Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Донской Государственный Технический Университет

кафедра "Высшая математика"

_______________________________________________________

Доклад на тему:

“ Управление структурой
преподавательского состава
в университете ”

Выполнил

Груздев Владимир Викторович

студент группы У-3-47

Проверил

Братищев Александр Васильевич

г. Ростов-на-Дону

2002

Содержание

Содержание . 2

1. Постановка задачи . 2

2. Запасы и потоки . 2

3. Допущения относительно потоков . 2

4. Основное уравнение прогнозирования . 2

5. Прогнозирование . 2

6. Управление: сохраняемость структур . 2

Заключение . 2

Приложение . 2

Список использованной литературы .. 2

1. Постановка задачи

В одном американском университете пришлось иметь дело с задачей, типичной для многих организации в заключительной фазе периода роста. Штат преподавателей был поделен на три категории: профессоры, доценты и ассистенты. Хотя общее число штатных мест перестало увеличиваться, численность старших должностей продолжало расти относительно более низких. Трудность состояла не в том, что персонал старших рангов нежелателен, а в том, что он выше оплачивается. В период застоя в росте ассигнований перспектива постоянного роста расходов на зарплату поставила перед администрацией следующие два вопроса. Имеется ли тенденция к продолжению роста расходов, и если да, то что может быть сделано для его прекращения или, если возможно, даже снижения расходов.

Наша цель заключается в том, чтобы рассмотреть вопрос о формулировке этой задачи в математических терминах , а затем попытаться решить задачу математическими методами. Другими словами, мы собираемся приступить к построению некоторой математической модели для системы кадров, которую затем можно использовать для решения вопросов, указанных выше.

2. Запасы и потоки

Центральное место среди количественных характеристик нашей задачи занимают числа людей в каждом классе на данный момент времени — запасы . Будем применять обозначение n_i (T ) (i = 1, 2, …, k ) для записи числа людей в классе i в момент времени T (на данном этапе нет нужды предполагать, что классы ранжированы по старшинству). Объемы запасов могут меняться в любое время, однако в данном случае наибольшее число изменений происходит в конце академического года. Сообразно этому будем аппроксимировать поведение системы, допуская, что интервал между изменениями составляет один год. Таким образом, T выражается в годах и является целым числом.

Размеры запасов изменяются из-за наличия потоков , направленных как в систему, так и из системы (набор и увольнение), а также за счет внутренних перемещений (по большей части за счет перехода сотрудников в класс с повышенной зарплатой). Предположим, что из запаса n_i (T ) число людей n_{i j} (T ) перемещается в класс j ко времени T + 1 и что n_{i, k +1} (T ) человек покидают университет. Тогда запас в классе i в момент T + 1 состоят из оставшихся со времени Т плюс вновь прибывшие; последние обозначаются через n_{0 i} (T + 1). В результате соотношение между запасами и потоками записывается следующим образом:

,

(1)

если определить как число оставшихся в классе j .

Эти соотношения сами по себе дают весьма мало сведений. Их роль заключается в том, чтобы выявить основные ограничения, в которых действует система. Вместе с тем они помогают обратить внимание на вопросы, которые необходимо конкретизировать для завершения построения модели. Потоки вызывают изменения в запасах, и потому следует приступить к выработке допущений относительно того, как происходят перемещения. Если бы имелись какие-либо средства прогнозирования потоков, то можно было просто вывести размеры запасов на год Т + 1 из размеров запасов на год Т и т.д., продвигаясь вперед, насколько потребуется.

3. Допущения относительно потоков

При построении модели ставится цель по возможности отразить характеристики реальной системы, которую эта модель представляет. На данном этапе необходимо, следовательно, обратиться к данным о поведении рассматриваемой системы, чтобы изучить возможность введения оправданных допущений. Основой всех научных прогнозов является установление закономерностей, имевших местно в прошлом, дополненное допущением о том, что эти закономерности в будущем сохранятся. Дальнейшее продвижение в решение задачи возможно лишь после статистического исследования данных по запасам и потокам за прошлые годы .

Рассмотрим в первую очередь потоки, характеризующие повышения в должности. Они управляются некоторой совокупностью факторов, которые варьируются от одного вида найма к другому. Иногда количество повышений прямо связано с числом образующихся вакансии. В других случаях повышения происходят почти автоматически по достижении определенного уровня квалификации. Применительно к университету, который упоминался в начале главы, последняя из указанных возможностей ближе к действительности. Возьмем ее за основу при установлении соотношения между потоками и запасами, порождающими эти потоки. Это соотношение оказывается простой пропорциональной зависимостью, т.е. отношения n_ij (T ) / n_i (T )(i = 1, 2, …, k +1), если отвлечься от статистических колебаний, суть константы. К такой пропорциональной зависимости мы обычно и приходим на практике, даже в тех случаях, когда функционирование системы наводит на мысль о том, что она могла быть и другой. Впрочем, это обстоятельство всегда требует практической проверки; могут быть выдвинуты и другие допущения, если на то имеются достаточные причины.

Теперь можно было бы приступить к прогнозированию размеров запасов, исходя из пропорциональности между n_ij (T ) и n_i (T )и используя оценку коэффициента пропорциональности, выведенную из наших данных. Выбрав такой путь, мы должны рассматривать модель как детерминированную. Это могло бы, конечно, оказаться приемлемым для достижения непосредственных целей, поставленных в данной главе, однако подобный подход не соответствовал бы действительности и ввел бы заблуждение при использовании модели для слишком отдаленных периодов. Хотя отношения n_ij (T ) / n_i (T ) могут не зависеть от Т систематическим образом, тем не менее они, конечно же, будут меняться. Эти изменения могут быть весьма значительными при малых n_i (T ), поскольку, например, уход из системы на уровне отдельных лиц становится в высшей степени непредсказуемым событием. Реалистическая модель, следовательно, должна включать в себя не только регулярные явления, наблюдаемые в коллективе, но и неопределенности поведения индивидуумов. Теория вероятностей представляет собой ветвь математики, которая дает нам возможность количественно оценивать неопределенность, и на этой основе мы будем вводить в модель элемент вероятностей (или стохастичности). Допустим, что перемещения происходят независимо и что индивидуум в классе i характеризуется вероятностью p_ij перехода в класс j в течение года, начиная с данного. Пусть вероятность его ухода составляет w_i , тогда, очевидно,

, (2)

поскольку индивидуум должен оставаться в своем классе, переместиться в другой класс или выбыть совсем. При этом допущении число лиц, переходящих из класса i в класс j за год, будет случайной величиной с биномиальным распределением при заданном начальном запасе n_i (T ). Тогда ожидаемый поток будет равен n_i (T ) p_ij , что соответствует допущению эмпирического характера относительно того, что потоки пропорциональны запасам.

Оставшийся без рассмотрения вопрос относится к набору. Набор удобнее рассмотреть с двух позиций. Первая — общее число лиц, набираемых в систему, вторая — способ распределения этих лиц по классам. В организации, общее число сотрудников которой фиксировано, как в примере, приведенном в начале доклада, общее число вновь нанимаемых должно быть равно общему числу выбывающих:

. (3)

Распределение нанимаемых лиц по классам обычно вполне фиксировано, поскольку оно определяется потребностями или политикой организации. Тогда допустим, что доля r_i от общего числа нанимаемых зарезервирована для класса i (i = 1, 2, …, k ), причем имеем .

Собирая эти допущения вместе, получаем, что наша модель в итоге характеризуется:

1) матрицей вероятностей переходов, управляющей перемещениями в системе, эту матрицу обозначим через P = {p_ij };

2) вектором вероятностей ухода w = (w ₁ , w ₂ , …, w_k ), связанным с p_ij уравнением (2);

3) вектором r = (r ₁ , r ₂ , …, r_k ), определяющим распределение нанимаемых по классам;

4) ограничением.

4. Основное уравнение прогнозирования

В соответствии с нашей моделью запасы следующего года суть случайные величины, и потому их значения не могут быть предсказаны точно. В этих условиях мы обычно используем ожидаемые величины случайной переменной в качестве прогноза.

Перейдем к математическим ожиданиям в обеих частях уравнения (1) для запасов в год Т . Мы уже отметили, что

,

где черта над n означает математическое ожидание. Набор в классе j , n_{0 j} (T + 1) можно записать как R (T + 1) r_j , так что необходимо найти математическое ожидание для R (T + 1). Имеем и из (3),

Теперь, следовательно, с подстановкой в (1) получим

. (4)

Эти уравнения могут быть кратко записаны в матричной форме, например, как

. (5)

Таким образом, если параметры модели известны, то запас следующего года (т.е. Т + 1) может быть найден по запасу текущего года (год Т ) путем простого перемножения матриц. Прогноз на следующий год, , может быть затем использован в качестве основания для прогноза еще на один год вперед, если взять

(6)

(мы не можем писать n (T + 1) в правой части, так как эта величина не известна в год Т ; поэтому используем ожидаемую величину).

Матрица Q относится к особому классу матриц, называемых стохастическими, и представляет всевозможные переходы от одного класса к другому.Онаимеет неотрицательные элементы, и суммы всех элементов каждой из строк равны единице. Подобные матрицы играют основную роль в теории марковских цепей, и мы можем применить эту теорию для ответа на вопросы о поведении модели.

5. Прогнозирование

Первый вопрос, который был поставлен относительно структуры преподавательского состава университета, состоял в том, имеется ли тенденция к продолжению роста. На этот вопрос можно ответить, используя запись (6). Допустим, что начальные запасы и величины параметров таковы:

,

где классы перечислены в порядке увеличения уровня квалификации (ассистенты, доценты, профессоры ). Вид матрицы Р , представленный выше, вполне типичен. Нули ниже диагонали означают, что движение из более высоких классов в более низкие отсутствует; происходят разве лишь переводы в более высокие классы. Вектор ухода говорит о высоком коэффициенте потерь наверху и внизу; наверху — это смерть и уход в отставку, случающиеся чаще, чем в двух нижних классах. Наибольший уровень приема на работу имеет место в нижнем классе.

Построим матрицу Q и получим структуру классов на 5 и 10 лет вперед с помощью формулы (5). Для этого создаем программу для MatLab uspsvu1.m (текст программы приведен в приложении). Результаты выполнения программы:

— матрица ;

— структура классов на 5 лет вперед: ;

— структура классов на 10 лет вперед:.

Явно наблюдается постоянно ухудшающееся состояние, поскольку система приобретает признаки перегруженности высоких классов. Такое поведение системы зависит, разумеется, от структуры Р , но был взят весьма типичный случай, который, правда, соответствует большим возможностям для повышения, чем это имеет место во многих организациях. Вывод должен быть таким, что политики набора и повышений, представленные как r и P , несовместимы с сохранением структуры вида n (0). (Необходимо отметить, что элементы вектора предсказанных численностей классов в общем случае не будут целыми; это объясняется тем, что здесь оперируют с математическими ожиданиями. Математику известно, что математические ожидания целых чисел, являющихся случайными переменными, сами не обязательно целые, однако при представлении результатов администрации разговор о дробных значениях числа людей иногда может подорвать доверие к методу!).

Имея прогноз неблагоприятного свойства, необходимо знать меру того, насколько все может стать неблагополучным. В математических терминах — каково предельное состояние n (T ) при ? После Т лет будет

. (7)

В теории марковских цепей показывается при весьма общих условиях, которые будут выполняться в любой разумной постановке задачи о кадрах, что

, (8)

где Q^∞ — стохастическая матрица с одинаковыми строками. Если через q обозначить общую строку этой матрицы, то устремляя Т к бесконечности в (7), получаем

n (∞) = n (0)Q^∞ = N q , (9)

где N — общий (фиксированный) размер системы. Следовательно, имеется предельная структура, которая не зависит от начальной структуры . Простейший способ подсчета q связан с тем, что предельная структура должна удовлетворять условию

n (∞) = n (∞)Q или q = qQ . (10)

Эта система уравнений является вырожденной, однако если мы опустим одно из уравнений и используем тот факт, что

,

то уравнения могут быть легко решены. Составляем программу для MatLab uspsvu2.m (текст программы приведен в приложении). Были получены следующие результаты для рассматриваемого примера:

, , .

Как видно, в конечном итоге ситуация становится очень неблагополучной:

1) превышение численности профессоров над ассистентами;

2) возрастание численности профессоров в 3 раза по сравнению с начальным уровнем при уменьшении численности ассистентов более чем в 2 раза.

В заключении данного параграфа необходимо подчеркнуть 2 момента,

1) в рассматриваемом примере наибольшее ухудшение ситуации происходит в первые 3-5 лет (см. рис. 1 ), т.е. достаточно быстро.

2) наличие предельной структуры при данных Р , w и r говорит о том, что вполне возможно, изменяя Р , w и r , добиться выполнения условия n = nQ (т.е сохраняемости структуры, начиная с любого года). Об этом подробнее в следующем параграфе.

6. Управление: сохраняемость структур

С обнаружением неизбежности роста численности более высоких классов с известной скоростью следующей задачей становится задача управления ситуацией. Пусть первой ограниченной целью наших усилий будет удержание системы на том уровне, на котором она находится. Если n — существующая структура, которую хотелось бы сохранить, то она, очевидно, должна удовлетворять условию

n = nQ (11)

В математических терминах задача управления сводится к нахождению матрицы Q , такой, что соотношение (11) удовлетворяется.В то же время Q является некоторой функцией от Р , w и r , а эти величины не все поддаются управлению. Естественные потери, например, не находятся под непосредственным контролем администрации, а увольнение является таким моментом, который большинство работодателей предпочитают избегать. Перевод в более высокий класс находится под непосредственным контролем администрации, однако нехватка подходящих кандидатур на повышение или политика, направленная на заполнение вакансий путем повышений, могут создать для повышений такую ситуацию, когда они будут ограничены тесными рамками. Вектор приема также является объектом непосредственного управления, однако и здесь снова могут возникнуть ограничения из-за возможностей приглашать квалифицированных кандидатов или из-за ограничений, связанных с проводимой политикой.

Математическая задача, с которой мы столкнулись, состоит, таким образом, в поиске матрицы Q , удовлетворяющей условию (11) и учитывающей все те ограничения, которые налагаются практически реализуемой политикой на работу системы. Разумеется, может оказаться вообще невозможным подобрать подходящую политику.

Для иллюстраций решения сделаем довольно простое допущение, которое тем не менее часто соответствует действительности. Допустим, что Р и, стало быть, w вообще не могут быть изменены. Все управление, следовательно, должно быть реализовано через вектор r , который, как мы предполагаем, может изменяться по нашему желанию при условии

. (12)

(Неравенство, связывающее два вектора, должно пониматься как действующее в каждой паре элементов.) В этом случае поставленная задача может быть решена отысканием такого вектора r , который удовлетворяет условиям (11) и (12). Заметив, что , легко показать, что

, (13)

где I – единичная матрица; отметим, что nw ’ — скаляр. Можно легко убедиться в том, что элементы вектора r , получаемого по (13), в сумме дают единицу. Вместе с тем эти элементы будут все неотрицательны, если

. (14)

Таким образом можно легко проверить, обладает ли определенная структура способностью сохраняться при управлении наймом.

Такого рода арифметическая проверка годится для достижения непосредственной цели, но она непригодна для того, чтобы прийти к пониманию вопроса о типе структур, которые могут сохраняться. Поэтому мы продолжим поиск характеристик множества структур, которые удовлетворяют условию (14).

Поскольку размеры всей системы фиксированы, будем работать в терминах пропорций каждого из классов и определим их с помощью x = n N ^-1 . Таким образом, будем интересоваться множеством таких х , которые удовлетворяют условию

. (15)

При k = 3 можно сделать задачу геометрически наглядной. Вектор х может быть представлен как точка в трехмерном евклидовом пространстве. Каждая такая точка должна лежать на плоскости x ₁ + x ₂ + x ₃ = 1 и находиться в положительном октанте. Тогда множество всех возможных структур может быть представлено множеством всех точек равностороннего треугольника с вершинами (1, 0, 0), (0,1,0) и (0,0,1), показанного на рис. 2 .

Неравенство (15) определяет некоторую область в этом треугольнике, содержащую все структуры, которые могут сохраняться. Если найти границу этой области, то окажется возможным непосредственно увидеть, какого рода структуры сохраняются. Это достигается алгебраическим путем представления всякого х , удовлетворяющего условию (15), в виде линейной комбинации (линейной функции с положительными коэффициентами, дающими в сумме единицу) фиксированного множества вершин. В результате получается, что область сохраняемости является выпуклой оболочкой, определяемой этими вершинами.

Будем рассуждать в терминах произвольного k , однако сохраним геометрическую терминологию, использованную для k = 3.

Из (13) для х получаем

. (16)

Умножая обе части соотношения (16) на вектор-столбец из единиц, записываемый как I ’, находим, что

, (17)

где элементы d суть суммы элементов строк матрицы (I – P )^-1 . Тогда, производя подстановку (17) в (16), получаем

, (18)

где e _i — вектор, i -я координата которого 1, а остальные координаты — нули.

Пусть

,

тогда х можно записать как

. (19)

Коэффициенты a _i неотрицательны, и их сумма равна единице. следовательно, любая такая точка х лежит в выпуклой области с вершинами, имеющими координаты

,

и каждая такая точка соответствует своему r .

Чтобы проиллюстрировать выкладки, возьмем данные примера из предыдущего параграфа:

.

Для такой матрицы Р получаем

.

Произведя деление каждой строки на сумму элементов этой строки, получаем вершины области, содержащей сохраняющиеся структуры

(0; 0; 1), (0; 0.5; 0.5), (0.429; 0.286; 0.286).

Эти точки нанесены на рис. 2 , и область, содержащая сохраняющиеся структуры, есть треугольник. Сделаем проверку. Возьмем, например, структуру (0.429; 0.286; 0.286), домножим ее на общий размер системы N = 450: (193.05; 128.7; 128.7) и подставим в (13), тем самым мы найдем управляемый вектор набора r = (1; 0; 0). Легко проверяется, что структура (193.05; 128.7; 128.7) сохраняется при заданных P , w и найденном r (воспользовавшись, например, программой uspsvu1.m) .

Аналогичный анализ можно провести для случая, когда управлять можно только долей повышений. В данном случае мы фиксируем r и w и изучаем влияние изменения элементов Р при ограничении вида d_i = 1 – w_i для всех i . В случае матрицы Р общего вида задача усложняется тем, что имеется бесконечно много матриц Р , удовлетворяющих условию (11). Однако если рассматривается некоторая простая иерархия, в которой повышения проводятся только в следующей, более высокий класс, то Р имеет ненулевые элементы только на главной диагонали и на диагонали над нею. В этом случае существует единственное решение уравнения (11), и множество n , которому соответствует некоторая матрица Р с неотрицательными элементами, представляет область репродуктивности. В отличие от области, определяемой управлением набором, оказывается, что эта область включает структуры с перегруженными более низкими классами. Полученный результат наводит на мысль, что сохраняемость структуры, перегруженной нижними классами, может быть более успешно реализована путем управления повышением, а не набором.

Заключение

Модель системы кадров, которая составила основу данного доклада, разумеется, является слишком упрощенной. Составляющие потерь, например, не могут всегда считаться постоянными в пределах одного класса. Все составляющие обнаруживают склонность к изменениям со временем, и при некоторых условиях достигается возможность планирования этих изменений. Одна из наиболее привлекательных особенностей марковской модели заключается в том, что она может быть легко настроена на охват обобщений такого рода без изменений ее главной структуры. Следовательно, продемонстрированный в этом докладе подход относится к числу подходов, которые остаются пригодными при значительно более общих условиях по сравнению с частными случаями, которые здесь подробно обсуждались.

Выше мы установили различие между использованием модели для прогнозирования и для управления. В первом случае вводимые допущения должны отображать — настолько точно, насколько это возможно, — реальное поведение системы в недавнем прошлом. При использовании модели для управления допущения распадаются на две группы. Те допущения, которые относятся к неуправляемым аспектам системы, должны, как и в случае прогнозирования, отражать действительность. Те же, которые относятся к переменным управления, имеют другой характер: они касаются возможностей администрации и, таким образом, должны основываться на сведениях об организации системы.

Приложение

1) Текст программы uspsvu1.m:

% uspsvu1.m - программа прогнозирования структуры преподавательского

% состава на любое количество лет

% Автор: студент ДГТУ группы У-3-47 В.В.Груздев < 21.05.02 >

clc;clear;

disp('Вектор запасов на текущий год');

n=[300 100 50]

disp('Вектор вероятнотей ухода (увольнение или что-либо еще)');

w=[0.2 0.1 0.2]

disp('Вектор, определяющий распределение нанимаемых по классам');

r=[0.75 0.25 0]

disp('Матрица вероятностей переходов, управляющая перемещениями в системе')

P=[0.6 0.2 0;

0 0.7 0.2;

0 0 0.8]

% Вероятностная матрица (матрица Маркова)

Q=P+w'*r;

while 1==1

t=input('Enter year: ');

if t<1 break; end

Qt=Q^t;

disp(sprintf('Вектор запасов на %d лет вперед:',t));

nt=n*Qt

end

2) Текст программы uspsvu2.m:

% uspsvu2.m - программа прогнозирования структуры преподавательского

% состава в предельном случае

% Автор: студент ДГТУ группы У-3-47 В.В.Груздев < 21.05.02 >

clc;clear;

disp('Вектор запасов на текущий год');

n=[300 100 50]

disp('Вектор вероятнотей ухода (увольнение или что-либо еще)');

w=[0.2 0.1 0.2]

disp('Вектор, определяющий распределение нанимаемых по классам');

r=[0.75 0.25 0]

disp('Матрица вероятностей переходов, управляющая перемещениями в системе')

P=[0.6 0.2 0;

0 0.7 0.2;

0 0 0.8]

% Вероятностная матрица (матрица Маркова)

Q=P+w'*r;

disp('В случае t=infinity определим матрицу Qt=Q^infinity.');

disp('У нее все строки будут равными.Строку обозначим q.');

siz=length(n);

A=(Q-eye(siz))';

A=[A(1:siz-1,:); ones(1,siz)];

b=zeros(siz,1);b(siz)=1;

q=(inv(A)*b)'

Qinf=[];

for I=1:siz, Qinf=[Qinf;q]; end

disp('Вектор запасов в бесконечности - насыщение');

ninf=n*Qinf

Список использованной литературы

1) Задачи по математическому моделированию. Сборник. 1979.

2) Розанов Ю.А. Случайные процессы. Краткий курс.— М.: Наука, 1971.

3) Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей.— М.: Наука, 1988.