Реферат: Методы обучения математике в 10 -11 класах

РОЗДІЛ 2

Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри і початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування”

§1. ПОЯСНЮВАЛЬНО-ІЛЮСТРАТИВНИЙ МЕТОД

Пояснювально-ілюстративний метод можна використовувати на будь-якому уроці, а не лише при поясненні нового, складного матеріалу. Цей метод сприяє розвитку просторового уявлення і через наочність покращує розуміння матеріалу. Розглянемо застосування методу при вивченні понять “Парні та непарні функції”.

Розглянемо функції, область визначення яких симетрична відносно початку координат.

Означення. Функція називається парною, якщо для довільного з її області визначення .

Вчитель пояснює, що для довільних значень х , додатних чи від’ємних, знак самої функції не змінюється.

Означення. Функція називається непарною, якщо для довільного з її області визначення .

Тобто для довільних значень х , знак функції залежить від знаку аргументу.

Д
ля закріплення розуміння понять, на дошці малюються відповідні малюнки, чи демонструються готові намальовані на плакаті.

Мал. 1 Мал. 2

Після цього наводять приклад парних та непарних функцій.

- парні – непарні.

Дійсно, область визначення кожної з них симетрична відносно початку координат, та виконуються рівності: f(-x) = f(-x)²ⁿ = f(x)²ⁿ = f(x) – парність, та для g(-x)=g(-x)²ⁿ⁺¹= –g(x)²ⁿ⁺¹= –g(x) – непарність.

Графіки цих функцій варто продемонструвати на плакаті чи намалювати на дошці. Розглянемо функції у=х⁴ та у=х³.

Мал. 3 Мал. 4

Після побудови графіків функцій потрібно акцентувати увагу учнів на те, що вітки графіка парної функції симетричні відносно осі ординат, а вітки графіка непарної функції симетричні відносно початку координат. Це варто довести до учнів як властивості парної та непарної функції, що допоможе їм при побудові графіків.

При поясненні нового, дещо складнішого матеріалу варто користуватись наочністю, це найкраще відображає саму суть теми, всі процеси, пов’язані з утворенням певних понять. Розглянемо використання наочності та ілюстрацій при вивченні теми “Похідна та її застосування” при дослідженні функцій на екстремуми.

Учні вже вивчили і знають геометричний зміст похідної, ознаки зростання і спадання функції, тому просто варто пригадати це на початку урока.

Геометричний зміст похідної: Похідна функції f(x) в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з абсцисою х₀.

Тому, коли f (x)0, то учням потрібно пояснити, що - тангенс кута нахилу дотичної до кривої з додатнім напрямком осі ОХ більший нуля, тобто (0; ). Продемонструємо це на малюнку (мал. 5).
З малюнку видно, що на проміжку а; b дотична може займати положення, при якому кут (0; ) і функція на цьому проміжку зростає.

Мал. 5 Мал. 6

Якщо ж f(x)0, то tg()0, (0; –) , значить функція спадає. Показуємо це на малюнку (мал. 6).

В першому випадку функція f(x) є зростаючою на проміжку а; b, в другому - спадною. Потрібно спитати учнів, а яким же чином веде себе функція, коли f(x) при переході через деяку точку х₀ змінює свій знак.

Це буває лише тоді, коли в точці х₀ функція приймає своє найбільше або найменше значення. Якщо похідна змінює свій знак з “+” на “-” (спочатку функція зростала, а при переході через точку х₀ почала спадати), то х₀- є точкою максимуму, значення функції в цій точці є максимумом функції. Інакше, якщо при переході через точку х₀ похідна змінила свій знак з “-” на “+”, то х₀ - є точкою мінімума, а значення функції в цій точці – мінімумом функції. Ці точки називають екстремальними точками функції.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними точками цієї функції.

Формулюється необхідна умова екстремуму.

Якщо функція у внутрішній точці проміжку має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує , дорівнює нулю f ^/ (х₀)=0.

Доведемо методом від супротивного. Нехай в точці , яка є екстремальною для , існує похідна і . Припустимо, що , значить функція в точці зростає. Отже не є екстремальною точкою. Якщо , то функція в точці спадає. Отже прийшли до суперечності. Тобто теорему доведено.

Але з того, що похідна функції в точці рівна нулю, не обов’язково слідує , що є точкою екстремуму.

Наприклад, похідна функції рівна нулю в точці , але функція екстремуму в цій точці не має.

Внутрішня точка проміжку називається стаціонарною точкою функції , якщо в цій точці .

Розглянемо критичні точки, похідна в яких не існує. Наприклад точка 0 для функції не є критичною, бо не внутрішня точка області визначення функції.

Приклад. Розглянемо функцію , ця функція не має похідної в точці 0. Значить точка 0 – критична, та ще й функція в точці 0 має мінімальне значення (0 - точка мінімуму). Далі розглядаються ознаки максимуму і мінімуму функції.

§2. РЕПРОДУКТИВНИЙ МЕТОД

Розглянемо застосування цього методу при вивченні теми “Застосування похідної до дослідження функції”.

Так як репродуктивний метод використовують найчастіше для закріплення вивченого теоретичного матеріалу, то вчителю можна користуватися цим методом не лише по закінченню пояснення нової теми, а навіть і після кожної порції викладеної інформації.

Учням пояснюють, як досліджується деяка функція, показують схему дослідження, а в кінці дослідження будують графік. Це робить вчитель на дошці, досліджуючи функцію f₁(x), заносячи результати кожного кроку дослідження до таблиці.

Потім учням пропонується дослідити деяку функцію самостійно і побудувати її графік. Учні, або один учень біля дошки, самостійно, або з допомогою вчителя, виконують такі самі дослідження для функції f₂(x), а дані досліджень заносять до тієї ж таблиці на дошці, але в другий, порожній стовпець.

Потім учні самостійно будують графік другої функції (мал. 9*).

Після пояснення вчителем теоретичного матеріалу і наведення декількох прикладів дослідження функції учні вже самі досліджують і будують графіки функцій.

Мал. 9 Мал. 9*

§3. ПРОБЛЕМНИЙ ВИКЛАД

При вивченні теми “Застосування похідної в фізиці та техніці” урок починається з пригадування того, яким чином визначається швидкість руху в курсі фізики. Розглянемо випадок, коли матеріальна точка рухається по координатній прямій, і задано закон руху цієї точки, тобто координата х цієї точки є відома функція часу . За момент часу від до переміщення точки можемо записати як = =, а середня швидкість руху точки .

При значення середньої швидкості прямує до конкретного значення, яке називають миттєвою швидкістю матеріальної точки в момент часу . Тобто при .

За означенням похідної при .

Вважають, що миттєва швидкість визначена тільки для диференційованої функції , тому .

Скорочено це говорять наступним чином: похідна від координати за часом є швидкість. Це механічний зміст похідної. Миттєва швидкість може приймати довільні значення.

Аналогічно кажуть про зміну швидкості: похідна від швидкості за часом є прискорення. .

Тепер розглядаються приклади.

Приклад 1. Розглянемо вільне падіння матеріальної точки.

З фізики відомо, що при вертикальному падінні рух тіла задається формулою . Відшукаємо швидкість падіння точки в момент часу : . Відшукаємо прискорення падіння точки: , прискорення є величина постійна.

Приклад 2.Нехай залежність координати точки, що рухається по прямій, від часу виражена формулою: , де , - константи. Відшукаємо швидкість і прискорення руху.

Швидкість руху буде:
.

Так як нам відома швидкість руху як функція часу, то можемо знайти прискорення цього руху: . Бачимо що а – константа, і при а > 0 – це буде прискорений рух, а при а < 0 – рух сповільнений.

Приклад 3. Судно В знаходиться на сході від судна А на відстані
75 км і пливе на захід зі швидкістю 12 км/год. Судно А пливе на південь зі швидкістю 4 км/год. Чи буде в деякий момент часу відстань між ними мінімальною?

Розв’язання

Перш за все необхідно намалювати малюнок.

З малюнку видно, що 2 судна В і А рухаються перпендикулярно один одному, тому відстань між ними можемо записати, за теоремою Піфагора, . А відстані ми можемо записати за відомими швидкостями: , .

