Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Контрольная работа

по дисциплине «Прикладная математика»

Специальность Бухгалтерский учет и аудит

Курс 2-й

Группа БуиА-6-99/2

Студент

Студенческий билет №

ВАРИАНТ №25

« » мая 2001г.

Проверил:

____________________/ /

«___»_______________2001г.

Москва 2001г.

Задача №1. Линейная производственная задача.

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль

z=31х₁ +10х₂ +41х₃ +29х₄

Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу

4х₁ +0х₂ +8х₃ +7х₄ ≤316

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу

3х₁ +2х₂ +5х₃ +х₄ ≤216

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу

5х₁ +6х₂ +3х₃ +2х₄ ≤199

Имеем

4х₁ +0х₂ +8х₃ +7х₄ ≤316

3х₁ +2х₂ +5х₃ +х₄ ≤216 (1)

5х₁ +6х₂ +3х₃ +2х₄ ≤199

где по смыслу задачи

х₁ ≥0, х₂ ≥0, х₃ ≥0, х₄ ≥0. (2)

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

4х₁ +0х₂ +8х₃ +7х₄ +х₅ =316 (I)

3х₁ +2х₂ +5х₃ + х₄ +х₆ =216 (II) (3)

5х₁ +6х₂ +3х₃ +2х₄ +х₇₌ 199 (III)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х₅ – остаток сырья 1-го вида,

х₆ – остаток сырья 2-го вида,

х₇ – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности

х₁ ≥0, х₂ ≥0, х₃ ≥0, х₄ ≥0, х₅ ≥0, х₆ ≥0, х₇ ≥0 (4)

надо найти то решение, при котором функция

z=31х₁ +10х₂ +41х₃ +29х₄

будет иметь наибольшее значение

Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.

Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.

Найдем ведущее уравнение:

b_i 316 216 199 316

min ------- = ----- ----- ----- = -----

a_i3 >0 8 5 3 8

Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:

С	Базис	Н	31	10	41	29	0	0	0	Поясне-ния
			х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х5	316	4	0	8	7	1	0	0
0	х6	216	3	2	5	1	0	1	0
0	х7	199	5	6	3	2	0	0	1
∆	z0 -z	0-z	-31	-10	-41	-29	0	0	0
41	х3	39,5	1/2	0	1	7/8	1/8	0	0
0	х6	18,5	1/2	2	0	-27/8	-5/8	1	0
0	х7	80,5	7/2	6	0	-5/8	-3/8	0	1
∆	z0 -z	1619,5	-21/2	-10	0	55/8	41/8	0	0
41	х3	28	0	-6/7	1	54/56	10/56	0	-1/7	Все ∆j≥0
0	х6	7	0	8/7	0	-23/7	-4/7	1	-1/7
31	х1	23	1	12/7	0	-10/56	-6/56	0	2/7
∆	z0 -z	1861	0	8	0	5	4	0	3

Оптимальная производственная программа:

х₁ =23, х₂ =0, х₃ =28, х₄ =0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х₅ =0;

Второго вида – х₆ =7;

Третьего вида – х₇ =0

Максимальная прибыль z_max =1861

Обращенный базис Q^-1

10/56 0 -1/7

Q^-1 = -4/7 1 -1/7

-6/56 0 2/7

х₅ х₆ х₇

Базис Q

8 0 4

Q= 5 1 3

3 0 5

х₃ х₆ х₁

Самопроверка.

10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0

Q^-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0

-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1

10/56•316+0•216-1/7•199 28

Q^-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7

-6/56•316+0•216+2/7•199 23

Задача № 2 . Двойственная задача.

Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у₁ за каждую единицу 1-го ресурса

у₂ за каждую единицу 2-го ресурса

у₃ за каждую единицу 3-го ресурса.

В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.

В ценах у₁ , у₂ , у₃ наши затраты составят

4у₁ +3у₂ +5у₃ ≥31

Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида

2у₂ +6у₃ ≥10

Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида

8у₁ +5у₂ +3у₃ ≥41

Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида

7у₁ +у₂ +2у₃ ≥29

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить

316у₁ +216у₂ +199у₃

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

У=(у₁ , у₂ , у₃ )

Минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f=316у₁ +216у₂ +199у₃

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:

4у₁ +3у₂ +5у₃ ≥31

2у₂ +6у₃ ≥10

8у₁ +5у₂ +3у₃ ≥41

7у₁ +у₂ +2у₃ ≥29

При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у₁ ≥0, у₂ ≥0, у₃ ≥0

На основании 2-й основной теоремы двойственности

Х=(х₁ , х₂ , х₃ , х₄ ) и у=(у₁ , у₂ , у₃ )

Необходимо и достаточно выполнения условий

х₁ (4у₁ +3у₂ +5у₃ -31)=0

х₂ (2у₂ +6у₃ -10)=0

х₃ (8у₁ +5у₂ +3у₃ -41)=0

х₄ (7у₁ +у₂ +2у₃ -29)=0

Учитывая, что в решении исходной задачи х₁ >0, x₃ >0

Поэтому

4у₁ +3у₂ +5у₃ -31=0

8у₁ +5у₂ +3у₃ -41=0

Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у₂ =0

Имеем систему уравнений

4у₁ +3у₂ +5у₃ -31=0

8у₁ +5у₂ +3у₃ -41=0

Решим систему:

4у₁ +5у₃ =31

у₁ =(31-5у₃ )/4

8((31-5у₃ )/4)+3у₃ =41

-7у₃ =-21

у₁ =(31-15)/4

откуда следует

у₁ =4, у₃ =3

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у₁ =4, у₂ =0, у₃ =3

Общая оценка всех ресурсов

f=316у₁ +216у₂ +199у₃

f=1264+0+597=1861

Задача № 2 .1. Задача о «расшивке узких мест производства».

При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.

Пусть Т=(t₁ , 0, t₃ ) – вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+ Q^-1 Т≥0

Необходимо найти вектор

Т=(t₁ , 0, t₃ )

максимизирующий суммарный прирост прибыли

w=4t₁ +3t₃

28 10/56 0 -1/7 t₁ 0

7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0

23 -6/56 0 2/7 t₃ 0

Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t₁ 316

0 ≤ 1/3 216

t₃ 199

где t₁ ≥0, t₃ ≥0

10/56t₁ -1/7t₃ ≥-28

-4/7t₁ -1/7t₃ ≥-7

-6/56t₁ +2/7t₃ ≥-23

-10/56t₁ +1/7t₃ ≤28

4/7t₁ +1/7t₃ ≤7

6/56t₁ -2/7t₃ ≤23

t₁ ≤316/3, t₃ ≤199/3

t₁ ≥0, t₃ ≥0

Программа расшивки имеет вид

t₁ =0, t₂ =0, t₃ =49

и прирост прибыли составляет

w=4t₁ +3t₃ =3∙49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Задача № 3 . Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».

Θ=9 z(x₁ )=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535

Θ=25 z(x₂ )=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490

z(x₃ )=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415

Задача № 4 . Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».

x₄ ^* =x₄ (700)=0

x₃ ^* =x₃ (700-x₄ ^* )=x₃ (700)=200

x₂ ^* =x₂ (700-x₄ ^* -x₃ ^* )=x₂ (700-200)=x₂ (500)=300

x₁ ^* =700-x₄ ^* -x₃ ^* -x₂ ^* =700-0-200-300=200

x₁ =200

x₂ =300

x₃ =200

x₄ =0

Задача № 5 . Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?

4 49 0

m₀ =2, М= , V=

6 0 64

Зададимся эффективностью портфеля m_p

Найдем обратную матрицу к V

1/49 0

V^-1 =

0 1/64

далее

4 1

M = I =

6 1

1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49

V^-1 (M-m₀ I)= · - = · =

0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16

2/49

(M-m₀ I)^T V^-1 (M-m₀ I)=(2 4) · = 65/196

1/16

Рисковые доли:

x₁ ^* =(m_p -2) 8/65=(m_p -2) 0,12

x₂ ^* =(m_p -2) 49/260=(m_p -2) 0,19

Безрисковая доля:

x₀ ^* =1-(m_p -2) 0,31

Найдем значение m_p , при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:

(m_p -2) 0,31=1

m_p -2=1/0,31

m_p =3,21+2

m_p =5,21

Следовательно, если m_p >5,21 то x₀ ^* <0 и необходимо провести операцию short sale.

Задача № 6 . Провести анализ доходности и риска финансовых операций.

Даны четыре операции Q₁ , Q₂ , Q₃ , Q₄ . Найти средние ожидаемые доходы Q_i и риски r_i операций. Нанести точки (Q_i , r_i ) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.

(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)

(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5)

(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4)

(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)

Q₁ =8,4 r₁ =10,4

Q₂ =-1,8 r₂ =4,7

Q₃ =16 r₃ =17,4

Q₄ =2 r₄ =8,7

j(Q₁ )=2 Q₁ -r₁ =6,4

j(Q₂ )=2 Q₂ -r₂ =-8,3

j(Q₃ )=2 Q₃ -r₃ =14,6

j(Q₄ )=2 Q₄ -r₄ =-4,7

Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.

Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.