Реферат: Математический анализ

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.

2 Способ : Конструирование из других множеств:

AÚB = {c: cÎA Ú cÎB}, AÙB = {c: cÎA Ù cÎB}, A\ B = {c: cÎA Ù сÏB}

U - универсальное множество (фиксированное)

U³A; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. AÚ(BÚC)=(AÚB) ÚC - ассоциативность; AÚB=BÚA - коммутативность; AÚÆ=A; AÚU=U

2. AÚ (BÙC)=(AÚB) Ù(AÚC) & AÙ (BÚC)=(AÙB) Ú(AÙC) - дистрибутивность; АÙÆ=А

A” =A - закон исключающий третьего (AÚB)’=A’ÙB’; (AÙB)’=A’ÚB’; AÙA’= Æ

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

"=>" cÎ(AÚB)’ => cÏAÚB => cÏA & cÏB => cÎ A’ & cÎB’ => cÎA’ÙB’

"<=" cÎA’ÙB’ => cÎA’ & cÎB’ => cÏA & cÏB => cÏAÚB => cÎ(AÚB)’

Отображение множеств:

f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)

aÎA; bÎB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f £B)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=

Лемма 1 : " nÎN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10®0/n 5®-2/n

2®+1/n 6®+3/n

3®-1/n 7®-3/n

4®+2/n ...

Лемма 2 : Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.

А1={а₁₁ , а₁₂ , а₁₃ ,...}

А2={а₂₁ , а₂₂ , а₂₃ ,...}

А3={а₃₁ , а₃₂ , а₃₃ ,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а₁₁ - 1; а₂₁ - 2; а₁₂ - 3; а₃₁ - 4; а₂₂ - 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно

2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a₀ ],а₁ a₂ а₃ ... где а₀ ÎZ а₁ ,а₂ ,а₃ ,... Î{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[а_о ],а₁ а₂ а₃ ...а_к (0) = а_о + а₁ /10 + а₂ /100 + ... +а_к /10^k = [а_о ],а₁ а₂ а₃ ...а’_к (9), где а’_к =а_к-1

х=[х_о ],х₁ х₂ х₃ ...х_к ...

у=[у_о ],у₁ у₂ у₃ ...у_к ...

х’_к - катое приближение икса с недостатком = [х_о ],х₁ х₂ х₃ ...х_к

у”_к - катое приближение игрека с избытком = [у_о ],у₁ у₂ у₃ ...у_к + 1/10^k

х’_к+1 > х’_к (х’_к - монотонно растет)

у”_к+1 £ у”_k (у”_{k -} не возрастает), т.к. у”_к =[у_о ],у₁ у₂ у₃ ...у_к + 1/10^к

у”_к+1 = [у_о ],у₁ у₂ у₃ ...у_к у_к+1 + 1/10^к+1

у”_к - у”_к+1 = 1/10^к - у_к+1 + 1/10^к+1 ³ 0

10 - у_к+1 - 1 / 10^к+1 ³ 0

9 ³ у_к+1

Определение: 1) х > у <=> $ к: х’_к > у”_к

2) х = у <=> х’_к не> у”_к & у”_к не> х’_к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’n³х’к>у”к³у”n у’n³ у’m>z”m³z”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АÌR и " х,уÎR $ аÎА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х ³ х’к у”к ³ у

х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ÎQ

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х₁ =[х₁ ], х₁₁ х₁₂ х₁₃ ... |

2«х₂ =[х₂ ], х₂₁ х₂₂ х₂₃ ... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х₃ =[х₃ ], х₃₁ х₃₂ х₃₃ ... |

... | (*)

к«х_к =[х_к ], х_к1 х_к2 х_к3 ... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с₁ с₂ с₃ ...

[с]¹[х₁ ] => с¹х₁

с₁ Ï {9;х₂₁ } => с¹х₂

с₂ Ï {9;х₃₂ } => с¹х₃

...

с_к Ï {9;х_к+1к } => с¹х_к

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0¹АÍR; 2) " aÎA, " bÎB: а<b; 3) АÈB=R, тогда $! сÎR: " aÎA, " bÎB: а£с£b

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

" aÎA, " bÎB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m => "bÎB: b³m => B ограничено снизу =>$ InfB=n, m£n

Докажем, что m = n:

Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сÎQ: m<c<n => cÏА & cÏВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что m£n

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим а£с£b

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’¹с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с "aÎA, "bÎB: а£с£b

8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n₀ : "n>n₀ x_N £y_N £z_N и $ Lim x_N =x, $ Lim z_N =z, причем x=z, то $ Lim y_N =y => x=y=z.

Доказательство: "n>n₀ x_N £y_N £z_N

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ x_N Î(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” z_N Î(х-Е,х+Е) => "n>max{n₀ ,n’,n”} y_N Î(x-E,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АÌR mÎR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аÎА а£m (а³m).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что " аÎА, выполняется а£m (а³m).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’<m => m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение : SupA=m называется число, такое что: 1) " aÎA a£m

2) "e>0 $ a_E ÎA, такое, что a_E >a-e

InfA = nназывается число, такое что: 1) 1) " aÎA a³n

2) "e>0 $ a_E ÎA, такое, что a_E <a+e

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АÌR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aÎA} [[m],[m]+1]ÇA¹Æ=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m₁ =max[10*{a-[m]:aÎA}]

m₂ =max[100*{a-[m],m₁ :aÎA}]

...

m_к =max[10^K *{a-[m],m₁ ...m_K-1 :aÎA}]

[[m],m₁ ...m_K , [m],m₁ ...m_{K + 1} /10^K ]ÇA¹Æ=>[m],m₁ ...m_K + 1/10^K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m₁ ...m_K - точная верхняя грань и что она единственная:

"к: [m’_K ,m”_K )ÇA¹0; "к "аÎА: а<m”_K

Единственность(от противного):

аÎА, пусть а>m”_K => $ к: а’_K >m”_K => а³а’_K >m”_K - это противоречит ограниченности => a£m

Точная верхняя грань:

Пусть l<m, тогда $ к: m’_K >l”_K , но так как "к [m’_K ,m”_K ) ÇA¹0 => $ аÎ[m’_K ,m”_K ) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АÌR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аÎА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n₀ : n>n₀ |а_N |<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim a_N =Lim b_N =0, c_N =a_N +b_N , d_N =a_N -b_N . Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности a_N , т.е. $ n’: "n>n’: |a_N |<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |b_N |<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |a_N |<Е/2 & |b_N |<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |c_N |=|a_N +b_N |£|a_N |+|b_N |<E/2 + E/2 = E => |d_N |=|a_N -b_N | £ |a_N |+|b_N |<E/2 + E/2 = E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.

Доказательство: Пусть a_N - бм посл-ть, b_N - ограниченная посл-ть z_N =a_N *b_N .

Т.к. b_N - ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |b_N |£с¹0

Т.к. a_N - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти a_N , т.е. $ n₀ : "n>n₀ |a_N |<Е/с.Таким образом "n>n₀ : |z_N |=|a_N *b_N |=|a_N |*|b_N |<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть a_N - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |b_N |£a_N => b_N - бм

Доказательство: a_N - бм => $ n”: "n>n”: |a_N |<Е. Для n>=max{n’,n”} |b_N |£|a_N |<Е

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно большой (бб) если "Е>0 $ n₀ : n>n₀ |а_N |>Е)

Теорема: Если a_N - бм, то 1/a_N - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

"=>" a_N -бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n₀ : "n>n₀ |a_N |<1/E =>1/|a_N |>Е.

