ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра математики

КУРСОВАЯ

на тему:

Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности.

Студент группы МЭК 1-1 - А.С. Кормаков

Научный руководитель - Солодовников А.С.

МОСКВА – 2001

Содержание

1. Двойственность в линейном программировании.................................... 3

2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности... 4

3. Симметричные двойственные задачи........................................................ 9

4. Виды математических моделей двойственных задач........................... 11

5. Двойственный симплексный метод........................................................... 12

6. Список используемой литературы............................................................ 14

1. Двойственность в линейном программировании

Понятие двойственности. С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача называется исходной.

Связь исходной и двойственной задач состоит в том, что коэффици­енты C_j функции цели исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи, свободные члены B _i систе­мы ограничений исходной задачи служаткоэффициентами функции цели двойственной задачи, а матрица коэффициентов системы ограни­чений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Решение двой­ственной задачи может быть получено из решения исходной и наоборот.

В качестве примера рассмотрим задачу использования ресурсов. Предприятие имеет т видов ресурсов в количестве b_i (i = 1, 2, ..., m ) единиц, из которых производится n видов продукций. Для производ­ства 1 ед. i -й продукции расходуется a_ij ед. t-гo ресурса, а ее стоимость составляет C_j ед. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий ее максимальный выпуск в стоимостном выражении. Обозначим через x_j (j =1,2, ..., n) количество ед. j -й продукций, Тогда исходную задачу сформулируем так.

Найти вектор Х =(x₁ , x₂ , …, x_n ), который удовлетворяет ограни­чениям

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n £ b_1,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2n x_n £ b_2, x_j ³ 0 (j =1,2, ..., n)

…………………………………

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + … + a_mn x_n £ b_m,

и доставляет максимальное значение линейной функции

Z = C₁ x₁ + C₂ x₂ + … + C_n x_n ,

Оценим ресурсы, необходимые для изготовления продукции. За единицу стоимости ресурсов примем единицу стоимости выпускаемой продукции. Обозначим через у _i (j =1,2, ..., m) стоимость единицы i- горесурса. Тогда стоимость всех затраченных ресурсов, идущих на изготовление единицы j -й продукции, равна . Стоимость затрачен­ных ресурсов не может быть меньше стоимости окончательного продукта, поэтому должно выполняться неравенство ³C_j , j =1,2, ..., n . Стоимость всех имеющихся ресурсов выразится величиной . Итак, двойственную задачу можно сформулировать следующим образом.

Найти вектор Y =(y₁ , y₂ , …, y_n ), который удовлетворяет ограни­чениям

a₁₁ y₁ + a₁₂ y₂ + … + a_m1 y_m £ C_1,

a₁₂ y₁ + a₂₂ y₂ + … + a_m2 y_m £ C_2, y_j ³ 0 (i =1,2, ..., m)

…………………………………

a_1n y₁ + a_2n y₂ + … + a_mn y_m £ C_m,

и доставляет минимальное значение линейной функции

f = b₁ y₁ + b₂ y₂ + … + b_m y_m .

Рассмотренные исходная и двойственная задачи могут быть эко­номически интерпретированы следующим образом.

Исходная задача. Сколько и. какой продукции x_j (j =1,2, ..., n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях C_j (j =1,2, ..., n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов b_i (i =1,2, ..., n) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.

Двойственная задача. Какова должна быть цена еди­ницы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов b _i и величинах стоимости единицы продукции C _i минимизироватьобщую стоимость затрат?

Переменные у _i называются оценками или учетными, неявными ценами.

Многие задачи линейного программирования первоначально ста­вятся в виде исходных или двойственных задач, поэтому имеет смысл говорить о паре двойственных задач линейного программирования.

2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности.

В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной — в виде нера­венств, причем в последней переменные могутбыть и отрицательными.Для простоты доказательств постановку задачи условимсязаписывать в матричной форме.

Исходная задача. Найти матрицу-столбец X = (x₁ , x₂ , …, x_n ), которая удовлетворяет ограничениям

(1.1) AX = A₀ , Х ³0

и минимизирует линейную функцию Z = СХ .

Двойственная задача. Найти матрицу-строку Y = (y₁ , y₂ , …, y_m ), которая удовлетворяет ограничениям

(1.2) YA £ С

и максимизирует линейную функцию f = YA₀

В обеих задачах C = (c₁ , c₂ , …, c_n ) - матрица-строка, A₀ = (b₁ , b₂ , …, b_m ) — матрица-столбец, А = (a_ij ) — матрица коэффициентов системы ограничений. Связь между оптимальными планами пары двой­ственных задач устанавливает следующая теорема.

Теорема (теорема двойственности). Если из пары двойствен­ных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет ре­шение, причем для экстремальных значений линейных функций выпол­няется соотношение

min Z = max f.

Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что исходная задача об­ладает оптимальным планом, который получен симплексным методом. Не нарушая общности, можно считать, что окончательный базис со­стоит из т первых векторов A ₁ , A ₂ , ..., A _m . Тогда последняя симплекс­ная таблица имеет вид табл. 1.1.

Т а б л и ц а 1.1

Пусть D — матрица, составленная из компонент векторов оконча­тельного базиса A ₁ , A ₂ , ..., A _m ; тогда табл. 1.1 состоит из коэффици­ентов разложения векторов A ₁ , A ₂ , ..., A _n исходной системы по векто­рам базиса, т. е. каждому вектору A _j в этой таблице соответствует та­кой вектор X _j что

(1.3) A_j = DX_j (j= 1,2, ,.., n).

Для оптимального плана получаем

(1.4) A ₀ =DX* ,

где X* = ( x * ₁ , x * ₂ , …, x * _m ) .

Обозначим через матрицу, составленную из коэффициентов раз­ложения векторов А _j (j = 1, 2, ..., n), записанных в табл. 1.1. Тогда, учитывая соотношения (1.3) и (1.4), получаем:

(1.5) A =D , D^-1 A = ,

(1.6) A ₀ =DX*; D ^-1 A ₀ = X* ,

(1.7) min Z = C*X* ,

(1.8) = C* —C £ 0,

где С * = (C* ₁ , C* ₂ , …, C* _m ),С = (C₁ , C₂ , …, C_m , C_m+1 , …, C_n ), a = (C*X ₁ – C₁ ; С*Х ₂ - С₂ , ..., C*X _n – C_n ) = (Z₁ –С₁ ; Z₂ - C₂ ; ..., Z_n — C_n ) — вектор, компоненты которого неположительны, так как они совпадают с Z_j — C_j £ 0, соответствующими оптимальному плану.

Оптимальный план исходной задачи имеет вид X* =D^-1 А ₀ , поэтому оптимальный план двойственной задачи ищем в виде

(1.9) Y* = C*D ^-1 .

Покажем, что Y* действительно план двойственной задачи. Для этого ограничения (1.2) запишем в виде неравенства YA — С £ 0 , в левую часть которого подставим Y* . Тогда на основании (1.9), (1.5) и (1.8) получим

Y * А – С = С* D ^-1 А – С = С* - С £ 0,

откуда находим Y*A £ С.

Так как Y* удовлетворяет ограничениям (1.2), то это и есть план двойственной задачи. При этом плане значение линейной функции двой­ственной задачи f (Y *) = Y*A ₀ . Учитывая соотношения (1.9), (1.6) и (1.7), имеем

(1.10) f (Y *) = Y*A ₀ = C*D^-1 A₀ =C*X*=minZ(X ).

Таким образом, значение линейной функции двойственной задачи от Y* численно равно минимальному значению линейной функции исходной задачи.

Докажем теперь, что Y* является оптимальным планом. Умножим (1.1) на любой план Y двойственной задачи, а (1.2) — на любой план X исходной задачи: YAX=YA ₀ = f ( Y) , YAX £СХ = Z (X) , отсюда следует, что для любых планов Х и Y выполняется неравенство

(1.11) f ( Y) £ Z (X).

Этим же соотношением связаны и экстремальные значения max f ( Y) £min Z (Х) .Из последнего неравенства заключаем, что максималь­ное значение линейной функции достигается только в случае, еслиmax f (Y) = min Z (X), но это значение [см. (1.10)]f ( Y) достигает при плане Y* , следовательно, план Y* — оптимальный план двойственнойзадачи.

Аналогично можно доказать, что если двойственная задача имеет решение, то исходная также обладает решением и имеет место соотно­шение max f (Y) = min Z (X).

Для доказательства второй части теоремы допустим, что линейная функция исходной задачи не ограничена снизу. Тогда из (1.11) следу­ет, что f (Y ) £ -¥ . Это выражение лишено смысла, следовательно, двойственная задача не имеет решений.

Аналогично предположим, что линейная функция двойственной за­дачи не ограничена сверху. Тогда из (1.11) получаем, что Z (X) ³ +¥. Это выражение также лишено смысла, поэтому исходная задача не име­ет решений.

Доказанная теорема позволяет при решении одной из двойственных задач находить оптимальный план другой.

Исходная задача. Найти минимальное значение линейной функ­ции Z = x₂ – x₄ – 3x₅ при ограничениях

x₁ + 2x₂ - x₄ + x₅ = 1,

- 4x₂ + x₃ + 2x₄ – x₅ = 2, x_ij ³ 0 (j = 1, 2, …, 6)

3x₂ + x₅ + x₆ = 5,

Здесь матрица-строка С = (0;. 1; 0; —1; — 3, 0), матрица-столбец

1 1 2 0 -1 1 0

A₀ = 2 A = 0 -4 1 2 -1 0

3 0 3 0 0 1 1

1 0 0

2 -4 3

A ’’ = 0 1 0

-1 2 0

1 -1 0

0 0 1

Двойственная задача. Найти максимальное значение линейной функции f = y₁ + 2y₂ +5y₃ при ограничениях

y₁ £ 0,

2y₁ – 4y₂ + 3y₃ £ 1,

y₂ £ 0,

-y₁ + 2y₂ £ -1,

y₁ – y₂ + y₃ £ -3,

y₃ £ 0.

Решение исходной задачи находим симплексным методом (табл. 1.2).

Оптимальный план исходной задачи X* =(0; 1/3; 0; 11/3; 4; 0), при котором Z_min = - 46/3, получен в четвертой итерации табл. 1.2. Используя эту итерацию, найдем оптимальный план двойственнойзадачи. Согласно теореме двойственности оптимальный план двойствен­ной задачи находится из соотношения Y* = C*D ^-1 , где матрица D ^-1 - матрица, обратная матрице, составленной из компонент векторов, вхо­дящих в последний базис, при котором получен оптимальный план исходной задачи. В последний базис входят векторы A₅ , A₄ , A₂ ; значит,

1 -1 2

D = ( A₅ , A₄ , A₂ ) = -1 2 -4

1 0 3

Обратная матрица D ^-1 образована из коэффициентов, стоящих в столбцах A₁ , A₃ , A₆ четвертой итерации:

2 1 0

D^-1 = -1/3 1/3 2/3

-2/3 -1/3 1/3

Из этой же итерации следует С* = (— 3; —1; 1). Таким образом

2 1 0

Y = С* D^-1 = (-3; -1; 1) · -1/3 1/3 2/3

-2/3 -1/3 1/3

Y*=(-19/3; -11/3; -1/3),

т. е. y _i = С*Х _i , где Х _i — коэффициенты разложения последней ите­рации, стоящие в столбцах векторов первоначального единичного базиса.

Итак, i-ю двойственную переменную можно получить из значения оценки (m + 1)-й строки, стоящей против соответствующего вектора, входившего в первоначальный единичный базиc, если к ней приба­вить соответствующее значение коэффициента линейной функции:

у ₁ = — 19/3 + 0 = — 19/3; y₂ = -11/3 + 0 = -11/3; у ₃ = -1/3+0 = -1/3. При этом плане max f = -46/3.

3. Симметричные двойственные задачи

Разновидностью двойственных задач линейного , программирования являются двойственные симметричные задачи, в ко­торых система ограничений как исходной, так и двойственной задач задается неравенствами, причем на двойст­венные переменные налагается условие неотрицательности.

Исходная задача. Найти матрицу-столбец Х = (x₁ , x₂ , …, x_n ), которая удовлетворяет системе ограничений

(1.12). АХ >А₀ , Х >0

и минимизирует линейнуюфункцию Z = СХ.

Двойственная задача. Найти матрицу-строку Y = (y₁ , y₂ , …, y_n ), которая удовлетворяет системе ограничений YA £C , Y ³0 и максимизирует линейную функцию f = YA ₀ .

Систему неравенств с помощью дополнительных переменных мож­но преобразовать в систему уравнений, поэтому всякую пару симмет­ричных двойственных задач можно преобразовать в пару несимметрич­ных, для которых теорема двойственности уже доказана.

Используя симметричность, можно выбрать задачу, более удоб­ную для решения. Объем задачи, решаемой с помощью ЭВМ, ограни­чен числом включаемых строк, поэтому задача, довольно громоздкая в исходной постановке, может быть упрощена в двойственной формули­ровке. При вычислениях без помощи машин использование двойствен­ности упрощает вычисления.

Исходная задача. Найти минимальное значение линейной функции Z = x₁ + 2x₂ + 3x₃ при ограничениях

2x₁ + 2x₂ - x₃ ³ 2,

x₁ - x₂ - 4x₃ £ -3, x_i ³ 0 (i=1,2,3)

x₁ + x₂ - 2x₃ ³ 6,

2x₁ + x₂ - 2x₃ ³ 3,

Очевидно, для того чтобы записать двойственную задачу, сначала необходимо систему ограничений исходной задачи привести к виду (1.12). Для этого второе неравенство следует умножить на -1.

Двойственная задача. Найти максимум линейной функции f = 2y₁ + 3y₂ + 6y₃ + 3y₄ при ограничениях

2y₁ - y₂ + y₃ + 2y₄ £ 1,

2y₁ + y₂ + y₃ + y₄ ³ 2,

-y₁ + 4y₂ - 2y₃ - 2y₄ ³ 3,

Для решения исходной задачи необходимо ввести четыре дополни­тельные переменные и после преобразования системы - одну искус­ственную. Таким образом, исходная симплексная таблица будет состо­ять из шести строк и девяти столбцов, элементы которых подлежат преобразованию.

Для решения двойственной задачи необходимо ввести три допол­нительные переменные. Система ограничений не требует предваритель­ных преобразований, ее первая симплексная таблица содержит четыре строки и восемь столбцов.

Двойственную задачу решаем симплексным методом (табл. 1.3).

Оптимальный план двойственной задачи Y* = (0; 1/2; 3/2; 0), f _max =21/2.

Оптимальный план исходной задачи находим, используя оценки ( m + 1)-й строки последней итерации, стоящие в столбцах A₅ , A₆ , A₇ : x₁ = 3/2 + 0 = 3/2; x₂ = 9/2 + 0 = 9/2; x₃ = 0+ 0 = 0. При оптимальном плане исходной задачи X* = (3/2; 9/2; 0) линейная функ­ция достигает наименьшего значения: Z_min =21/2.

Т а б л и ц а 1.3

4. Виды математических моделей двойственных задач

На основании рассмотренных несимметричных и симметричных двойственных задач можно заключить, что математические модели пары двойственных задач могут иметь один из следующих видов.

Несимметричные задачи

(1) Исходная задача Двойственная задача

Z_min = CX; f _max = YA₀ ;

AX = A₀ ; YA £ С .

X ³ 0.

(2) Исходная задача Двойственная задача

Z_max = CX; f _min = YA₀ ;

AX = A₀ ; YA ³ С .

X ³ 0.

Симметричные задачи

(3) Исходная задача Двойственная задача

Z_min = CX; f _max = YA₀ ;

AX ³A₀ ; YA £ С .

X ³ 0. Y ³ 0.

(4) Исходная задача Двойственная задача

Z_max = CX; f _min = YA₀ ;

AX £A₀ ; YA ³ С .

X ³ 0. Y ³ 0.

Таким образом, прежде чем записать двойственную задачу для данной исходной, систему ограничений исходной задачи необходимо привести к соответствующему виду. Запишем, например, математиче­скую модель двойственной задачи для следующей исходной.

Найти минимальное значение линейной функции Z = 2x₁ + x₂ + 5x₃ при ограничениях

x₁ – x₂ – x₃ £ 4,

x₁ – 5x₂ + x₃ ³ 5, x_j ³ 0 (j = 1, 2, 3).

2x₁ – x₂ + 3x₃ ³6,

Рассматриваемая задача относится к симметричным двойственным задачам на отыскание минимального значения линейной функции. Для того чтобы было можно записать двойственную задачу, ее модель долж­на иметь вид (3). Переход осуществляется умножением первого не­равенства на -1.

Исходная задача:

Z_min = 2x₁ + x₂ + 5x₃ при ограничениях

-x₁ + x₂ + x₃ ³ -4,

x₁ – 5x₂ + x₃ ³ 5, x_j ³ 0 (j = 1, 2, 3).

2x₁ – x₂ + 3x₃ ³6,

Двойственная задача:

f _min = -4x₁ + 5x₂ + 6x₃ при ограничениях

-y₁ + y₂ + 2y₃ £ 2,

y₁ – 5y₂ - y₃ £ 1, y_i ³ 0 (i = 1, 2, 3).

2y₁ + y₂ + 3y₃ £ 5,

Приведем без доказательства следующую теорему. Теорема 1.1. Если при подстановке компонент оптимального пла­на в систему ограничений исходной задачи i-e ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю.

Если i-я компонента оптимального плана двойственной задачи по­ложительна, то i-e ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

5. Двойственный симплексный метод

В п. 2 и п. 3 настоящего параграфа было показано, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двой­ственной и используя оценки ее опти­мального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.

Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмо­треть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным ба­зисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках - двойственная. Причем оценками плана исходной задачи являются С _j а оценками плана двойственной задачи – b_i . Решим "двойственную задачу по симплексной таблице, в которой записана ис­ходная задача; найдем оптимальный план двойственной задачи, а вместе с ним и оптимальный план исходной задачи. Этот метод носит на­звание двойственного симплексного метода,

Пусть необходимо решить исходную задачу линейного программиро­вания, поставленную в общем виде: минимизировать функцию Z =СХ при АХ = A₀ , Х ³ 0. Тогда в двойственной задаче необходимо максимизировать функцию f = YA ₀ при YA £ С. Допустим, что выбран такой базис D = (A ₁ , А ₂ , ..., А _i , ..., А _m ), при котором хотя бы одна из компонент вектора Х = D ^-1 A₀ = (x₁ , x₂ , ..., x_i , ..., x_m ) отрицатель­ная (например, x_i < 0), но для всех векторов A_j выполняется соотно­шение Z_j – C_j £ 0 (i = 1,2, ..., n). Тогда на основании теоремы двойственности Y = С _баз D^-1 - план двойственной задачи. Этот план не оптимальный, так как, с одной стороны, при выбранном бази­се X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны, оценки оптимального плана двой­ственной задачи должны быть неотрицательными.

Таким образом, вектор А_i , соответствующий компоненте x_i < 0, следует исключить из базиса исходной задачи, а вектор, соответствую­щий отрицательной оценке,— включить в базис двойственной задачи.

Для выбора вектора, включаемого в базис исходной задачи, просмат­риваем i -ю строку: если в ней не содержатся x _ij < 0, то линейная функция двойственной задачи не ограничена на многограннике реше­ний, а исходная задача не имеет решений. Если же некоторые x _ij < 0, то для столбцов, содержащих эти отрицательные значения, вычисля­ем q_0j = min (x_i /x_ij ) ³ 0 и определяем вектор, соответствующий maxq_0j (Z_j — C_j ) при решении исходной задачи на минимум и minq_0j (Z_j — C_j )при решении исходной задачи на максимум. Этот вектор и включаем в базис исходной задачи. Вектор, который необ­ходимо исключить из базиса исходной задачи, определяется направ­ляющей строкой.

Если q_0j = min (x_i /x_ij ) = 0, т. е. x_i = 0, то x _ij берется за раз­решающий элемент только в том случае, если x _ij > 0. Такой выбор раз­решающего элемента на данном этапе не приводит к увеличению коли­чества отрицательных компонент вектора X . Процесс продолжаем до получения Х ³ 0; при этом находим оптимальный план двойственной задачи, следовательно, и оптимальный план исходной задачи.

В процессе вычислений по алгоритму двойственного симплексного метода условие Z_j – C_j £ 0 можно не учитывать до исключения всех х _i < 0, затем оптимальный план находится обычным симплексным ме­тодом. Это удобно использовать, если все х _i < 0; тогда для перехода к плану исходной, задачи за одну итерацию необходимо q_0j определить не по минимуму, а по максимуму отношений, т. е. q_0j = max (x_i /x_ij ) > 0.

Двойственным симплексным методом можно решать задачи линей­ного программирования, системы ограничений которых при положи­тельном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограниче­ний, а также размеры симплексной таблицы.

6. Список используемой литературы

1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. «Финансы и статистика», 1998 г.

2. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. «Наука», 1980 г.