Реферат: Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b) Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой про­межуточной точке с абсциссой с(а, b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непре­рывной на [а, b] функции, имеющей производную на (a, b), то на этой кри­вой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b))

#32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)0 в (а, b), то существует точка c(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка c(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы.

#33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) lim_xa+0f(x)=lim_xa+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) lim_xa+0f’(x)/g’(x)=k тогда lim_xa+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a0 ( т.к. если g(x)=0=g(0) (a,x) g’()=0-это не возможно по условию. Если xa  ca  lim_xa+0f(x)/g(x)= lim_xa+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+) c>0 ; 2) lim_x+f(x)=lim_xa+g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+) g’(x)0 ;4) lim_xa+f’(x)/g’(x)=k Тогда lim_xa+f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x+t0 по условию 2) lim_t0f(1/x)= lim_t0g(1/x)=0 ;По усл 4) lim_t0f’(1/t)/g’(1/t)=k по т1 lim_xa+f(x)/g(x)= lim_xa+f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) lim_xa+0f(x)=+; lim_xa+0g(x)=+; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) lim_xa+0f’(x)/g’(x)=k тогда lim_xa+0f(x)/g(x)=k

#34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.х(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f⁽ⁿ⁾(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)/2!+…+ f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)⁽ⁿ⁾/n!+o((x-x0)ⁿ)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)/2!+…+ f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)⁽ⁿ⁾/n!+f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-x0)ⁿ⁺¹/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)ⁿ/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)ⁿ ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(x0)=f⁽ⁿ⁾(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)ⁿ;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(xn)=f⁽ⁿ⁾(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)^n-1 ; P’’n(x)=2A2+32A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)^n-2 ;Pn⁽ⁿ⁾=n(n-1)(n-2)…An; P(x0)=A0=f^(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fⁿ(x0)(x-x0)/2!+…+f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)ⁿ/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(x0)=f⁽ⁿ⁾(x0) ; r_n(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир r_n^(n-1)(x) диф-фма в () x0 то lim_xx0r_n^(n-1)(x)/(x-x0)= lim_xx0 (r_n^(n-1)(x))-r_n^n-1(x0)/(x-x0)=r_nⁿ(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим lim_xx0r_n(x)/(x-x0)ⁿ= lim_xx0r_n’(x)/n(x-x0)^n-1=…= lim_xx0r_n^(n-1)(x)/n!(x-x0)=r_n⁽ⁿ⁾(x)/n!=0 r_n(x)=o((x-x0)ⁿ),xx0

#35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=e^x, f(0)=1, f^(k)(x)=e^x, f^(k)(0)=1, e^x=1+x+x/2!+…+xⁿ/n!+o(xⁿ), x0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f^(IV)(x)=sinx,…; f^(k)(x)={(-1)^msinx, k=2m {(-1)^m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f^(2m-1)(0)=(-1)^m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-…+(-1)^n-1x^2m-1/(2m-1)!+o(x)^2m,x0; cosx=1-x/2!+x⁴/2!-x⁶/6!+….+(-1)^mx^2m/(2m)!+o(x^2m+1),x0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x), f’’’(x)=2/(1+x)³…,f^(k)(x)=(-1)^k-1(k-1)/(1+x)^k ;f^(k)(0)=(-1)^k-1(k-1)! Подставим в формулу Тейлора  l(1+x)=x-x/2+x³/3+..+(-1)^n-1xⁿ/n+o(xⁿ),x0 ; 5)f(x)=(1+x)^ f(0)=1, f’(x)=(1+x)^-1, f’’(x)=(-1)(1+x)^-2; f^(k)(x)=(-1)…(-k+1)(1+x)^-k ;f^(k)(0)=(-1)…(-k+1); (1+x)^=1+x+(-1)x/2!+…+(-1)…(-n+1)xⁿ/n!+o(xⁿ), x0

#36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0(a,b), x>0, тогда f(x0+x)-f(x0)>=0; x0; (y<=0)  y/x>=0 (y/x<=0)  f’(x0)=lim_x0y/x>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть  x(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a0, f’(c)>=0 (f’(c)<=0) f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0) f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1))  ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 x(a,b) (f’(x)<0,x(a,b))f’(c)>0 (f’(c)<0)f(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0)

#37{Т}Пусть () x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум   U(x0,) |  xU(x0,) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,) по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е.  >=0 |  x(x0,x0+] f’(x)<0 (or f’(x)>0), а  x(x0-,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для x(,x0+); f’(x)>0,a для x(x0-,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для x(x0-,x0) f’(x)<0, а для x(x0,x0+) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для x(x0-,x0) f’(x)>0 для x(x0,x0+) f”(x)<0. По теореме Лагранжа f=f(x)-f(x0)=f’()(x-x0)  между х0 и х Если х>x0  x-x0>0 x0<)<0f<0. Если х x-x0<0, x<)>0f>0  f(x)

#38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если x1,x2 X выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где  q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x10,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0x>x1x2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0x1х q1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута)  f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу хх1 или хх2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) xx1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2) xx1 f’(x)<=f’(x2) производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’() Причём т.к. (f’(1)<=f’(2)  выполнено нер-во 1  ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая)  f’ – возрастает(убывает)  f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+(x)(x-x0), (x)0 при xx0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2(x))(x-x0)/2! ; Если предположить что f’’(x)0 то т.к. (х)0 при хх0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x)  при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию  f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ;  лежит между х и х0) =f’()(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа  леж ме/ду  и х0)=(x-x0)(f’()-f’(x0))=(x-x0)(-x0)f’’(); Т.к. т-ка  лежит между х0 их то т-ки х и  лежат по одну сторону от т. х0 (х-х0)(-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(); Т.к. т.  лежит между  и х0 то т-ки х и  лежат по одну сторону от т. х0  Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак  х0-т. перегиба.

#39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х+ Аналогично при х-{}Найдём расстояние до пр L (x)=|f(x)-ax-b|/(1+a) Т.к. прямая L –является асимптотой то lim_x+(x)=0 lim_x+(f(x)-ax-b)=0 lim_x+(f(x)/x-a-b/x)=0 lim_x+(f(x)/x-a)=0 a= lim_x+f(x)/x ; b= lim_x+(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить lim_x+f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х+ нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств lim_xх0-0f(x)= lim_xх0+0f(x)= то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой.

#40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и (x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) (F(x)+c)’=F’(x)=f(x)F(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и (x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию (х)=F(x)-(x) для неё ’(x)=F’(x)-’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2X по теореме Лагранжа (х2)-(х1)=’(c)(x2-x1)=0 т.е (x2)=(x1) (x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная.

#41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается f(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то f(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то F’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(f(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство (f1(x)+f2(x))dx=f1(x)dx+f2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/aaF’(ax+b)=f(ax+b);

#42 Метод замены переменой в неоп: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда f(x)dx=f((t))’(t)dt+C=f((t))d((t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует U(x)V’(x)dx тогда существует интеграл V(x)U’(x)dx=U(x)V(x)-U(x)V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (UV)’=U’V+UV’U’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл UV’dx по условию Если  (UV)’dx=UV+C то U’Vdx=(UV)’dx-UV’dx=UV-UV’dx+C  производную постоянную к U’Vdx=UV-UV’dx; Пример e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(e^xcosx-e^xsinxdx); e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcox-e^xsinxdx; 2e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosx e^xsinxdx=(e^xsinx-e^xcosx)/2

#43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)^k1…(z-zs)^ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)Pn(z)=(z-a)^mQ_n-m(z) a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)Pn(x) xR По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленом Pn(x)=(x-a1)^1…(x-ar)^r(x-z1)^1…(x-zs)^bs(x-zs)^s=(x-a1)^1…(x-ar)^r(x+p1x+q1)^1…(x+psx+qs)^s; Pj/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,arR, Pj,qjR {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)mQ1(x), Q1(a)0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,AR такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)^m+P1(x)/(x-a)^m-1Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x+px+q)^mQ1(x), Q1(z1)0, p/4-q<0; то сущ M и NR и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x+px+q)^m+P1(x)/(x2+px+q)^m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x+px+q)^m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x+px+q)^m=(Mx+N)/(x+px+q)^m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x+px+q)^mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)(x-a1)^1…(x-ar)^r(x+p1x+q)(x+psx+qs)^ps, a1,…,arR,p1q1..psqsR, Pj/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа A_i^(j), I=1,..,r; j=1,…,_I M_i^(j),N_i^(j), I=1,…,s ; j=1,…,_I; P(x)/Q(x)=A₁⁽¹⁾/(x-a1)^1+..+A₁^(1)/(x-a1)+…+A₂⁽¹⁾/(x-a2)^2+…+A₂^(2)/(x-a2)^2+(M₁⁽¹⁾x+N₁⁽¹⁾)/(x+p1x+q1)^1+…+(M₁^(1)x+N₁^(1))/(x+p1x+q1)+…+(M_s⁽¹⁾x+N_s⁽¹⁾)/(x+ps+qs)^s+…+(Ms^()x+N_s^(s))/(x+psx+qs). ; {}Из этого следует что от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.Adx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.Adx/(x-a)^m=A(x-a)^-mdx=A/(1-m)(x-a)^m-1+C 3.(Mx+N)dx/(x+px+q)=(M/2)ln(x+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.(Mx+N)dx/(x+px+q)^m=M/2(1-m)(x+px+q)^m-1+(N-MP/2)dt/(t+a)^m

#44 Ф-цию вида R(x,^m(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=^m(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. t^m=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dt^m)/(ct^m-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a)  R(x,^m(ax+b)/(cx+d))dx=R((b-dt^m)/(ct^m-a),t) (mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a)=R1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида R(x,ax+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,ax+bx+c)=R(x,(x-x1)(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=(ax+bx+c) +xa ax+bx+c=t-2xta+ax; x=(t-c)/2t(a)+b –рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ;Если а<0 с>0 (ax+bx+c)>=0) то можно сделать замену ax+bx+c=xt+c {}{}

#45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация R(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg(x/2))=2t/(1+t), cosx=(1-tg(x/2))/(1+tg(x/2))=(1-t)/(1+t), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t),  R(cosx,sinx)dx=R(1-t)/(1+t),2t/(1+t))2dt/(1+t)= R1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут упот­ребляться и другие подстановки, также рационализиру­ющие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рацио­нализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рацио­нализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx).

#46 {O}Разбиением [a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,i удовлетворяющее условию x0=a-1{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] называется отрезком разбиения {} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и  произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) i[xi-1,xi] I=1,..,i и рассмотрим сумму _(f,1,…,i)=_I=1^if(I)x; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред  ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается _a^bf(x)dx Если  E >0 _E=(E)>0 | при любом разбиении  мелкости ||<_E и любом выборе (.) i[xi-1,xi], I=1,…,i | _I=1^if(i)x-I | _ ||0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение  отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[x_j0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек  {ⁿ_jo}>0 | lim_nf(ⁿ_jo)= Рассмотрим сумму _=_I=1^if(I)xi=f(io)xjo +_I=1^if()xi=f(jo)xjo+B Зафиксируем произвольным образом i[xi-1,xi] ijo lim_(f,1,…,₀ⁿ,..,i)=lim(f(jo)xjo+B)= m>0 существует n0 | _(f,1,…,_jo⁽ⁿ⁾,…,_i)>m Отсюда , что интегральная сумма при мелкости разбеения ||0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что  I=lim_||0_E>0 _E>0 | , ||<_E и любой выбор точек i выполняется нер-во |_-I||_|=|_-I+I|<|_-I|+|I|  в частности при при ||<_E можно выбрать точки 1,..,_i такие, что |_|>M ф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.

#47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению _а^a f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред _b^af(x)dx=-_a^bf(x)dx {Св-во1} _a^bdx=b-a действительно ф-ция f(x)1 на [a,b] по этому при любом разбиении  и любом выборе (.) i f(i)=1_=_i=1^if(i)xi=_i=1^ix1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xi-x-1)=xi-x0=b-a  lim_||0_=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: _a^b(f(x)+g(x))dx= _a^bf(x)dx+ _a^bg(x)dx {док} Пусть ={xi} i=i i=o i[xi-1,xi] ,тогда _E(f+g)=_i=1^i(f(i)+g(i)xi=^i_i=1f(i)xi+^i_i=1g(i)xi=_(f)+_(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то lim_||0_(f)=_a^bf(x)dx; lim_||0_(g)=_a^bg(x)dx ; lim_||0_(f+g)=_a^bf(x)dx+_a^bg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство _a^b(f(x)+g(x))dx=lim_||0_(f+g)=_a^bf(x)dx+_a^bg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа  ф-ция f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство _aт^bf(x)dx=_aт^bf(x)dx {Св-во 4} Пусть aaт^bf(x)dx=_aт^сf(x)dx+_ст^bf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] [a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ( M>0 |  x[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и х[a,b] f(x)0 тогда _aт^bf(x)dx0

#48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для х[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ  | mM и _aт^bf(x)g(x)dx=_aт^bg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] mf(x)M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)f(x)g(x)Mg(x) при g(x)0; mg(x)f(x)g(x)Mg(x) при g(x)0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим m_aт^bg(x)dx_aт^bf(x)g(x)dxM_aт^bg(x)dx при g(x)0; m_aт^bg(x)dx_aт^bf(x)g(x)dxM_aт^bg(x)dx при g(x)0; Если _aт^bg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : _aт^bf(x)g(x)dx=0  рав-во _aт^bf(x)g(x)dx=_aт^bg(x)dx выполнено при любом ; Пусть _aт^bg(x)dx0  при g(x)0 _aт^bg(x)dx>0, а при g(x)0 _aт^bg(x)dx<0; Разделим нер-ва на _aт^bg(x)dx в обоих случаях получим : m_aт^bf(x)g(x)dx/_aт^bg(x)dxM; Пологая =_aт^bf(x)g(x)dx/_aт^bg(x)dx  получаем утверждение теоремы _aт^bf(x)g(x)dx=_aт^bg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует [a,b] такое, что _aт^bf(x)g(x)dx=f()_aт^bg(x)dx

#49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]тогда она интегрируема на отр[a,x] при axb по св-ву опред   F(x)= _aт^xf(t)dt, x[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть x[a,b] x+x[a,b] Рассмотрим приращение: F=F(x+x)-F(x)= _aт^x+xf(t)dt-_aт^xf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b]  C>0. |f(x)|С x[a,b]|F|=|_xт^x+xf(t)dt|С| _xт^x+xdt|=С|x| lim_x0F=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 [a,b]  F(x)= _aт^xf(t)dt дифференцируема в (.) х0[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+x[a,b] F=F(x0+x)-F(x0)= _aт^x+xf(t)dt- _aт^x0f(t)dt= _aт^x0f(t)dt+ _x0т^x+xf(t)dt- _aт^x0f(t)dt= _xт^x0+xf(t)dt |F/t-f(x0)|=|1/x|, _x0т^x0+xf(t)dt-f(x0)/x=|1/x  _x0т^x0+x (F(t)-f(x0))dt|1/|x|| _x0т^x0+xf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0  _>0 |при|x-x0|<_E|f(x)f(x0)|x|Et из промежутка от х0 до х0+х выполняется нер-во |t-x0||x|+ |F(t)-f(x)|F/x-F(f0)|1/x | _x0т^x0+x(f(t)-f(x0))dt<1/|x|E _xт^x0+xdt|=E  lim_x0F/x=f(x0)F’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.

