та їх систем корисно систематизувати знання учнів про рівносильність рівнянь і систем, виділити операції, які можуть порушувати рівносильність. Слід звернути увагу на причини виникнення сторонніх коренів при розв’язуванні рівнянь і в зв’язку з цим на необхідність перевірки знайдених розв’язків, а також на причини втрати коренів.

Засвоення учнями нових знань при вивченні розділу базується на раніше вивченному матеріалі про степені й корені, розв’язанні системи алгеьраїчних рівнянь і нерівностей, тощо. Бажано, щоб актуальні питання раніше вивченного матеріалу грунтовно систематизувалися за рахунок часу, виділеного на узагальнююче повторення. При плануванні узагальнюючого повторювання це слід урахувати, і до повторенного матеріалу безпотреби можна не повертатися.

Кваліфікаційна робота написана на тему «Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності в шкільному курсі алгебри».

Актуальність теми полягає в тому, що тема «Показникова і логарифмічна функції» є однією з основних тем в шкільній програмі з математики в 11 класі, її приділяється велика кількість навчального часу (20(30)). У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені і корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функцій, їх властивості та графік, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової та логарифмічної функціями, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи.

Розв’язуванню задач, а точніше рівнянь або нерівностей, показникових та логарифмічних, приділяється багато уваги, осбливо на вступних екзаменах до ВУЗів та інших навчальних закладах. Тому розгляд цієї теми дуже важливий.

МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.

2. З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.

3. Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.

4. Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.

5. Підібрати диференційовану систему вправ.

6. Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.

7. Опробувати розроблену методику в сучасній школі.

8. Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

• дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;

• аналітичні методи;

• практична реалізація запропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;

• конкретно--індуктивний;

• абстрактно- дедуктивний

• дослідницький.

Робота складається з таких частин: Вступ, 3 розділи, які включають в себе 8 параграфів, висновки та додатки.

В результаті написання кваліфікаційної роботи мною була досягнуті цілі за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:

Систематизувала відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи. Розглянула всі основні способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь.

В данній кваліфікаційній роботі проаналізовані різни підходи при вивченні показникових та логарифмічних рівнянь, а також взагалі при вивченні теми «Показникова і логарифмічна функції». З’ясувала місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувала вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.

Проаналізувала сучасні діючі і пробні підручники з алгебри і початків аналізу. Провела логіко-дидактичний аналіз тем «Показникова функція» і «Логарифмічна функція» за новим підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11» під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. Проведено порівняльну характеристику вивчення данної теми в підручниках під редакцією А.Н. Колмогорова та під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С.

Запропонувала методичні рекомендації щодо викладання тем «Показникова і логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.

Сформулювала навчальні цілі, розробила тематичні плани до тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція», а токож фрагменти уроків, план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: І Розв’язування логарифмічних рівняняьІ за підручником «Алгебра і початки аналізу» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук .

Підібрала диференційовану систему вправ, подала приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.

За допомогою комп’ютера і використовуючи програму ^Arbаit, розробила самоконтролюючу та контолюючу програму для перевірки знань учнів (теоретичних і практичних), ^{яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції». Яку я продемонструю.}

^{1. Диференційована система вправ:}

Система задач має три рівні складності:

І. Обов’язковий рівень - містить задачі та вправи, в основному репродуктивного характеру на 2-3 логічних кроки, представлені у формі тестів. Для їх розв’язування цчням достатньо знати правила, означення, формули, теореми та ознаки, передбачені навчальними програмами, а також вміти виконувати найпростіші тотожні перетворення, спрощення та обчислення.

ІІ. Підвищенний рівень - містить завдання на 4-6 логічних кроки, розв’язання яких вимагає від учня творчого застосування одержаних знань з достатньо повним і строгим обгрунтуванням ходу розв’язку.

ІІІ. Поглиблений рівень - це, як правило задачі та вправи, розв’язання яких вимагає вміння орієнтуватися в нестандартних ситуаціях, застосовувати орігінальні та штучні прийоми, глибини та строгості суджень, характерних для тих, хто вивчає шкільний курс математики на поглибленому рівні.

^{а) Показникові рівняння і нерівності;}

Обов’язковий рівень.

Розв’язати рівняння.

1.

1) ,

2) ,

3. ,

4. .

2.

1. 1,

2. 2,

3. 2; 3,

4. інша відповідь.

5. 

6. 2,

7. 3,

8. 4,

9. інша відповідь.

10. 

11. 3,

12. -3,

13. 1,

14. інша відповідь.

15. 

16. ,

17. ,

18. 2,

19. інша відповідь.

Розв’язати нерівності.

1.

1. ,

2. ,

3. 

4. інша відповідь.

5. 

6. ,

7. ,

8. ,

9. інша відповідь.

10. 

11. ,

12. ,

13. ,

14. інша відповідь.

15. 

16. ,

17. ,

18. ,

19. інша відповідь.

20. 

21. ,

22. ,

23. .

24. інша відповідь.

Підвищний рівень

Розв’язати рівняння

Розв’язати нерівності

Розв’язати нерівность графічно.

Поглиблений рівень

Розв’язати рівняння.

1.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. ,

Розв’язати нерівності

1.

^{б) Логарифмічні рівняння і нерівності;}

Обов’язковий рівень.

Знайти корені рівняння.

1. 

2. 5,

3. 3,

4. 4,

5. інша відповідь.

   
   

2.

1),

2. ,

3. інша відповідь.

4. 

5. -2; 0,

6. інша відповідь,

7. 0; -2.

8. 

9. 3,

10. 8,

11. інша відповідь.

12. 

13. -4,

14. 4,

15. 2

16. інша відповідь.

При яких значеннях справедлива рівність.

1. 

2. ,

3. ,

4. ,

5. інша відповідь.

2.

1. ,

2. 9,

3. -9

4. інша відповідь.

5. 

6. 2,

7. ,

8. -2

9. інша відповідь.

Розв’язати нерівності

1. 

2. ,

3. ,

4. інша відповідь.

5. 

6. ,

7. ,

8. інша відповідь.

3.

1. ,

2. ,

3. ,

4. інша відповідь.

4.

1. ,

2. ,

3. інша відповідь.

Підвищний рівень

Розв’язати рівняння

Розв’язати нерівності

Поглиблений рівень

Розв’язати рівняння.

Розв’язати нерівності

3. ^{Використання нових інформаційних технології при вивченні тем показникові і логарифмічні рівняння та нерівності.}

Хочу поділитися своїми враженнями від нової форми навчання - за допомогою комп’ютера. Звичайно, не можна все зводити до нього, - і кількість годин, проведенних за екраном, не може служити критерієм якості навчання, як це намагаються представити в деяких приватних школах. Але безсумнівно одне - комп’ютер відмінний помічник для организації індивідуального навчання. Бо як тільки педагог перестає бачить в учені просто сосуд, який треба наповнити знаннями та вміннями, йому доводиться шукати індивідуальний підхід до кожного, підстраюватися до його інтересів, темп засвоєння матеріалу, особисті особливості психіки. Наприклад, в деяких школах кожен учень може вибрати для себя не просто курс, який його цікавить, але навіть окремі предмети. Комп’ютер, як відомо, виконує ту программу, яка в нього закладена, і надає великий вибір тем для вивчення. Сучасні методи представлення інформації в комп’ютерах включають в себе не просто текст, але і картинки, відео, звукові фрагменти. Це дозволяє задіяти практично всі органи почуттів, використовуваємих для сприйняття інформації, при цьому здійснюється її дублювання по різним каналам сприйняття, що різко підвищує швидкість і якість засвоєння матеріалу. Комп’ютерный підручник неможна вже порівнювати з книгою, як це було всього декілька років тому - зараз більшість навчаючих програм неможливо відрізнити від ігр, і для того, щоб перемогти в такій грі, будуть потрібні знання, які дитині важко приїняти як необхідні йому тільки зараз - але ж всім нам притаманно відкладати "на потім" рішення багатьох проблем. А такий елемент сучасних комп’ютерних документів, як гипертекстова ссилка дозволяє при необхідності звернутися до будь-якого місця документа за додатковою інформацією, і втой же час при повторному вивченні не перевантажує початковий текст документу. Доречі, по принципу гіпертексту влаштована всесвітня інформаційна мережа Internet, за допомогою якої вже зараз проводится так зване "дистанціоне навчання" - коли професори престижних університетів виступають з лекціями і відповідають на питання не звичної студентської аудиторії, а перед тими, хто в цей момент підключен до їх вузлу мережи. Недивлячись на тишу і візуальну відстутність слухачів, яких може бути не менше, чим глядачів у телеекрана, але на відміну від книги чи телепередачі зберігається зворотній зв’язок між викладачем і учнями. Це - реальність сьогоднішнього дня. Цікаво, що нас (і наших дітей) чекає в недалекому третьому тисячолітті.