"<=" 1/|a_N | - бб последовательность => "Е>0 $ n₀ : "n>n₀ 1/|a_N |>1/Е => |a_N |<Е

Теорема: Пусть a_N - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность b_N ³|a_N | => b_N - бб.

Доказательство: a_N - бб => $ n”: "n>n” |a_N |>Е. Для n>max{n’,n”} b_N ³|a_N |>Е

7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности a_N если разность a_N -a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim a_N =a, то |a_N -a|<Е. Пусть a_N =a_N -a. |a_N |=|a_N -a|<Е

Обратное: Пусть a_N =a_N -a, т.к. a_N - бм => |a_N |£Е. |a_N |=|a_N -a|<Е

Теорема: Если Lim x_N =x, Lim y_N =y, то:

1. $ Lim (x_N +y_N ) и Lim (x_N +y_N )=х+у

2. $ Lim (x_N *y_N ) и Lim (x_N *y_N )=х*у

3. "n y_N ¹0 & y¹0 => $ Lim (x_N /y_N ) и Lim(x_N /y_N )=х/у

Доказательство:

Пусть x_N =х+a_N , a_N - бм; y_N =у+b_N , b_N - бм

1) (x_N +y_N )-(х+у)=a_N +b_N (По теореме о сумме бм: a_N +b_N - бм => (x_N +y_n )-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) x_N *y_N - х*у = х*a_N +у*b_N +a_N *b_N (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: x_N *y_N - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) x_N /y_N - х/у = (у*a_N -х*b_N ) / (у*(у+b_N ))= (у*a_N -х*b_N ) * 1/у * 1/у_N доказательство сводится к доказательству утверждения: если у_n - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/у_N тоже сходящаяся последовательность: Lim у_N =y => по определению предела получаем $ n₀ : "n>n₀ |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2<у_N <у/2+у, откуда получаем: |у_N |³у_N >у/2.|у_N |>у/2=>1/|у_N |<2/у => "n: 1/|у_N |£max{2/у, 1/у₁ , 1/у₂ ,...1/у_no }

Теорема: Если х_N сходится к х, y_N сходится к у и $ n₀ : "n>n₀ последовательность х_N £у_N , то х£у

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |x_N -x|<E и $n”: "n>n” |y_N -y|<E. Получаем "n>max{n’,n”} все члены посл-ти x_N будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти у_N будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)Ç(у-Е,у+Е)=Æ. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}: х_N >у_N - противоречие с условием => х£у.

5. Определение предела последовательности и его единственность.

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хÎХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уÎУ, то говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хÎХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nÎN обозначают а_N .

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить любой член последовательности через предидущие. Пример: а₁ =а; а_N+1 =а_N + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: а_N = n-ый десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности а_N , если "e>0$ n_0: "n>n₀ выполняется неравенство |а_N -a|<e. Обозначение Lim a_N =a.

Если не существует числа а , являющегося пределом посл-ти, то говорят что последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а ).

Геометрически существование предела последовательности означает, что любой интервал вида (а-e,а+e), называемый эпсилон-окрестностью точки а , содержит все члены последовательности а_N начиная с некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки а находится ко нечное число членов последовательности а_N .

Определение: Число а назывется пределом посл-ти а_N если вне всякой окрестности точки а содержится конечное число членов последова тельности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство(от противного):

Пусть последовательность а_N имеет предел а и предел с , причем а ¹ с . Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение эпсилон-окрестностей точек а и с бы ло пусто. Очевидно достаточно взять эпсилон меньше |а-с |/2. Вне окрестности точки а содержится конечное число членов последовательности => в ок рестности точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность а_N сходится к числу а . Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)^N , ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности а_N , то при отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim x_N =x, Lim y_N =y, $n₀ : "n>n₀ х_N £y_N , тогда x£y

Доказательство(от противного):

Пусть х>у => по определению предела $ n₀ ’: "n>n₀ ’ |х_N -х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n₀ ”: "n>n₀ ” |y_N -y|<E. "n>max{n₀ ’, n₀ ”}: |х_N -х|<|х-у|/2 & |у_N -у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)Ç(х-Е,х+Е)=Æ. "n>max{n₀ ’, n₀ ”} х_N Î(х-Е,х+Е) & у_N Î(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n₀ ’, n₀ ”} х_N >y_N - противоречие с условием.

Теорема: Если $n₀ : "n>n₀ a_N £b_N £c_N и $ Lim a_N =a, $ Lim c_N =c, причем a=c, то $ Lim b_N =b => a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => c_N <(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<a_N . При n>max{n₀ ,n’,n”} (a-E)<a_N £b_N £c_N <(a+E), т.е. " n>max{n₀ ,n’,n”}=>b_N Î(a-E,a+E)

9. Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если " n₁ >n₂ (n₁ <n₂ ): x_N1 ³x_N2 (x_N1 £x_N2 ).

Замечание: Если x_N1 строго больше (меньше) x_N2 , тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть х_N ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={x_N : nÎN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем: $ SupX=x, "Е>0 $x_E : (х-Е)<х_E => $ n₀ x_No >(х-E). Из монотон ности имеем: "n>n₀ x_N ³x_No >(x-E), получили x_N £x=SupX, значит "n>n₀ x_N Î(x-E,х]<(x-E,x+E)

10.Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть a_N монотонно возрастает, b_N монотонно убывает, "n a_N £b_N и (b_N -a_N )-бм, тогда $! с: "n cÎ[a_N ,b_N ] (с Ç[a_N ,b_N ])

Доказательство:

a_N £b_N £b₁ a_N монтонно возрастает & a_N £b₁ => $ Lim a_N =a

a₁ £a_N £b_N b_N монтонно убывает & a₁ £b_N => $ Lim b_N =b

a_N £a b£b_N a_N £b_N => a£b

Lim (b_N -a_N )=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда a_N £c£b_N

Пусть с не единственное: a_N £c’£b_N , с’¹с

a_N £c£b_N =>-b_N £-c£-a_N => a_N -b_N £c’-c£b_N -a_N => (По теореме о предельном переходе) => Lim(a_N -b_N )£Lim(c’-c)£Lim(b_N -a_N ) => (a-b)£Lim(c`-c)£(b-a) =>

0£lim(c`-c)£0 => 0£(c`-c)£0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n®¥ lim(b_N -a_N )=0, тогда концы промежутков a_N и b_N стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению наибольших и наименьших значений.

Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x₀ Î(a;b). Точка x₀ , называется точкой локалниого min(max), если для всех xÎ(a;b), выполняется

f(x₀ )<f(x) (f(x₀ )>f(x)).

Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x₀ . Если эта производная f‘(x₀ )>0(f‘(x₀ )<0), то для значений х, достаточно близких к x₀ справа, будет f(x)>f(x₀ ) (f(x)<f(x₀ )), а для значений x, достаточно близких слева, будет f(x)<f(x₀ ) (f(x)>f(x₀ )).

Доказательство: По определению производной,.

Если f‘(x₀ )>0, то найдется такая окрестность (x₀ -d,x₀ +d) точки x₀ , в которой (при х¹x₀ ) (f(x)-f(x₀ ))/(x-x₀ )>0. Пусть x₀ <x<x+d, так что х-х₀ >0 => из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x₀ )>0, т.е. f(x)>f(x₀ ). Если же x-d<x<x₀ и х-х₀ <0, то очевидно и f(x)-f(x₀ )<0, т.е. f(x)<f(x₀ ). Ч.т.д.

Теорема Ферма: Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x₀ этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ , то необходимо f‘(x₀ )=0.

Доказательство: Пусть для определенности f(x) принимает наибольшее значение в точке x₀ . Предположение, что f‘(x₀ )¹0, приводит к противоречию: либо f‘(x₀ )>0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x₀ ), если x>x₀ и достаточно близко к x₀ , либо f‘(x₀ )<0, и тогда f(x)>f(x₀ ), если x<x₀ и достаточно близко к x₀ . В обоих случаях f(x₀ ) не может быть наибольшим значением функции f(x) в промежутке I=(a;b) => получили противоречие => теорема доказана.

Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на [a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где производной нет, либо она равна нулю.

43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b)

Тогда между a и b найдется такая точка c (a<c<b ), что f’(с)=0.

Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и потому, по второй теореме Вейерштрасса (Если f(x), определена и непрерывна в замкну том промежутке [a;b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ), принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение M, так и свое наименьшее значение m.

Рассмотрим два случая:

1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a;b] сохраняет постоянное значение: неравенство m£f(x)£M в этом случае "x дает f(x)=M => f’(x)=0 во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).

2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точ ке с между a и b . В таком случае из теоремы Ферма (Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x₀ этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ , то необходимо f‘(x₀ )=0) следует, что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.

Теорема Коши:

Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)¹g(a)

2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) g’(x)¹0 в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c (a<c<b ), что

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a) -*(g(x) - g(a))]

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций

2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -*g’(x)

3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0

Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с , что h’(x)=0 => f’(c) -*g’(c) или f’(c) =*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)¹0) получаем требуемое равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c (a<c<b ), что

Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем:

Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+q(b-a), где qÎ(0;1). Тогда принимая x₀ =a, (b-a)=h, мы получаем следующее следствие:

Следствие: Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x₀ ÎI, x₀ +hÎI, тогда $ qÎ(0;1): f(x₀ +h)-f(x₀ )=f’(x₀ +qh)*h ([x₀ ;x₀ +h] h>0, [x₀₊ h;x₀ ] h<0)

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть а_N некоторая числовая посл-ть и k_N -строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®a_N и n®k_N получа ем посл-ть a_Kn -которая наз. подпосл-тью посл-ти a_N =>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim а_N =а, то и Lim а_Kn =а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n₀ : "n>n₀ |а_N -а|<Е, ввиду того что k_N ®¥ существует и такое n’, что при всех n>n’ k_N >n₀ тогда при тех же значениях n будет верно |а_Kn -а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: х_N - ограничена => "n: а£х_N £b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти х_N (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а₁ ,b₁ ] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а₁ ,b₁ ] промежуток [а₂ ,b₂ ] также содержащий бесконечное число членов посл-ти х_N . Продолжая процесс до бесконечности на к -том шаге выделим промежуток [а_K ,b_K ]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти х_N . Длина к -того промежутка равна b_K -а_K = (b-a)/2^K , кроме того она стремится к 0 при к®¥ и а_K ³а_K+1 & b_K £b_K+1 . Отсюда по лемме о вложенных промежутках $! с: "n а_N £c£b_N .

Теперь построим подпоследовательность:

х_N1 Î[а₁ ,b₁ ]

х_N2 Î[а₂ ,b₂ ] n₂ >n₁

. . .

х_NK Î[а_K ,b_K ] n_K >n_K-1

а£х_Nk £b. (Lim a_K =Limb_K =c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim х_Nk =c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности.

x_N - ограниченная последовательность =>"n а_N £х_N £b_N

х_NK ®х, так как х_NK -подпоследовательность => "n а£х_N £b =>а£х£b

х - частичный предел последовательности х_N

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (а£М£b) => $ SupM & $ InfM

Верхним пределом посл-ти x_N называют SupM¹Sup{x_N }: пишут Lim x_N

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM¹Inf{x_N }: пишут lim x_N

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если х_N ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть х_NK : предел которой равен верхнему (нижнему) пределу х_N .

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел х_N

$ х’ÎМ: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’ÎМ => $ подпоследовательность х_NS ®х’ => "Е>0 (в частности Е=1/к) $ s₀ : "s>s₀ =>

х’-1/к<х_NS <х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<х_NS <х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<х_NS <х+1/к

Берем к=1: х-2<х_NS <х+1, т.е $ s₀ : "s>s₀ это неравенство выполняется берем член посл-ти х_NS с номером больше s₀ и нумеруем его х_N1

k=1: х-2/1<х_N1 <х+1/1

k=2: х-2/2<х_N2 <х+1/2 n₁ <n₂

...

k=k: х-2/к<х_NK <х+1/к n_K-1 <n_K

При к®¥ х_NK ®х

13.Фундаментальные последовательности .

Определение: Последовательность {а_N } - называется фундаментальной, если "Е>0 $ n₀ : "n>n₀ и любого рÎN выполнено неравенство |а_N +р-а_N |<Е. Геометрически это означает что "Е>0 $ n₀ , такой что расстояние между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n₀ номерами, меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти : Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim x_N =x, тогда "Е>0 $ n₀ : "n>n₀ |х_N -х|<Е/2. n>n₀ , n’>n₀ |х_N -х_N’ |=|х_N -х+х-х_N’ |<|х_N -х|+|х-х_N’ |<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть х_N - фундаментальная

1) Докажем что х_N ограничена: Е₁ =1998 $ n₀ : |х_N -х_N’ |<Е, n>n₀ , n’>n₀

"n>n₀ |х_N -х_N0 |<Е₁ х _N0 -1998<х_N <х _N0 +1998 => х_N - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

$ подпосл-ть х_NK ®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |х_NK -х|<Е/2 и одновременно n_к >n₀ . Следовательно (из фунд-ти) |х_N -х_NK |<Е/2 =>

|х_NK -х|<Е/2 => х-Е/2<х_NK <х+Е/2 => |х_N -х_NK |<Е/2 => х_NK -Е/2<х_N <х_NK +Е/2 => х-Е<х_N <х+Е => |х_N -х|<Е

14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

nÎN

Разложение Паскаля

(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)

...

*: к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)⁰ =1 =>(1+х)⁰ =

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

= Ч.т.д

16.Последовательности (во всех пределах n ®¥ )

1) Lim= 0 (p>0)

- это означает что, мы нашли такое n₀ =: "n>n₀ ||<E

2) Lim=1

x_N = - 1

=1+x_N

n=(1+x_N )ⁿ

n=

x_N ² <2/(n-1)

При n®¥®0 => x_N ®0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim=Lim (1+x_N )=1+0=1

16.Последовательность (1+1/n)ⁿ и ее предел.

x_N =; y_N =; z_N =y_N +

x_N монотонно возрастает: докажем:

x_N =(1+1/n)ⁿ =1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n² +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = y_N =>y_N <z_N <3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)ⁿ ³1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)ⁿ ³1+n/n=2

Получили: 2 £ x_N <3 => x_N - ограничена, учитывая что x_N - монотонно возрастает => x_N - сходится и ее пределом является число е .

17. Последовательности (во всех пределах n ®¥ )

1) Lim=1, a>0

a) a³1:

x_N =x_N+1 ==> $ Lim x_N =x

x_N+1 =x_N *

x_N =x_N+1 *

x_N =x_N+1 *x_N *(n+1)

Lim x_N =Lim (x_N+1 *x_N *(n+1)) => x = x*x => x = 1

б) 0<a<1 b=1/a x_N =

Lim=1 b=1/a =>= 1/=> Lim= 1/1 = 1

2) Lim = 0, a>1

x_N =x_N+1 =

т.к. Lim= Lim=Lim=1

=> $ n₀ : "n>n₀ xn+1/xn<1 => СТ x=limxn

x_N+1 =x_N *

Lim x_N+1 = Lim x_N * => x = x*1/a => x=0

Докажем, что если x_N ®1 => (x_N )^a ®1:

a) "n: x_N ³1 и a³0

(x_N ) ^{[ a ]} £(x_N )^a <(x_N )^{[ a ]+1} => по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (x_N )^{[ a ]} =Lim (x_N )^{[ a ]+1} =1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (x_N )^a =1

б) "n: 0<x_N <1 и a³0

y_N =1/x_N => yn>1 Lim y_N =lim1/x_N =1/1=1 => (по (а)) Lim (y_N )^a =1 => lim 1/(x_N )^a =1 => Lim (x_N )^a =1

Объединим (а) и (б):

x_N ®1 a>0

x_N1 ,x_N2 ,...>1 (1)

x_M1 ,x_M2 ,...<1 (2)

Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число точек (2) => конечное число точек x_N .

в) a<0

(x_N )^a =1/(x_N )^{- a} a<0 => -a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim 1/(x_N )^{- a} = 1 => Lim (x_N ) ^a = 1

1 5. Доказательство формулы e=...

y_N =; z_N =y_N +

1) y_N монотонно растет

2) y_N <z_N

3) z_N -y_N ®0

4) z_N монотонно убывает

Доказателство:

z_N -z_N+1 = y_N + - y_N+1 -= +-=

2=y₁ <y_N <z_N <z₁ =3

e = Lim y_N = Lim z_N - по лемме о вложенных промежутках имеем: y_N <e <z_N = y_N + 1/(n*n!)

Если через q_N обозначить отношение разности e - y_N к числу 1/(n*n!), то можно записать e - y_N = q_N /(n*n!), заменяя y_N его развернутым выражением получаем e = y_N + q_N /(n*n!), qÎ(0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e =m/n, mÎZ, nÎN

m/n = e = y_N + q_N /(n*n!)

m*(n-1)!= y_N *n! + q_N /n, где (m*(n-1)! & y_N *n!)ÎZ, (q_N /n)ÏZ => противоречие

23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х₀ если "Е>0 $d>0: 0<|х-х₀ |<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е

Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при х®х₀ если " последовательности х_N ®х₀ , х_N ¹х₀ f(x_N )®А

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

"Е>0 $d>0: 0<|х-х₀ |<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши

х_N ®х₀ , х_N ¹х₀ , т.к. х_N ®х₀ => $ n₀ : "n>n₀ 0<|x_N -x₀ |<Е (Е=d) => 0<|x_N -x₀ |<d => по определению Коши |f(x_N )-А|<Е

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К): $ Е>0: "d >0 $ x: 0<|x-x₀ |<d => |f(x)-A|³E

Отрицание (Г): $ х_N ®х₀ , х_N ¹х₀ : |f(x_N )-A|³E

$ х_N ®х₀ , х_N ¹х₀ => $ n₀ : "n>n₀ 0<|x_N -x₀ |<Е (Е=d) => по отрицанию определения Коши |f(x_N )-А|³Е

Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале (а,+¥), определяется предел при х_N ®¥ следующим образом: limf(х) при х_N ®¥ = Limf(1/t) t®+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при х_N ®-¥ = Lim f(1/t) t®-0 и х_N ®¥ = lim f(1/t) t®0

24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.

Lim(х₀ ±|h|) при h®0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-ции f(x) в точке х₀

Теорема: Пусть интервал (x₀ -d,x₀ +d)\{x₀ } принадлежит области определения ф-ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в точке х₀ существует <=> когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х₀ и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $d >0: -d<х-х₀ <d => |f(х)-А|<Е, т.е. $ такое d, что как только х попадает в d-окрестность точки x₀ сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x₀ +d) => x попадает в интервал (x₀ -d,x₀ +d) => f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х попадает в интервал (x₀ -d,0) => x попадает в интервал (x₀ -d,x₀ +d) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.

Достаточность: Lim (х₀ ±|h|) при h®0: Lim(х₀ +|h|) = Lim(х₀ -|h|)=А

"Е>0 $d’ >0: 0<х-х₀ <d’ => |f(х)-А|<Е

"Е>0 $d” >0: -d”<х-х₀ <0 => |f(х)-А|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d <х-хо<d => |f(х)-А|<Е

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ если при х®х₀ Lim f(х)=f(х₀ ). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне А на f(х₀ ) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х_0. Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х₀ )|<Е выполнено и при х=х₀ => в определении можно снять ограничение х¹х₀ => получим второе равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ , если "Е>0 $d>0: -d <х-хо<d => |f(х)-f(а)|<Е

Аналогично сняв ограничение х¹х₀ - получим определение по Гейне:

Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ , если " посл-ти х_N ®х₀ , f(x_N )®f(a)

Если при х®х₀ limf(х)¹f(х₀ ), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в точке х₀ . Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х₀

б) Предел f(х) в точке х₀ не существует

в) f(х) определена в х₀ и limf(х) в точке х₀ существует но равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется

Различают:

1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х₀ )

2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х₀ совпадают, то х₀ называют устранимой точкой разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х₀ - точка бесконечного разрыва.

Пусть x₀ - точка разрыва, x₀ называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.

Если значение правого (левого) предела в точке х₀ совпадает со значением f(x₀ ), то f(x) называется непрерывной справа (слева).

Если предел f(x) справа (слева) в точке х₀ не существует, а предел слева (справа) существует и равен значению f(х₀ ), то говорят что функция f(x) имеет в точке х₀ разрыв справа (слева). Такие разрывы называют односторонними разрывами f(x) в точке х₀ .

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.

Теорема: Все пределы в точке х₀ : Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R (ХÍR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда

1) Lim f(x) ± Lim g(x) = F±G

2) Lim f(x)*Lim g(x) = F*G

3) Если G¹0 и g(x)¹0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G

Доказательство:

1) "Е>0(в частности Е/2) $d’>0: -d’<х-х₀ <d’ => |f(х)-F|<Е & $d”>0: -d”<х-х₀ <d” => |g(х)-G|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d<х-х₀ <d =>-Е/2 - Е/2<f(х)-F+g(х)-G<Е/2 + Е/2 => |(f(х)+g(х))-(F+G)|<Е

2) Пусть посл-ть х_N ®х₀ (х_N ¹х₀ , x_N ÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n®¥ Lim f(x_N )=F & Lim g(x_N )=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(x_N )*g(x_N )=Lim f(x_N )*Lim g(x_N )= F*G => по определению предела по Гейне при х®х₀ Lim f(x)*Lim g(x)=F*G

3) Пусть посл-ть х_N ®х₀ (х_N ¹х₀ , x_N ÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n®¥ Lim f(x_N )=F & Lim g(x_N )=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(x_N )/g(x_N )=Lim f(x_N )/Lim g(x_N )=F/G => по определению предела по Гейне при х®х₀ Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G¹0 и g(x)¹0.

Порядковые свойства пределов:

Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x), при х®х₀ A=Lim f(x), B=Lim g(x), то A£B

Доказательство(от противного):

Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2): $d’>0: |х-х₀ |<d’ => |f(x)-A|<E & $d”>0: |х-х₀ |<d” => |g(х)-B|<Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х₀ |<d => |f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-B|/2, учитывая что А>В и что (А-Е,А+Е)Ç(В-Е,В+Е)=Æ, получаем что для

хÎ(х₀ -d, х₀ +d) f(x)>g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) и при х®х₀ Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А

Доказательство:

"Е>0 $d’>0: |х-х₀ |<d’ => A-E<f(x) & $d”>0: |х-х₀ |<d” => h(х)<A+Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х₀ |<d => A-E<f(x) & h(x)<A+E, так как " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) => A-E<f(x)£g(x)£h(x)<A+E => A-E<g(x)<A+E

27. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х ®0.

1) Sin x:

Lim Sin x = Sin x₀ (при х®х₀ )

|Sin x-Sin x₀ |=2*|Sin((x-x₀ )/2)|*|Cos((x+x₀ )/2)| < 2*|(x-x₀ )/2|=|x-x₀ | => -|x-x₀ |<Sin x-Sin x₀ <|x-x₀ | при х®х₀ => -|x-x₀ |®0 & |x-x₀ |®0 => (по теореме о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x₀ )®0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x₀ (при х®х₀ )

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x₀ = Sin (П/2 - x₀ ) = Sin y₀

|Sin y-Sin y₀ |=2*|Sin((y-y₀ )/2)|*|Cos((y+y₀ )/2)| < 2*|(y-y₀ )/2|=|y-y₀ | => -|y-y₀ |<Sin y-Sin y₀ <|y-y₀ | при y®y₀ -|y-yo|®0 & |y-yo|®0 => (Sin y-Sin y₀ )®0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x₀ )]®0 => (Cos x-Cos x₀ )®0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кÎZ

4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кÎZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0<x<П/2

Доказательство:

Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R² ) откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. => Cos x < (Sin x)/x < 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos x£Lim (Sin x)/x£1 при x®0, 0<x<П/2. Испльзуем непрерывность Сos1£Lim (Sin x)/x£1 => Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2

28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее между f(а) и f(b), тогда существует х₀ Î[a,b]: f(х₀ )=c.

Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая х₀ =(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х₀ )=f(х₀ )-с=0 => f(х₀ )=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а₁ )*g(b₁ )<0, делим его пополам если в точке деления функция g(x) обращается в ноль => теорема доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а₂ )*g(b₂ )<0... продолжая процесс до бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число вложенных друг в друга промежутков. Для n -го промежутка [a_N ,b_N ] будем иметь: g(a_N )<0, g(b_N )>0, причем длина его равна b_N -a_N =(b-a)/2ⁿ ®0 при n®¥. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о вложенных промежутках => $ точка x₀ из промежутка [a,b], для которой Lim a_N =Lim b_N = x₀ . Покажем, что x₀ -удовлетворяет требованию теоремы: g(a_N )<0, g(b_N )>0 => переходим к пределам: Lim g(a_N )£0, Lim g(b_N )³0, используем условие непрерывности: g(x₀ )£0 g(x₀ )³0 => g(x₀ )=0 => f(х₀ )-c=0 => f(х₀ )=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество У=f(Х)={f(х):хÎХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у₁ ,у₂ ÎУ; у₁ £у£у₂ , тогда существуют х₁ ,х₂ ÎХ: у₁ =f(х₁ ), у₂ =f(х₂ ). Применяя теорему к отрезку [х₁ ,х₂ ]ÍХ (если х₁ <х₂ ) и к отрезку

[х₂ ,х₁ ]ÍХ (если х₂ <х₁ ) получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций

Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.

Теорема: Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim f(g(x))=f(b) (при x®a)

Доказательство:

Пусть x_N : x_N ¹a - произвольная посл-ть из области определения ф-ции х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность y_N : y_N =g(x_N ) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(y_N )=f(b) (n®¥) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(x_N ))=Lim f(y_N )=f(b) (n®¥). Заметим что в посл-ти y_N - некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b. Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения y_N ¹b в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(y_N )®f(b)

Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x₀ , а функция f непрерывна в точке у₀ =g(x₀ ), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х₀ .

30. Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у однозначно разрешимо относительно уÎf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно сопоставляющая каждому уо такое х₀ что f(х₀ )=у₀ - называется обратной к функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для каждого значения у₀ из этого промежутка найдется хоть одно такое значение х₀ ÎХ, что f(х₀ )=у₀ . Из строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно: если х₁ > или <х₀ , то соответственно и f(х₁ )> или <f(х₀ ). Сопоставля именно это значение х₀ произвольно взятому у₀ из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у) - обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно возрастает. Пусть y’<y” и х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f => у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы

было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у₀ ) при у®у₀ . Пусть f`(у<sub>0</sub> )=х<sub>0</sub> . Возьмем произвольно Е>0. Имеем "уÎУ: |f`(у)-f`(у<sub>0</sub> )|<Е <=> х<sub>0</sub> -Е<f`(у)<х₀ +Е <=> f(х₀ -Е)<у<f(х₀ +Е) <=> f(х₀ -Е)-у₀ <у-у₀ <f(х₀ +Е)-у₀ <=> -d’<у-у₀ <d”, где d’=у₀ -f(х₀ -Е)>у₀ -f(х₀ )=0, d”=f(х₀ +Е)-у₀ >f(х₀ )-у₀ =0,

полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у₀ |<d => -d’<у-у₀ <d” <=> |f`(у)-f`(у₀ )|<Е

Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:

Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция х^M/N - где mÎZ, nÎN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций х^M и х^1/M => ф-ция х^M/N - непрерывна при х>0. Если х=0, то х^M/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию х^N , nÎN: она непрерывна так как равна произведению непрерывных функций у=х.

n=0: х^N тождественно равно константе => х^N - непрерывна х^-N =1/х^N , учитывая что:

1) 1/х - непрерывная функция при х¹0

2) х^N (nÎN) - тоже непрерывная функция

3) х^-N =1/х^N - суперпозиция ф-ий 1/х и х^N при х¹0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х^-N - непрерывная при х¹0, т.о. получили что х^M mÎZ - непрерывная ф-ция при х¹0. При х>0ф-ция х^N nÎN строго монотонно возрастает и ф-ция х^N непрерывна=>$ функция обратная данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой функцией будет функция х^1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида а^X , а>0, а¹1 xÎQ.

Свойства: для mÎZ nÎN

1) (а^M )^1/N = (а^1/N )^M

(а^M )^1/N =(((а^1/N )^N )^M )^1/N = ((а^1/N )^N*M )^1/N = (((а^1/N )^M )^N )^1/N = (а^1/N )^M

2) (а^M )^1/N =b <=> а^M =b^N

3) (а^M*K )^1/N*K =(а^M )^1/N

(а^M*K )^1/N*K =b <=> а^M*K =b^N*K <=> а^M =b^N <=> (а^M )^1/N =b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если обозначить: a^M/N =(а^M )^1/N =(а^1/N )^M ,a^-M/N =1/a^M/N , а⁰ =1

Св-ва: x,yÎQ

1) a^X * a^Y = a^X+Y

a^X * a^Y =b; x=m/n, y=-k/n => a^M/N * 1/a^K/N = b => a^M/N = b * a^K/N => a^M = b^N * a^K => a^M-K = b^N => a^(M-K)/N = b => a^X+Y = b

2) a^X /a^Y = a^X-Y

3) (a^X )^Y =a^X*Y

(a^X )^Y =b; x=m/n, y=k/s => (a^M/N )^K/S =b => (a^M/N )^K =b^S => (a^1/N )^M*K =b^S => (a^M*K )^1/N =b^S => a^M*K =b^S*N => a^(M*K)/(S*N) =b => a^X*Y =b

4) x<y => a^X <a^Y (a>1) - монотонность

z=y-x>0; a^Y =a^Z+X => a^Y -a^X =a^Z+X -a^X =a^X *a^Z -a^X =a^X *(a^Z -1) => если a^Z >1 при z>0, то a^X <a^Y .

z=m/n => a^Z =(a^1/N )^M => a^1/N >1 => (a^1/N )^M >1 => a^X *(a^Z -1)>1, (a>1 n>0)

5) при x®0 a^X ®1 (xÎR)

Т.к. Lim a^1/N =1 (n®¥), очевидно, что и Lim a^-1/N =Lim1/a^1/N =1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n₀ : "n>n₀ 1-E<a^-1/N <a^1/N <1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀ , то

a^-1/N <a^X <a^1/N => 1-E<a^X <1+E. => Lim a^X =1 (при x®0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида а^X , а>0, а¹1 xÎR.

Свойства: x,yÎR.

1) a^X * a^Y = a^X+Y

x_N ®x, y_N ®y => a^Xn * a^Yn = a^Xn+Yn => Lim a^Xn * a^Yn = Lim a^Xn+Yn => Lim a^Xn * lim a^Yn = Lim a^Xn+Yn => a^X * a^Y = a^X+Y

2) a^X / a^Y = a^X-Y

3) (a^X )^Y =a^X*Y

x_N ®x, y_K ®y => (a^Xn )^Yk = a^Xn*Yk => (n®¥) (a^X )^Yk =a^X*Yk =>(k®¥) (a^X )^Y =a^X*Y

4) x<y => a^X <a^Y (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’ÎR; x_N ®x x’_N ®x’ x_N ,x’_N ÎQ => x_N <x’_N => a^Xn < a^X’n => (n®¥) a^X £a^X’ - монотонна

x-x`>q>0 => a^X-X’ ³ a^Q >1 => a^X-X’ ¹1 => aX<a^X’ - строго монотонна

5) при x n®0 a^X ®1

Т.к. Lim a^1/N =1 (n®¥), очевидно, что и Lim a^-1/N =Lim1/a^1/N =1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n₀ : "n>n₀ 1-E<a^-1/N <a^1/N <1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀ , то

a^-1/N <a^X <a^1/N => 1-E<a^X <1+E. => Lim a^X =1 (при x®0)

6) a^X - непрерывна

Lim a^X =1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность a^X в точке 0 => a^X -a^Xo = a^Xo (a^X-Xo - 1) при х®x₀ x-x₀ n®0 => a^X -x₀ n®1 => при х®x₀ lim(a^X - a^Xo )=

Lim a^Xo *Lim(a^X-Xo - 1) = x₀ * 0 = 0 => a^X - непрерывна

33.Предел функции (1+x)^1/X при x ® 0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)^1/X = e при x®0

У нас есть Lim (1+1/n)ⁿ = e при n®¥

Лемма: Пусть n_K ®¥ n_K ÎN Тогда (1+1/n_K )^Nk ®e

Доказательство:

"E>0 $k₀ : "n>n₀ 0<e-(1+1/n)ⁿ <E => n_K ®¥$ k₀ : "k>k₀ => n_K >n₀ => 0<e-(1+1/n_k )^Nk <E

Lim (1+x_K )^1/Xk при x®0+:

1/x_K =z_K +y_K , z_K ÎN => 0£y_K <1 => (1+1/z_K+1 )^Zk <(1+x_K )^1/Xk < (1+1/z_K )^Zk+1 =(1+1/z_K )^Zk *(1+1/z_K )=>(1+1/z_K+1 )^Zk =(1+1/z_K+1 )^Zk+1 )/(1+1/z_K+1 ) => (1+1/z_K+1 )^Zk+1 /(1+1/z_K+1 ) < (1+x_K )^1/Xk < (1+1/z_K )^Zk *(1+1/z_K ) k®¥ учитывая, что: (1+1/z_K )®1 (1+1/z_K+1 )®1 => получаем:

e£Lim (1+x_K )^1/Xk £e => Lim (1+x_K )^1/Xk =e => Lim (1+x)^1/X =e при x®0+

Lim (1+x_K )^1/Xk при x®0-:

y_K =-x_K ®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)^1/X =e при x®0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)^1/X =e при x®0

2) n®¥ lim (1+x/n)^N = (lim (1+x/n)^N/X )^X = e^X

3) x®x^a aÎR - непрерывна

x^a =(e^{Ln x} ) ^a =e^{a *Ln x}

непр непр непр непр

x®Ln x®a*Ln®^{a *Ln x} => x®e^{a *Ln x}

4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)^1/X = Ln e = 1

4’) x®0 Lim Log_A (1+x)^1/X = 1/Ln a

5) x®0 Lim (e^X -1)/x = {e^X -1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x®0 Lim (a^X -1)/x = Ln a

6) x®0 Lim ((1+x)^a -1)/x = Lim ([e ^a *^{Ln (1+x)} -1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x = 1*a*1= a

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xÎ[a,b]}. Если f не ограничена сверху на [a,b], то m=¥, иначе mÎR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (с_N ), такую что Lim c_N =m. Т.к. "nÎN: c_N <m то $ x_N Î[a,b]: c_N <f(x_N )£m. x_N - ограничена => $ x_Kn ®a. Т.к. a£x_Кn £b => aÎ[a,b].

Для mÎR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем c_Kn ®m.

Для m=+¥ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-тью получаем c_Kn ®m. Переходя к пределу в нер-вах c_Kn <f(x_Kn )£m, получим

Lim f(x_Kn )=b n®¥, но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(x_Kn )=f(a) => f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней

граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xÎ[a,b]} доказывается аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.

Определение: "Е>0 $d>0: "х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|<Е => функция называется равномерно непрерывной

Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то здесь d не зависит от х”.

Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0: $ х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|³Е>0

Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|<d, x’,x”ÎI}, IÍDf.

Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf(d) называется колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:

1/х - Wf(d) = +¥; Sin x - Wf(d) = 1

Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому: "Е>0 $ d>0: Wf(d)£Е Lim Wf(d)=0 d®0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.

Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство(от противного):

Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”: |х’-х”|<d=>|f(x’)-f(x”)|³Е. Возьмем d =1/к, кÎN $х_K , х’_K Î[a,b]: |х_K -х’_K |<1/к |f(x_K )-f(x’_K )|³E

Т.к х_K - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпосл-ть x_Ks сходящуюся к х₀ . Получаем: |х_Ks -х’_Ks |<1/к

х_Ks -1/k<х’_Ks <х_Ks -1/k по Лемме о зажатой посл-ти х’_Ks ®х₀ k_S ®¥ |f(x_Ks )-f(x’_Ks )|³E к_S ®¥ => 0³E - противоречие с условием.

37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x₀ к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х соединим x₀ и х - получим секущую. Касательной назовем предельное положение секущей при х®x₀ , если это предельное положение существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x₀ ,f(x₀ ) => уравнение этой касательной (если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x₀ )+f(x₀ ). Необходимо только опр-ть наклон k касательной. Возьмем произвольное число Dх¹0 так, чтобы x₀ +DхÎХ. Рассмотрим секущую М_О М, М_О (x₀ ,f(x₀ )), М(x₀ +Dх,f(x₀ +Dх)). Уравнение секущей имеет вид: у=к(Dх)(х-x₀ )+f(x₀ ), где k=f((x₀ +Dх)-f(x₀ ))/Dх - наклон секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве искомого наклона k возьмем это предел. Если Lim к(Dх)=¥ при Dх®0, то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x₀ ))+x₀ перейдя к пределам при Dх®0, получим x=x₀ (Lim x=Lim x₀ Dх®0 => x = Lim x₀ )

Определение: Производным значением функции f в точке х₀ называется число f’(х₀ )=Lim (f(x₀ +Dх)-f(x₀ ))/ Dх x®x₀ , если этот предел существует.

Геометрически f’(х₀ ) - это наклон невертикальной касательной в точке (x₀ ,f(x₀ )). Уравнение касательной y=f’(x₀ )*(x-x₀ )+f(x₀ ) . Если Lim (f(x₀ +Dх)-f(x₀ ))/Dх=¥Dх®0, то пишут f`(x<sub>0</sub> )=¥ касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением х=x<sub>0</sub> . f`(x₀ )=lim(f(x₀ +Dх)-f(x₀ ))/Dх x®x₀ =>(f(x₀ +Dх)-f(x₀ ))/Dх=f’(x₀ )+a(x), a(x)®0 при x®x₀ . f(x₀ +Dх)-f(x₀ )=f`(x₀ )*Dх+a(x)*Dх учитывая, что x₀ +Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x₀ ) получим f(x)=f’(x₀ )*(x-x₀ )+f(x₀ )+o(x-x₀ ). Необхо димо заметить, что o(x-x₀ ) уменьшается быстрее чем (x-x₀ ) при x®x₀ (т.к. o(x-x₀ )/(x-x₀ )®0 при x®x₀ )

Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x₀ если $сÎR: в некоторой окрестности точки x₀ f(x)=С(x-x₀ )+f(x₀ )+o(x-x₀ )

Теорема: Функция диффференцируема в точке x₀ <=> $ f’(x₀ )

Доказательство:

<=: f(x)=f’(x₀ )*(x-x₀ )+f(x₀ )+o(x-x₀ ) => f`(x₀ )=C

=>: f(x)=C(x-x₀ )+f(x₀ )+o(x-x₀ ) => (f(x)-f(x₀ ))/(x-x₀ )=C+o(x-x₀ )/(x-x₀ )=C+a(x), a(x)®0 при x®x₀ .

Переходим к пределу при x®x₀ => Lim (f(x)-f(x₀ ))/(x-x₀ )=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x₀ )

Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x₀ , то линейная функция Dх®f’(x₀ )*Dх называется дифференциалом функции f в точке x₀ и

обозначается df(x₀ ). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о. df(x₀ ):Dх®f`(x<sub>0</sub> )*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x<sub>0</sub> )=f’(x<sub>0</sub> )*dх => df(x<sub>0</sub> )/dх: Dх®f`(x₀ )*Dх/Dх=f’(x₀ ) при Dх¹0. В силу этого пишут также f’(x₀ )=df(x₀ )/dх - обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x₀ , то f непрерывна в точке x₀ .

Докозательство: f(x)=f(x₀ )+f’(x₀ )*(x-x₀ )+o(x-x₀ )®f(x₀ ) при x®x₀ => f непрерывна в точке x₀ .

Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x₀ : это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x₀ . Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x₀ )*(x-x₀ )+f(x₀ )

38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.

Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x₀ , тогда ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x₀ )¹0) дифференцируемы в точке x₀ и:

1) (f+g)’(x₀ )=f’(x₀ )+g’(x₀ )

2) (f*g)’(x₀ )=f’(x₀ )*g(x₀ )+f(x₀ )*g’(x₀ )

3) (f/g)’(x₀ )=(f’(x₀ )*g(x₀ )-f(x₀ )*g’(x₀ ))/g(x₀ )²

Доказательство:

1) Df(x₀ )=f(x₀ +Dx)-f(x₀ )

Dg(x₀ )=g(x₀ +Dx)-g(x₀ )

D(f+g)(x₀ )=Df(x₀ )+Dg(x₀ )=f(x₀ +Dx)-f(x₀ )+g(x₀ +Dx)-g(x₀ )

D(f+g)(x₀ )/Dx=(f(x₀ +Dx)-f(x₀ )+g(x₀ +Dx)-g(x₀ ))/Dx=(f(x₀ +Dx)-f(x₀ ))/Dx+(g(x₀ +Dx)-g(x₀ ))/Dx®f’(x₀ )+g’(x₀ ) при Dx®0

2)D(f*g)(x₀ )=f(x₀ +Dx)*g(x₀ +Dx)-f(x₀ )*g(x₀ )=(f(x₀ )+Df(x₀ ))*(g(x₀ )+D(x₀ ))-f(x₀ )*g(x₀ )=g(x₀ )*Df(x₀ )+f(x₀ )*Dg(x₀ )+Df(x₀ )*Dg(x₀ ) D(f*g)(x₀ )/Dx=g(x₀ )*(Df(x₀ )/Dx)+f(x₀ )*(Dg(x₀ )/Dx)+(Df(x₀ )/Dx)*(Dg(x₀ )/Dx)*Dx®f’(x₀ )*g(x₀ )+f(x₀ )*g’(x₀ ) при Dx®0

3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x₀ => Ф-ция g - непрерывна в точке x₀ => "Е>0 (Е=|g(x₀ )|/2) $d>0: |Dx|< d => |g(x₀ +Dx)-g(x₀ )|<|g(x₀ )|/2.

g(x₀ )-|g(x₀ )|/2<g(x₀ +Dx)<g(x₀ )+|g(x₀ )|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|Dx|<d) видим что g(x₀ +Dx)¹0.

Рассмотрим разность (1/g(x₀ +Dx)-1/g(x₀ ))/ Dx = -(g(x₀ +Dx)-g(x₀ ))/Dx*g(x₀ +Dx)*g(x₀ ) ® -g’(x₀ )/g(x₀ )² при Dx®0

(f/g)’(x₀ )=(f*1/g)’(x₀ ) => (2) = f’(x₀ )*1/g(x₀ )+f(x₀ )*(1/g)’(x₀ )=f`(x₀ )*1/g(x₀ )+f(x₀ )*(-g’(x₀ )/g(x₀ )² )=(f’(x₀ )*g(x₀ )-f(x₀ )*g’(x₀ ))/g(x₀ )²

Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)

1) Sin’(x₀ ) = Cos (x₀ )

2) Cos’(x₀ ) = -Sin (x₀ )

Доказательство:

1) Df/Dx=(Sin(x₀ +Dx)-Sin(x₀ ))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) * Cos(x₀ +Dx/2) ® Сos x₀ при Dx®0

2) Dg/Dx=(Cos(x₀ +Dx)-cos(x₀ ))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x₀ +Dx/2) ® -Sin x₀ при Dx®0

Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и логарифмической функции.

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x₀ , а ф-ция f диф-ма в точке y₀ =g(x₀ ), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x₀ и h’(x₀ )=f`(y₀ )*g’(x₀ )

Доказательство:

Dy=y-y₀ , Dx=x-x₀ , Df(y₀ )=f’(y₀ )*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx), y=g(x₀ +Dx)

Dh(x₀ )=f(g(x₀ +Dx))-f(g(x₀ ))=f(y)-f(y₀ )=f’(y₀ )*Dy+o(Dy)=f’(y₀ )*(g(x₀ +Dx)-g(x₀ ))+o(Dg)==f’(y₀ )*(g’(x₀ )*Dx+o(Dx))+o(Dy)= f’(y₀ )*g’(x₀ )*Dx+f’(y₀ )*o(Dx)+o(Dy)

Dh(x₀ )/Dx=f’(y₀ )*g’(x₀ )+r, r=f`(y₀ )*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx

r=f`(y<sub>0</sub> )*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y₀ )*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y₀ )*a(x)+a’(x)*Dy/Dx®f’(y₀ )*0 + 0*g’(y₀ ) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)

Производная:

1) x^a =a*x^{a -1}

Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)^a -x^a )/Dx = Lim x^a-1 * ((1+Dx/x)^a-1 )/Dx/x. Используя замечательный предел x®0 Lim ((1+x)^a -1)/x=a, получим Dx®0

Lim x^a-1 *Lim((1+Dx/x)^a-1 )/Dx/x = a*x^a-1

2) (a^X )’=a^X *Ln a (x®a^X )’=(x®e^X *Ln a)’

x®e^X *Ln a - композиция функций x®е^X и x®x*Ln a обе непрерывны на R => (x®a^X )’=(x®е ^X *Ln a)’=(x®е^X *Ln a)’*(x®x*Ln a)’=a^X *Ln a

Д-во : (e^X )’=e^X

Lim(Dy/Dx)=Lim(e^{X+ D X} -e^X )/Dx=Lime^X *(e^{D X} -1)/Dx, используя зам-ный предел при x®0 Lim(e^X -1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=e^X

3) (Log_A (x))’=1/x*Ln a

Lim(Dy/Dx) = Lim (Log_A (x+Dx) - Log_A (x))/Dx = Lim 1/x*Log_A (1+Dx/x)/Dx/x, используя замечательный предел при x®0 Lim Log_A (1+x)/x=1/Ln a, получим

Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim Log_A (1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a

40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y₀ , то g’(y₀ )=1/f’(x₀ ), где y₀ =f(x₀ )

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x₀ ))=g’(f(x₀ ))*f’(x₀ )=1, g’(f(x₀ ))=g(y₀ )=1/f’(x₀ )

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x₀ Î(a,b) и f’(x₀ )¹0, то g диф-ма в точке y₀ =f(x₀ ) и g’(y₀ )=1/f’(x₀ )

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y₀ : y_N ®y₀ , y_N ¹y₀ => $ посл-ть x_N : x_N =g(y_N ), f(x_N )=y_N

g(y_N )-g(y₀ )/y_N -y_O = x_N -x_O /f(y_N )-f(y_O ) = 1/f(y_N )-f(y_O )/x_N -x_O ® 1/f’(xo) при n®¥, получили при x_N ®x_O g(y_N )-g(y_O )/y_N -y_O ®1/f’(x_O ) => g’(у_O )=1/f’(x_O )

Производные:

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin² y)^1/2 = 1/(1-x² )^1/2

2) x®Arccos’x = -1/(1-x² )^1/2

3) x®Arctg’x = 1/1+x²

4) x®Arcctg’x= -1/1+x²

41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки x_O , то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке x_O или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке x_O и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через f^N (x_O ) - производную порядка n функции f в точке x_O и при n=0 считаем f⁰ (x_O )=f(x_O ).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки x_O (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f^N-1 (x) непрерывна в точке x_O , а при n³2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки x_O .

Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке x_O называют функцию dх®f^N (x)*dх и обозначают d^N f(x). Таким образом d^N f(x):dх®f^N (x)dx^N .

Так как f^N (x)dх^N :dх®f^N (x)dx^N , то d^N f(x)=f^N (x)dхN. В силу этого соотношения производную f^N (x) обозначают также d^N f(x)/dх^N

Инвариантность:

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d² y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х² )dx => d² y=у”(х² )dx² x+y’(x)*d² x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д² y=у’(х² )*dx² x => неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x)

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)

Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u⁰ *v^N+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С⁰ _N =1. Произведение u^N+1 *v⁰ входит только в первую сумму с коэффициентом С^N _N =1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид u^K *v^N+1-K . Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k. Сумма соотв. коэффициентов будет =>

получаем f^N+1 (x)=u⁰ *v^N+1 ++ u^N+1 *v⁰ =

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть x£b, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0<q<1 => т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то f’(a+q(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все хÎ(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=> f’(x)³0(f’(x)£0) в (a;b).

2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго возрастает(убывает) в [a;b].

Доказательство:

1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”Î(a;b), тогда по теореме Лагранжа (f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), сÎ(x’,x”). По условию имеем f’(x)³0(f’(x)£ 0) в (a;b) => f’(c)³0(f’(c)£ 0) => f(x”)³f(x’)( f(x”)£f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).

Следствие: Если x_O -критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой d-окр-ти точки x_O имеет разные знаки, то x_O -экстремальная точка.

Достаточное условие экстремума: (+)®x_O ®(-) => локальный min, (-)®x_O ®(+) => локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство Йенсена.

Определение: Множество М выпукло <=> если " А,ВÎМ [А,В]ÌМ

[А,В]ÌМ => [А,В]={А+t(В-А):tÎ[0,1]} => А(1-t)+tВÎМ

[А,В]ÌМ => А,ВÎМ; l₁ =1-t, l₂ =t => l₁ +l₂ =1 l₁ ,l₂ ³0 => l₁ А+l₂ ВÎМ

Рассмотрим точки: А₁ ,А₂ ,...А_N ÎМ l₁ ,l₂ ³0 S(i=1,n): l_I = 1

Докажем что S(i=1,n): l_I *А_I ÎМ

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) l_N =1 => приравниваем l₁ =...=l _N-1 =0 => верно

б) l_N <1 l₁ *А₁ +...+ l_N-1 *А _N-1 + l _N *А _N = (1-l _N )((l₁ /1-l _N )*А₁ +...+(l_N-1 /1-l _N )*А _N-1 ) + l _N *А _N = (1-l _N )*B + l _N *А _N

BÎМ - по индуктивному предположению А _N ÎМ - по условию=>(1-l _N )*B + l _N *А _N ÎМ Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хÎDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: А_I ÎМ l_I ³0 S(i=1,n): l_I =1 => S(i=1,n): l_I *А_I ÎМ, x_I ³0, f(x_I )£y_I => S(i=1,n): l_I *А_I = (Sl_I *x_I ;Sl_I *y_I ) => f(Sl_I *x_I )£Sl_I *y_I

Неравенство Йенсена: А_I ÎМ l_I ³0 Sl_I =1f(Sl_I *x_I )£Sl_I *f(x_I )

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,x_O ,x”Î(a;b) x’<x_O <x” =>

(f(x_O )-f(x’))/(x_O -x’)£(f(x”)-f(x_O ))/(x”-x_O ). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(x_O -x’)³(f(x_O )-f(x’))/(x_O -x’) => y³f(x_O ); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-x_O )£(f(x”)-f(x_O ))/(x”-x_O ) =>y£f(x_O )

(f(x_O )-f(x’))/(x_O -x’)£(f(x”)-f(x_O ))/(x”-x_O )

“<=”