Тому . Ми отримали функцію, яка характеризує зміну відстані між суднами в залежності від часу. Дослідимо цю функцію на мінімум.

Знайдемо похідну . Відшукаємо критичні точки, проміжки зростання та спадання функції на цих проміжках та знайдемо точку екстремуму:

;

;

.

на проміжку (-;), на проміжку (;), тобто

t_m= - точка мінімуму функції l.

В момент часу t_m= відстань між суднами буде мінімальною.

В сильному класі, для розширення кругозору учнів, та розширення можливостей застосування похідної можна розглянути задачі геометричного та біологічного типу, при вивченні теми “Найбільше та найменше значення функції”.

Приклад 1. Для будівництва будинку прямокутної форми зображеного на плані темним прямокутником з площею м² відведено ділянку прямокутної форми, межі якої повинні знаходитись від будинку на відстані 36 і 16 метрів. Які розміри потрібно надати будинку, щоб площа ділянки ABCD була найменшою ?

Розв’язання

Позначимо розміри будинку через і .
Площа будинку 400 м², тобто м².

Враховуючи відстані від будинку до межі отримаємо довжини меж: AD= і AB= м.

Запишемо площу ділянки як функцію сторони х:
(х) =.

Для знаходження мінімальної площі ділянки скористаємося властивістю похідної для дослідження цільової функції на мінімум.

. Прирівняємо до нуля і отримаємо значення: . Беремо додатне значення змінної х, - бо сторона.

Дослідимо знак похідної на проміжках:

Похідна змінює знак з “–“ на “+”, тобто буде точкою мінімуму. А значення функції в цій точці .

Відповідь: , .

Приклад 2. Швидкість зростання популяції x задана формулою y=0,001x(100-x) (час t виражено в днях). При якій чисельності популяції ця швидкість максимальна ? Скільки особин повинна містити рівноважна популяція, щоб швидкість зростання її спала до нуля?

Розв’язання

В цьому прикладі y – це функція, яку необхідно дослідити на максимум. Тому знайдемо першу похідну: y=0,1-0,002x. Знайдемо критичні точки, прирівнявши її до нуля: x=50. Ця точка є точкою максимуму функції. Тобто при чисельності 50 особин, швидкість зростання популяції буде максимальною.

Тепер необхідно перевірити, чи є таке число особин, при якому швидкість зростання популяції спадає до нуля. Прирівнюємо швидкість до нуля 0,001x(100-x)=0, і отримаємо значення шуканої чисельності х=0 або х=100, нуль відкидаємо, бо не задовольняє умову. Тому при чисельності в 100 особин, швидкість зростання популяції буде рівна нулю.

§4. ЧАСТКОВО-ПОШУКОВИЙ МЕТОД

Цей метод вимагає майже самостійної роботи учнів, а вчитель лише спрямовує мислення учнів до певних висновків.

Цим методом краще користуватись, коли необхідно закріпити пройдений матеріал чи певну тему, або для перевірки підготовленості учнів до вивчення певної теми.

Розглянемо використання методу на прикладі вивчення періодичності функції.

Варто наступним чином розпочати урок.

Вчитель повинен показати, які процеси існують в математиці чи фізиці і як вони можуть повторюватись. Це може бути обертання Місяця навколо Землі, коливання маятника в годиннику, повторення значень функції через певний крок та інше.

Спочатку можна намалювати схематично графік і показати учням, що через певний крок значення функції є однаковими, і немає значення в якому напрямку ми будемо рухатись по осі OX.

Потім можна намалювати учням графік вже відомої їм функції .

Учні помічають, що значення функції повторюються через 2П.

Вчитель звертає увагу на те, що функція має те саме значення і в точці , і в точці , і в точці , , і мінімальне число, яке додається до значення аргументу, називається періодом, позначають його буквою Т.

Учні повинні спробувати вже сформулювати означення періодичної функції, хоча вчитель може допомагати.

Означення. Функція називається періодичною з періодом Т, якщо для довільного з області визначення значення функції в точках x, x+Т, x-Т рівні. Тобто .

Потім переходять до розв’язування прикладів.

§5. ДОСЛІДНИЦЬКИЙ МЕТОД

Цим методом користуються вже на певному етапі навчання учнів, коли учні вже здатні логічно мислити, робити самостійні висновки. Також це корисно для розвитку логічного мислення. Користування цим методом покращує працездатність учнів і викликає в них зацікавленість, розвиває самостійність в дослідженні певних закономірностей чи властивостей певних об’єктів.

Розглянемо цей метод на прикладі дослідження функції з використанням похідної.

Приклад1. Дослідити функцію і побудувати її графік: .

Розв’язування

1) Область визначення функції - множина дійсних чисел, бо функція є многочленом.

2) Функція не є ні парною ні непарною, бо і область визначення функції симетрична відносно початку координат.

3) Має точку перетину з віссю : при , тобто точка з координатами .

4) Має точки перетину з віссю :
;
;
або . Тобто точки з координатами , .

5) Знаходимо максимуми і мінімуми функції.

Знайдемо критичні точки. Для цього знайдемо першу похідну функції: .

Прирівнявши похідну до нуля отримаємо три критичні точки:
х= -1, х= 0, х= 1.

Знайдемо серед них точки максимуму і мінімуму.

При переході через точку х= -1 похідна змінює знак з “+” на “-” – точка максимума, а при переході через точку х=1, похідна змінює знак з “-” на “+” – точка мінімума. А при переході через точку х=0 – не міняє знаку.

6) Дослідимо функцію на точки перегину:

.

;

;

або - отримали точки підозрілі на точки перегину.

Учні складають таблицю:

З таблиці видно, що функція має максимум в точці і мінімум в точці .

Будуємо сам графік використовуючи отримані дані з таблиці. Спочатку учні відмічають на графіку точки максимуму і мінімуму, точки перетину з осями, а потім будують графік даної функції.

Приклад2.За даним рівнянням руху авто знайти його швидкість (при t = 2 сек.) ; момент часу, коли авто почало рухатись в зворотному напрямку та відстань, на яку воно відійшло від деякого пункту (початок руху) до розвороту.

Розв’язання

Бажано спочатку намалювати графік руху авто, це спростить розв’язування задачі, та дасть можливість зрозуміти, яким чином рухалось авто.

З умови задачі видно, що .

Знаходимо точки перетину графіка функції з віссю ОХ: t³ - 4t = 0;
t = 0, t = ± 2. (t = -2 не розглядаємо, бо час t >0).

Знаходимо точки екстремуму функції:
; 3t ² – 4 = 0; t = .

Значення - не задовольняє умові . Перевіримо як змінює знак похідна при переході через точку .

При переході через цю точку, похідна змінює свій знак з “–” на “+”, тобто це точка мінімуму.

Малюємо малюнок.

З малюнку видно, що в момент часу t = авто знаходилось на максимальній відстані від деякого пункту (хоч і рухалося в зворотному напрямку).

Тому в момент часу t = авто змінило напрям руху.

Відстань в цей момент була: =.

(стоїть модуль, бо відстань повинна бути додатна).

Похідна від відстані це є швидкість, яку ми вже знайшли: , тому через 2 секунди після початку руху авто мало швидкість м/с.

§6 . МЕТОД ДОЦІЛЬНИХ ЗАДАЧ

В багатьох випадках , в певних темах цей метод застосовується не дуже часто, але при продовженні деякої теми, чи при вивченні теми з розв’язання практичних задач краще скористатися ним, тоді в учнів при вивченні теми буде повніше розуміння вивченого матеріалу. Як вже було вище сказано, суть методу в тому, що розгляд нової теми розпочинається з наведення деяких прикладів, що можуть допомогти учням краще орієнтуватися в тому, про що йде мова в даній темі, або протягом уроку посилатися на деякі з них.

Розглянемо його використання на прикладі вивчення теми “Функції та їх графіки”.

Вчитель на початку уроку, але вже після означення поняття функції, може наводити приклади, будувати з учнями графіки, а потім на основі графіків вивести певні закономірності їх побудови і запропонувати учням використовувати ці закономірності при подальшому розв’язуванні прикладів.