^{Широке впровадження в навчальний процес нових інформаційних технологій відкриває широкі перспективи щодо поглиблення і розширення теоретичної бази знань, надання результатам навчання практичного значення, активізації пізнавальної діяльності, створення умов для повного розкриття творчого потенціалу учнів з урахуванням вікових особливостей, індивідуальних нахилів.}

^{На сьогодні розроблено значну кількість програмних засобів, що дозволяють розв’язувати за допомогою комп’ютера досить широке коло математичних задач різних рівнів складності. Це такі програми як DERIVE, EURIKA, GRAN1, Maple, MathCad. Причому одні з цих програм розраховані на фахівців досить високої кваліфікації в галузі математики, інші - на учнів середніх навчальних закладів та студентів.}

^{Можливість провести необхідний чисельний експеримент, швидко виконати потрібні обчислення чи графічні побудови, перевірити ту чи іншу гіпотезу, випробувати той чи інший метод розв’язування задачі, вміти проаналізувати та пояснити результати, отримані за допомогою комп’ютера, з’ясувати межі можливостей застосування комп’ютера чи обраного методу розв’язування задачі має надзвичайне значення у вивченні математики.}

^{Не торкаючись докладно всіх тем, які вивчаються в курсі математики загальноосвітньої середньої школи, можна зауважити, що комп’ютерні програми згаданого типу можуть бути використані практично на всіх уроках математики, починаючи вже з п’ятих-шостих класів, зокрема під час вивчення системи координат на прямій і на площині, поняття функції, елементарних функцій та їхніх властивостей, методів розв’язування рівнянь і нерівностей та їх систем, елементів теорії границь числових послідовностей, диференціального та інтегрального числень та їх застосування.}

^{Використовуючи програму Arbeit я розробила програму, яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції». Це контролююча програма, в якій передбачено самокотроль знань та контроль знань. Тобто за допомогою цієї програми учень може сам перевіряти набуті знання, і вчитель може перевіряти знання певного учня.}

Вступ.

МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.

2. З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.

3. Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.

4. Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.

5. Підібрати диференційовану систему вправ.

6. Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.

7. Опробувати розроблену методику в сучасній школі.

8. Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

• дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;

• аналітичні методи;

• практична реалізація запропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;

• конкретно--індуктивний;

• дослідницький.

Історична довідка.

Логарифми: Винайдення логарифмів значною мірою прискорилось потребами удосконалення обчислень. Винайшли логарифми і майже одночасно почали їх застосовувати шотландський математик Джон Непер (1550-1617) і швейцарський математик, астроном і механік Йост Бюргі (1552-1632). Проте перший крок до спрощення обчислень зробив німецький математик Михаель Штіфель (1487-1567), у якого поняття логарифма з’явилося в результаті зіставлення геометричної і арифметичної прогресій. Ця ідея бере свій початок у працях Архімеда (бл. 287-212 до н.е.).

Таблиці логарифмів дуже спрощували обчислення, дії другого ступеня (множення, ділення) звелися до дій першого ступення (додавання, віднімання) над відповідними логарифмами. При цьому довелося виконувати дії із значно меншими числами. Але у зв’язку з впровадженням сучасних ЕОМ обчислення за допомогою логарифмів втаратило своє значення.

Показникова функція: До початку XVII ст. у математиці уникали вживання дробових та від’ємних показників степенів. Лише в кінці XVII ст. у зв’язку з ускладенням математичних задач виникла необхідність поширити область визначення показника степеня на всі дійсні числа. Узагальнення поняття степеня , де n - будь-яке дійсне число, дало змогу розглянути показникову функцію на множині дійсних чисел і степеневу функцію на множині додатних чисел ( для цілих n степенева функція визначена і для x<0). Питання, пов’язане з показниковою функцією, розробляв Леонард Ейлер. У двох розділах своєї праці «Вступ до аналізу» він описав «показникові і логарифмічні кількості». В ній, зокрема зазначено, що показникові кількості можуть бути різноманітними залежно від того, «чи буде змінною кількістю один лише показник степеня, чи, крім того, ще і кількість, яку підносять до степеня». До перших належать , до других .

Кваліфікаційна робота написана на тему «Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності та їх системи».

МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.

2. З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.

3. Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.

4. Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.

5. Підібрати диференційовану систему вправ.

6. Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.

7. Опробувати розроблену методику в сучасній школі.

8. Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

• дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;

• аналітичні методи;

• практична реалізація запропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;

• конкретно--індуктивний;

• дослідницький.

Робота складається з таких частин: Вступ, 3 розділи, які включають в себе 7 параграфів.

Розділ I - Загальна теорія рівнянь

§1 -це основні види рівняння, означення, твердження.

§2 - розглядається класифікація і способи розв’язання показникових рівнянь та нерівностей.

§3 - розглядається класифікація і способи розв’язання логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Розділ II - Місце показникових та логарифмічних рівняннь в шкільному курсі алгебри.

§1 Місце в діючий програмі.

§2 Аналіз діючих підручників та тестів

Розділ III- Методика навчання розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь.

§1 методичні особливости навчання.

§2 Диференційована система вправ.

§3 ^{Використання нових інформаційних технології при вивченні тем показникові і логарифмічні рівняння та нерівності.}

В данній кваліфікаційній роботі проаналізовані різни підходи при вивченні показникових та логарифмічних рівнянь, а також взагалі при вивченні теми «Показникова і логарифмічна функції». Також проведений логіко- дидактичний аналіз тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція» за новим підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11» під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. Проведено порівняльну характеристику вивчення данної теми в підручниках під редакцією А.Н. Колмогорова та під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. А токож приведені фрагменти уроків, розроблено тематичний план до цих тем, розроблено план-конспект уроку формування навичок та вмінь на тему «Розв’язування логарифмічних рівнянь», а також складена система задач.

Актуальність теми полягає в тому, що тема «Показникова і логарифмічна функції» займає велике місце в шкільній програмі з математики в 11 класі, її приділяється багато часу. У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені і корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функцій, їх властивості та графік, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової та логарифмічної функціями, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи.

Останнім часом розв’язуванню задач, а точніше рівнянь або нерівностей, показникових та логарифмічних, приділяється багато уваги, осбливо на вступних екзаменах до ВУЗів та інших навчальних закладах. Тому розгляд цієї теми дуже важливий.

План- конспект уроку формування навичок та вмінь на тему «Розв’язування логарифмічних рівнянь».

Тема: Розв’язування логарифмічних рівнянь.

Мета уроку: Навчити учнів розв’язувати логарифмічні рівняння

різними методами.

Обладнання уроку: Таблиці властивостей логарифмів.

Хід уроку.

1. Актуалізація опорних знань.

А) Пропонується учням відповісти на поставлені запитання.

1. Що називається логарифмом числа за даною основою ?

Очікувана відповідь: Логарифмом числа за основою ( і ) називається показник степеня , до якого треба піднести , щоб дістати число .

2. Записати основну логарифмічну тотожність?

Очікувана відповідь: .

3. Перерахуйте основні властивості логарифмів ?

Очікувана відповідь:

Т1: Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів.

Т2: Логарифм частки двох додатних чисел (дробу) дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника (чисельника і значенника).

Т3: Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня , помноженого на логарифм основи цього степеня.

Т4: Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня.

4) Що таке потенціювання?

Очікувана відповідь: Перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число (вираз), називається потенціюванням. Це перетворення є оберненим до логарифмування.

5. Записати формулу переходу від однієй основи логарифма до іншої?

Очікувана відповідь: , , , , .

6. Які рівняння називають логарифмічними ?

Очікувана відповідь: Логарифмічними називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.

7. Який вигляд і розв’язок має найпростіше логарифмічне рівняння?

Очікувана відповідь: Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд , де , , - будь-яке число. Воно має єдиний розв’язок , який можна дістати за допомогою потенціювання.

8. Яка причина появи сторонніх коренів?

Очікувана відповідь: Під час розв’язування логарифмічних рівнянь може статися розширення області визначення і можуть з’явитися сторонні корені.

Б) Математичний диктант.

Читається кожне завдання окремо. Числові дані записуються на дошці (можна використовувати кодоскоп).

1. Знаючи , знайти .

2. Знайти , якщо .

3. Чи правильно, що ? Чому?

4. Довести, що .

5. Чи правильно, що ? Чому?

Пропонується учням ( на кожній парті) обмінятися виконаними завданнями і здійснити перевірку диктанта.

Правильні відповіді на всі завдання диктанта демонструються на дошці ( були написані попередньо) або за допомогою кодоскопа.

Учні самі виставляють оцінки за такими нормами: правильно розв’язане завдання - «+», неправильно розв’язане завдання - «-», залежно від кількості «+» і «-» виставляється оцінка: 5 «+» - «5», 4 «+» - «4», 3 «+» - «3», менше 3 «+» - 2.

ІІ. Постановка задачі урока.

Завдання даного уроку - навчитись розв’язувати логарифмічні рівняння різними методами.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу .

А) Первинне застосування набутих знань.

Спочатку нагадуємо, що для розв’язання рівняння (, ) (1) досить розв’язати рівняння (2) і його розв’язки підставити в систему нерівностей (3), яка задає область визначення рівняння. Коренями рівняння (1) є тільки ті розв’язки рівняння (2), які задовольняють систему (3), тобто належатьобласті визначення рівняння, заданого формулою (1).

Завдання 1 і 2 розв’язуються колективно під керівництвом вчителя.

Завдання 1: Розв’язання рівняння

Розв’язання :

Вчитель ставить ряд запитань, щоб проаналізувати розв’язування рівняння.

1. Уважно розглянувши праву і ліву частини рівняння, ми бачимо,що основи логарифмів однакові і ми можемо пропотенціювати обидві частини. Що для цього треба зробити?

(Використовуючи властивості Т1: Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів, Т3: Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня , помноженого на логарифм основи цього степеня, отримаємо )

Після потенціювання одержимо . Звідсі , .

2. Зробимо перевірку: Підставимо в дане рівняння замість невідомого числа -9. У лівій частині дістанемо вирази і , чи може таке бути?

