Министерство Образования РБ.
Средняя общеобразовательная школа №42
«Три знаменитые классические
задачи древности»
Выполнил: ученик 9 класса «Д» Иванов Иван
Проверил: Леонова Вера Михайловна
г. Улан – Удэ
2005 г.
Введение
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности:
о квадратуре круга о трисекции угла
 
о удвоении S круга.
Задача о квадратуре круга
Одной из древнейших и самых популярных математических задач, занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, является задача о квадратуре круга
, т.е. о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликому данному кругу. Если обозначить радиус круга через r
, то речь будет идти о построении квадрата, площадь которого равна  r
2
, а сторона равна r
 . Теперь известно, что число -отношение окружности к своему диаметру – число иррациональное, оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926… было, между прочим, вычислено с 707 десятичными знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим.
Шенкс вычислял. Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями задачи о квадратуре круга, где требовалось найти решение построением. Работа, сделанная Шенксом, в сущности бесполезна – или почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным доказательством противного тому, кто, убедившись доказательствами Линдеманна и др. или не зная о них, до сих пор ещё надеется, что можно найти точное отношение длины окружности к диаметру. Можно вычислить приближенное значение (и корня квадратного из ), удовлетворяющее тем или иным практическим потребностям. Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки.
Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « О изгнании » Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.) находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома Метона следующие слова:
Возьму линейку, проведу прямую,
И мигом круг квадратом обернётся,
Посередине рынок мы устроим,
А от него уж улицы пойдут –
Ну, как на Солнце! Хоть оно само
И круглое, а ведь лучи прямые!..
Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.
 Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. – Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (Рис. 1), известных под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром  вписан равнобедренный прямоугольный треугольник BAC . На  и  , как на диаметрах, Рис. 1 описываются полуокружности.
Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками.
По теореме Пифагора:
 . (1)
Отношение  площадей кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров  , которые в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора OAC ровна площади полукруга, построенного на диаметре . Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что площадь треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и другие луночки, допускающие квадрату, и продолжал свои изыскания в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.
Различные другие, продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19в. было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения. Так, еще в 4в. до н.э. греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была найдена еще в 5в. до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом , и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.
Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и соблазнительной задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась каждым новым поколением математиков. Все усиль были тщетны, но число их не уменьшалось. В некоторых умах доказательство, что решение не может быть найдено, зажигало ещё большее рвение к изысканиям. Что эта задача до сих пор не потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит появление до сих попыток её решить.
Задача о трисекции угла
Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла ( от латинских слов tria– три и section – рассечение , разрезание), т.е.о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Говорят, что такое ограничение вспомогательных приборов знаменитым греческим философом Платоном.
 Так, деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60о
. Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN
(Рис. 2). Откладываем на полупрямой  произвольный отрезок , на котором строим равносторонний треугольник ACB
. Так как угол Рис. 2 CAB
равен 60о
, то  = 30о
. Построим биссектрису 
угла САВ
, получаем искомое деление прямого угла MAN
на три равных угла:  ,  , .
Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в  , п
– натуральное число), однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь в первой половине ХIХ в.
Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда
Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед ( II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой
Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для черчения этой кривой.
Рис. 4 Рис. 5
Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы», в которой доказывается , что если продолжить хорду (рис.4) окружности радиуса r
на отрезок = r
и провести через С
диаметр  , то дуга BF
будет втрое меньше дуги АЕ
. Действительно на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника имеем:
 ,
  ,
значит,
Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла AOE
. Описав окружность с центром O
и радиусом  и  , проводим диаметр  . Линейку CB
на которой нанесена длина  радиуса r
(например, помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка C
скользила по продолжению диаметра , а сома линейка всё время проходила бы через точку A
окружности, пока точка B
линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF
и будет искомой третьей частью угла AOE
(Рис.5). Как видно, в этом приёме используется вставка отрезка CB
между продолжением диаметра EF
и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB
прошло через заданную точку A
окружности. В указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а линейки с делениями, которая даёт длину определённого отрезка.
Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя насечками предложенное Кемпе:
 Пусть дан какой – либо угол ABC
(Рис. 6); и пусть на лезвии нашей линейки обозначены 2 точки, P
и Q
(см. ту же фигуру, внизу)
Построение
На одной из сторон угла откладываем от вершины B
прямую BA
= PQ
. Делим ВА
пополам в точке М
; проводим линии  Рис. 6 и  .
Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре так, чтобы точка Р
линейки лежала на прямой КМ
, точка Q
лежала бы
на прямой LM
, и в тоже время продолжение PQ
линейки проходило бы через вершину данного угла В
. тогда прямая ВР
и есть искомая, отсекающая третью часть угла В
.
Доказательство
 как накрест лежащие. Разделим PQ
пополам и середину N
соединим с М
прямой NM
. Точка N
есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника PQM
, а потому PN
=
N
М
, а следовательно, треугольник PNM
равнобедренный, и значит
Внешний же 
Вместе с тем  .
Значит, 
Итак: 
(Ч.Т.Д.).
Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого. На это может ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскивание некоторой точки по средствам измерения и процесса приспособления линейки. В своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру – и только.
Задача об удвоении куба
Удвоение куба
– так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов.
Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а
ребро данного куба, то длина ребра х
искомого куба должно удовлетворять уравнению
x
3
= 2a3
,
илиx = 
Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а
2
, служит отрезок длиной а
, т.е. диагональ данного квадрата со стороной а
. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а
3
, т.е. отрезок х
, равный  , не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.
Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи со следующей легендой.
На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».
Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский, который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних пропорциональных» отрезка х
, у
между данными отрезками а,
b
, т.е. найти х
и у
, которые удовлетворяли в следующей непрерывной пропорции:
а : х = х : у = у :
b
(1)
Суть одного механического решения задач об удвоении куба, относящегося к IVв. до н.э. , основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим на стороне прямого угла отрезок  =а
, где а
- длина ребра куба (рис.7), а на другой его стороне – отрезок  =2а
. На продолжениях сторон прямого угла стараемся найти такие точки M
иN
, чтобы (АМ)
и (В
N
)
были перпендикулярны к (
MN
)
; тогда  (х)
и (у)
будут двумя серединами пропорциональными между отрезками и  . Для этого устраивается угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на рисунке.
Имеем:
 : = : = : ,
или
а : х = х : у = у : 2а.
Отсюда
или
 ,
т.е.
 .
Это значит что отрезок искомый.
Архит Тарентский дал интересное стереометрическое решение «делосской задачи». После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен, Никомед, Аполлоний, Герон, Папп и др.
Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища Индии.
Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.
|