Побудуємо графіки таких елементарних функцій:

Мал. 16 Мал. 17 Мал.18

Учні помічають, що другий графік (Мал. 17.) зсунутий на 2 одиниці вправо, а в формулі стоїть знак мінус перед цією цифрою. Третій графік (Мал. 18.) відрізняється від другого тим, що не тільки зсунутий по осі OX, а й по осі OY – на 1, але тут вже спостерігається відповідність знаку.

Після розглядання цих прикладів учні можуть сформулювати основні правила побудови графіків не тільки степеневих функцій, а і графіків довільних функцій.

Запишемо загальний вигляд функції: (, ).

Для побудови графіку довільної степеневої функції необхідно:

1. побудувати графік функції ;

2. зсунути його на a значень вліво (напрямок обирають протилежно до знаку a), при - вліво, при - вправо;

3. зсунути на b значень вгору (відповідність зі знаком), при - вгору, при - вниз;

4. стиснути в k разів до осі . (кожне значення функції стає в k раз більше).

Доцільно після цього дати учням побудувати графік деякої функції за точками., а коли вони його побудують, то показати простіший спосіб побудови графіка, за допомогою зміщення деякого відомого графіку по осям координат та стиснення його в разів.

Так само і для тригонометричних функцій. Тригонометричні функції викликають в учнів більший інтерес при побудові, особливо при розгляданні додавання та множення графіків.

§7. АБСТРАКТНО-ДЕДУКТИВНИЙ І КОНКРЕТНО-ІНДУКТИВНИЙ МЕТОДИ

Конкретно-індуктивний метод є природним розширенням і удосконаленням методу доцільних задач. За словами К.Ф.Лебединцева, цей метод краще підходить для застосування в шкільному навчанні. Метод чимось нагадує проблемний виклад - вчитель пропонуючи розв’язати певний приклад, ставить перед класом невелику проблемну ситуацію, а розв’язуючи цей приклад робить висновок чи дає означення.

При використанні абстрактно-дедуктивного методу, вчитель повідомляє тему уроку, дає означення, формулює теореми, а вже після викладу теорії переходить до практичних завдань. Учні починають розв’язувати приклади, доводити твердження на основі вивчених означень чи властивостей певних об’єктів, тим самим засвоюючи новий матеріал.

Розглянемо застосування абстрактно-дедуктивного методу на прикладі вивчення теми: “Застосування похідної до дослідження функцій”.

Вивчення починається з пригадування геометричного змісту похідної, лише потім можна перейти до вивчення нової теми.

Геометричний зміст: Похідна функції f(x) в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з абсцисою х₀.

Тангенс кута нахилу дотичної називають кутовим коефіцієнтом

Функція може зростати чи спадати на деякому проміжку (можна намалювати малюнок).

Означення. Функція f(x) – називається зростаючою на проміжку , якщо для довільного x(а; b) , що x₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁)  f (x₂).

Означення. Функція f(x) – називається спадною на проміжку , якщо для довільного x(а; b) , що x₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁)  f (x₂).

Далі в звичайних класах формулюються ознаки зростання та спадання функції. При доведенні ознак використовується формула Лагранжа, тому в класах з поглибленим вивченням математики можна спочатку довести теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна на а; b, та існує точка с(а, b), то f(а)-f(b)=f ^/(с)(b-а).

Доведення

Розглянемо функцію f(x) що визначена на проміжку а, b та візьмемо  точку с, що с(а, b).

Дотична до графіка функції f (x) утворює кут  з додатнім напрямком осі ОХ.

Кут  - подібний куту ВАD.

ΔВАD – прямокутний, тому =tg()=f ^/(x).

Так як ВD=f(b)-f(а), а АD=b-а, тому
f ^/(c)= - формула Лагранжа.

Далі розглядаються ознаки зростання та спадання функції.

Ознака зростання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці інтервалу (x₁; x₂) і f ^/(x)  0 на цьому інтервалі, то функція зростає.

Ознака спадання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці інтервалу (x₁; x₂) і f ^/(x)  0 на цьому інтервалі, то функція спадає.

Доведення цих ознак можна провести в класах з математичним нахилом.

При доведенні використовується теорема Лагранжа.

Розв’язується приклад.

Приклад.

Як веде себе функція f(x)=x²-8x+12 на проміжках (-; 4)(4; +).

Дослідження. Знайдемо похідну, критичні точки та дослідимо функцію на кожному з отриманих проміжків: f ^/(x)=2x-8; тобто x=4 і це є критична точка. На проміжку (-; 4) похідна має від’ємний знак, тому функція спадає, а на проміжку (4; +) похідна має додатній знак, тому функція на цьому проміжку зростає.

Ми отримали точку х=4, переходячи через яку похідна змінює знак , тобто в цій точці дотична паралельна осі ОХ, а це може бути лише в найвищій або в найнижчій точці. Таку точку називають точкою екстремуму. Похідна функції в цій точці дорівнює нулю, тобто кутовий коефіцієнт рівний нулю.

Точки максимумів та мінімумів функції називають – екстремальними точками.

Означення. Внутрішні точки області визначення функції в яких похідна рівна нулю або не існує – називаються критичними точками.

Формулюється Н еобхідна умова існування екстремуму функції в точці. (Терема Ферма)

Якщо функція f(x) - неперервна і диференційовна на (а, b) і в точці x₀ має екстремум, то похідна функції в цій точці рівна нулю.

Переходимо до розв’язування прикладів.

Дослідити на екстремуми функцію:

1. f(x)=2х³-9х²+12х-8.

f ^/(x)=6х²-18х+12;

f ^/(x)=0;

6х²-18х+12=0;

х²-3х+12=0;

х₁=1; х₂=2.

Наносимо критичні точки на координатну вісь і перевіряємо знак на кожному з отриманих проміжків.

f ^/(1)= -3; - максимум функції

f ^/(2)= -4. – мінімум функції.

§8. ПРОГРАМОВАНЕ НАВЧАННЯ

Програмоване навчання використовується дуже часто, особливо цей метод використовують для написання самостійних робот, контрольних, під час складання іспитів. Використовують для контролю знань і іноді для проведення уроків, щоб підвищити увагу та зацікавленість учнів, коли вчитель спеціально заготовлює програмовані завдання до тієї теми, яку важче розуміють учні. Таким чином цей метод може покращувати рівень знань учнів.

Розглянемо деякі приклади завдань, що використовуються на вступних іспитах, на шкільному випускному іспиті, та на контрольних роботах.

Визначити парність (непарність) функції:

1)

а) парна, б) непарна, в) інша відповідь.

(вірно – парна, бо - парна функція,- парна ).

2)

а) парна, б) непарна, в) інша відповідь.

(вірно – інша відповідь, бо синус непарна функція, а косинус - парна).

Знайти область визначення функції:

1) ;

а) , б) , в) інша відповідь.

Розв’язання. ОДЗ: .
,
,
. Розглянемо отримані проміжки, і виберемо з них ті, що задовольняють ОДЗ. Тобто .

(вірно - ).

2) ;

а) , б) , в) інша відповідь.

Розв’язання. Підлогарифмічний вираз завжди додатній, а знаменник не рівний нулю.

,

,

Нанесемо значення на числову вісь, і відшукаємо проміжки, які задовольняють нашим умовам. Нас задовольняють лише значення .

(вірно - ).

Який з даних графіків відповідає функції:

1) ?

Вірна відповідь б). В цьому прикладі використовується знання формул зведення, тому учні повинні побачити, згадати і оцінити: чверть – перша, знак – додатній, функція – змінює назву, тому графіком буде косинус.

2) .

Вірна відповідь – а), бо за властивістю логарифма, підлогарифмічний вираз не може бути від’ємний, а в б) – ця умова порушується, або видно з запису функції, що графік повинен бути зсунутий на одиницю вправо по осі ОХ – це перший графік.

Знайти найменше значення функції:
;
а) 0; б) ; в) інша відповідь.

Розв’язання. Оскільки функція приймає найменше значення , то загальне значення даної функції буде , тобто варіант відповіді – інша відповідь.