( Вирази і не мають смислу, бо логарифми від’ємних чисел не існують)

Отже значення є стороннім коренем. Тепер перевіримо, чи є коренем даного рівняння число 2. Ліва частина рівняння має вигляд:

.

Ліва частина дорівнює правій. Отже, - корінь даного рівняння.

Прийом потенціювання широко застосовується під час розв’язування логарифмічних рівнянь.

Завдання 2: Розв’язти рівняння

Розв’язання : Скористаємося вже відомим вам методом заміни зміної.

Що нам зручно прийняти за ? ( )

Тоді ми дістанемо квадратне рівняння . Знаходимо його корені: , . Дістанемо два рівняння: ,

За означенням логарифма знаходимо розв’язки першого і другого рівняння. (самостійно в зошитах), , .

За допомогою перевірки з’ясовуємо, що обидва знайдених значення є корнями даного рівняння. (Перевірку учні роблять самостійно в зошитах).

Відповідь: , 16.

Б) Коментоване розв’язування вправ.

Завдання 3: Розв’язати рівняння (№52(6))

Завдання 4: Розв’язати рівняння (№53(4))

Завдання 5: Розв’язати рівняння (№53(12)

Завдання 6: Розв’язати рівняння (№53(13)).

Учні розв’язують рівняння самостійно. Більш підготовленому учню вчитель пропонує прокоментувати розв’язування.

Наведемо для прикладу один з можливих варіантів коментування учнем розв’язування рівняння 3. (в залежності від класу вчитель може допомогати при розв’язуванні, підказуючи, якщо виникають складнощі, спосіб розв’язування ).

Це рівняння можна розв’язати за допомогою означення логарифма, тобто рівняння можна переписати так , і розв’язуємо це рівняння. Отримуємо, що є коренем рівняння, який належить області визначення рівняння.

Розв’язання завдання 4:

.

Відповідь: .

Розв’язання завдання 5: Розв’язати рівняння

Область визначення рівняння

3 6

Відповідь: Розв’язків немає.

Розв’язання завдання 6: .

Рівняння такого типу розв’язуються логарифмуванням і називаються показниково-логарифмічними.

, робимо заміну змінної

,

і

і

Відповідь: 10; 100.

В) Самостійне розв’язування задач .

Завдання 7: Розв’язати рівняння

Завдання 8: Розв’язати рівняння

Завдання 9: Розв’язати рівняння .

Самостійна робота перевіряється на уроці

ІV. Підсумки уроку.

1. Як працював клас.

2. Оцінка роботи окремих учнів.

3. Домашнє завдання.

Підручник під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» К: Зодіак-ЕКО,1995р

Розділ V, №№ 52(8,12,14), 53(1, 2, 3, 6, 11, 16)

^{І. Загальна теорія рівнянь:}

1. ^{Рівняння основні означення, твердження}

1) В алгебрі розглядають два види рівностей - тотожності і рівняння. Розглянемо функції y=f(x), визначену на множині M, і y=g(x), визначену на множині N.

Якщо на деякій множині R, яка є підмножиною як М, так і N, має місто рівність

f(x)=g(x),

то говорять, що ці функції тотожно рівні на множині R, а рівність

f(x)=g(x)

при цьому називається тотожністю на множині R.

Часто приходиться розглядати функції, про які невідомо, якою є множина значень аргументу, на якій вони тотожно рівні. В такому випадку рівність

f(x)=g(x)

називають рівнянням. Воно виражає задачу пошуку тих значень х, при яких f(x) і g(x) рівні. Шукані значення х при цьому називають коренями (розв’язками) рівняння. Значення невідомих, які належать множині допустимих значень рівняння і задовольняють його (тобто перетворюють рівняння в правильну рівність (тотожність), називають коренями рівняння. Областю визначення рівняння (1) будемо називати перетин областей визначення функцій f і g.

Букви, які входять в рівняння, за умовою задачі можуть бути нерівноправними: одні можуть приймати всі свої допустимі значення і називаються коефіцієнтами (інколи параметрами) рівняння; інші, значення яких потрібно знайти, називаються невідомими (їх майже завжди позначають останніми буквами латинського алфавіту: x,y,z, або тими ж буквами, але з індексами: x₁,x₂,...,x_n або y₁,y₂,...,y_k ).

В загальному вигляді рівняння з n невідомими x₁,x₂,...,x_n може бути записано у вигляді

f(x₁,x₂,...,x_n)=g(x₁,x₂,...,x_n), (1)

де f(x₁,x₂,...,x_n),g(x₁,x₂,...,x_n) - функції вказаних змінних. В залежності від кількості невідомих рівняння називають рівнянням з одним, двома і більше невідомими.

Рівняння вважається розв’язаним, якщо знайдено всі його корені або показано, що рівняння коренів немає.

Методи розв’язування рівнянь базуються на понятті рівносильності (еквівалентності).

Якщо всі розв’язки рівняння f(х)=g(x) є розв’язками рівняння j(x)=y(x), то говорять, що рівняння j(x)=y(x) є наслідком рівняння f(х)=g(x), і записують

f(х)=g(x) Юj(x)=y(x).

Два рівняння f(х)=g(x) і j(x)=y(x) називають еквівалентними, якщо кожне з них являється наслідком другого, і записують

f(х)=g(x) Ы j(x)=y(x).

Таким чином два рівняння вважаються еквівалентними, якщо множини розв’язків цих рівнянь співпадають.

Рівняння f(х)=g(x) вважають еквівалентним двом (або декільком) рівнянням f₁(x)=g₁(x), f₂(x)= g₂(x), якщо множина розв’язків рівняння f(х)=g(x) співпадає з сукупністю множин розв’язків рівнянь f₁(x)=g₁(x), f₂(x)= g₂(x).

Можна сказати, що рівняння рівносильні, якщо кожне з них є наслідком другого.

Деякі еквівалентні рівняння:

1.Рівняння F+G=G еквівалентне рівнянню F=0, яке розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

2.Рівняння еквівалентне рівнянню F=0, яке розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

3.Рівняння FґG=0 еквівалентне двом рівнянням F=0 і G=0, кожне з яких розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

4.Рівняння Fⁿ=0 еквівалентне рівнянню F=0.

5.Рівняння Fⁿ=Gⁿ при непарному n еквівалентне рівнянню F=G, а при парному n еквівалентне двом рівнянням: F=G і F=-G.

Заміна рівняння рівносильним йому рівнянням або заміна рівняння рівносильною йому сукупністю рівнянь називається рівносильним переходом.

Наведемо основні теореми про рівносильність рівнянь.

ТеоремаІ. Рівняння

f(х)=g(x) і f(х)+j(x)=g(x)+j(x)

рівносильні, якщо j(x) існує в області визначення вихідного рівняння (1).

З цієї теореми випливає, що доданки можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи знак цього доданку на протилежний.

Теорема ІІ. Якщо обидві частини рівняння

f(х)=g(x) (1)

помножити на вираз j(x), який існує в області визначення рівняння (1), то отримаємо рівняння

f(х)ґj(x)=g(x)ґj(x) ( 2),

яке є наслідком рівняння (1).

Якщо при цьому j(x)№0, то рівняння (1) і (2) рівносильні.

Теорема ІІІ. Рівняння

fⁿ(х)=gⁿ(x), (*)

де nі2 (натуральне), є наслідком рівняння f(х)=g(x).

Це значить, що будь-який корінь рівняння (1) є коренем і рівняння fⁿ(х)=gⁿ(x), але рівняння fⁿ(х)=gⁿ(x), може мати ще й інші корені, які не задовольняють рівняння (1). Іншими словами, при піднесенні до натурального степеня обох частин рівняння (1) можуть з’явитись зайві корені.

Розрізняють рівняння алгебраїчні і трансцендентні. В алгебраїчних рівняннях над невідомими можуть здійснюватись, причому в скінченій кількості, тільки операції додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до раціонального степеня.

Якщо над невідомими здійснюються й інші операції, то рівняння називають трансцендентним.

Прикладами трансцендентних рівнянь є показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, а також рівняння, що містять обернені тригонометричні функції.

У загальному випадку трансцендентні рівняння не можуть бути розв’язанні алгебраїчно, тобто за допомогою послідовного виконання ряду аріфметичних та алгебраїчних дій над данними, які належать до їх складу. Елементарна математика розглядає окремі види трансцендентних рівнянь, допускаючих аналітичне рішення. Зокрема, до них відносяться показникові та логафмичні рівняння.

В процесі розв’язування рівняння за допомогою різних перетворень замінюють простішим, рівносильним йому рівнянням. Якщо це не вдається, то можливі два такі випадки.

1. Під час переходу до нового рівняння може трапитись втрата коренів.

2. Нове рівняння може містити корені, що не є коренями вихідного рівняння (зайві корені). Зайві корені можна виявити за допомогою перевірки (підстановкою всіх коренів нового рівняння у вихідне).

Нехай f(x) - числова функція однієї чи декількох змінних (аргументів). Вираз, в якому є знаки ">" (<) або "і" (Ј), називають нерівністю.

Розв’язати нерівність

f(x)<0 (f(x)>0) (4)

- це значить знайти всі значення аргументу (аргументів) функції f , при яких нерівність (4) справедлива. Множина всіх значень аргументу функції f, при яких нерівність (4) справедлива, називається множиною розв’язків нерівності або просто розв’язком нерівності.

Множина розв’язків нестрогої нерівності

f(x)Ј0 (f(x)і0) (5)

представляє собою сукупність множини розв’язків нерівності (4) і множини розв’язків рівняння f(x)=0.

Дві нерівності f₁(x)<0 (1(x)) і f₂(x)<0 (2(x)) називаються еквівалентними, якщо множини їх розв’язків співпадають.

При цьому пишуть

f₁(x)<0 (g₁(x)) Ы f₂(x)<0 (g₂(x)).

Якщо дві нерівності не мають розв’язків, то за означенням вони також вважаються рівносильними.

Під множиною допустимих значень невідомих, які входять в нерівність, розуміють область визначення функції f(x).

Рівносильні нерівності можуть мати різні області допустимих значень (наприклад, нерівність x>1 рівносильна нерівності >1, при цьому ми бачимо, що ОДЗ нерівності x>1 є множина всіх дійсних чисел, а ОДЗ нерівності >1 - множина невід’ємних чисел).

З означень рівносильних нерівностей випливає, що замість даної нерівності можна розв’язувати нерівність, рівносильну даній.

Дві нерівності називаються рівносильними на множині А, якщо співпадають множини їх розв’язків на цій множині А.

Дві нерівності можуть бути нерівносильними, але можуть бути рівносильними на деякій множині. Прикладом можуть бути нерівності x²>1 і x>1, які рівносильні на множині додатних чисел, але не є рівносильними на множині всіх дійсних чисел.

Якщо будь-який розв’язок однієї нерівності є розв’язком другої нерівності, то говорять, що друга нерівність є наслідком першої нерівності, при цьому записують

f₁(x)<0 Ю f₂(x)<0.

Якщо замінити нерівність її наслідком, то множина розв’язків другої нерівності буде складатись з множини розв’язків вихідної нерівності і ще може мати деякі числа, які називають зайвими розв’язками вихідної нерівності. Тому якщо під час розв’язування нерівності переходять до її наслідків, то в кінці необхідно провести перевірку.

Твердження про рівносильність нерівностей:

1. Нерівності f(x)>f(x) рівносильні.

2. Нерівності f(x)

3. Нерівності f(x)j(x)j(x) рівносильні, якщо функція j(x) визначена на ОДЗ нерівності f(x)

Можна записати, що нерівності

f(x)a рівносильні для будь-якого числа a.

4. Якщо функція j(x) додатна при всіх значення x з ОДЗ нерівності f(x)j(x)ґf(x)ґg(x) рівносильні. Якщо функція j(x) від’ємна при всіх значеннях х з ОДЗ нерівності f(x)j(x)ґf(x)>j(x)ґg(x).

5. Нерівності і f(x)ґg(x)>0 рівносильні.

Нерівності виду (4) або (5), складені для будь-яких функцій f_і(x), можуть бути зведені в систему нерівностей.

Розв’язати систему нерівностей - це значить знайти множину всіх значень аргументів функцій f_і(x), при яких справедливі всі нерівності системи одночасно.

Говорять, що системи нерівностей еквівалентні, якщо множини їх розв’язків співпадають.

2. ^{Класифікація і способи розв’язання показникових рівнянь та нерівностей.}

Функція, задана формулою де а и а називається показниковою функцією.

Сформулюємо основні властивості показникової функції .

1. Область визначення - множина R дійсних чисел або вся числова пряма. Властивість підкреслює, що степінь визначена при будь-якому дійсному показнику х.

2. Область значень - множина R₊ всіх додатних дійсних чисел (0;+Ґ).

3. Функція не є ні парною, ні непарною. Це слідує з того, що і .

4. Якщо а, функція зростає на всій числовій прямій, тобто якщо , то . Якщо функція спадає на множині R, тобто якщо , то .

5. Графіки функцій для випадків а, зображені на малюнках.

Показникова функція - це строго монотонна функція, визначена на всій числовій прямій.

Показникові рівняння відносяться до трансцендентних рівнянь. Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме входить тільки до показників степенів при постійних основах.

Показникові і логарифмічні рівняння не мають загального методу розв’язування.

Розв’язування показникових рівняннь на основні властивостей степенів: два степеня з одним і тим же додатнім і відмінним від одиниці основанием рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх показники.

Теорема: Нехай и . Рівняння рівносильно рівнянню .

Доведення: Доведемо, що якщо , то . Дійсно, так як показникова функція строго монотонна, то з рівності її значень , слідує рівність показників . Навпаки: якщо , .

Властивості степеня

1. 

2. 

3. ;

Використовуя ці властивості, рівняння

, де , (1)

потрібно розв’язувати так:.

Якщо замість x у показнику степеня стоїть деяка функція f(x), тобто рівняння має вигляд

(2)

то за допомогою логарифмирования обох частин цього рівняння (це можливо, тому що обидві частини рівняння додатні), приходимо до еквівалентного рівняння

.

Деякі показникові рівняння приводяться до виду (1) або (2) за допомогою рівностей

Приклад 1. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Оскільки

то

Рівняння виду

рівносильно рівнянню .

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Данне рівняння рівносильне рівнянню . З цього данне рівняння має два корня:

Приклад 3. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Перепишемо данне рівняння у вигляді

.

Використовуючи властивості членів пропорції, маємо

після спрощення Перетворивши данне рівняння до виду отримуємо 4-х=0, звідки слідує, що х=4.

Розв’язування показникових рівняннь, які зводяться заміною змінних до алгебраїчного рівняння. Якщо показникове рівняння має вигляд

(3) то заміною вого зводиться до рівняння виду де - корні рівняння . Так, наприклад, рівняння де - деякі числа, зводиться до розв’язування рівносильної йому совокупності рівняннь - де -корні рівняння

Приклад 4. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Позначимо і роблячи заміну змінних, отримуємо квадратне рівняння

корнями якого будуть Таким чином розв’язання данного рівняння звелося до розв’язування рівнянь

Друге рівняння розв’язків не має, тому що при всіх допустимих значеннях х. З першого рівняння отримуємо

, підносимо обидві частини рівняння у квадрат маємо . Приведемо подібні члени, отримуємо єдиний корінь . Перевіркою переконуємося, що цей корінь задовольняє початковому рівнянню.

Показникові рівняння, основи степенів яких є послідовними членами геометричної прогресії, а показники степеня однакові, приводяться до рівнянь виду (3) діленням на будь-який з крайніх членів.

Приклад 5. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Розділіим обидві частини рівняння на . Маємо

Позначаючи і виконуючи заміну змінних, отримуємо рівняння коренями якого будуть Таким чином розв’язок рівняння зводиться до розв’язування двох простіших показникових рівнянь

Відповідь:

Рівняння виду , де -дійсні числа, а основи a та b є взаємооберненими додатніми числами (ab=1), можна розв’язувати слідуючим чином. Ввести змінну та, використовуючи рівність (ab=1), перейти від рівняння до рівняння

Тоді рівняння буде рівносильно совокупності двох показникових рівнянь: де - корні рівняння , якщо це рівняння немає розв’язків, то і рівняння також не має розв’язків.

Рівняння виду де функції невідомого х, називаються степенево-показниковими рівняннями. Еквівалентні цьому рівнянню =1 та системі Тобто розв’язуються слідуючим чином:

1. Перевіряємо, чи не будуть для >0 корні рівняння =1 корнями рівняння ;

2. Перевіряємо, якщо при , функції , одночасно дорівнюють або парному, або непарному числу, то корні рівняння , будуть і корнями рівняння .

3. Тоді для рівняння еквівалентно рівнянню

Приклад 6. Розв’язати рівняння

Розв’язок:

1) Знаходимо корні початкового рівняння серед розв’язків рівняння

Перевіркою переконаємось, що х=0 належить області допустимих значень та зодовольняє початковому рівнянню, тобто є коренем рівняння.

2. Для данне рівняння еквівалентно рівнянню

Отримуємо невірну числову рівність. Це говорить про те, що у данному випадку рівняння не має розв’язків.

Відповідь: х=0.

Приклад 7: Розв’язати рівняння .

Розв’язок:

1. x-2=1 Ы . Бачимо, що і задовільняє даному рівнянню, тобто є його коренем.

2. Ы . Перевіряємо значення при , , ; , . Отримали, що функції набувають одночасно непарні значення. Тобто є коренем рівняння.

3. для початкове рівняння еквівалентно рівнянню

Відповідь:

Тобто коренями рівняння вважаються тільки розв’язки змішаної системи ,

і ті значення х, для яких =1, якщо при цих значеннях визначені та , та додатково перевіряють, якщо при , функції , одночасно дорівнюють або парному, або непарному числу, то корні рівняння , будуть і корнями рівняння . Функція виду визначена тільки при >0, тому те значення х, яке формально задовольняє рівності але при яких , не прийнято считать корнями рівняння .

Деякі спеціальні методи розв’язування показникових рівнянь. Деякі рівняння зводяться до розглянутих вище, якщо перетворити окреми їх елементи, використавши основне логарифмічне тождество.

Приклад 8. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Перетворимо другий доданок у лівій частині рівняння:

Підставляючи одержаний вираз в початкове рівняння, отримаємо

Рівняння еквівалентно рівнянню яке в свою чергу еквівалентно двом рівнянням

Розв’язуючи останні рівняння, отримуємо

Відповідь:

Деякі рівняння, які містять невідоме у показнику степеня, вдається розв’язати за допомогою дослідження функції, які входять до до лівої та правої частини рівняння. Монотонність функції часто дозволяє визначити число коренів рівняння, а іноді і знайти значення.

Приклад 9. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Корінь x=5 може бути знайденим підбором. Інших розв’язків рівняння не має, так як функція монотонно спадає, а монотонно зростає, тобто графіки цих функцій можуть перетинатися не більше ніж один раз.

Тобто графічним способом не важко знайти наближенні розв’язки рівннянь такого виду . Знання графиків функції та не рідко дозволяє визначити число розв’язків рівняння та їх наближені, а іноді і точні значення.

Означення:Нерівності, де хоча б одна з функцій показникова, називаються показниковими нерівностями.

Розв’язування найпростійших показникових нерівностей базується на використанні властивостей монотонності показникової функції.

Розглянемо розв’язання найпростійших показникових нерівностей.

1. Нерівність , де ,

а) якщо , то нерівність виконується при будь-якому значенні х (оскільки для будь-якого значення х );

б) якщо , то записавши нерівність у вигляді , дістанемо:

коли , ,

коли , ,

2. Нерівність , де ,

а) якщо , то нерівність не має розв’язку;

б) якщо , то записавши нерівність у вигляді , дістанемо:

коли , ,

коли , ,

Приклад10: Розв’язати нерівність

Розв’язання: Оскільки , то

, , і, нарешті,

Відповідь: .

3. Нерівності виду , де ,

а) якщо , то нерівність еквівалентна

б) якщо , то нерівність еквівалентна

4. Нерівності виду , де ,

а) якщо , то нерівність еквівалентна

б) якщо , то нерівність еквівалентна

Приклад 11: Розв’язати нерівність

Розв’язання: Данна нерівність рівносильна нерівності

Таким чином, початковій нервності задовільняють всі дійсні числа.

Відповідь: .

Розв’язання будь-якої нестрогої показникової нерівності відмінно від розв’язання відповідної строгої нерівності тільки включенням у множину всіх розв’язків коренів відповідного рівняння.

Нерівність вида , де , , , може бути розв’язана за допомогою логарифмування обох частин ( це можливо, тому що обидві частини нерівності додатні). При всіх нерівність справедлива для будь-якого з ОДЗ нерівності. А нерівність при ,, розв’язків не має.

Приклад 12: Розв’язати нерівність

Розв’язання: Обидві частини нерівності додатні при будь-якому значенні . Прологарифмувавши обидві частини нерівності за основою 3, отримаємо нерівність рівносильну початковій.

Таким чином . Звідсі з врахуванням того, що , знаходимо всі розв’язки початкової нерівності - проміжок

Відповідь: .

Деякі спеціальні методи розв’язування показникових нервностей.

Нерівності виду , де - будь-які дійсні числа, а основи і є протилежними взаємно оберненими числами , можливо розв’язати за допомогою заміни (так як і рівняння).

Деякі показникові нерівності містять вирази виду (степенево-показникова). Нагадаємо, що за означенням =, , , тобто функція визначена тоді, коли визначені обидві функції , і , крім того, >0.

Тобто , або

А також розв’язуються шляхом логарифмування з обов’язковим дослідженням області допустимих значень. При цьому знак нерівності зберігається, якщо логарифмуємо за основою , і змінюється на протилежний, якщо .

^{3.Класифікація і способи розв’язання логарифмічних рівнянь та нерівностей.}

Рівняння де а>0 і а, це рівняння не має розв’язків, якщо , і має єдиний корінь у випадку . Цей корінь називають логарифмом b за основою а і позначають , тобто

Логарифмом числа b за основою а називається показник степеня, до якого треба піднести основу а, щоб дістати число b. Формулу (де і ) називають основною логарифмічною тотожністю.

Фунцкію, задану формулою називають логарифмічною функцією за основою а.

Якщо деякий вираз А, який складається з додатніх чисел за допомогою операцій множення, ділення та піднесення до степеня, то використовую властивості логарифмів, можно виразити через логарифми входящих у вираз А чисел. Таке перетворення називається логарифмуванням. Розв’язок оберненої задачі , тобто знаходження виразу за його логарифмом, називається потенціюванням.

Під час роботи з логарифмами застосовуються такі їх властивості, що випливають з властивостей показникової функції:

Для будь-якого і будь-яких додатних х і y виконуються рівності

1. Логарифм одиниці рівен нулю

2. Логарифм основи дорівнює одиниці

3. Основна логарифмічна тотожність.

Якщо то .

4. Формула для логарифма добутку.

Якщо і , то

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів.

Якщо і , то

5. Формула для логарифму частки

Якщо і , то

Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів.

Якщо і , то

6. Формула логарифма степеня.

Якщо , то

Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи цього степеня.

7. Формула переходу від одної основи логарифму до другой.

Якщо , то для будь-якого дійсного числа b>0 та b№1

Таким чином ми бачимо, що при зміні основи значення логарифмів змінюються пропорційно. Коефіцієнт пропорційності називають модулем переходу.

Частинні випадки :

або ;

, .

Властивості степенів і логарифмів тісно пов’язані між собою. Вони фактично виражають одне і теж тільки один раз ми звертаємо увагу на поведінку самих степенів, а другий - на поведінку показників степеня:

Література.

1. Методика викладання математики. Під ред. Бевз Г.П.-К.: Рад.школа, 1974.

2. Методика викладання математики. Практикум./за заг. ред. доц. Г.П. Бевз, -К.:Вища школа,1991.

3. Програми з математики для 5-9 кл. основної та 10-11 кл. старшої школи.- К, 1994.

4. Груденов Я.І. Психолого-дидактичні основи методики викладання математики.- М:Педагогіка, 1987.

5. Образование: идеалы и ценности(историко-теоретический аспект) Под ред. З.И.Равкина. - М.: ИТПиО РАО,1995. - С. 361.

6. Литвиненко Г.М., Федченко Л.Я., Швець В.О. - «Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту», частина І.

7. «Алгебра і початки аналізу 10-11 клас» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук -К: Зодіак-ЕКО,1995р.

8. «Алгебра і початки аналізу 10-11 клас» ^{за редакцією Колмогорова А.М. та ін}

9. ^{Швець В.О. Навчальні цілі і методика їх формування / методика викладання математики і фізики. Респ. наук. метод. зб.} К.: ^{Рад. шк., 1992 р.}

10. ^{Особливості поглибленого вивчення математики в 11 класі / Навчально-методичний посібник / К.: Освіта, 1992 р.}

11. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. / М.: Наука, 1988г.

12. ^{Сліпкань З.І. Психолого-педагогічні основи навчання математики./Київ: "Вища школа".}

13. ^{Ципкін О.Г., Пінський О.І. Довідник по методам розв’язання задач з математики./Москва:"Наука", 1989 р.}

14. ^{Гайштут О.Г., Литвиненко Г.М. Розв’язування алгебраїчних задач./Київ:"Радянська школа",1991р.}

    
    

2. НАВЧАЛЬНІ ЦІЛІ ПРИ ВИВЧЕННІ ТЕМИ ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ.

Зміст і структуру освіти визначають цілі. Своє вираження вони завжди приймають у вигляді переліку певних вимог, які характеризують кінцевий результат процесу навчення і виховання.

У програмі з математики для середньої школи, зокрема в розділі « Тематичне планування навчального матеріалу», зміст освіти по кожному із курсів (математика, геометрія, алгебра, алгебра і початки аналізу) розбито на навчальні теми. Вивчаючи кожну з них, вчитель і учні ставлять перед собою певні цілі. Саме їх ми і будемо називати навчальними.

Навчальні цілі- ідеальне уявлення результату, який має бути досягненим в ході вивчення тієї чи іншої навчальної теми.

Слід відмітити, що навчальна ціль як ідеальний результат майбутньої діяльності проектується при вивченні математики такими п’ятьма напрямками.

1. формування світогляду і особистості учня;

2. Формування мислення і мовної культури учня;

3. Розвиток прикладних і політехнічних вмінь;

4. Розвиток загальнотрудових і навчальних вмінь;

5. вимоги до математичної підготовки учнів.

Кожний із цих напрямків, очевидно, теж визначає цілі, які будуть похідні від навчальної. Їх у дидакитиці прийнятоподіляти на три групи, відповідно називаючи кожну з груп: дидактична або освітня мета, виховна мета і розвиваюча. Формуються навчальні цілі завжди свідомо і мають бути науково-обгрунтованими та прктично досяжними.

Визначимо навчальні цілі які повинні бути поставленні перед вчителем і учнями в процесі вивчення теми «Показникова і логарифмічна функції»:

1. Учні повинні вміти зображати графік показникової і логарифмічної функцій, повинні знати основні показникові та логарифмічні тотожності.

2. Учні повинні вміти роз’вязувати типові вправи на використання основних показникових та логарифмічних тотожностей. Вміти розв’язувати основні плказникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи.

Сформульовані цілі визначають певний рівень навчально-пізнавальноїдіяльності учнів під час вивчення данної теми. Це так званий рівень вмінь і навичок. У дидактиці виділяють кілька таких рівнів. Будемо дотримуватись класифікації рівнів, яка дана в посібнику ():

І-й рівень - рівень знайомства,

ІІ-й рівень - рівень відтворення,

ІІІ-й рівень - рівень умнь і навичок,

IV-й рівень - рівень творчості.

Учень, який досяг І-го рівня навчально-пізнавальної діяльності, здатний впізнати предмет, об’єкти, процеси, властивості, але тільки за їх виглядом описом, зображенням, характеристикою. Кажуть, що він володіє знаннями-знайомствами.

Іноді ці знання умовно поділяють на знання про об’єкти що вивчаються і оперативні знання (про зв’язки між об’єктами).