№50 Ф-ла Ньтона-Лейбница _aт^bf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|_а^b –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных.  (1) {Док-во} F(x)= _aт^xf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b]  F(x)=Ф(х)+С; _aт^xf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то _aт^аf(t)dt=0  0=Ф(а)+С С=-Ф(а) _aт^xf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

#51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) ()=a ,()=b ;4)t[;] (t)[a,b]; Тогда _aт^bf(x)dx = _aт^bf((t))’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[,] определена сложная ф-ция f((t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F((t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f((t))’(t) на [,] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве _aт^bj(x)dx = _aт^bj((t))’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках  оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : _aт^bf(x)dx =F(b)-F(a); _aт^bf((t))’(t)dt =F(())-F(())=F(b)-F(a)= _aт^bf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда _aт^bu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aт^bu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|_a^b= _aт^b (u(x)v’(x)+u’(x)v(x))dx= _aт^bu(x)v’(x)dx+ _aт^bu’(x)v(x)dx откуда  _aт^bu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aт^bu(x)v’(x)dx

#52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-_A B-_B ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d0 _A и _B  к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)0 x[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть ={xi}_i=0^i=i-произвольное разбиение отр [a,b]; g_i={(x,y), x[xi-1,xi], 0ymi=inff(x)} G_i={(x,y), x[xi-1,xi], 0yMi=supf(x)}; S_g=_i=1^imixi; S_G=_i=1^iMixi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim_||0(S_g-S_G)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр.  по критерию итегрируемости lim_||0S_G= lim_||0S_g=S= _aт^bf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(), где f() – непрерывна на [,] и f()0 [,] {} Пусь -произвольное разбиение g_i={(,r), [i-1,i], 0rmi=inff()} G_i={(,r), [i-1,i], 0rMi=supf()} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[,] то она интегрируема на этом отрезке Площадь сектора g_i=mi/2 и G_i=Mi/2; S_g=1/2_i=1^imi S_G=1/2_i=1^iMi по критерии итегрируемости  lim_||0S_G= lim_||0S_g=S=1/2 _т^f()d P-квадрируема и S_p=1/2 _т^f()d.

#53 Пусть y=f(x) определна на [a,+) и интегрмруем на  [a;b]  несобственный интеграл по промежутку [a,+) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел _a^+f(x)dx=lim_{b+ a}^bf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл _a^+f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть с[a,+)  _a^bf(x)dx= _a^cf(x)dx+ _c^bf(x)dx {Т} По св-ву пределов _a^+f(x)dx cущ  когда сущ lim_{b+ a}^bf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=_b’^b’’f(x)dx  теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел _a^bf(x)dx= lim_{a+0 a}^bf(x)dx. Если указанный предел конечен то  называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} _a^сf(x)dx и _с^bf(x)dx при aa^bf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a< при хb-0, если b<+ {Св1} _a^bf(x)dx= lim_b-0 F()-F(a)=F(x)|^b_a _a^bf(x)dx  lim_b-0 F() {Д} Пусть a<a^bf(x)dx=F()-F(a)  по св-ву пределов _a^bf(x)dx= lim_b-0 F()-F(A){2} _aт^bf1(x)dx и _aт^bf2(x)dx -сходятся, то _aт^b (f1(x)+ _aт^bf2(x))dx= _aт^bf1(x)dx+ _aт^bf2(x)dx {До} Пусть a<a^ (f1(x+f2(x))dx= _a^ f1(x)dx+_a^ f2(x)dx т.к. по усл. теор lim_b-0a^ f1(x)dx и lim_b-0a^ f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства  переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), x[a,b] b _aт^bf(x)dx, _aт^bg(x)dx – сход , то _aт^bf(x)dx<= _aт^bg(x)dx {Д} a< _a^f(x)dx<= _a^g(x)dx переходя в данном нер-ве к lim_b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b)  _aт^bu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aт^bu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<a^u(x)v’(x)dx = y(x)v(x)|_a^ - _a^u’(x)v(x)dx  по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=(t) непрерывна вместе со своей производной на [,) и возрастает на этом промежутке, причём для <=t< a<=(t)t_b-0(t) тогда имеет место : _aт^bf(x)dx= _т^f((t))’(t)dt {Д} Пусть [,) т.к. ф-ция непр на [,) то она отрораж. отр [,] на [a,()]  по теореме о замене переменной в опред  получ утв.