Знайти найбільше значення функції:

;

а) –2; б) 2; в) інша відповідь.

Розв’язання. Найбільше значення самої функції це 1, а тому враховуючи множник перед функцією, він від’ємний, виходить, що найбільше значення буде при найменшому значенні , тобто максимум дорівнює 2.

Знайти область значень функції:

;

а) ; б) ; в) інша відповідь.

Розв’язання. Оскільки функція має значення, що містяться в проміжку -1;1 , то враховуючи множник це буде проміжок , та ще всі значення будуть збільшені на 1, тобто в кінцевому результаті отримаємо проміжок - вірна відповідь а).

Висновки

В дипломній роботі було розглянуто методи навчання математики викладені у підручнику Методика навчання математики З.І.Слєпкань. А саме: пояснювально-ілюстративний, репродуктивний, проблемний виклад, частково-пошуковий, дослідницький, метод доцільних задач, абстрактно-дедуктивний і конкретно-індуктивний, програмоване навчання. Деякі з цих методів доцільно було б використати в молодших класах, інші в старших, деякі краще використовуються в дослідах чи експериментальних науках.

В першому розділі було розкрито зміст кожного з методів навчання математики. Були розглянуті лише найпоширеніші методи навчання. Було розглянуто програмоване навчання, що відноситься до самостійної роботи учнів, але теж є методом закріплення математичних знань.

В другому розділі розглянуто та пояснено використання методів навчання для пояснення та закріплення нового матеріалу в 10-11 класах при вивченні тем змістових ліній курсу “Елементарні функції”, “Похідна та її застосування”. Кожен з методів навчання ілюструється відповідним практичним викладом частини уроку на конкретну тему.

Додаток

Розробка уроку на тему: “Застосування похідної до дослідження функцій”

Вивчення починається з пригадування геометричного змісту похідної, лише потім можна перейти до вивчення нової теми.

Учень:

Геометричний зміст: Похідна функції f(x) в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з абсцисою х₀.

Тангенс кута нахилу дотичної називають кутовим коефіцієнтом

Функція може зростати або спадати на деякому проміжку (можна намалювати малюнок).

Вчитель:

Означення. Функція f(x) – називається зростаючою на проміжку , якщо для довільного x(а; b) , що x₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁)  f (x₂).

Означення. Функція f(x) – називається спадною на проміжку , якщо для довільного x(а; b) , що x₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁)  f (x₂).

Далі в звичайних класах формулюються ознаки зростання та спадання функції. При доведенні ознак використовується формула Лагранжа, тому в класах з поглибленим вивченням математики можна спочатку довести теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна на а; b, та існує точка с(а, b), то f(а)-f(b)=f ^/(с)(b-а).

Доведення

Розглянемо функцію f(x) що визначена на проміжку а, b та візьмемо  точку с, що с(а, b).

Дотична до графіка функції f (x) утворює кут  з додатнім напрямком осі ОХ.

Кут  - подібний куту ВАD.

ΔВАD – прямокутний, тому =tg()=f ^/(x).

Так як ВD=f(b)-f(а), а АD=b-а, тому
f ^/(c)= - отримали формулу Лагранжа.

Вчитель: Яким же чином за заданою функцією ми можемо визначити зростає вона чи спадає в даному інтервалі? Розглянемо ознаки зростання та спадання функції.

Ознака зростання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці інтервалу (x₁; x₂) і f ^/(x)  0 на цьому інтервалі, то функція зростає ні цьому інтервалі.

Ознака спадання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці інтервалу (x₁; x₂) і f ^/(x)  0 на цьому інтервалі, то функція спадає на цьому інтервалі.

(Доведення цих ознак можна провести в класах з математичним нахилом. При доведенні використовується теорема Лагранжа)

Вчитель: Для закріплення розв’яжемо приклад.

Приклад.

Як веде себе функція f(x)=x²-8x+12 на проміжках (-; 4)(4; +).

Дослідження. Знайдемо похідну, критичні точки та дослідимо функцію на кожному з отриманих проміжків: f ^/(x)=2x-8; тобто x=4 і це є критична точка. На проміжку (-; 4) похідна має від’ємний знак, тому функція спадає, а на проміжку (4; +) похідна має додатній знак, тому функція на цьому проміжку зростає.

Ми отримали точку х=4, переходячи через яку похідна змінює знак , тобто в цій точці дотична паралельна осі ОХ, а це може бути лише в найвищій або в найнижчій точці. Таку точку називають точкою екстремуму. Похідна функції в цій точці дорівнює нулю, тобто кутовий коефіцієнт рівний нулю.

Точки максимумів та мінімумів функції називають – екстремальними точками.

Означення. Внутрішні точки області визначення функції в яких похідна рівна нулю або не існує – називаються критичними точками.

Вчитель: Виникає питання, а що необхідно для того, щоб існував екстремум функції в даній точці ?

Вчитель: Сформулюємо та доведемо Необхідну умову існування екстремуму функції в точці. (Терема Ферма)

Якщо функція f(x) - неперервна і диференційовна на (а, b) і в точці
x₀ (а, b) має екстремум, то похідна функції в цій точці рівна нулю
f ^/(x)=0 .

Доведення

Так як функція диференційовна в кожній точці (а, b), то на цьому інтервалі існує похідна. Якщо на (а, х₀) похідна f ^/(x) 0 – функція зростає, а на (х₀, b) похідна f ^/(x) 0 – функція спадає (або на (а, х₀) – функція f(x) спадає, а на (х₀, b) – функція f(x) зростає), значить в точці х₀ – функція має конкретне значення максимуму або мінімуму, тому похідна рівна нулю f ^/(x) = 0.

Вчитель: Переходимо до розв’язування прикладів.

Дослідити на екстремуми функцію:

f(x)=2х³-9х²+12х-8.

Знайдемо похідну функції:

f ^/(x)=6х²-18х+12;

f ^/(x)=0;

Відшукаємо критичні точки:

6х²-18х+12=0;

х²-3х+12=0;

Критичні точки:

х₁=1; х₂=2.

Наносимо критичні точки на координатну вісь і перевіряємо знак на кожному з отриманих проміжків.

f ^/(1)= -3; - максимум функції

f ^/(2)= -4. – мінімум функції.

Тепер викликаю учня до дошки.

Дослідити на екстремуми функцію: f(x)=х²+2х-2.

Учень:

Знайдемо похідну функції: .

Прирівняємо до нуля і відшукаємо критичні точки:
;
- критична точка.

Нанесемо точку на координатну вісь і перевіримо знаки на отриманих інтервалах та . На інтервалі похідна приймає від’ємні значення, а на інтервалі - додатні, тобто точка - є точкою мінімуму. І значення функції в ній дорівнює .

Даємо домашнє завдання.

Знайти проміжки зростання і спадання наступних функцій

1. f (х) = 2х³-9х²+12х-15,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

При поясненні даної теми на уроці використовувався цілий ряд методів навчання: основними методами пояснення нового матеріалу на уроці були пояснювально-ілюстративний (коли необхідно було графічно пояснювати процеси спадання і зростання функцій) і абстрактно-дедуктивний метод (доведення ознак і теорем). Також використовувався репродуктивний метод (учням пропонують доводити певні ознаки або теореми самостійно). Для кращого та дохідливого пояснення нового матеріалу на уроках краще використовувати декілька методів, це сприяє не просто розумінню матеріала, а і кращому запам’ятовуванню за рахунок активізації декількох аналізаторів: слуху, зору та підтримання постійного контакту з учнями під час уроку.

ЛІТЕРАТУРА

1. Махмутов М. Й. Проблемноє обучение. -М.: Педагогика, 1975. – 240 с.

2. Методи обучения математике / Под ред. А. А. Столяра. –Минск.: Висш. шк.,1981. – 398 с.

3. Г.П.Бевз. Методика викладання математики. 3-видання. -К.: Вища школа, 1989. – 352 с.

4. Н.В.Богомолов. Практические занятия по математике. – 3- е издание. -М.: Высшая школа , 1990. –495 с.

5. Методика викладання математики в середній школі: Навч. посібник для пед. інститутів за спец. 2104 “Математика” і 2105 “Фізика”: Пер. з рос. /О.Я.Блох, Є.С.Канін, Н.Г.Килина та ін.; Упоряд. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. – Х.: Видавництво “Основа”. 1992. – 304 с.

6. Г.М.Литвиненко, Л.Я.Федченко, В.О.Швець. Збірник задач для екзамену з математики на атестат про середню освіту: Частина І. –Львів.: ВНТЛ, 1997.-93 с.

7. З.І.Слєпкань. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат. Спеціальностей пед. навч. Закладів.-Київ.: Зодіак-ЕКО, 2000.-512 с.

8. Л.О.Соколенко. Прикладна спрямованість шкільного курсу алгебри і початків аналізу: Навчальний посібник. -Чернігів: Сіверянська думка, 2002.- 128 с.

9. М.И.Каченовский. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.– 464 с.

10. М.І.Шкіль, З.І.Слепкань, О.С.Дубинчук. Алгебра і початки аналізу
    10-11 кл. – Київ.: Зодіак-ЕКО, 1998. – 608 с.

11. Колягин Ю.М. и др.. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Колягин Ю.М., Оганесян В.А.,
    Саннинский В.Я., Луканкин Г.Л. М.: Просвещение, 1975. – 320 с.

12. Репьев В.В. Общая методика преподавания математики. М.: УПГ, 1958. – 306 с.

13. Лоповок Л.М. Збірник задач для 9-10 класів.: Дидактичні матеріали для вчителів. – К.: Рад. шк., 1984. – 120 с.

14. Дубинчук О.С., Слепкань З.И. Преподавание математики в средних ПТУ (1-й год обучения). – К.: Вища школа. Голов. изд-во, 1985.
    – 112с.

15. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10-11 класів серед. шк./ А.М.Колмогоров, О.М.Абрамов, Ю.П.Дудніцин та ін.; за ред. А.М.Колмогорова. – К.: Освіта, 1992. – 350 с.

16. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 350 с.

17. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 228 с.

ЗМІСТ

Вступ

Одним з центральних місць в дидактиці (загальній теорії навчання) і в методиці викладання математики (конкретній теорії навчання, де враховується специфіка математики як навчального предмету) займа­ють методи навчання. Володіння цими методами необхідне для органі­зації ефективного навчання школярів.

Як навчальний предмет «математика» має особливі риси, які притаманні тільки їй. Головною з них є високий ступінь узагальненості понять, що вивчаються. Ця риса виявляється буквально відразу, при першому ж знайомстві з математикою на уроках. Ось тому в процесі навчання необхідно використовувати різні методи, які відобража­ють цю особливість, і при формуванні математичних понять, і при зна­йомстві з задачами, що виникають при використанні цих понять в практичній і навчальній діяльності. Істотно відмітити, що зазначені методи сприяють розвитку мислення школярів, підвищують їх загаль­ну культуру, викликають інтерес до математики, а не відлякують учнів.

Мета даної роботи – з’ясувати суть основних методів навчання математики, а саме: пояснювально-ілюстративного методу, репродуктивного, проблемного викладу, частково-пошукового методу, дослідницького, методу доцільних задач, абстрактно-дедуктивного та конкретно-індуктивного, програмованого навчання. Продемонструвати їх використання при поясненні та закріпленні нового матеріалу на уроках алгебри в 10-11 класах.

В першому розділі розглядається теоретичний матеріал: основні методи навчання, їх класифікація та розкривається зміст кожного методу.

В другому розділі наводиться практичне застосування методів навчання. Пояснюється використання кожного з методів на прикладі розглядуваних фрагментів уроків по темах змістових ліній курсу “Елементарні функції”, “Похідна та її застосування”

Завданнями даної роботи є: висвітлити існуючі та найбільш поширені методи навчання математиці; показати майбутнім вчителям підходи щодо покращення викладання математики в 10-11 класах, використовуючи методи навчання математики описані в даній роботі, як окремо так і в сукупності за допомогою розглянутих фрагментів уроків.

РОЗДІЛ І

Методи навчання математики, їх суть та можливості використання в навчальному процесі, зокрема при поясненні нового матеріалу

§1. ПРОБЛЕМА МЕТОДІВ НАВЧАННЯ. ІСНУЮЧІ МЕТОДИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

Проблема методів навчання формулюється коротко за допомогою питання, як учити?

Для розв'язання питання про те, як учити чому-небудь учнів, треба, по-перше, з'ясувати, для чого потрібно це вивчати, які знання, вміння і навички слід набути учням внаслідок цього вивчення; по-друге, треба провести логіко-дидактичний аналіз того, що вивчається, тобто виявити структуру та інші особливості змісту навчання, його виклад у шкільному підручнику; по-третє, треба знайти об'єкт навчання, тобто рівень розумової діяльності учнів, які вони мають знання, уміння і навички, на які можна спиратися в навчанні їх даному змісту 5.

Тільки при наявності достатньої інформації з питань, для чого? чому? і кого?, ми можемо успішно розв'язати і питання, як?, тобто питання про вибір методів навчання, які найкраще відпові­дають цілям, змісту навчання і рівню розумової діяльності і знань учнів.

Постановка проблеми відображення методів науки в навчанні ціл­ком виправдана. По-перше, цілі навчання включають засвоєння не лише визначеної сукупності наукових фактів, а й методів добування цих фактів, які використовуються в самій науці. По-друге, методи наукових досліджень — це методи добування нових знань в навчаль­ній (пізнавальній) діяльності. Тому цілком природно, щоб методи на­вчання відображали методи пізнання.

Система методів навчання математики складається із загальних методів, розроблених дидактикою, адаптованих до навчан­ня математики, та із спеціальних (часткових) методів навчання мате­матики, що відображають основні методи пізнання, які використову­ються в математиці.

Одно із завдань, поставлених перед народною освітою, полягає в тому, щоб привести самі методи навчання у відповідність з вимогою життя.

Далі розглянемо деякі основні методи навчання, що найчастіше використовуються при поясненні та закріпленні нового матеріалу.

Слово “Метод” грецького походження і в перекладі означає шлях дослідження, спосіб пізнання 7.

Під методом навчання в дидактиці розуміють способи навчальної роботи вчителя і організації навчально-пізнавальної діяльності учнів з розв’язування різних дидактичних задач, спрямованих на оволодіння матеріалом, що вивчається.

У педагогіці існує різна класифікація методів навчання залежно від вибору основи класифікації, а саме: за джерелом здобування знань (словесні, наочні, практичні), за способами організації навчальної діяльності учнів (методи здобування нових знань, методи формування умінь та навичок і застосування знань на практиці, методи перевірки й оцінювання знань, умінь та навичок), за характером навчально пізнавальної діяльності учнів (І.Я.Лернер і М.М.Скаткін):
а) пояснювально-ілюстративний (розповідь, лекція, пояснення, робота з підручником, демонстрації та інше);
б) репродуктивний (відтворення знань і способів дій, діяльність за алгоритмом, програмою);
в) проблемний виклад; г) частково-пошуковий або евристична бесіда;
д) дослідницький метод.

До самостійної роботи учнів відносять програмоване навчання.

Нові знання з математики сприймаються і застосовуються учнями з певними труднощами. Тому іноді потрібно організувати самостійну роботу учнів з математичним текстом або науковою літературою.

Методи навчання математики 7 за характером навчально-пізнавальної діяльності учнів:

1. Пояснювально-ілюстративний

2. Репродуктивний метод

3. Проблемний виклад

4. Частково-пошуковий метод (евристична бесіда)

5. Дослідницький метод

6. Метод доцільних задач

7. Аналіз і синтез

8. Порівняння і аналогія

9. Абстрактно-дедуктивний і конкретно-індуктивний

10. Програмоване навчання.