Учень, який досягнув ІІ-го рівня, повинен вміти відтворити (повторити) інформацію, операції, дії, засвоєнні під час навчання. В цьому випадку кажуть, що він володіє знаннями-копіями. Розділяють буквальне і реконструктивне відтворення.

На ІІІ-му рівні учень повинен уміти виконувати дії, загальна методика і послідовність (алгоритм), яких вивченні на заняттях, але зміст і умови їх виконання нові.

Успішно навчаючись учень може досягнути IV-го рівня. Тоді він здатний самостійно орієнтуватись в нових, нестандартних ситуаціях, складати програму дій і виконувати їх, пропонувати нові, невідомі йому раніше розв’язання. Його діяльність носить пошуковий характер.

Визначені цілі, очевидно, будуть цілями ІІІ-го рівня, саме того, який повинен бути досгнутий всіма учнями в процесі вивчення теми «Показникова і логарифмічна функція». Проте процесзасвоєння підпорядкований ієрархії рівнів діяльності: учень не може перейти на ІІІ-й рівень, минувши рівні І і ІІ. Тому, крім визначених цілей ІІІ-го рівня, повинні бути сформульовані цілі І-го і ІІ-го рівнів. Вони безпосердньо проектуються вже виділеними цілями ІІІ-го рівня. Так, в нашому випадку ще дві цілі: «Учні повинні знати означення показникової і логарифмічної функцій», «Учні повинні знати і вміти доводити властивості логарифмічної та показникової функцій». Щодо цілей IV-го рівня, то їх визначити потрібно, але відносити до класу дидактичних не варто. Оскільки досягнути їх всі учні класу не можуть. Правильно буде, якщо віднести їх до класу розвиваючих.

Підкоригувавши формулювання чотирьох визначених цілей та встановивши відповідно до принципу ієрархії порядок їх досягнення, матимемо:

Тема: «Показникова та логарифмічна функції».

(20 (30)год)

Мета: Вивчивши тему учні повинні знати означення показникової та логарифмічної функції;

вміти доводити їх властивості, будувати графіки данних функції, розв’язувати вправи на використання основних властивостей даних функцій з достатнім обгрунтуванням в ході розв’язання.

Теоретичний матеріал теми не весь вивчається на одному й тому ж рівні. Певна його частина вивчається на рівні знайомства, інша на рівні знань чи умінь і навичок. Для того, щоб знати на якому рівні яка частина матеріалу вивчається (щоб виділити головне і знати другорядне) здійснюють розбиття всього матеріалу на елементи знань.

Під елементом знань розуміють логічно завершену порцію інформації. В математиці кожному елементу знань встановлюють його статус : поняття - П; факт- Ф; твердження -Т; ознака -О; метод -М; спосіб дії -СД.

Розбиття навчального матеріалу на елементи знань і побудова графічної схеми взаємозв’язку між ними називається логіко-дидактичним аналізом навчального матеріалу.

Проведемо логіко-дидактичний аналіз при вивченні теми «Показникова функція» за новим підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11кл» Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С.

И в заключение хотелось бы поделиться своими впечатлениями от новой формы обучения - с помощью компьютера. Конечно, нельзя все сводить к нему, - и количество часов, проведенных за экраном, не может служить критерием качества обучения, как это пытаются представить в некоторых частных школах. Но несомненно одно - компьютер отличный помощник для организации индивидуального обучения. Ведь как только педагог перестает видеть в ученике просто сосуд, который нужно наполнить знаниями и умениями, ему приходится искать индивидуальный подход к каждому, подстраиваться под его интересы, темп усвоения материала, личные особенности психики. Например, в некоторых школах каждый ученик может выбрать для себя не просто интересующий его курс, но даже отдельные предметы. Компьютер же, как известно, выполняет ту программу, которая в него заложена, и предоставляет огромный выбор тем для изучения. Современные методы представления информации в компьютерах включают в себя не просто текст, но и картинки, видео, звуковые фрагменты. Это позволяет задействовать практически все органы чувств, используемых для восприятия информации, при этом происходит ее дублирование по различным каналам восприятия, что резко повышает скорость и качество усвоения материала. Компьютерный учебник нельзя уже сравнивать с книгой, как это было всего несколько лет назад - сейчас многие обучающие программы невозможно отличить от игр, и для того, чтобы победить в такой игре, понадобятся знания, которые ребенку трудно принять как необходимые ему именно сейчас - ведь всем нам свойственно откладывать "на потом" решение многих проблем. А такой элемент современных компьютерных документов, как гипертекстовая ссылка позволяет при необходимости обратиться в любое место документа за дополнительной информацией, и в то же время при повторном изучении не перегружает исходный текст документа. Кстати, по принципу гипертекста устроена всемирная информационная сеть Internet, с помощью которой уже сейчас проводится так называемое "дистанционное обучение" - когда профессора крупнейших университетов выступают с лекциями и отвечают на вопросы не привычной студенческой аудитории, а перед теми, кто в данный момент подключен к их узлу сети. Несмотря на тишину и видимое отсутствие слушателей последних может быть не меньше, чем зрителей у телеэкрана, но в отличие от книги или телепередачи сохраняется обратная связь между преподавателем и учениками. Это - реальность сегодняшнего дня. Интересно, что нас (и наших детей) ждет в недалеком третьем тысячелетии.

Образование: идеалы и ценности(историко-теоретическийаспект) Под ред. З.И.Равкина. - М.: ИТПиО РАО,1995. - С. 361.

^План.

^{Вступна частина.}

^{І. Загальна теорія рівнянь:}

1. ^{Рівняння основні означення, твердження.}

2. ^{Класифікація і способи розв’язання показникових рівнянь та нерівностей.}

3. ^{Класифікація і способи розв’язання логарифмічних рівнянь та нерівностей.}

^{ІІ. Місце показникових і логарифмічних рівнянь та нерівностей в шкільному курсі алгебри:}

1. ^{Місце в діючій програмі і в проекті нової програми.}

2. ^{Навчальні цілі при вивченні тем показникова і логарифмічна функції.}

3. ^{Аналіз діючих підручників та тестів.}

^{ІІІ. Методика навчання розв’язання показникових і логарифмічних рівнянь та нерівностей.}

1. ^{Методичні особливості навчання.}

2. ^{Диференційована система вправ:}

^{а) показникові рівняння і нерівності;}

^{б) логарифмічні рівняння і нерівності;}

^{Використання нових інформаційних технології при вивченні тем показникові і логарифмічні рівняння та нерівності.}

^{ІV. Висновки.}

^{V.Список використаної літератури.}

^{3. Аналіз діючих підручників та тестів.}

Порівняльна характеристика тем.

Останній час тема «Показникова і логарифмічна функція» вивчається в середній школі за підручником під редакцією А.Н.Колмогорова. На сьогоднішній день з’явився новий підручник авторами якого є М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук, в якому данна тема вивчається дещо по іншому. Проведемо порівняльну характеристику вивчення данної теми в згаданих підручниках.

Тема: «Показникова функція».

Тема: «Логарифмічна функція».

Провівши порівняльну характеристику вивчення тем показникова і логарифмічна функції в обох підручниках, можна зробити слідуючи висновки:

1. В обох підручниках тема «Показникова функція» і «Логарифмічна функція» вивчаються на основі одних і тих понять.

2. Понятійний апарат більш ширший в новому підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.». В підручнику під редакцією А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» понятійний апарат дуже вузький. Тому для глибокого і досконалого вивчення заданих тем бажано використовувати новий підручник.

3. Більш строгий виклад теорії спостерігається в підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.». В ньому доводяться всі властивості і розглядаються всі можливі випадки з доведенням. В підручнику А.Н. Колмогорова у доведення властивостей не дуже заглиблюються. Детально доводяться лише базові властивості. Все інше дається без доведення.

4. Розв’язування показникових, логарифмічних рівнянь і нерівностей більш широко і доступно викладено в підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» тому його бажано використовувати для більш поглибленого вивчення даної теми.

В підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» властивості і теореми доводяться детальніше, тому він може бути використаний для самостійного вивчення тем учнями.

