Реферат: Атомические разложения функций в пространстве Харди

Міністерство Освіти України

Одеський державний університет

ім. І.І.Мечнікова

Інститут математики, економіки та механіки

Атомічні розкладення функцій

у просторі Харді

Дипломна робота

студентки V курсу

факультету математики

Семенцовой В.А.

Науковий керівник

Вартанян Г.М.

Одеса ­- 2000

Содержание

Введение.................................................................................... 3

Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах , и ................................. 8

§I.1. Интеграл Пуассона..................................................... 8

§I.2. Пространства ....................................................... 12

§I.3. Пространства и ......................................... 17

§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная

максимальная функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве

, пространство ВМО........................................ 26

§II.1. Пространство , критерий принадлежности

функции из пространству ....................... 26

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на ,

двойственность и ВМО.................................. 32

Литература.................................................................................. 37

Введение.

Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства , , и , раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.

Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств , , , а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из пространству и двойственность пространств и .

В работе мы рассматриваем случай периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:

- пространство периодических, непрерывных на функций;

- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на функций;

- пространство периодических, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых , ;

- пространство периодических ограниченных на функций;

- носитель функции .

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-p,p] 2p-периодической комплекснозначной функции называется функция

¦_r ( x ) = ,

где , t Î [ -p, p ] - ядро Пуассона.

Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств:

а) ;

б) ;

в) для любого d>0

Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона при :

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:

Определение1. Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.

Определение2. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению Лапласа:

.

Определение3. Две гармонические функции и , связанные условиями Коши-Римана : , , называются гармонически сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой пространства понимается

, .

Определение5. Под нормой пространства понимается

, .

Определение6. Пусть ( или ,). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции определяется равенством

, .

(, ).

Определение7. Последовательность функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции , если для почти всех , т.е. множество тех точек , в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем пространства - это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

.

Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию () можно предсавить в виде

, , ,

где для п.в. , при этом

;

.

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:

Определение8. Говорят, что действительная функция , заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная , что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками выполнено неравенство .

Определение9. Действительная функция , заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого найдется число такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов , с суммой длин, меньшей : , выполняется неравенство .

В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств и . Пространство () представляет собой совокупность тех функций , , которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из, т.е. представимы в виде (). Здесь мы получаем следующие результаты: при пространство совпадает с , а при р=1 уже, чем , и состоит из функций , для которых и .

В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции , аналитической в круге с нулями , () с учетом их кратности:

,

где - кратность нуля функции при .

Здесь доказывается, что каждая функция представима в виде

, где не имеет нулей в круге и , ,а - произведение Бляшке функции .

Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .

Тут же мы доказываем теорему об оценке : если (), , то и .

Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.

Во второй главе два параграфа.

В §II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству . Здесь вводится понятие атома: действительная функция называется атомом, если существует обобщенный интервал такой, что

а) ; б) ; в) .

Атомом назовем также функцию , . Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из , либо множество вида ().

Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция тогда и только тогда, когда функция допускает представление в виде

, , где , , - атомы. (*)

При этом , где inf берется по всем разложениям вида (*) функции , а с и С - абсолютные константы.

Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.

В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству , легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств и . Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение : пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

, (91)

где , а sup берется по всем обобщенным интервалам . А затем доказываем теорему о том, что .

Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах , и

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть ¦(x ) , g (x ) , x ÎR¹ –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку

f*g(x) =dt

Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и

c_n ( f*g ) = c_n ( f )× c_-n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )

где { c_n ( f )} - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

c_n (f)= ^{-i n t} dt , n = 0, ±1, ±2,¼

Пусть ¦ Î L¹ (-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию

¦_r ( x ) = _n ( f ) r^{| n |} e^{i n x} , x Î [ -p, p ] . ( 2 )

Так как для любых x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦_r (х) равны c_n ( f_r ) = c_n (f)× r^{| n |} , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это значит, что ¦_r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦_r ( x ) = , ( 3 )

где

, t Î [ -p, p ] . ( 4 )

Функция двух переменных Р_r (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .

Следовательно,

P_r ( t ) = , 0 £ r < 1 , t Î [ -p, p] . ( 5 )

Если ¦Î L¹ ( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что

c_-n ( f ) = , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :

f_r ( x ) =

= , ( 6 )

где

F ( z ) = c₀ ( f ) + 2 ( z = re^ix ) ( 7 )

- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L¹ ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦_r (e^ix ) , z = re^ix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция и ¦ (x) = u (e^ix ) , xÎ[ -p, p ] . Тогда

u (z) = ( z = re^ix , | z | < 1 ) ( 10 )

Так как ядро Пуассона P_r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

=, | z | < 1+ e .

Но тогда коэффициенты Фурье функции связаны с коэффициентами Фурье функции следующим образом :

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦_r (x ) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ; (11)

в) для любого d>0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

. ( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку

.

Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.

Пусть функция , суммируема на любом интервале (a,b), a<b, . Максимальной функцией для функции называется функция

,

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение I.2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

, .

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) *) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора . Используя его, найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при xÎ (-p,p)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p, p] и (14)

из последней оценки получим

при r®1.

Теорема 2 доказана.

Замечание1.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p] , когда точка re^it стремится к e^ix по некасательному к окружности пути.

§I.2.Пространства H^p .

Определение I.3.

Пространство - совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

. (15)

Пусть комплекснозначная функция удовлетворяет условиям

(16)

тогда функция F (z) , определенная равенством

(17)

принадлежит пространству , причем

. (18)

Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства мы имеем

(*)

С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=¥ в силу теоремы 2)

. Отсюда (**)

Учитывая (*) и (**) , получим (18).

Ниже мы докажем, что любую функцию можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется

Теорема 3.

Пусть комплекснозначная функция j (t) имеет ограниченную вариацию на [ -p,p] и

(19)

Тогда j (t) абсолютно непрерывна на [-p,p].

Замечание2.

В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации j (t) . Мы говорим, что

j (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t) , а также если

- характеристическая функция замкнутого множества .

Доказательство теоремы 3.

Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,

,

(20)

Для этой цели убедимся, что справедлива

Лемма 1.

Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем и

. Тогда для всякого , существует функция вида

, (21)

обладающая свойствами:

а) ;

б) ; (22)

в) .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.

Пусть , где - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для

.

Очевидно, что - открытое множество и .

Рассмотрим для данных функцию , построенную в лемме 1 для числа e и множества . Тогда нетрудно проверить[3], что если , а , то разность

. (23)

Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

,

и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится

ОпределениеI.4.

Средние Фейера - это средние вида

, где , , - ядро Дирихле,

, - ядро Фейера.

Отметим, что при ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) , ; б) ,

Мз которых вытекает, что для и

,

Также известно [3], что средние Фейера равномерно сходятся к .

Пусть f(t) - непрерывная на [-p, p] функция, для которой

и

Так как средние Фейера равномерно сходятся к и

, то существует тригонометрический полином

(24)

такой, что

(25)

Пусть . Рассмотрим для каждого d>0 такую функцию , что

,

(функцию можно построить следующим образом: взять замкнутое множество с мерой , достаточно близкой к 2p, и положить

).

Так как (здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых d>0 функция удовлетворяет соотношениям

(26)

При этом , если . Тогда средние Фейера функции h(t) имеют вид

и при достаточно большом N

(27)

Положим

, (28)

Так как h(t) - действительная функция, то , n=0,±1,±2,¼. Поэтому

и . (29)

Определим искомую функцию g(t) :

Ясно, что , а из (24) и (28) следует, что при n<0, т.е.

(30)

В силу соотношений (25), (27) и (29) для

,

а для

.

Наконец, для любого

.

Таким образом, функция g(t) обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1 , а вместе с ней и теорема 3 доказаны.

Теорема 4.

Пусть функция . Тогда для п.в. существует предел

(31)

При этом

1) , , ;

2) ;

3) .

Доказательство:

Нам достаточно доказать, что для каждой функции найдется функция такая, что имеет место 1). Действительно, если , то тем более и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в. . При этом и по теореме 1

. Наконец, из 1) следует, что

а тогда

.

Пусть . Для построения искомой функции положим

, , .

Функции , , имеют равномерно ограниченную по r вариацию на :

.

Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации и последовательность , такие, что в каждой точке и

(32)

для любой функции . При этом для n=1,2,...

(мы учли аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3 абсолютно непрерывна : существует функция , для которой

,

Тогда

, (33)

Зафиксируем число . Функция , аналитична в круге , поэтому согласно утверждению 1

, .

В пределе при из последнего равенства вытекает, что

, , .

Равенство 1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны.

§I.3.Пространства и .

Обозначим через класс тех функций , , которые являются граничными значениями функций из , т.е. представимы в виде

для п.в. , .

В силу пунктов 3) и 2) теоремы 4 и каждая функция удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из . Следовательно,

. (34)

Из (34) вытекает, что (замкнутое) - подпространство пространства , а - банахово пространство с нормой (15).

Пусть . Положим

,

, (35)

ОпределениеI.5.

Если функция , то сопряженной к ней функцией называется функция , ,

где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при интегралов .

В дальнейшем нам понадобится

Утверждение2.

Для любой функции сопряженная функция существует и конечна п.в. на ; при этом

а) , y>0;

б) если , , то и .

Теорема 5.

Следующие условия эквивалентны :

а) ;

б) , , , ;

в) ;

г) , где - такая действительная функция, что ее сопряженная также принадлежит пространству :

. (36)

Доказательство:

Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :, имеют место равенства

, (37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что

, , ,

. Следовательно, равенства (37) выполняются, если - произвольный тригонометрический полином.

Пусть фиксировано. Для произвольной функции и положим

, ,

где , , .

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций (наличие этих свойств мы установим ниже):

1) , , ;

2) при функции , , сходятся по мере к

;

3) , , ,

где С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).

Легко видеть, что , где , поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций ,:

по мере . (38)

Для произвольного найдем тригонометрический полином такой, что

, . (39)

Тогда согласно 3)

(40)

и при

. (41)

Так как - полином, то и

. (42)

Учитывая, что , и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим , ,

что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как .

Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное и представим функцию в виде

, , . (43)

Из непрерывности функции легко следует, что

равномерно по . Поэтому при достаточно больших с учетом (43) мы будем иметь

, (44)

Кроме того, в силу 1) и (43)

;

из этого неравенства и (44) вытекает, что при

.

Для доказательства оценки 3) заметим, что

,

где . Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции и учитывая, что , получим 3).

Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).

Пусть (,,) и

. Тогда по теореме 4 , и надо доказать только, что для п.в. .

Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при и

, .

С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого ,

, . (45)

Согласно теореме 1

. (46)

Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости () следует сходимость по мере функций к . Таким образом,

по мере (),

а потому , учитывая (46), для п.в. .

Теорема 5 доказана.

Следствие 1.

а) Если , то ;

б) если и , то ;

в) если , , , , то

. (47)

Доказательство.

Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.

Чтобы получить в), положим

,

.

Согласно теореме 5 , , а следовательно, . Но тогда (для п.в. ) , и из определения класса мы получим, что

. (48)

Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).

Замечание 3.

Если , то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство совпадает с . Для р=1 это не так. Пространство уже, чем , и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций , для которых и .

- банахово пространство с нормой

. (49)

Полнота с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства : если при , то , , , и так как по мере при , то и при .

Замечание 4.

Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда , , , .

Отметим также, что, взяв в (47) вместо функцию и учитывая б), мы получим

, если . (50)

§I.4.Произведение Бляшке,

нетангенциальная максимальная функция.

Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - удовлетворяет условию

, , . (51)

Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

. (52)

Для фиксированного , , при имеет место оценка

. (53)

Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге , т.е. функция аналитична в единичном круге и имеет нули в точках , , и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством ( , ), мы находим

, . (54)

Допустим теперь, что () - нули некоторой функции с , причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

,

Функция () аналитична в круге радиуса больше единицы, и , если . Следовательно, и согласно п.3 теоремы 4 . Но тогда

и

, (55)

Так как , , то из (55) вытекает сходимость произведения , а значит, и сходимость ряда (51).

ОпределениеI.6.

Пусть - аналитическая в круге функция и , () - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также - кратность нуля функции при . Произведение

(56)

называется произведением Бляшке функции .

Справедлива

Теорема 6.

Каждая функция представима в виде

,

где не имеет нулей в круге и

, ,

а - произведение Бляшке функции .

Доказательство.

Пусть , () - нули функции ( или, что то же самое, нули функции ) Тогда, как отмечалось выше, - аналитическая в круге функция и

, . (57)

При этом функция также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и .

Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):

, , .

Так как для любого , то по теореме 4

и

, если .

Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что () равномерно по , мы получим

, ,

т.е. , .

Теорема 6 доказана.

ОпределениеI.7.

Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .

В силу теоремы 2

для п.в. . (58)

Установим, что для произвольной функции величина не превосходит (по порядку) значения максимальной функции *) в точке х, т.е.

, . (59)

Нам понадобится

утверждение 3.

а) если функция , то для любого

;

б) если функция , то ,

где - постоянная, зависящая только от числа р.

Пусть и . По определению интеграла Пуассона

Положим . Тогда будем иметь

и, в силу неравенства , , и периодичности ,

. (60)

Так как обе функции и положительны при и отрицательны при ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что , мы получим

. (61)

Для имеют место оценки

,

.

Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

при , (62)

если . Пусть , тогда

.

В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции , ,

, (63)

где - постоянная, зависящая только от .

Теорема 7.

Пусть (), и

, .

Тогда и

. (64)

Доказательство.

Утверждение теоремы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь . По теореме 6 , где , , если и . Из функции можно извлечь корень: существует функция такая, что , и, следовательно из (64) при р=2, получим

.

Оценка снизу для вытекает из (58).

Теорема 7 доказана.

Глава II. Атомические разложения функции

в пространстве , пространство ВМО.

§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из

пространству .

Рассмотрим () - пространство функций , являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства :

для п.в. , . (65)

Ранее мы доказали, что

, , (66)

и что - банахово пространство с нормой

; (67)

при этом, если в (65) , то

() . (68)

В замечании 3 уже говорилось о том, что при пространство совпадает с пространством и из утверждения 2 следует, что

().

Последнее соотношение теряет силу при - нетрудно проверить, что при

,

где

и, следовательно, существует функция , для которой . Таким образом, - собственное подпространство в . Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству .

ОпределениеII. 8.

Множество мы будем называть обобщенным интервалом, если - дуга на единичной окружности, т.е. - либо интервал из , либо множество вида

(). (69)

Точку назовем центром обобщенного интервала , если - центр дуги . Длиной обобщенного интервала естественно назвать величину

Определение II.9.

Действительную функцию назовем атомом, если существует обобщенный интервал такой, что

а) ;

б) ;

в) .

Атомом назовем также функцию , .

Теорема 8.

Для того, чтобы выполнялось включение: , необходимо и достаточно, чтобы функция допускала представление в виде *)

, , (70)

где , , - атомы. При этом

, (71)

где inf берется по всем разложениям вида (70) функции , а с и С - абсолютные константы.

Доказательство.

Достаточность.

Пусть для функции нашлось разложение вида (70). Покажем, что и . Для этого достаточно проверить, что для любого атома имеет место неравенство

. (72)

Пусть - такой обобщенный интервал, что

, , (73)

(случай тривиален). Так как , то нам остается доказать, что

. (74)

Для любого измеримого множества , применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим

, (75)

откуда сразу вытекает (74), в случае, когда .

Допустим теперь, что , и обозначим через обобщенный интервал длины с тем же центром, что и . Из (75) следует, что

.

Нам остается оценить интеграл . Мы воспользуемся очевидным неравенством

, ,

где - длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки и , а - абсолютная постоянная. В силу (73) при мы имеем

где - центр обобщенного интервала . Из последнего соотношения, учитывая, что и , мы находим

, , где .

Следовательно,

.

Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.

Необходимость.

Построим для данной функции разложение (70), для которого

.

Пусть функция с такова, что выполнено соотношение (65), и пусть () - нетангенциальная максимальная функция для , т.е.

, , (75')

где - область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей дугой окружности , заключенной между точками касания.

Теорема 7 утверждает, что , поэтому нам достаточно найти такое разложение функции на атомы (70), что

, (76)

где постоянные С и () не зависят от . Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число : пусть, например, . Не ограничивая общности, мы можем считать, что

. (77)

Рассмотрим на отрезке множества

, , (78)

Так как при любом множество точек единичной окружности открыто, то ясно, что при множество (если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

, при , , . (79)

Положим и при

(80)

Так как конечна для п.в. , то из определения функций , , следует, что для п.в. при , а значит, для п.в.

.

Отсюда, учитывая, что , а следовательно из (80), при , мы находим, что

, (81)

где - характеристическая функция множества . Из (81), учитывая, что , мы для функции получаем следующее разложение:

для п.в. , (82)

где

, , (83)

С помощью функций мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при ,

, . (84)

Докажем теперь, что для п.в.

, , (85)

где постоянная зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.

Так как из (65) и (75') для п.в. , то из (77) следует, что

.

Пусть теперь , - один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78) , и если , - концевые точки дуги () , то , а значит,

, . (86)

Из неравенств (86) согласно (75') следует, что

при . (87)

Легко видеть (учитывая, что и ) , что множества и пересекаются в одной точке:

с , . (88)

Пусть , , - отрезок, соединяющий точки и . Так как , , то из непрерывности функции при и неравенства (87) вытекает, что , если , , и . Поэтому , учитывая (88)

, ,, . (89)

Рассмотрим область , ограниченную отрезками и и дугой ; пусть, далее, для , , .

По теореме Коши [5] .

Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги справедливо равенство ,

мы получим

^.

Но в силу теорем 4 и 5

, ,

и так как , , то мы находим, что

. (89')

Легко видеть, что отношение ограничено сверху числом, зависящим только от s, поэтому

, . (90)

Так как , то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для , , справедливо неравенство (85). Для п.в. неравенство (85) сразу следует из определения функций и множеств .

Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что , а это значит, что функции

, , ,

являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции на атомы:

для п.в. ,

где , .

Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем

.

Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на , двойственность и ВМО.

Дадим описание пространства , сопряженного к банахову пространству . Нам потребуется

Определение II.10.

Пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

, (91)

где , а sup берется по всем обобщенным интервалам .

Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой

. (92)

Ясно, что . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция .

Теорема 9.

, т.е.

а) если , и для произвольной функции рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):

, , , - атомы *) (93)

и положить

, (94)

то сумма ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на ;

б) произвольный ограниченный линейный функционал на представим в виде (94), где . При этом

(С, С₁ - абсолютные постоянные).

Лемма 2.

Пусть функция такова, что для любого обобщенного интервала найдется постоянная , для которой

,

где М не зависит от . Тогда и .

Доказательство.

Для любого обобщенного интервала мы имеем

,

откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.

Следствие 2.

Если , то и

. (95)

Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что

для произвольного обобщенного интервала .

Доказательство теоремы 9.

а) Пусть . Положим

Так как всегда , то, учитывая равенства

, ,

,

мы с помощью следствия 2 находим

, (96)

Допустим, что ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение

, , (97)

где функции являются атомами и , и при

, , . (98)

Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при

.

Отсюда, учитывая, что функции , , по модулю не превосходят суммируемой функции и для п.в. , мы получим, что

.

Таким образом, равенством

, , (99)

определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в линейном многообразии (плотность функций из в вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции частные суммы разложения (70) сходятся к по норме , и, очевидно, принадлежат пространству ). Поэтому функционал можно единственным образом продолжить на все пространство :

, . (100)

Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции ряд (94) сходится и его сумма равна . Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к :

.

б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции

(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на , а следовательно, найдется функция с

, (101)

для которой

, . (102)

В частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом. Докажем, что

. (103)

Пусть I - произвольный обобщенный интервал, - произвольная функция с . Тогда функция

, ,

является атомом и в силу теоремы 8 . Поэтому

.

Подбирая в последнем неравенстве функцию оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I

,

что с учетом соотношения доказывает оценку (103).

Таким образом, для значение функционала совпадает со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство плотно в , то, следовательно,

для любой функции .

Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.

Литература

1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.

3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. —936с.

5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.

6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.

7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.

8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.

*) Мы считаем , что f (x) = 0 , если |x | > p .

*) Так как функция определялась для функций , заданных на , то мы дополнительно полагаем , если ; при и при .

*) В силу условий а) и в) в определении 9 , , поэтому ряд (70) сходится по норме пространства и п.в.

*) Возможен случай, когда при .