§2. СУТЬ ТА МОЖЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДІВ НАВЧАННЯ У НАВЧАЛЬНОМУ ПРОЦЕСІ

§2.1 ПОЯСНЮВАЛЬНО-ІЛЮСТРАТИВНИЙ МЕТОД

Цим методом послуговуються, вводячи математичні поняття 7, вивчаючи аксіоми, теореми і способи розв'язування різних класів задач. Наприклад, під час вивчення поняття функції вчитель наводить приклади залежності між змінними ве­личинами і об'єктами іншої природи, що задані за допомогою формули, графіка, таблиці, і формулює означення функції як за­лежності між змінними, за якої кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної. Вводяться поняття аргумент, область визначення, область значень функції; розв'язуються вправи на відшукання значень функції за даним значенням аргументу.

Цим методом користуються даючи лекційний урок, на якому пояснюють певну тему з відповідним ілюструванням на дошці, плакатах, таблицях; при роботі на уроці з підручником.

§2.2 РЕПРОДУКТИВНИЙ МЕТОД

Використовується для закріплення на уроці нового матеріалу, перевірки домашнього завдання (учні відтворюють розв'язання задач, формулювання і доведення теорем, означення математичних понять, правила тощо). На уроках, де формуються уміння і навички розв'язування прикладів, задач, застосування репродуктивного методу виявляється в діяльності учнів під час розв'язування вправ і задач за зразком, який дано вчителем або наведено в підручнику, в діяльності за певним алгоритмом. При цьому діяльність за зразком має проводитись не за вказівкою «роби те, що роблю я», а за порадою «роби так, як роблю я».

Недоліком двох названих методів є те, що вони мало сприя­ють розвитку продуктивного мислення, пізнавальній активності й самостійності учнів. Разом з тим недооцінка репродуктивної діяльності учнів призводить до того, що в учнів не забезпечується фонд дійових знань, який є необхідною умовою для можливостей організації самостійної пізнавальної діяльності, розвитку творчо­го мислення і продуктивної діяльності 7.

Наступні три методи проблемного навчання спрямовані на усунення зазначених вище недоліків.

§2. 3 ПРОБЛЕМНИЙ ВИКЛАД

Проблемний виклад як метод навчання математики полягає в тому, що, пояснюючи навчальний матеріал, учитель сам висуває проблеми і, звичайно, як правило, сам їх розв'язує. Однак постановка проблем посилює увагу учнів, активізує процес сприймання і усвідомлення того, що пояснює вчитель. Наприклад, доводячи теорему , вчи­тель висуває проблеми на кожному етапі доведення і сам проводить потрібні обґрунтування 7.

Під проблемним навчанням звичайно розуміють навчання, яке проходить у вигляді розв'язування послідовно створюваних в навчаль­них цілях проблемних ситуацій.

Що ж таке проблемна ситуація? З психологічної точки зору проб­лемна ситуація являє собою більш чи менш явно осмислене утруднен­ня, породжуване невідповідністю, неузгодженістю між тими знаннями, що і є тими, які потрібні для розв'язування задачі, яка виникла або запропонована.

Задача, яка створює проблемну ситуацію - називається проблем­ною задачею, або просто проблемою.

Сказане відноситься і до науки, і до навчання, яке названо проб­лемним та імітуючим, в якійсь мірі, процес розвитку наукових знань шляхом розв'язування проблемних ситуацій. Часто задача, яка є проблемною при вивченні шкільного курсу математики (навчальною проблемою), колись виникла як наукова проблема 5.

Психологічною основою проблемного навчання, звичайно, нази­вають сформульовану С. Л. Рубінштейном тезу: «Мислення почина­ється з проблемної ситуації». Усвідомлення характеру утруднення, недостатності запасу знань розкриває шляхи його подолання, яке полягає в пошуку нових знань, нових способів дій, а пошук — ком­понент процесу творчого мислення. Без такого усвідомлення не вини­кає потреби в пошуку, а значить, немає і творчого мислення.

Таким чином, не кожне утруднення викликає проблемну ситуацію. Воно повинно породжуватися недостатністю знань, і ця недостатність повинна бути усвідомлена учнями.

Однак і не кожна проблемна ситуація породжує процес мислення. Воно не виникає, зокрема, коли пошук способів розв'язування про­блемної ситуації не під силу для учнів на даному етапі навчання в зв'язку з їх непідготовленістю до необхідної діяльності.

Це особливо треба враховувати, щоб не включати в навчальний процес непосильні задачі, які сприяють не розвитку самостійного мис­лення, а відверненню від нього і послабленню віри в свої сили.

В зв'язку з проблемним навчанням вживають два терміни: «проб­лема» і «проблемна задача». Інколи їх розуміють як синоніми, частіше ж як об'єкти, позначувані цими термінами, відрізняють за обсягом. Проблема розпадається на послідовність або розгалужену сукуп­ність проблемних задач. Таким чином, проблемну задачу можна роз­глядати як найпростіший, окремий випадок проблеми, що складається з однієї задачі.

До методів проблемного навчання відносяться такі: дослідний, евристичний і метод проблемного викладу.

Центральне місце в проблемному навчанні займає дослідний ме­тод. Дослідний метод у навчанні, однак, тільки в якійсь мірі імітує процес наукового дослідження. Навчальне дослідження відрізняється від наукового деякими істотними особливостями.

По-перше, як уже згадувалося вище, навчальна проблема, тобто те, що досліджується в процесі проблемного навчання, і та істина, яку відкривають учні, для науки не е новими. Але вони нові для учнів, а відкриваючи для себе те, що в науці давно відкрито, учні на цьому етапі своєї навчаль­ної діяльності міркують як першовідкривачі. Тому застосування до­слідного методу в навчанні відносять до дидактики “пере відкриття”.

По-друге, стимули учнів до проведення дослідження відрізняються і від стимулів, які спонукають вченого на дослідження. Навчальне дослідження проводиться учнями під керівництвом, при особистій участі і за допомогою вчителя. Ця допомога повинна бути такою, щоб учні вважали, що вони самостійно досягли мети.

По-третє, як і кожний інший метод навчання, дослідний не є уні­версальним. У молодших і середніх класах школи в діяльність учнів можна включати тільки окремі елементи досліджень. Це є підготовкою для застосування в старших класах дослідного методу в більш роз­виненій і складній формі. Але й на цьому етапі навчання цей метод можна застосовувати лише для вивчення окремих тем.

§2. 4 ЧАСТКОВО-ПОШУКОВИЙ МЕТОД

Частково-пошуковий метод (інколи називають евристичною бесідою), суть його полягає в тому, що вчитель заздалегідь готує систему запитань, відповідаючи на які учні самостійно формулюють означення поняття, «відкривають» доведення теореми, знаходять спосіб розв'язування задачі.

Цей метод дещо схожий на дослідницький метод через те, що учні повинні самостійно зробити відкриття, дати означення, обґрунтувати твердження, тощо 7.

§2. 5 ДОСЛІДНИЦЬКИЙ МЕТОД

Дослідницький метод передбачає самостійний пошук розв'язання пізнавальної задачі. Причому може виявитись потреба, щоб проб­лему сформулював сам учень або її формулює вчитель, але розв'язують учні самостійно.

У 9 класі, для прикладу, після вивчення формул для обчислення площ прямо­кутника, паралелограма, трикутника перед учнями ставиться про­блема - знайти формулу для обчислення площі трапеції, спираю­чись на вже вивчені формули обчислення площ фігур. Одні учні можуть провести діагональ трапеції і звести обчислення її площі до знаходження суми площ двох трикутників, на які вона розі­б'ється, інші - можуть добудувати трапецію до паралелограма, треті - побудувати трикутник, площа якого дорівнює площі тра­пеції, або скористатися іншими можливими способами. Так само і при знаходженні площі криволінійної трапеції, коли фігура обмежена декількома лініями, що виражаються різними функціями. Колек­тивне обговорення наприкінці уроку знайдених способів відшукання формули площі фігури максимально активізує увагу і тих учнів, які самі не змогли знайти потрібну формулу.

Дослідження — емпіричний метод, який ви­користовується, зокрема, в експериментальних природничих науках. Математика не являє собою експериментальну науку, тому стверджен­ня дослідом не може бути достатньою основою істинності її положень.

Дослід треба спрямовувати на ство­рення в навчальному процесі спеціальних ситуацій і забезпечення учням можливості дістати з них очевидні закономірності, геометричні факти, ідеї доведення. Найчастіше результати досліду є посилками індуктивних висновків, за допомогою яких здійснюються відкриття нових істин. Тому до­слід відносять до евристичних методів навчання, тоб­то до методів, що сприяють відкриттям 7.

Слід відмітити, що за допомогою емпіричних методів виконується лише початковий етап роботи з математичного опису реальних ситуацій. Математичний ма­теріал (інтуїтивні поняття, гіпотези, сукупності математичних тверд­жень), який при цьому одержуємо, підлягає наступній обробці вже ін­шими методами.

§2. 6 МЕТОД ДОЦІЛЬНИХ ЗАДАЧ

Одним із перших методів свідомого навчання математики був метод доцільних задач, опрацьований в кінці ХІХ ст. відомим методистом С.І.Шохор-Троцьким. Пропонувалось у центрі навчання будь-якого розділу шкільної математики поставити задачу: “Із задач при методі доцільних задач починається урок, задача стає вихідним пунктом, коли доводиться звертатися до нового арифметичного уявлення, чи то уявлення про суть множення одноцифрового числа на одноцифрове, чи то домовленість про зміст множення на дріб...”. Мались на увазі насамперед прості задачі, які дозволяли виробляти потрібні уявлення і збуджувати розумову діяльність учнів 7.

Спочатку метод доцільних задач застосовували тільки при навчанні арифметики, потім і в геометрії. Книга Шохор-Троцького “Геометрія в задачах” 1909 року має багато цікавого матеріалу і для сучасного вчителя математики. В передмові до неї написано: “Учні в цьому курсі займаються переважно розв’язуванням задач. Теореми вони доводять тільки ті, які не є очевидними і не потребують надто тонких міркувань. До доведення очевидних теорем учні можуть звертатись тільки у випадку їх особливого інтересу до самого процесу доведення. Але це залежить і від складу класу, і від такту вчителя”. Автор пропонував ставити учня у такі умови, “при яких він міг би бути не лише свідком, а й, по можливості, активним учасником цього винаходу”, радив “не викладати математику, а навчати її всіма доступними вчителю і доцільними для учнів способами”

Практика засвідчила, що значення методу доцільних задач не можна перебільшувати і додержуватися його формально. По-перше, вивчення не кожної теми доцільно починати з розв'язування задач, по-друге, не можна недооцінювати роль теоретичних знань.

В наш час математики-методисти знову звертають увагу вчителів до методу доцільних задач і називають його тепер частіше “Навчання через задачі”.

§2. 7 АБСТРАКТНО-ДЕДУКТИВНИЙ І КОНКРЕТНО-ІНДУКТИВНИЙ МЕТОДИ

У навчанні математики неабиякого поширення набули абстрактно-дедуктивний і конкретно-індуктивний методи навчання. Вперше докладно проаналізував ці методи в методиці навчання математики К. Ф. Лебединцев. Суть абстрактно-дедуктивного метода навчання полягає в тому, що під час вивчення нового матеріалу вчитель відразу сам повідомляє означення понять, що вводяться, а потім наводить конкретні приклади об'єктів, що належать до понять. Формулю­ється й доводиться теорема, і лише після цього розглядаються конкретні приклади застосування нового теоретичного матеріалу 5.

Узагальнення і абстрагування — два логічних способи, які за­стосовуються майже завжди разом в процесі пізнання.

Узагальнення — це мислене виділення, фіксування яких-небудь загальних істотних властивостей, які належать певному класу предметів або відношень.

Абстрагування — це мислене відхилення, відокремлення загальних, істотних властивостей, виділених внаслідок узагальнення, від інших неістотних або незагальних властивостей пред­метів або відношень, які розглядаються, і відкидання неістотних.

Іс­тотні з математичної точки зору, тобто один і той самий предмет може ви­вчатися, наприклад, і в фізиці, і в математиці. Для фізики істотними в одні його властивості (твердість, теплопровідність, електропровідність та інші фізичні властивості), для математики ці властивості не­істотні, вона вивчає тільки форму, розміри, розміщення предмета.

Узагальнення і абстрагування незмінно застосовуються в процесі формування понять, при переході від уявлень до понять і разом з ін­дукцією як евристичний метод. Під узагальненням розуміють також перехід від одиничного до загального, від менш загального до більш загального.

Під конкретизацією розуміють зворотний перехід — від більш загального до менш загального, від загального до одиничного.

Якщо узагальнення використовується при формуванні понять, то конкретизація — при описі конкретних ситуацій за допомогою сформованих раніше понять.

Уточнимо перехід від одиничного до загального, від менш загаль­ного до більш загального і зворотний перехід.

Вивчення окремих предметів а, b, с, ... приводить нас до висновку про наявність у них спільної властивості або загальних властивостей, які ми можемо об'єднати в одну — кон'юнкцію цих властивостей S(b), тобто S(а), S(b), S(с), ..., S(х) означає: « x має властивість S ».

Від­хиленням цих властивостей S від інших властивостей предметів (тобто абстрагуванням), що розглядаються, ми формуємо клас предметів, який характеризується властивістю S:

А= { х | S(х) }.

Таким чином ми здійснюємо перехід від одиничного (від окремих предметів) до загального (класу предметів). Подальше вивчення приво­дить до включення класу А в більш широкий клас В; А В. Це і є перехід до більш загального.

У математиці узагальнення і абстрагування часто поєднані з за­міною сталих змінними (в переході від запису окремих фактів до за­пису загальних закономірностей), а конкретизація - з підстановкою замість змінних їх значень (в зворотному переході).

Індукція - перехід від частинного до загального, від одиничних фактів, встановлених за допомогою спостереження і експерименту, до узагаль­нень є закономірністю пізнання. Невід'ємною логічною формою та­кого переходу є індукція, що являє собою метод міркувань від частин­ного до загального, виведення висновку з частинних посилок (від лат. inductio — наведення).

Використання цього методу міркувань, для того щоб одержати нові знання в навчальному процесі, називають індуктивним методом нав­чання. Нехай А = {а₁, а₂ , ...} - множина всіх можливих частинних випадків, в кожному з яких деяка властивість С може бути або не бути (має або не має місця). Припустимо, що в k випадках має місце властивість С, тобто є посилки С(a₁), С(а₂), ..., С(а_к).

Індуктивні міркування будуються ва схемою:

(*)

(в схемі над рискою записано перелік посилок, під рискою — висно­вок). У випадку, коли А — скінчена множина, що складається з k елементів (всіх можливих частинних випадків - k), тобто наші посилки вичерпують всі можливі частинні випадки, схема (*) являє собою пра­вило виведення, засноване на формулі ,

і висновок достовірний (істинний, якщо істинні посилки). У цьому випадку міркування, побудоване за схемою (*), називається повною індукцією.

Якщо ж множина А всіх можливих частинних випадків має більше k елементів або ж нескінченість, що особливо часто зустрічається в ма­тематиці, тобто коли наші посилки не вичерпують всі можливі частин­ні випадки, то висновок за схемою (*) не є достовірно істинним вислов­ленням, а тільки ймовірно істинний (правдоподібний) при істинності посилок. Таке міркування, побудоване за схемою (*), називається неповною індукцією.

В математиці широко використовується ще один вид індукції — повна математична (або математична) індукція.

Математична індук­ція — спеціальний метод доведення тверджень, які виражають деяку властивість, притаманну всім натуральним числам. Цей метод хоч і називається індуктивним, за своєю структурою яв­ляє собою дедуктивне міркування, що спирається на аксіому матема­тичної індукції:

Р(1)   х (Р (х))  Р (х +1))   nР (n),

тобто якщо 1 має деяку властивість Р і якщо для кожного натураль­ного числа х маємо, “якщо воно має цю властивість, то його має і безпосередньо наступне за ним число х + 1” , то кожне натуральне число n має властивість Р*.

Звичайно, коли говорять «індуктивні методи навчання», то мають на увазі застосування неповної індукції в навчанні. А коли говоримо “індукція” - слід мати на увазі неповну індукцію.

Через недостовірність висновку індукція не може бути методом доведення. Але вона являє собою ефективний евристичний метод, тобто метод відкриття нових істин. В такій якості індукцію слід ши­роко застосовувати в шкільному навчанні в рамках методів, орієнто­ваних на навчання учнів діяльності, спрямованої на засвоєння нових знань.

В історії математики були випадки, коли видатні математики по­милялися в своїх індуктивних висновках. Наприклад, П.Ферма при­пустив, що всі числа виду + 1 прості, виходячи з того, що при n = 1, 2, 3, 4 вони є такими, але Л. Ейлер знайшов, що вже при n = 5 число + 1 не е простим (воно ділиться на 641).

Однак можливість одержати за допомогою індукції хибне вислов­лення не є підставою для заперечення ролі індукції в шкільному навчанні математики. Тому, застосовуючи індукцію, необхідно підкреслювати, що висновок є лише припущенням, що може бути доведено, коли воно істинне, або відкинуте, коли воно хибне.

Дедукція (від лат. deductio — виведення) в широкому розумінні являє собою форму мислення, яка полягає в тому, що нове твердження, а точніше, висловлена в ньому думка виводиться суто логічним спосо­бом, тобто за певними правилами логічного виведення (слідування) з деяких відомих тверджень (думок).

Вперше теорія дедукції (логічного виведення) була розроблена Аристотелем. Ця теорія розвивалась, удосконалювалась з розвитком нау­ки логіки. Особливий розвиток з урахуванням потреб математики вона одержала у вигляді теорії доведення в математичній логіці.

Дедуктивне міркування (умовивід) відрізняється від індуктивного, або міркування за аналогією достовірністю висновку, тобто в дедук­тивному міркуванні висновок істинний, коли істинні всі посилки. На відмінність від індукції (неповної) і аналогії в дедук­тивному міркуванні не можна одержати хибний висновок із істинних посилок. Саме тому дедуктивні міркування використовуються в мате­матичних доведеннях (доведеннях математичних тверджень). Широке застосування дедукції в математиці зумовлено аксіоматичним методом побудови математичних теорій.

Аксіоматичний метод, по суті, являє собою своєрідний метод вста­новлення істинності тверджень. Це вихідні твердження, або аксіоми теорії. Істинність останніх тверджень, теорем цієї теорії, встановлюється за допомогою дедуктивних доведень, тобто всі останні твердження теорії логічно виводяться (дедукуються) з попередніх тверджень: аксіом, означень і раніше доведених теорем. Ось чому математику і називають «дедуктивною» наукою — в ній все виводиться, «дедукується» з деяких первинних (вихідних) фактів, які висловлені в аксіомах.

У практиці навчання вчитель, як правило, сам доводить у класі кожну теорему, а то й двічі або навіть тричі повторює її. Такий метод орієнтовано головним чином на запам'ятовування учнями доведень певних теорем, і навряд чи можна таким методом навчити учнів дово­дити. Поєднуючи ці методи з методами навчання пошуку доведення, ми навчимо їх доводити. Сам же пошук доведення, як і будь-який пошук, вимагає творчого мислення і розвиває його. Тому метод на­вчання пошуку доведення підвищує ефективність інтелектуального розвитку учнів, розвитку їх творчого мислення.

§2. 8 ПРОГРАМОВАНЄ НАВЧАННЯ

Поряд з усним викладом теоретичних знань, поясненням учителем способів розв’язування різних типів задач та колективним їх розв’язуванням значне місце в процесі навчання математики посідає самостійна робота учнів. До самостійної роботи відносяться не лише самостійне вивчення матеріалу, доведення теорем та розв’язування, а й робота з друкованою основою, програмоване навчання за допомогою посібників або персональних комп’ютерів, де потрібно обирати вірну відповідь з наведених 7.

У 50—60-х роках з’явилось і одержало широку популярність “програмоване навчання”, яке потім підлягало критиці. За великим і широко рекламованим піднесенням наступив деякий спад, і до цього часу навколо програмованого навчання ведуться дискусії, в про­цесі яких висловлюються істотно різні, часом прямо протилежні точки зору 5.

Нагадаємо, що розуміють під програмованим навчанням і розгля­немо деякі особливості цього виду навчання. Термін «програмоване навчання» запозичений з термінології програмування для ЕОМ, очевидно, тому, що так само, як і в програмах для ЕОМ, розв'язання задачі подається у вигляді строгої послідовності елементарних операцій, у «навчальних програмах» матеріал, що вивчається, подається в фор­мі строгої послідовності кадрів, кожний з яких має, як правило, пор­цію нового матеріалу і контрольне питання або завдання.

Програмоване навчання не відкидає принципів класичної дидак­тики. Навпаки, воно виникло внаслідок шукання способів, форм і ме­тодів удосконалення процесу навчання шляхом кращої реалізації цих принципів.

Програмоване навчання здійснюється за допомогою «навчальної програми», яка відрізняється від звичайного підручника тим, що вона визначає не тільки зміст, а й процес навчання 7.

Існують дві системи програмування навчального матеріалу — лі­нійна і «розгалужена» програми, які відрізняються між собою важли­вими вихідними передумовами і структурою. Можливі і комбіновані програми, які являють собою поєднання цих двох методів програмованого навчання.

За лінійною програмою навчальний матеріал полається невеликими порціями, кадрами, до яких входить, як правило, просте питання з цього матеріалу. Передбачається, що учень, уважно прочитавши цей матеріал, зможе дати безпомилкову відповідь на поставлене питання. При переході до наступного кадру учень перш за все взнає, чи правиль­но він відповів на питання попереднього кадру. Оскільки кожний кадр має досить невелику інформацію з нового матеріалу, то навіть простим порівнянням своєї неправильної відповіді, якщо все таки він помилився, з правильною учень швидко встановлює, де саме ним була допущена помилка.

За розгалуженою програмою навчальний матеріал розбивається на порції, які несуть більшу інформацію, ніж при лінійному про­грамуванні. В кінці кожного кадру учневі пропонують питання, від­повідь на яке він сам не формулює, а вибирає з наведених у цьому ж кадрі декількох варіантів відповідей, з яких тільки одна правильна (метод альтернативи). Неправильні відповіді вибираються авторами програми, зрозуміло, не випадково, а з урахуванням найбільш імовір­них помилок учнів. Учень, який вибрав правильну відповідь, відсила­ється до сторінки, на якій викладена наступна порція нового матеріа­лу. Учень, що вибрав неправильну відповідь, відсилається до сторін­ки, на якій роз'яснюється допущена помилка і пропонується повер­нутися до останнього кадру, щоб, уважно прочитавши ще раз викладе­ний в ньому матеріал, вибрати правильну відповідь або ж в залежності від допущеної помилки відкрити сторінку, на якій подано додаткове пояснення незрозумілого.

Порівнюючи дві системи програмування навчального матеріалу, можна помітити, що при лінійному програмуванні учень самостійно формулює відповіді на контрольні питання, при розгалуженому він вибирає лише одну з декількох готових, уже сформульованих відповідей.

Розгалужена програма складається з урахуванням можливих помилкових відповідей учнів і з цієї точки зору вона ближче до реального процесу навчання. За розгалуженою програмою важливо те, що різних учнів вона супроводжує до засвоєння нового матеріалу різними шляхами з урахуванням їх можливостей і потреб в додаткових поясненнях і вказівках. Один учень просувається прямо від однієї порції нового матеріалу до наступної, другий — користу­ється додатковими поясненнями, роз'ясненнями його помилкових від­повідей, які свідчать про нерозуміння навчального матеріалу. Внаслі­док чого і виходить, що різні учні просуваються в засвоєнні навчального матеріалу з різними індивідуальними швидкостями.

ЧЕРНІГІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ Т.Г.ШЕВЧЕНКА

Кафедра педагогіки, психології та методики викладання математики

МЕТОДИ ПОЯСНЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ НА УРОКАХ АЛГЕБРИ І ПОЧАТКІВ АНАЛІЗУ В 10-11 КЛАСАХ

На матеріалі змістових ліній курсу “Елементарні функції”, “Похідна та її застосування”

Дипломна робота з методики викладання математики

студента 53 групи

фізико-математичного факультету

******************

Науковий керівник – к.п.н., доц.

************.

Чернігів, 2003 р.