^{ІІ. Місце показникових і логарифмічних рівнянь та нерівностей в шкільному курсі алгебри.}

^{1. Місце в діючій програмі і в проекті нової програми.}

^{Провідною ідеєю організації процесу вивчення математики у середніх навчально-виховних закладах є рівнева і профільна диференціація. На цій основі створюються умови для його гуманізації, демократизації та реалізації культуротворчої функції національної школи. Програми визначають базовий зміст математичної освіти в основній і старшій школі з урахуванням кількості годин на математику, передбачених базовим та іншими навчальними планами і діючими підручниками та навчальними посібниками.}

^{Програми передбачають можливість реалізації базової математичної освіти з різним ступенем обгрунтованості і повноти на основному (обов’язковому для всіх учнів) та підвищеному (для тих, хто має здібності та інтерес до математики) рівнях, які визначають мінімальний і максимальний обсяги навчального матеріалу у масовій школі. Їх засвоєння - необхідна умова для одержання учнем відповідно позитивної та відмінної оцінок з математики.}

^{Вивчення теоретичного матеріалу на основному рівні, як правило, не потребує відтворень доведень і обгрунтувань, але бажання і спроби роботи це необхідно всіляко підтримувати та заохочувати, як і спроби розв’язувати задачі і вправи складніші, ніж обов’язкові для всіх учнів.}

^{Зрозуміло, що підвищенний рівень засвоєння учнями теоретичного матеріалу, оволодіння практичними уміннями і навичками розв’язування задач і вправ характеризується досить високим рівнем обгрунтованості і пояснення. Учні, які претендують на відмінну оцінку з математики, повинні вміти розв’язувати практично весь задачний матеріал підручника або навчального посібника, крім включеного до додаткових розділів або позначеного зірочками.}

^{Показникові й логарифмічні рівняння та нерівності вивчаються в 11 класі загальноосвітньої школі у розділі «Показникова і логарифмічна функції». За підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11 кл» за редакцією Колмогорова А.М. та ін. На вивчення розділу « Показникова, логарифмічна і степенева функції» відводиться 28 годин. Цей розділ містить в собі такі теми: Узагальнене поняття степеня. Поняття про степінь з ірраціональним показником, розв’язування ірраціональних рівнянь і їх систем. Показникова функція, її властивості і графік. Основні показникові тотожності: , . Тотожні перетворення показникових виразів. Розв’язування показникових рівнянь, нерівностей і систем.}

^{Поняття про обернену функцію. Логарифмічна функція, її властивості і графік. Основні логарифмічні тотожності. ,}

^{Тотожні перетворення логарифмічних виразів. Розв’язування логарифмічних рівнянь, нерівностей і систем. Похідна показникової функції. Число е і натуральний логарифм. Похідна степеневої функції. Диференціальне рівняння радіоактивного розпаду.}

^{За підручником} під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» тема «Показникова і логарифмічна функція» вивчається в школі 20(30) годин. В цій темі вичається: Поняття про степінь з ірраціональним показником. ^{Показникова функція, її графік і властивості. Розв’язування показникових рівнянь, нерівностей та їх систем. Логарифм числа. Основні властивості логарифмів. Розв’язування логарифмічних рівнянь, нерівностей та їх систем.}

У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функції, їх властивості та графіки, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової і логарифмічної функції, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи, здійснювати обчислення числових виразів з логарифмами і степенями.

Учні повинні навчитися схематично зображати графіки показникових і логарифмічних функцій при різних основах, пам’ятати основні властивості цих функцій та вміти використовувати їх при розв’язанні показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей та їх систем. Бажано ознайьмити учнів на факультативних чи гурткових заняттях із схематичним зображенням графіків показникових та логарифмічних функцій з модулями.

У процесі розв’язування показникових і логарифмічних рівнянь та їх систем корисно систематизувати знання учнів про рівносильність рівнянь і систем, виділити операції, які можуть порушувати рівносильність. Слід звернути увагу на причини виникнення сторонніх коренів при розв’язуванні рівнянь і в зв’язку з цим на необхідність перевірки знайдених розв’язків, а також на причини втрати коренів.

Засвоення учнями нових знань при вивченні розділу базується на раніше вивченному матеріалі про степені й корені, розв’язанні системи алгеьраїчних рівнянь і нерівностей, тощо. Бажано, щоб актуальні питання раніше вивченного матеріалу грунтовно систематизувалися за рахунок часу, виділеного на узагальнююче повторення. При плануванні узагальнюючого повторювання це слід урахувати, і до повторенного матеріалу безпотреби можна не повертатися.

Зона 1

Зона 2

Зона 1

Зона 2

Sheet 1: Лист1

Sheet 2: Лист2

^{ІІІ. Методика навчання розв’язання показникових і логарифмічних рівнянь та нерівностей.}

1. ^{Методичні особливості навчання.}

Показникові рівняння.

Приступаючи до розв’язування найпростійших показникових рівнянь, доцільно вписати на довідковій таблиці або на дошці основні формули дій із степенями.

Спочатку доцільно розглянути найпростіші рівняння виду . Записуючи праву частину рівняння як степінь чисоа 2, дістаємо . Оскільки основи даних степенів рівні і самі степені рівні, то маємо змогу прирівняти показники: . Тоді дістаємо:

Звертаємо увагу учнів на те, що записані вище формули, якщо їх застосовувати зліво направо, дають змогу замість двох степенів записати один степінь. Отже, якщо в лівій і правій частинах даного показникового рівняння тільки добутки, частки, степені або корені, то можна це рівняння завжди звести до найпростійшого рівняння виду , . Цей орієнтир бажано занотувати в зошитах учнів, щоб вони в подальшому вільно пізнавали такі показникові рівняння, які безпосередньо зводяться до найпростійших.

Приклад: Розв’язати рівняння

.

Розв’язання: Звертаємо увагу учнів на те, що в лівій і правій частинах цього рівняння є добуток, частка, степінь або корінь із степеня числа 3. Отже, це рівняння можна безпосередньо звести до найпростішого. Тобто після перетворення степенів дістаємо:

Звідси .

Розв’язавши це рівняння дістаємо: .

Після відпрацювання розв’язання найпростійших рівнянь бажано запропонувати учням загальну схему пошуку розв’язку складніших показникових рівнянь. Ця схема може бути, наприклад, такою:

1. Звільняємось від числових доданків упоказниках степенів.

2. Пробуємо всі степені звести до однієї основи.

3. Якщо не вдається звести до однієї основи, то пробуємо звести до двох основ так, щоб дістати однорідне рівняння.

4. В інших випадках використовуємо спеціальні прийоми розв’язування: а) використовуємо монотонність показникової функції; б) оцінюємо множину значень функції, у лівій і правій частині рівняння і т.д.

Приклад: Розв’язати рівняння .

Розв’язання: Звільнившись від числових доданків у показниках, дістаємо:

Як бачимо, звести всі степені до однієї основи не вдається, тому пробуємо звести всі степені до двох основ. Помічаємо, що , а . Тоді наше рівняння перетворюється в таке:

Звертаємо увагу учнів на те, що всі члени цього рівняння мають однаковий сумарний степінь - . Згадуємо означення і ідею розв’язку однорідного рівняння. (Рівняння, всі члени якого мають однаковий сумарний степінь, називається однорідним. Розв’язується однорідне рівняння діленням на найвищий степінь.)

Після відпрацювання зазначних прийомів розв’язування показникових рівнянь доцільно звернути увагу учнів на те, що для розв’язування деяких показникових рівнянь доречно використовувати теорему про корінь. Нагадаємо цю теорему:

Якщо функція зростає (або спадає) на деякому проміжку, то рівняння не може мати більше ніж один корінь у цьому проміжку.

Приклад: Розв’язати рівняння

Розв’язання: Зведемо це рівняння до виду , - зростаюча або спадна функція. Для цього поділимо обидві частини цього рівняння на , дістаємо:

Але і спадні функції, отже, і їх сума теж спадна функція. Тоді за теоремою про корінь дане рівняння може мати тільки один корінь. Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що є коренем даного рівняння. Інших коренів рівняння не має.

Відповідь: .

Доцільно виділити для учнів загальну ідею виконаного розв’язування, наприклад, у такому вигляді:

1. За допомогою підстановки конкретних значень змінної знаходимо один або кілька коренів даного рівняння.

2. Доводимо, що дане рівняння інших коренів не має.

При доведенні того, що рівняння не має інших коренів, крім знайдених, поряд з теоремою про корінь інколи використовується така властивість: якщо на деякій множині функція зростає, а функція спадає, то рівняння не може мати на множині більш ніж один корінь.

Приклад: Розв’язати рівняння .

Розв’язання: Підбором знаходимо, що - корінь рівняння.

Доведемо, що інших коренів це рівняння не має. Рівняння не може мати від’ємних коренів, бо при ліва частина - додатнє число, а права частина - від’ємне. При функція спадає, а функція зростає як сума двох зростаючих функцій. Отже коли , рівняння має тільки один корінь .

Відповідь: .

Розв’язуючи показникові рівняння, можна використовувати ті загальні прийоми, які використовувались при розв’язуванні інших типів рівнянь. Наприклад, розв’язуючи рівняння виду , можна розкласти на множники і використати умову рівності добутку нулю.

Показникові нерівності.

При розв’язуванні найпростіших показникових нерівностей, що дуже доступно викладено в підручнику, доцільно звернути увагу учнів на те, що іноді потрібен спеціальний аналіз для оцінки основи показникової функції.

Приклад : Розв’язати нерівність

Розв’язання: Оскільки (очевидно, що , отже, , крім того, ), то показникова функція є спадною. При переході в даній нерівності до аргументу знак нерівності змінюється на протилежний, тобто дана нерівність рівносильна нерівності . Розв’язуючи цю квадратну нерівність, дістаємо: .

Розв’язуючи складніші показникові нерівності, бажано звернути увагу учнів на доцільність використання тієї самої схеми розв’язування нерівностей, що й для показникових рівнянь.

Бажано показати учням можливість застосування узагальненого методу інтервалів до розв’язування показникових нерівностей. Доцільно нагадати відому їм з курсу 10-го класу схему розв’язання нерівностей виду ( де - неперервна на кожному інтервалі своєї області визначення функція) методом інтервалів, а саме:

1. Знаходимо область визначення нерівності.

2. Знаходимо нулі функції.

3. Позначаємо нулі функції на області визначення і знаходимо знак у кожному інтервалі, на які розбивається область визначення.

Приклад: Розв’язати нерівність

Розв’язання. Перенесемо всі члени нерівності в ліву частину і розв’яжемо нерівність методом інтервалів.

1. Область визначення: - будь-яке число.

2. Нулі функції:

або

або

або .

3. Позначимо нулі функції на області визначення і знайдемо знаки лівої частини нерівності в кожному інтервалі.

- + -

0 2

Відповідь: .

Іноді під час розв’язування складніших нерівностей використовують властивості монотонності функцій.

Приклад: Розв’язанти нерівность

Розв’язання : Функція зростає на множині всіх дійсних чисел як сума зростаючих функцій. Знайдемо корінь рівняння . За теоремою про корінь це рівняння має єдиний корінь. Легко бачити, що - корінь цього рівняння. Враховуючи зростання функції , дістаємо, що при , , де ; при , , де . Отже, розв’язком даної нерівності буде .

Логарифмічні рівняння і нерівності.

При введенні поняття логарифму і властивостей логарифмічної функції необхідно значну увагу приділити вмінню застосовувати основну логарифмічну тотожність, а також формулу переходу від однієї основи логарифма до іншої.

Приступаючи до розв’язування логарифмічних рівнянь, треба враховувати, що всі властивості логарифмічної функції були доведені за умови, що вирази, які стоять під знаком логарифма, додатні.

Наприклад, тільки при і .

Якщо ж у рівнянні або нерівності знаходиться вираз-добуток , то він буде додатнім не тільки тоді, коли і додатні, але й тоді,, коли та будуть одночасно від’ємні. У цьому випадку формулу «логарифм добутку» не використовують, бо можлива втрата коренів.

Структура рівносильних перетворень рівнянь або нерівностей.

1. Область визначення.

2. Обмеження, які необхідні для гарантування прямих і обернених перетворень.

3. Відповідні властивості числових рівностей або нерівностей або властивості відповідних функцій.

Як бачимо, щоб виконувані перетворення були рівносильні, необхідно, щоб виконувалися і обернені перетворення на області визначення даного рівняння.

Бажано по можливості не використовувати формули логарифмування добутку, частки, і парного степеня, якщо це призводить до звуженняобласті визначення рівняння, а користуватися цими формулами тільки справа наліво, що приводить до розширення області визначення (в цьому випадку модлива хіба що поява сторонніх коренів, але їх можна відсіяти перевіркою).

Приклад: Розв’язати рівняння (1).

Розв’язання: На області визначення рівняння це рівняння рівносильне рівнянню (2)

яке в свою чергу рівносильне рівнянню (3)

Усі перетворення рівносильні, бо на області визначення даного рівняння можна виконувати перетворення (1) - (2) - (3) і обернені перетворення (3) - (2) - (1). Скоротивши в рівнянні (3) дріб на ( на області визначення), дістанемо рівносильне рівняння: (4).

Це рівняння за означенням логарифма рівносильне рівнянню (5).

Звідси . Оскільки ці значення входять в область визначення рівняння і ніяких додаткових обмежень у нас не було, то - корені даного рівняння.

Слід звернути увагу учнів на те, що при розв’язуванні логарифмічних рівнянь можна користуватися не тільки рівносильними перетвореннями, але й діставати рівняння-наслідки (коли ми гарантуємо тільки прямі перетворення і не гарантуємо обернені). Учні повинні розуміти, що при використанні рівнянь-наслідків можлива поява стороніх коренівь і тому в цьому випадку перевірка є складовою частиною розв’язування рівняння.

Слід звернути увагу учнів на те, що певної акуратності потребує використання формули переходу від однієї основи до іншої:

де , , , .

Якщо і -числа, що недорівнюють одиниці, то цю формулу можна застосовувати і зліва направо і справа наліво ( при ), тобто використання цієї формули при розв’язуванні рівнянь або нерівностей приводить до рівняння (нерівності), рівносильного даному. Якщо ж новою основою логарифма є вираз із змінною, то може виявитися, що цей вираз на області визначення початкового рівняння дорівнюватиме одиниці, а після застосування формули переходу від однієї основи до іншої вираз, що стоїть в основі логарифма, вже недорівнюватиме одиниці. В цьому випадку застосування формули переходу від однієї основи до іншої може привести до втрати тих коренів початкового рівняння, для яких нова основа логарифма дорівнює одиниці.

Підсумовуючи ці міркування, робимо висновки: якщо при переході від однієї основи логарифмів до іншої нова основа - число (звичайно більше від нуля і не дорівнює одиниці), то дістанемо рівняння, рівносильне даному на його області визначення.

Якщо доводиться використовувати вираз із змінною як нову основу логарифма, то щоб не втратити корені рівняння, необхідно розглядати два випадки:

1. вираз, який береться як нова основа, дорівнює одиниці (якщо це можливо на області визначення розглядуваного рівняння), і перевіряємо, чи будуть ці значення змінної, при яких вираз дорівнює одиниці, коренями даного рівняння;

2. нова основа не дорівнює одиниці - в цьому випадку користуємося формулою переходу від однієї основи логарифма до іншої.

Бажано звернути увагу учнів на те, що деякі логарифмічні рівняння, які зведені до вигляду можна розв’язати за допомогою розкладання лівої частини рівняння на множники.

Досить часто зустрічаються рівняння, члени яких є степенями, в яких основа і показник степеня - функції від змінної величини.

Приклад: Розв’язати рівняння .

Розв’язання: Область визначення: . Тоді ліва і права частини цього рівняння додатні на області визначення. Прологарифмуємо обидві частини за основою 4:

.

Дістаємо рівняння, рівносильне даному на області визначення:

.

Позначимо і, врахувавши, що , маємо:

Звідсі або .

Тоді або . Отже, або .

Оскільки ці значення входять до області визначення, то і - корені даного рівняння.

Підводячи підсумки розв’язування цього рівняння, бажано звернути увагу учнів на те, що в цьому рівнянні (в його лівій частині) змінна входить і в основу, і в показник степеня. Доцільно зафіксувати в зошитах учнів, що рівняння, в якому змінна входить і в основу, і в показник степеня, найчастіше розв’язується логарифмуванням обох частин рівняння.

Слово «найчастіше» присутне в наведеному правилі в зв’язку з рівняннями типу: .

На його області визначення це рівняння рівносильне рівнянню: , яке за основною логарифмічною тотожністю рівносильне (на області визначення) рівнянню .

Звідси (не входить до області визначення) або (входить до області визначення і є коренем).

Після відпрацювання цього правилу на прикладах доцільно запропонувати учням більш загальний підхід (він, як правило, використовується тоді, коли немає можливості взяти логарифм від обох частин рівняння) - перехід від степеня, в основі якого стоїть вираз із змінною, до степеня з числовою основою за формулою

, де , .

Зауваження. Очевидно, що при цю формулу можна застосовувати як зліва направо, так справа наліво. Якщо ми використаємо цю формулу при розв’язуванні рівняння, на області визначення якого , то ми гарантуємо і прямі, і обернені перетворення, тобто гарантуємо рівносильність утвореного рівняння на області визначення даного.

Необхідно звернути увагу учнів на те, що ідея логарифмування обох частин рівняння (або нерівності) є досить плідною і може використовуватись для розв’язування різних типів рівнянь (нерівностей), починаючи з найпростійших показникових типу (за означенням логарифма або прологарифмувавши обидві частини за основою 2, маємо: , тобто ).

Враховуючи те, що в останні 40-50 років у старших класах середньої школи реалізується функціональний підхід до рівняння, будемо вважати, що степені, в яких і основа, і показник степеня є функціями відзміної величини, означені тільки для тих значень змінних, при яких їх основи додатні (якщо в самій умові задачі не сказано протилежне).

Логарифмічні нерівності.

Розв’язуючи логарифмічні нерівності, доцільно використати загальну схему рівносильних перетворень нерівностей. Ця схема іноді дає надмірну систему обмежень, яку можна суттєво спростити. Для рівносильності рівнянь надмірність системи обмежень майже не впливає на об’єм роботи щодо розв’язування цих рівнянь - можна не знаходити відповідні значення змінної з цих обмежень, а тільки перевіряти для кожного знайденого кореня. Розв’язком нерівності, як правило, є інтервал (або кілька інтервалів), які містять нескінчену множину чисел, а всі їх перевірити неможливо. Отже для розв’язування нерівності доведеться знаходити відповідні значення змінної з усіх записаних обмежень, і тому чим менше залишиться цих обмежень, тим краще. Бажано запропонувати учням не знаходити окремо область визначення нерівності, а спочатку записувати повну систему обмежень і рівносильну нерівность, а потім намагатися споростити утворену систему.

Приклад: Розв’язати нерівность

Розв’язання: Оскільки , то . Тоді функція -спадна, і наша нерівность рівносильна системі:

Нерівність (2) є наслідком нерівностєй (3) і (1) . Отже, ця система рівносильна системі, що складається тільки з нерівностей (1) і (3), тобто

Розв’язуючи окремо нерівності (1) і (3), дістаємо: для

(1) - ; для (3) - . Тоді загальним розв’язком системи буде .

Слід звернути увагу учнів на те, що при розв’язуванні логарифмічних нерівностей можна використовувати всі ті прийоми, які використовувалися при розв’язуванні логарифмічних рівнянь.

Розв’язування деяких нерівностей за допомогою рівносильних перетворень досить громіздке, і тому використовуємо для розв’язування деяких нерівностей узагальнений метод інтервалів.

Приклад: Розв’язати нерівность.

Розв’язання: Методом інтервалів.

1. Область визначення.

тобто

2. Корені . Це рівняння на області визначення рівносильне рівнянню . Звідсі або (входять до області визначення).

3. Позначимо корені на області визначення (на малюнку) і знайдемо знак у кожному інтервалі, на які розбивається область визначення.

+ - + - - +

0 1 2 3

Відповідь: