Реферат: Формирование понятия цилиндра

I этап: Введение понятия цилиндр. Математическое видение цилиндра.

Цель этапа : Формирование пространственного представления и логического мышления учащихся при изучении и формировании математического видения цилиндра его характерных элементов и изображений.

Дидактические средства:

• набор пространственных тел (прозрачных и непрозрачных);
• пластилин;
• деревянные палочки;
• цветные карандаши;
• модели изготовленные по рис. 3.

Перед началом урока учитель на своем столе располагает все пространственные тела: призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, сферы и шары.

Рекомендуется начать урок со следующего упражнения.

Упражнение 1 . Из множества тел представленных выбрать те, которые были уже изучены (предполагается, что учащиеся выберут призмы и пирамиды).

Упражнение 2 . Оставшиеся тела сгруппируйте по внешним сходным признакам. (получили три группы: цилиндры, конусы, сферы и шары).

Упражнение 3 . Вызывается с каждого ряда по ученику. Им предлагается на интуитивном уровне к каждому пространственному телу сопоставить соответствующую табличку с названием данного тела. Предполагаемый ответ:

Конус			Цилиндр			Сфера (шар)

Упражнение 3 можно предложить выполнить стоящим ученикам. Затем, после того как кто-нибудь выполнит это упражнение верно, учитель говорит о том, что изучение этих пространственных тел они начнут с изучения цилиндра.

Упражнение 4 . Из пластилина учащиеся делают линию (KL). Затем деревянные палочки прикрепляют к пластилину, таким образом, чтобы эти палочки (АВ) как бы пересекали линию (KL) и были бы друг другу параллельны. В результате получилась бы поверхность которую назовем цилиндрической (рис. 1).

[Вывод : поверхность образованная движением прямой (АВ), которая во всех положениях параллельна данной прямой и пересекает линию (KL) назовем цилиндрической поверхностью ].

Соглашение 1 . Движущаяся прямая (АВ) – образующая; линия (KL) – направляющая.

Упражнение 5 . Предполагается соединить оба конца линии (KL) вместе (Получится цилиндрическая поверхность которая называется замкнутой ) (рис. 2).

Упражнение 6 . Учащиеся из пластилина делают две лепешки (плоскости) и с двух сторон прикрепляют к замкнутой цилиндрической поверхности и получают модель цилиндра.

[Вывод : Цилиндром назовем тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими цилиндрическую поверхность].

Соглашение 2 . В получившейся модели цилиндра параллельные плоскости, которые пересекает цилиндрическая поверхность назовем основаниями цилиндра .

Упражнение 7 . Учащимся предлагается из центра (приблизительно) верхнего основания цилиндра опустить перпендикуляр на нижнее основание (возможные варианты: а) высота проектируется точно в центр нижнего основания (прямой цилиндр ); б) пересекает нижнее основание, но не в центре; в) не пересекает нижнее основание (наклонный цилиндр )). Высотой может служить одна из деревянных палочек.

Соглашение 3 . Высотой цилиндра назовем кратчайшее расстояние между двумя основаниями цилиндра.

Упражнение 8 . Учащимся на урок принести модели по рис. 3 из спиц и проволки.

Всем предлагается сделать полный оборот вокруг оси. В результате, точки линии АМВ опишут окружности, которые назовем параллелями , они лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а следовательно эти плоскости параллельны между собой.

[Вывод : Поверхностью вращения назовем поверхность, образованую линией, которая лежит в одной плоскости с осью и при вращении вокруг оси (Z) делает полный оборот].

Упражнение 9 . Назовите какой из пунктов в упражнении является цилиндрической поверхностью? (Ответ в)).

Учащиеся делают вывод :

При вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей одну из его сторон, получается, что во всех положениях АВ параллельна ОО₁ , а поэтому при полном обороте описывает цилиндрическую поверхность (часть), а отрезки ОВ и О₁ А опишут круги.

- ломанная опишет поверхность цилиндра О₁ АВО

- основания круги;

- образующая АВ перпендикулярна основаниям.

Полученное тело назовем цилиндром вращения .

Упражнение 10 . (Самостоятельно). Предлагается учащимся вращать прямоугольник вокруг оси, проходящей через ось симметрии прямоугольника. Необходимо ли делать полный оборот в данном случае? (Ответ: нет, достаточно пол оборота).

Изображение цилиндра

Обычно цилиндр изображают от руки:

1) основание изображают в виде эллипсов, лежащих в параллельных плоскостях;

2) двумя образующими соединяют концы больших диаметров эллипсов (оснований);

3) видимые линии рисуют сплошными, невидимые – контурными.

Соглашение 4. Под цилиндром будем понимать (подразумевать) цилиндр вращения .

Упражнение 11 . Ученикам предлагается провести всевозможные сечения цилиндра, плоскостью. Каждый ученики предлагает вариант, а затем все сведения систематизируются в следующую таблицу : (это упражнение выполняется на модели цилиндра сделанного полностью из пластилина, используя нож для резки пластилина).

1			3а		3б		4
7			6		5

Соглашение 5 . Цилиндр осевое сечение (проходящее через ось вращения), которого – квадрат называется равносторонним цилиндром .

I этап: Введение понятия конус. Математическое видение конуса.

Цель этапа : сформировать ценностное представление у учащихся о конусе и его элементах. Развить пространственное воображение и логическое мышление через «видение конуса».

Дидактические средства:

• набор пространственных тел;
• пластилин;
• деревянные палочки;
• цветные карандаши;

модели изготовленные по рис. 3.

Упражнение 1 . Назовите уже изученные вами пространственные тела? (призма, пирамида, цилиндр). Назовите те которые еще не изучались? (конус, сфера (шар)).

Изучение данной темы по своей структурной схеме аналогично изучению темы «Цилиндр».

Упражнение 2 . Из пластилина изготовьте линию (KL). Пересеките ее деревянными палочками, таким образом, чтобы все эти палочки проходили через одну точку (S), не принадлежащую (KL). В результате получим поверхность, которую назовем конической поверхностью (рис. 1).

Соглашение 1 . Точка S – вершина, линия MN – направляющая, а прямая а – образующая.

Упражнение 3 . Соедините концы линии (KL) (получится замкнутая линия (KL) и коническая поверхность, которую назовем замкнутой ) (рис. 2).

Упражнение 4 . Из пластилина делается плоскость (лепешка) и коническую поверхность соединяют с этой плоскостью. Получилась модель конуса .

[конусом назовем тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью и пересекающей ее плоскостью].

Соглашение 2 . Плоскость, пересекающая коническую поверхность назовем основанием .

Упражнение 5 . Учащимся предлагается из точки S опустить перпендикуляр. Это можно сделать при помощи деревянной палочки, протянув ее в модели конуса через вершину точку S.

(а) перпендикуляр опущен в центр основания, то есть конус прямой;

б) перпендикуляр пересекает основание или плоскость основания, но не в центре, то есть наклонный конус).

Соглашение 3 . Данный перпендикуляр назовем высотой конуса (кратчайшее расстояние от точки до плоскости).

Упражнение 6 . Учащиеся приходят на урок с моделями по рис. 3. Необходимо выполнить полный оборот вокруг оси.

а)	б)
Рис. 3

[поверхностью вращения. Конусом вращения назовем тело полученное при вращении прямоугольного треугольника на полный оборот вокруг одного из катетов, в тогда другой катет опишет круг основание конуса, а образующая (гипотенуза) часть конической поверхности, или равнобедренного треугольника вокруг высоты опушенной из вершины) Достаточно пол оборота].

Соглашение 4 . Конус вращения – частный случай конуса, основание которого – круг и вершина проецируется в центр основания.

Изображение конуса

1) основание изображается в виде эллипса;

2) из точки вне плоскости основания проводятся две касательные (образующие) к концам большого диаметра эллипса.

Упражнение 7 . С помощью пластилиновой модели конуса и ножа для пластилина учащимся предлагается провести всевозможные сечения конуса. Результаты систематизируются в таблицу :

Рис. 4

Упражнение 8 . Рассмотрим часть конуса заключенную между основанием конуса и плоскостью сечения параллельной основанию (рис. 4.1.)

	С

[эту часть конуса назовем усеченным конусом ; круги с центрами в точках О и О₁ – его основания; его образующие (АС, BD, …) равны между собой; прямая – ось; отрезок [ОО₁ ] - высота].

Усеченный конус можно рассматривать как тело полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей перпендикулярную сторону, или равнобокой трапеции вокруг оси симметрии.

Упражнение 10 .Изобразите все возможные сечения усеченного конуса.

I этап: Введение понятия сфера и шар.

Цель этапа : Формирование понятия сфера (шар) развитие воображения, систематизация знаний по теме вращения. Формирование целостной системы.

Дидактические средства:

• набор пространственных тел;
• пластилин;
• надувные шарики (круглые!);
• цветные карандаши;
• модели заготовки (рис.1).

Упражнение 1 . Выполните вращение модельными заготовками. Если вращать полукруг, какое тело получится?

Рис. 1

Соглашение . Поверхность образованная вращением полуокружности или окружности около диаметральной прямой называется сферой . Если же вращать полукруг или круг, то в результате получится тело вращения называемое шаром .

Упражнение 2 . Из пластилина вылепите тело вращения и надуйте шарик. Что сфера, а что шар? Воздух внутри шарика и он сам, что это за тело? (ответ: 1) пластилин – шар; шарик – сфера; 2) шар).

Упражнение 3 . Сфера – геометрическое место точек … (пространства), которые расположены на данном расстоянии от одной … (точки) называемой … (центром) … (сферы).

- отрезок, соединяющий центр с точкой сферы называется … (радиусом);

- тело, ограниченное сферой называется … (шаром);

- центром и радиусом шара называется … и … сферы.

Изображение сферы (шара)

1. Изображается круг;

2. Пунктиром рисуют два перпендикулярных диаметра;

3. Изображаются эллипсы на этих диаметрах, как больших диаметрах эллипса.

Упражнение 4 . Изобразите всевозможные сечения сферы (шара).

Сечения сферы – окружности;

Сечения шара – круги.

Упражнение 5 . Выясните взаимное расположение сферы (шара) и плоскости?

(ответ: возможны три случая:

1) не пересекаются и не касаются, то есть нет общих точек;

2) касаются, существует одна общая точка, точка касания;

3) пересекаются, то есть для сферы – по окружности, для шара по кругу).

Упражнение 6 . Проверьте истинность утверждений:

1) Сечение шара плоскостями, равноудаленными от центра равны;

2) Сечение шара плоскостью тем больше, чем ближе она расположена к центру;

3) R_сеч =, где r – радиус сферы (шара),

d – расстояние от центра сферы до центра сечения

4) Два больших круга пересекаются по диаметру;

5) Линия пересечения двух пересекающихся сфер – мерна линии центров сфер.

Упражнение 7 . Каково взаимное расположение сфер (шаров)?

(ответ: аналогично расположению окружностей:

1. Не касаются

1) расположены независимо друг от друга;

2) находятся одна внутри другой с общим центром или нет

2. Касаются

1) в одной точке

а) внешне

б) внутренне

2) в нескольких точках

а) пересекаются

Упражнение 8. На интуитивном уровне к каждому рисунку поставьте цифру, соответствующую изображенному на рисунке.

1. Шаровой слой

2. Сферический сегмент

3. Шаровой сегмент

4. Сферический пояс.