Шпаргалка: Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

Формулы сокращенного умножения

(а ± в)² = а² ± 2ав + в²

(а ± в)³ = а³ ± 3а² в + 3ав² ± в³

а² - в² = (а + в) (а - в)

а³ + в³ = (а + в) (а² - ав + в² )

а³ - в³ = (а - в) (а² + ав + в² )

(а + в + с)² = а² + в² + с² +2ав +2ас +2вс

Степени.

а^м а^н = а^{м + н}

а^м : а^н = а^{м - н}

(ав)^м = а^м в^м

(а^м )^н = а^мн

(а : в)^м = а^м : в^м

а^{- м} = 1 : а^м

а^{м : н} = ^н Ö а^м

Корни.

^н Öав =^н Öа ^н Öв

^н Öа ^м Öв = ^{н м} Öа^м в^н

^н Öа : в = ^н Öа :^н Öв

(^н Öа^м )^х = ^н Öа^{м х}

^н Öа^м = а^м/н

^м Ö^н Öа = ^мн Öа

(^н Öа)^м = ^н Öа^м

Арифметическая прогрессия.

а₁ , а₂ , а₃ , …, а_{n -1} , а_n

а_{n -1} - а_n = d

d – разность прогрессии

а₂ = а₁ + d

а₃ = а₂ + d = а₁ + 2d

а_n = а₁ + d(n-1)

Sn = (а₁ + а_n ) n = (2а₁ + ( n-1) d) n

2 2

Sn – сумма членов арифметической

прогрессии.

d – разность прогрессии.

d > 0 – прогрессия возрастающая

d < 0 – прогрессия убывающая.

Геометрическая прогрессия.

а₁ , а₂ , а₃ , …, а_{n -1} , а_n

а_{n +1} / а_n = q

а₂ = а₁ q

q - знаменатель прогрессии.

а₃ = а₂ q = а₁ q²

а_n = а₁ q^{n -1}

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = а_n q - а₁ = а₁ (qⁿ -1 : q – 1)

q – 1

Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)

Sn = а₁ (1 - qⁿ )

1 - q

Сумма членов бесконечно убывающей

Прогрессии

Sn = а₁

1 - q

Вектора.

а = М₁ М₂ ={х₂ – х₁ , у₂ – у₁ , z₂ –z₁ }

Длина вектора

çа ç=Ö(х₂ - х₁ )² +(у₂ - у₁ )² + (z₂ - z₁ )²

Умножение вектора на число

a а = d

Скалярное произведение векторов

а в = çа ççв çcosj

cosj = х₁ х₂ + у₁ у₂ + z₁ z₂

Öх₁ ² + у₁ ² +z₁ ² Öх₂ ² +у₂ ² + z₂ ²

а² = çа ç²

а в = х₁ х₂ + у₁ у₂ + z₁ z₂

Параллельность векторов

а ççв, то х₁ = у₁ = z₁

х₂ у₂ z₂

Перпендикулярность векторов

а ^ в, то х₁ х₂ + у₁ у₂ + z₁ z₂

Производная.

(c u)¢ = с u¢

u ¢ = u¢ v – u v¢

v v²

(c)¢ = 0

(xⁿ )¢ = n x^n-1

(a^x )¢= a^x ln a

(е^х )¢ =е^х

(sin x)¢ = cos x

(cos x)¢ = - sin x

(tg x)¢ = 1

cos² x

(ctg x)¢ = - 1

sin² x

(ln x)¢ = 1

х

(1 / х)¢ = - 1

х²

(Öх)¢ = 1

2 Öх

(х)¢ = 1

Логарифмы.

log_а в = с

log_а 1 = 0

log_а а = 1

log_а (mn) = log_а m + log_а n

log_а m = log_а m - log_а n

n

log_а mⁿ = nlog_а m

log_а ⁿ Öm = 1 log_а m

n

log_а в = log_с в

log_с а

Основные тригонометрические тождества

sin² x + cos² x = 1

tg x = sin x

cos x

ctg x = cos x

sin x

1 + ctg² x = 1

sin² x

1 + tg² x = 1

cos² x

tg x ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (a±b) = sina cosb± cosa sinb

cos (a±b) = cosa cosb± sina sinb

tg (a±b) = (tga± tgb)

(1 + tga tgb)

ctg (a±b) = ctga ctgb+ 1

ctgb±ctga

sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a-b)

2 2

sina- sinb = 2 cos (a + b) sin (a-b)

2 2

cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a-b)

2 2

cosa- cosb = - 2 sin (a + b) sin (a-b)

2 2

tga± tgb = sin (a±b)

cosa cosb

ctga± ctgb = sin (b±a)

sina sinb

sin² a- sin² b = cos² b- cos² a =

sin (a + b) sin (a-b)

cos² a- sin² b = cos² b- sin² a =

cos (a + b) cos (a-b)

Связь между тригонометрическими функциями

sina = ±Ö1 - cos² a

sina = tga

±Ö1 + tg² a

sina = 1

±Ö1 + ctg² a

cosa = ±Ö1 - sin² a

cosa = 1

±Ö1 + tg² a

cosa = ctga

±Ö1 + ctg² a

tga = sina

±Ö1 - sin² a

tga = ±Ö1 - cos² a

cosa

tga = 1

ctga

ctga = ±Ö1 - sin² a

sina

ctga = cosa

±Ö1 - cos² a

ctga = 1

tga

Формулы преобразования произведения

sina sinb = cos (a-b) - cos (a + b)

2

cosa cosb = cos (a-b) + cos (a + b)

2

sina cosb = sin (a + b) + sin (a-b)

2

tga tgb = tga + tgb

ctga + ctgb

ctga tgb = ctga + tgb

tga + ctgb

ctga ctgb = ctga + ctgb

tga + tgb

Формулы двойных углов

sin2a = 2 sina cosa

sina = 2 sin (a) cos (a)

cos2a = cos² a- sin² a =

= 1 - 2sin² a =

= 2cos² a- 1

tg2a = 2 tga

1 - tg² a

= 2

ctga- tga

tga = 2 tg (a/2)

1 - tg² (a/2)

ctg2a = ctg² a- 1

2 ctga

= ctga- tga

2

ctga = ctg² (a/2) - 1

2 ctg (a/2)

sin x = a

x = (-1)ⁿ arksin a + pn

cos x = a

x = ± arkcos a + 2pn

tg x = a

x = arktg a + pn

ctg x = a

x = arkctg a + pn

Формулы приведения

sin (p /2 -a) = + cosa

sin (p /2 + a) = + cosa

sin (p-a) = + sina

sin (p + a) = - sina

sin (3p/2 -a) = - cosa

sin (3p /2 + a) = - cosa

sin (2p-a) = - sina

sin (2p + a) = + sina

----------------

cos (p/2 -a) = + sina

cos (p/2 + a) = - sina

cos (p-a) = - cosa

cos (p + a) = - cosa

cos (3p/2 -a) = - sina

cos (3p/2 + a) = + sina

cos (2p-a) = + cosa

cos (2p + a) = + cosa

-----------------

tg (p/2 -a) = + ctga

tg (p/2 + a) = - ctga

tg (p-a) = - tga

tg (p + a) = + tga

tg (3p/2 -a) = + ctga

tg (3p/2 + a) = - ctga

tg (2p-a) = - tga

tg (2p + a) = + tga

-------------

ctg (p/2 -a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (p-a) = - ctga

ctg (p + a) = + ctga

ctg (3p/2 -a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (2p-a) = - ctga

ctg (2p + a) = + ctga

sin (-a) = - sina

cos (-a) = cosa

tg (-a) = - tga

В прямоугольном треугольнике

a² + b² = c²

a = c sina

a = b tga

b = c cosa

теорема синусов:

a = b = c

sina sinb sing

теорема косинусов:

a² = b² + c² - 2 bc cosa

S = ½ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = ½ d₁ d₂ sina,

d₁ и d₂ - диагонали

a - угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sina

S = ½ d₁ d₂ sina

Трапеция

S = a + b h = ½ d₁ d₂ sina

2

Круг

S = l r = p r²

2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sina

Формула Герона:

S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)

p = a +b + c

2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

где Р – периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c

4S

радиус вписанной окружности:

r = 2S

a + b + c

длина окружности:

l = 2pr

Квадрат

S = a² = d² /2

Ромб

S = a² sina = ah = ½ dD

где d - малая диагональ

D - большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = S_осн h

Куб

V = abc = a³

Призма

V = S_осн h = S_{^ сеч} l

l - г рань призмы

Пирамида

V = 1/3 S_осн h

Цилиндр

V = S_осн h = pr² h = 1/4pd² h

r - радиус основания

d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 S_осн h = 1/3 pr² h

Шар

V = 4/3 pr³

Площади поверхностей

Призма

S_п = S_бок + 2S_осн

S_бок = ph = S_{^ сеч} l

p = a + b +c

Куб

S_п = 6a²

Пирамида четырехугольная

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = ½ P_осн h

h – высота боковой грани

Пирамида треугольная

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = S_осн cosj

j - угол наклона грани

Цилиндр

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = 2prh

S_осн = 2pr (h + r)

Конус

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = prl

S_осн = pr (l + r)

Параллелепипед

S_п = S_бок + 2S_осн

S_бок = P_осн l

Шар

S = 4 pr²

Значения углов

a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p

sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0

cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1

tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0

ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -