Реферат: Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p₁ ,p₂ ).

А₁ - аффинная прямая. Отнесем прямую А₁ к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e , d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d² `e + 1/6d<sup>3</sup> `e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e , по отношению к `e.

Пусть R(p₁ ,p₂ ) – пространство всех пар (p₁ ,p₂ )точек p₁ ,p₂ прямой А_{1 .} Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р₁ р₂ , а конец вектора `е – в точку р<sub>1</sub> ; при этом р<sub>2</sub> совместится с концом вектора -`е.

Условия стационарности точек р₁ и р₂ в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р₁ ,р₂ ) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.

Очевидно, что dim R(p₁ ,p₂ ) =2. Заметим ,что в репере rформа 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р₁ *р₂ * , близкого к р₁ р₂ ,по отношению к р₁ р₂ .

§ 2. Отображение f.

А₂ – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={p, ` e<sub>j</sub> }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А<sub>2</sub> имеют соответственно вид :dp =W<sup>j</sup> e<sub>j</sub> ; d ` e_j =W_j ^k ;

DW^j =W^k ^W_k ^j ; DW^j =W_j ^y ^W_y ^k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А₂ в пространстве R(p₁ ,p₂ ):f:A₂ ® R(p₁ ,p₂ ).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f^-1 (p₁ ,p₂ ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q +W= l _j W^j ; Q-W= m _j W^j (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f^-1 : R(p₁ ,p₂ ) ® A₂ обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f^-1 имеют вид :

W^j = l ^j (Q+W)+ m ^j (Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l ^k l _j + m ^k m _j = d _j ^k

l ^j l _j =1

m ^j m _j =1 (*)

l ^j m _j =0

m ^j l _j =0

Указанную пару {r;R } реперов пространств А₁ и А₂ будем называть репером нулевого порядка отображения f .

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f .

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λ_j W^j -W-Q)=0 ,

получаем :

dλ_j =λ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +λ_jk W^k

D(μ_j W^j +W-Q)=0

получаем :

dμ_j =μ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +μ_jk W^k

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λ_j W^j

Q-W=μ_j W^j

dλ_j =λ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +λ_jk W^k

dμ_j =μ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +μ_jk W^j

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г₁ = {λ_j ,μ_j } является геометрическим объектом.Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

dλ_k ^W_j ^k +λ_k dW_j ^k +1\4(λjμ_k -λ_k μ_j )^W^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )dW^k +dλ_jk ^W^k +λ_jk dW^k =0 .

получим:

(dλ_jt -λ_kt W_j ^k -λ_jk W_t ^k +1\4(λ_k μ_jt -μ_k λ_jk )W^k +1\16λ_t μ_k (λ_j -μ_j )W^k )^W^t =0

dμ_k ^W_j ^k +μ_k dW_j ^k +1\4d(λ_j μ_k -λ_k μ_j )^W^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )dW^k +dμ_jk ^W^k +μ_jk dW^k =0

получим:

(dμ_jt -μ_kt W_j ^k -μ_jt W_t ^k +1\4(λ_k μ_jt -μ_k λ_jt )W^k +1\16λ_t μ_k (λ_j -μ_j )W^k )^W^t =0

обозначим:

λ _j =dλ_j -λ_t W_j ^t

μ_j =dμ_j -μ_t W_j ^t

λ_jk =dλ_jk -λ_tk W_k ^t -λ_jt W_k ^t

μ_jk =dμ_tk W_j ^t -μ_jt W_k ^t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения fпримет вид:

Q+W=λ_j W^j

Q-W=μ_j W^j

dλ_j =λ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +λ_jk W^k

dμ_j =μ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +μ_jk W^k (4)

λ_jk =(1\4(μ_α λ_jk -λ_α μ_jk )+1\16λ_k μ_α (μ_j -λ_j )+λ_jkα )W^α

μ_jk =(1\4(μ_α λ_jk -λ_α μ_jk )+1\16λ_k μ_α (μ_j -λ_j )+μ_jkα )W^α

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г₂ = {λ_j ,μ_j ,λ_jk ,μ_jk } образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г_Р порядка р :

Г_Р = {λ_j ,μ_j ,λ_j1j2 ,μ_j1j2 ,...,λ_j1j2...jp ,μ_j1j2...jp }.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ_j },{μ_j } образует подобъекты геометрического объекта Г₁ . Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λ_j X^j =1 ; μ_j X^j =1 (6)

не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λ^j ,μ^j } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λ^j ,μ^j } охватываются объектом Г₁ .

Из (*) получаем:

dλ^j =-λ^k W_k ^j -1\4(λ^j +μ^j )μ_t W^t -λ_kt λ^k λ^t W^t -μ_kt W^t ^λ^k μ^j

dμ^j =-μ^k W_k ^j -λ_kt μ^k λ^j W^t -μ_kt μ^k μ^j W^t +1\4λ_t (λ^j +μ^j )W^t

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г₁ . Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v₁ =λ^j e_j (вектора v₂ =μ^j e_j ) лежит на прямой (6) . Доказательство вытекает из формул (*),(2) . Прямые, параллельные прямым (6) , инцидентные точке Р , определяются соответственно уравнениями:

λ_j X^j =0 , μ_j X^j = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы {λ^j } и {μ^j } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7) . Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λ_j X^j =1

V₂

V₁ μ_j X^j =1

Система величин ρ_j =λ_j -μ_j образует ковектор: dρ_j =ρ_k W_j ^k +(μ_jk -λ_jk )W^k .

Определяемая им прямая ρ_j X^j =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) .

Пусть W -однородное подмногообразие в R(p₁ ,p₂ ) содержащее элементы (р₁ ,р₂ ) определяемое условием: (р₁ ^* ,р₂ ^* ) ∈ W↔p₁ ^* p₂ ^* =p₁ p₂ .

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f^-1 (W) многообразия W при отображении f .

Доказательство:

] (p₁ ^* ,p₂ ^* ) ∈ W и p₁ ^* =p₁ +dp₁ +1\2d² p₁ +... ,

p₂ ^* =p₂ +dp₂ +1\2d² p₂ +... .

Тогда в репере Г: p₁ ^* p₂ ^* =e p₁ p₂ , где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р₁ ^* р₂ ^* по отношению к р₁ р₂ . Таким образом, (р₁ ^* р₁ ^* ) ∈ W↔ W=0 .

Из (2) получим: W=ρ₁ W^j

Следовательно, (р₁ ^* р₂ ^* ) ∈ W равносильно ρ _j W^j =0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента (р₁ ,р₂ ) ∈ R(p₁ p₂ ) определяется функция h :(p₁ ^* p₂ ^* ) ∈ h(p₁ p₂ )→e ∈ R , так, что р₁ ^* р₂ ^* =е р₁ р₂

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f^-1 (W) является линией уровня функцииh . Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линииf^-1 (W) .

]W₁ ,W₂ - одномерные многообразия вR(p₁ p₂ ) , содержащие элемент (р₁ р₂ ) и определяемые соответственно уравнениями:

(p₁ ^* ,p₂ ^* ) є W₁ ↔p₂ ^* =p₂ .

(p₁ ^* ,p₂ ^* ) є W₂ ↔p₁ ^* =p₁ .

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразияW₂ (многообразияW₁ ) при отображенииf .

Дифференциальные уравнения линииf^-1 (W₁ ) и f^-1 (W₂ ) имеют соответственно вид:

λ_j W^j =0

μ_j W^j =0 .

Пусть W₀ - одномерное подмногообразиев R(p₁ p₂ ) , содержащее (р₁ р₂ ) и определяемое условием: (p₁ ^* p₂ ^* ) є W₀ ↔Q*=Q ,где Q* – середина отрезка р₁ ^* р₂ ^* . Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая(λ_j +μ_j )X^-j =0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f^-1 (W₀ ) многообразияW₀ при отображенииf . Дифференциальное уравнение линииf^-1 (W₀ ) имеет вид:(λ_j +μ_j )W^j =0 .

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиямf^-1 (W₁ ), f^-1 (W₂ ) , f^-1 (W), f^-1 (W₀ ) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f .

Рассмотрим отображения:

П₁ : (р₁ ,р₂ ) ∊ R(p₁ ,p₂ )→p₁ ∊ A₁ (5.1)

П₂ : (р₁ ,р₂ ) ∊ R(p₁ ,p₂ )→p₂ ∊ A₁ (5.2)

Отображение f: A₂ →R(p₁ ,p₂ ) порождает точечные отображения:

φ₁ = П₁ ∘ f: A₂ →A₁ (5.3)

φ₂ = П₂ ∘ f: A₂ →A₁ (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ₁ и φ₂ меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б) . Подобъекты Г_1,2 = { λ _j ,λ_jk } и Г_2,2 = {μ_j ,μ_jk } объекта Г₂ являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ₁ и φ₂ .

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λ_j X^j +1/2λ_jk X^j X^k +1/4λ_y ρ_k X^j X^k +<3>, (5.5)

y=-1+μ_j X^j +1/2μ_jk X^j X^k +1/4μ_y ρ_k X^j X^k +<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λ_jk =λ_jk +1/4(λ_j ρ_k +λ_k ρ_j ),

Μ_jk =μ_jk +1/4(μ_j ρ_k +μ_k ρ_j )

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λ_j X^j +1/2Λ_jk X^j X^k +<3> (5.7)

y=-1+μ_j X^j +1/2Μ_jk X^j X^k +<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А₂ , в котором выполняется:

λ₁ λ₂ 1 0

=

μ₁ μ₂ 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X¹ +1/2Λ_jk X^j X^k +<3> (5.9),

y=-1+X² +1/2Μ_jk X^j X^k +<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

G_jk =1/2(λ_j μ_k +λ_k μ_j )

Из (3.1) получим:

dG_jk =1/2(dλ_j μ_k +λ_j μ_k +dλ_k μ_j +λ_k dμ_j )=1/2(μ_k λ_t W_j ^t +1/4λ_j μ_k μ_t W^t -1\4μ_k μ_t λ_t W^t +μ_k λ_jt W^t +λ_j μ_t W_k ^t +

+1/4λ_j λ_k μ_t W^t -1/4μ_j λ_k μ_t W^t -1/4μ_j λ_t μ_k W^t +μ_j λ_kt W^t +λ_k μ_t W_j ^t +1/4λ_k λ_j μ_t W^t -1/4λ_k λ_t μ_j W^t +

+λ_k μ_jt W^t ),

dG_jk =1/2(μ_k λ_t +λ_k μ_t )W_j ^t +1/2(λ_j μ_t +λ_t μ_j )W_k ^t +G_jkt W^t ,

где G_jkt =1/2(μ_k λ_jt +λ_y μ_kt +μ_j λ_kt +λ_k μ_jt -1/2μ_j μ_k λ^t +1/2λ_j λ_k μ_t -1/4λ_j μ_k λ_t +1/4λ_j μ_k μ_t +1/4μ_j λ_k μ_t -

-1/4μ_j λ_k λ_t ) (6.3).

Таким образом, система величин {G_jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А₂ инвариантную метрику G :

dS² =G_jk W^j W^k (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS² =θ² -W² (6.5) в R(p₁ ,p₂ ).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением G_jk W^j W^k =0 или

λ_j W^j μ_k W^k =0 (6.6)

Предложение : Основные векторы V₁ и V₂ определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек ( x,U ) и ( y,U^’ ) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU^’ )

Теорема : Метрика dS² =θ² -W² совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p₁ ,p₂ ,p₁ +dp₁ ,p₂ +dp₂

Соответственно: 1,-1,1+θ+ W,-1+θ-W .

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS² =θ² -W²

Следствие : Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Г^l _jk =1/2G^tl (G_tkj +G_jtk -G_jkt )

псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г₂ = {λ_j ,μ_j ,λ_jk ,μ_jk }.

Онопределяется формулой: Г ^l _jk =λ^j Λ_jk +μ^l Μ_jk -λ^l λ_t λ_k +μ^l μ_t μ_k .

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

g_jk =λ_j λ_k +μ_j μ_k (7.1)

Из (3.1) получаем:

dg_jk =dλ_j λ_k +dλ_k λ_j +dμ_j μ_k +dμ_k μ_j =λ_k λ_t W_j ^t +1/4λ_k λ_j μ_t W^t -1/4λ_j λ_t μ_j W^t +λ_k λ_jt W^t +λ_j λ_t W_k ^t +

+1/4λ_j λ_k μ_t W^t -1/4λ_j λ_t μ_k W^t +λ_j λ_kt W^t +μ_k μ_t W_j ^t +1/4μ_k λ_j μ_t W^t -1/4μ_k λ_t μ_j W^t +μ_k μ_jt W^t +

+μ_j μ_t W_k ^t +1/4μ_j λ_k μ_t W^t -1/4μ_j λ_t μ_k W^t +μ_j μ_kt W^t .

dg_jk =(λ_k λ_t +μ_k μ_t )W_j ^t +(λ_j λ_t +μ_j μ_t )W_k ^t +g_jkt W^t , (7.2)

где g_jkt =1/2λ_j λ_k μ_t -1/2μ_j μ_k λ_t -1/4λ_k λ_t μ_j -1/4λ_j λ_t μ_k +1/4λ_j μ_k μ_t +1/4μ_j λ_k μ_t +λ_k λ_jt +λ_j λ_kt +

+μ_k μ_jt +μ_j μ_kt (7.3)

Таким образом, система величин {g_jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А₂ инвариантную метрику g :

dS² =g_jk W^j W^k (6^’ .4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика ( 6^’ .4) соответствует при отображении f метрике:

dS² =2(θ² +W² ) (6^’ .5)

в R(p₁ ,p₂ )

Из (6^’ .5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6^’ .6)

или (λ_j X^j )² +(μ_j X^j )² =1 (6^’ .7)

Из (6^’ .7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g .

V₁

V₂ рис.3.

Пусть g^jk =λ^j λ^k +μ^j μ^k (6.8)

В силу (2.7) имеем:

g^jt g_tk =(λ^j λ^t +μ^j μ^t )(λ_t λ_k +μ_t μ_k )=λ^j λ^k +μ^j μ^k =δ_k ^j (6^’ .9)

Таким образом, тензор g^jk является тензором взаимных к g_jk . Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {λ^j } (вектора {μ^j } )соответствует в метрике g полю основного ковектора {λ_j } (ковектора {μ_j } ).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g .

Доказательство:

λ^j λ^k g_jk =λ^j λ^k λ_j λ_k +λ^j λ^k μ_j μ_k =1 ,

μ^j μ_k g_jk =μ^j μ^k λ_j λ_k +μ^j μ^k μ_j μ_k =1 ,

λ^j μ^k g_jk =λ^j μ^k λ_j λ_k +λ^j μ^k μ_j μ^k =0 .

Таким образом, f задает на А₂ структуру риманова пространства ( A₂ ,g_f ).

В работе <2> был построен охват объекта

γ_jk ^l =1/2g^tl (g_tkj +g_jtk -g_jkt )

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г₂ = {λ_j ,μ_j ,Λ_jk ,Μ_jk }

Он определяется формулой:

γ _jk ^l =λ^l Λ_jk +μ^l M_jk +G_jk (λ^l -μ^l )+1/2(λ^l +μ^l )(μ_j μ_k -λ_j λ_k ) ,

где G_jk =1/2(λ_j μ_k +λ_k μ_j ).