Профильное обучение

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ПОДГОТОВЛЕННЫХ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ «Алгебра и начала анализа 10-11. Ч.1.Учебник», автор А.Г. Мордкович и др. при изучении КУРСА «АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА, 10-11»

на базовом и профильном уровне

Допущено МО РФ

Мнемозина, 2004

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ПОДГОТОВЛЕННЫХ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ ДЛЯ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА «АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА, 10-11»

НА ПРОФИЛЬНОМ УРОВНЕ

(в соответствии с проектом стандарта)

Допущено МО РФ

Мнемозина, 2004

Пояснительная записка

В настоящее время в общеобразовательных школах России, наряду с другими учебниками, используется учебник «Алгебра и начала анализа,10-11», состоящий из двух частей:

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник.

А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 2.

Задачник.

Эти две книги издательства «Мнемозина» выдержали с 2000 года несколько изданий; общий тираж каждого из двух наименований составляет свыше 300000 экз.

К учебнику имеется методическое обеспечение :

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Пособие для учителей.

А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская. Алгебра и начала анализа 10-11. Контрольные работы.

Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова. Алгебра и начала анализа 10-11. Тематические тесты и зачеты (под ред. А.Г.Мордковича).

Указанные книги входят с состав комплекта, за который авторский коллек- тив под руководством А.Г.Мордковича удостоен премии Президента РФ в области образования за 2001 год.

В связи с появлением проекта стандарта математического образования возникает естественная проблема адаптации имеющихся учебников к новым условиям: как обеспечить преподавание математики на профильном уровне и как обеспечить преподавание математики на базовом уровне. Об этом и идет речь в настоящих рекомендациях.

В пояснительной записке к стандартам сказано: «В современной российской школе математика изучается на трех уровнях, которые условно обозначаются как «углубленный», общий («курс Б») и «гуманитарный» («курс А»). Эта традиция сохраняется в проекте стандарта по математике. Наряду с профильным и базовым уровнем фиксируются и требования к уровню подготовки выпускников для «общекультурного» уровня. Поэтому в данных методических рекомендациях речь идет

о том, как использовать указанные выше учебные и методические пособия на всех трех уровнях и что сделал и предполагает в дальнейшем сделать наш авторский коллектив, чтобы обеспечить полноценную реализацию стандарта на всех трех уровнях.

Структура рекомендаций

1 . Выдержка из обязательного минимума содержания (профильный уровень) по разделу «Алгебра и начала анализа»; жирным шрифтом выделено то, чего нет

в изданном комплекте.

2 . Комментарии по преподаванию в профильной школе выделенного материала с помощью пособий авторского коллектива под руководством А.Г.Мордко- вича, изданных или готовящихся к изданию издательством «Мнемозина».

3 . Список литературы (основной, дополнительной и готовящейся к печати).

4 . Примерное поурочное планирование курса алгебры и начал анализа

в 10 классах профильной школы в двух вариантах: из расчета 7 или 6 недельных часов на математику, в том числе 5 часов или, соответственно, 4 часов в неделю на курс алгебры и начал анализа.

5 . Примерное поурочное планирование курса алгебры и начал анализа

в 11 классах профильной школы в двух вариантах: из расчета 7 или 6 недельных часов на математику, в том числе 5 часов или, соответственно, 4 часов в неделю на курс алгебры и начал анализа.

6 . Выдержка из обязательного минимума содержания (базовый уровень)

по разделу «Алгебра и начала анализа»; жирным шрифтом выделено то, чего нет

в изданном комплекте.

7 . Комментарии по преподаванию в общеобразовательной школе выделенного материала с помощью пособий авторского коллектива под руководством А.Г.Мордковича, изданных или готовящихся к изданию издательством «Мнемозина».

8. . Список литературы (основной, дополнительной и готовящейся к печати).

9 . Примерное поурочное планирование курса алгебры и начал анализа

в 10 классах общеобразовательной школ: (из расчета 3 часа в неделю на этот курс).

10 . Примерное поурочное планирование курса алгебры и начал анализа

в 11 классах общеобразовательной школы (из расчета 3 часа в неделю).

11. Предложения по реализации курса А.

1. Обязательный минимум содержания
основных образовательных программ

(профильный уровень)

ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения. Решение задач с целочисленными неизвестными.

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.

Корень степени n >1 и его свойства. Степень с рациональным показателем

и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е .

Преобразования выражений, включающих арифметические операции,

а также операции возведения в степень и логарифмирования.

Тригонометрия

Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента . Преобразования тригонометрических выражений.

Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства .

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.

ФУНКЦИИ

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной .

Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций.

Тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Показательная функция (экспонента), её свойства и график.

Логарифмическая функция, её свойства и график.

Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой , растяжение и сжатие вдоль осей координат.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотон- ной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в нера- венствах.

Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты.

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл про- изводной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разно- сти, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций . Вторая производная. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, при решении текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений.

Площадь криволинейной трапеции. Понятие об определенном интеграле. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила вычисления первообразных. Формула Ньютона-Лейбница.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений и неравенств.

Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение систем уравнений с двумя неизвестными простейших типов. Решение систем неравенств с одной переменной.

Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом

и среднем геометрическом двух чисел.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных .

Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события .

2. Комментарии

Выпишем отдельно тот материал стандарта, которого нет в явном виде

в учебнике А.Г.Мордковича. В каждом пункте указано, в каких наших изданиях можно найти соответствующий материал.

1) Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения. Решение задач с целочисленными неизвестными.

Литература:

А.Г.Мордкович. Алгебра-8. Учебник для классов с углубленным изучением математики. Мнемозина, 2002.

Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский. Алгебра-8. Задачник для классов с углублен-

ным изучением математики. Мнемозина, 2002.

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000.

2) Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Литература:

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000.

А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа -10 (профильный уровень). Часть 1. Учебник (готовится к изданию издательством «Мнемозина»).

А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа-10 (профильный уровень). Часть 2. Задачник (заканчивается работа над рукописью).

3) Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.

Литература:

А.Г.Мордкович. Алгебра-8. Учебник для классов с углубленным изучением математики. Мнемозина, 2002.

Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский. Алгебра-8. Задачник для классов с углублен-

ным изучением математики. Мнемозина, 2002.

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000.

4) Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Производные сложной и обратной функций . Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Литература:

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000.

А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа -10 (профильный уровень). Часть 1. Учебник (готовится к изданию издательством «Мнемозина»).

А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа-10 (профильный уровень). Часть 2. Задачник (заканчивается работа над рукописью).

5) Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом

и среднем геометрическом двух чисел.

Этот материал есть в нашем учебнике алгебры для 9 класса.

6) Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Литература:

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000.

А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9. Мнемозина, 2003.

А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа -10 (профильный уровень). Часть 1. Учебник (готовится к изданию издательством «Мнемозина»).

А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа-10 (профильный уровень). Часть 2. Задачник (заканчивается работа над рукописью).

3. Список литературы

Изданные книги – основные (Мнемозина)

1.. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. 2003.

Гриф – рекомендовано .

2. А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 2. Задачник. 2003. Гриф – рекомендовано.

3. А.Г.Мордкович . Алгебра и начала анализа 10-11. Пособие для учителей. 2003. Гриф – допущено.

4. А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская. Алгебра и начала анализа 10-11. Контрольные работы. 2003. Гриф – допущено.

5.. Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова. Алгебра и начала анализа 10-11. Тематические тесты и зачеты (под ред. А.Г.Мордковича). 2003. Гриф – допущено.

Дополнительная литература:

6. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9. Мнемозина, 2003.

7. А.Г.Мордкович. Алгебра-8. Учебник для классов с углубленным изучением математики. Мнемозина, 2002. Гриф – допущено.

8. Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский. Алгебра-8. Задачник для классов

с углубленным изучением математики. Мнемозина, 2002. Гриф – допущено.

9. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000.

Книги, готовящиеся к изданию к началу 2004/05 уч. года (Мнемозина)

10. А.Г.Мордкович. Алгебра-9. Учебник для классов с углубленным изучением математики. Гриф – допущено.

11. Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский. Алгебра-9. Задачник для классов

с углубленным изучением математики.

12. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа -10 (профильный уровень). Часть 1. Учебник.

13. А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа-10 (профильный уровень). Часть 2. Задачник.

4. Примерное планирование курса алгебры и начал анализа (профильный уровень)

10 класс

5ч 4ч

в неделю

___________________________

Глава 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1. Натуральные и целые числа. Делимость чисел 5 3

1) Делимость натуральных чисел

2) Признаки делимости

3) Простые и составные числа

4) Деление с остатком

5) Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

нескольких натуральных чисел

6) Основная теорема арифметики натуральных чисел

2. Рациональные числа 2 2

3. Иррациональные числа 2 1

4. Множество действительных чисел 3 2

1) Действительные числа и числовая прямая

2) Числовые неравенства

3) Числовые промежутки

4)* Аксиоматика действительных чисел

5. Модуль действительного числа 2 2

6. Метод математической индукции 3 2

___________________________________________________________________

Итого: 17 12

Глава 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

7. Определение числовой функции и способы ее задания 2 2

8. Свойства функций 3 3

9. Периодические функции 2 1

10. Обратная функция 3 2 __________________________________________________________________ Итого: 10 9

Глава 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

11. Числовая окружность 2 2

12. Числовая окружность на координатной плоскости 3 2

13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс 3 3

14. Тригонометрические функции числового аргумента 3 3

15. Тригонометрические функции углового аргумента 2 1

16. Функции y = sin x , y = соs x , их свойства и графики 4 4

17. Построение графика функции 2 2

18. Построение графика функции 2 2

19. График гармонического колебания 2 1

20. Функции y = tg x , y = ctg x , их свойства и графики 3 3

21. Обратные тригонометрические функции 5 3

1. Функция y = arcsin x

2. Функция y = arccos x

3. Функция y = arctg x

4. Функция y = arcctg x

5*. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

______________________________________________________________________

Итого: 31 26

Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

22. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства 5 5

23. Методы решения тригонометрических уравнений 5 5

1) Метод замены переменной

2) Метод разложения на множители

3) Однородные тригонометрические уравнения

________________________________________________________________

Итого: 10 10

Глава 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

24. Синус и косинус суммы и разности аргументов 4 3

25. Тангенс суммы и разности аргументов 2 2

26. Формулы приведения 2 2

27. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени 4 3

28. Преобразование сумм тригонометрических функций 3 2

в произведение

29.Преобразование произведений тригонометрических функций 2 2

в сумму

30. Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду C sin(x + t ) 2 1

31. Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение) 5 3

____________________________________________________________________

Итого: 24 18

Глава 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

32. Комплексные числа и арифметические операции над ними 2 2

33. Комплексные числа и координатная плоскость 2 2

34. Тригонометрическая форма записи комплексного числа 3 2

35. Комплексные числа и квадратные уравнения 2 2

36. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение 3 2

кубического корня из комплексного числа

_____________________________________________________________________

Итого: 12 10

Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ

37. Числовые последовательности 3 2

1) Определение числовой последовательности и способы ее задания

2) Свойства числовых последовательностей

38. Предел числовой последовательности 3 2

1) Определение предела последовательности

2) Свойства сходящихся последовательностей

3) Вычисление пределов последовательностей

4) Сумма бесконечной геометрической прогрессии

39. Предел функции 4 3

!) Предел функции на бесконечности и в точке

2) Приращение аргумента. Приращение функции

40. Определение производной 3 3

1) Задачи, приводящие к понятию производной

2) Определение производной

41. Вычисление производных 6 5

1) Формулы и правила дифференцирования

2) Понятие и вычисление производной n -го порядка

42. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование 3 2

обратной функции

43. Уравнение касательной к графику функции 3 3

44. Применение производной для исследования функций: 6 4

1) Исследование функций на монотонность и экстремумы

2) Применение производной для доказательства тождеств и неравенств

45. Построение графиков функций 3 3

46. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших

значений величин 6 4

1) Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной

функции на промежутке

2) Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

___________________________________________________________________

Итого: 40 31

Глава 8. КОМБИНАТОРИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ

47. Правило умножения. Комбинаторные задачи. Перестановки

и факториалы 3 2

48. Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты 3 2

49. Случайные события и их вероятности 3 2

50. Табличное и графическое представление данных 2 2

______________________________________________________________

Итого: 11 8

Повторение 15 12

_______________________

Всего 170 136

Использование указанной выше литературы (см. п.3)

§ 1-5 – 7, 8

§ 6-8 – 9, 10, 11

§ 9-10 – 9

§ 11-20 – 1-5

§ 21 – 9

§ 22-31 – 1-5

§ 32-36 – 9

§ 37-41 – 1-5

§ 42 – 9

§ 43-46 – 1-5

§ 47-50 – 6, 9

Примечание: Полное соответствие указанной выше программе содержится в готовящихся к изданию книгах 12 и 13.

5. Примерное планирование курса алгебры и начал анализа (профильный уровень)

11 класс

5ч 4ч

в неделю

___________________________

Глава 1 . ИНТЕГРАЛ

1. Первообразная и неопределенный интеграл 3 3

2. Определенный интеграл: 6 6

1) задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

2) определенный интеграл, его вычисление и свойства

3) вычисление площадей плоских фигур

4) примеры применения интеграла в физике

___________________________________________

Итого: 9 9

Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ. СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ

3. Понятие корня n -й степени из действительного числа 2 2

4. Функции , их свойства и графики 4 3

5. Свойства корня n -й степени 4 3

6. Преобразование выражений, содержащих радикалы 5 4

7. Обобщение понятия о показателе степени 4 4

8. Степенные функции, их свойства и графики (включая 5 4

дифференцирование и интегрирование степенной функции

с рациональным показателем)

_______________________________________

Итого: 24 20

Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

9. Показательная функция, ее свойства и график 4 3

10. Показательные уравнения 4 3

11. Показательные неравенства 3 2

12. Понятие логарифма 2 2

13. Функция , ее свойства и график 3 3

14. Свойства логарифмов 4 4

15. Логарифмические уравнения 5 4

16. Логарифмические неравенства 5 4

17. Переход к новому основанию логарифма 4 2

18. Дифференцирование показательной и логарифмической функций 4 3

_____________________________________________

Итого: 38 30

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ

И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

19. Числовые характеристики рядов данных. 2 2

20. Решение комбинаторных задач. Формулы числа перестановок,

сочетаний, размещений. 4 3

21. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных

коэффициентов. Треугольник Паскаля. 3 3

22. Независимые повторения испытаний с двумя исходами.

Вероятность и статистическая частота наступления события. 5 4

_________________________________________

Итого: 14 12

Глава 5. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

И НЕРАВЕНСТВ

23. Равносильность уравнений 4 3

24. Общие методы решения уравнений 5 4

25. Многочлены от одной переменной: делимость многочленов, 4 3

деление многочленов с остатком, теорема Безу, число корней многочлена

26. Уравнения высших степеней 4 3

27. Уравнения с модулями 3 2

28. Иррациональные уравнения 4 3

29. Решение рациональных неравенств с одной переменной 5 4

30. Неравенства с модулями 3 2

31. Иррациональные неравенства 3 2

32. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного 4 3

умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Симметрические многочлены

33.Уравнения и неравенства с двумя переменными 2 2

34.Диофантовы уравнения 2 2

35.Системы уравнений 6 4

36.Уравнения и неравенства с параметрами 6 4

_____________________________________

Итого: 55 41

Повторение 30 24

_______________________

Всего 170 136

Использование указанной выше литературы (см. п.3)

§ 1-18 – 1-5

§ 19-22 – 6

§ 25-28 – 7,8

§ 29-31 – 1-5, 10-11

§ 35-36 – 1-5, 7-8, 10-11

Примечание: Полное соответствие указанной выше программе будет содержаться в готовящихся книгах:

А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа - 11 (профильный уровень). Часть 1. Учебник.

А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа-11 (профильный уровень). Часть 2. Задачник.

6. Обязательный минимум содержания
основных образовательных программ

(базовый уровень)

АЛГЕБРА

Корни и степени. Корень степени n >1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный

и натуральный логарифмы, число е.

Преобразования простейших выражений, включающих арифметические операции, а также операцию возведения в степень и операцию логарифмирования.

Основы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента . Преобразования простейших тригонометрических выражений.

Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства .

Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

ФУНКЦИИ

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график.

Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций.

Тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период.

Показательная функция (экспонента), её свойства и график.

Логарифмическая функция, её свойства и график.

Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой , растяжение и сжатие вдоль осей координат.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Понятие о непрерывности функции.

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной .

Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений.

Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных .

Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события . Решение практических задач с применением вероятностных методов.

7. Комментарии

Выпишем отдельно тот материал стандарта, которого нет в явном виде

в учебнике А.Г.Мордковича. В каждом пункте указано, в каких наших изданиях можно найти соответствующий материал.

1) Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Производные обратной функции

Литература:

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000.

6) Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Литература:

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000.

А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9. Мнемозина, 2003.

Примечание. Весь недостающий материал будет в новом издании имеющегося нашего учебника для общеобразовательной школы.

8. Список литературы

Изданные книги – основные (Мнемозина)

1.. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. 2003.

Гриф – рекомендовано .

2. А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 2. Задачник. 2003. Гриф – рекомендовано.

3. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Пособие для учителей. 2003. Гриф – допущено.

4. А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская. Алгебра и начала анализа 10-11. Контрольные работы. 2003. Гриф – допущено.

5.. Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова. Алгебра и начала анализа 10-11. Тематические тесты и зачеты (под ред. А.Г.Мордковича). 2003. Гриф – допущено.

Дополнительная литература:

6. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9. Мнемозина, 2003.

7. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа (для поступающих в вузы). Вербум-М, 2000.

9. Примерное планирование курса алгебры и начал анализа

( базовый уровень)

10 класс (3 ч в неделю)

Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

1. Определение числовой функции и способы ее задания 2

2. Свойства функций 3

3. Преобразования графиков (параллельный перенос, симметрия

относительно осей координат и относительно начала координат 3

4. Периодические функции 2

5. Обратная функция 2

___________________________________________________________________

Итого: 12

Глава 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

6. Числовая окружность 2

7. Числовая окружность на координатной плоскости 2

8. Синус и косинус. Тангенс и котангенс 3

9. Тригонометрические функции числового аргумента 3

10. Тригонометрические функции углового аргумента 1

11. Функции y = sin x , y = соs x , их свойства и графики 4

12. Построение графика функции 2

13. Построение графика функции 2

14. График гармонического колебания 1

15. Функции y = tg x , y = ctg x , их свойства и графики 3

16. Обратные тригонометрические функции 3

______________________________________________________________________

Итого: 26

Глава 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

17. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства 5

18. Методы решения тригонометрических уравнений 5

1) Метод замены переменной

2) Метод разложения на множители

3) Однородные тригонометрические уравнения

________________________________________________________________

Итого: 10

Глава 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

19. Синус и косинус суммы и разности аргументов 3

20. Тангенс суммы и разности аргументов 2

21. Формулы приведения 2

22. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени 3

23. Преобразование сумм тригонометрических функций 2

в произведение

24. Преобразование произведений тригонометрических функций 2

в сумму

25. Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду C sin(x + t ) 1

____________________________________________________________________

Итого: 15

Глава 5. ПРОИЗВОДНАЯ

26. Числовые последовательности 2

1) Определение числовой последовательности и способы ее задания

2) Свойства числовых последовательностей

27. Предел числовой последовательности 3

1) Определение предела последовательности

2) Свойства сходящихся последовательностей

3) Вычисление пределов последовательностей

4) Сумма бесконечной геометрической прогрессии

28. Предел функции 3

1) Предел функции на бесконечности и в точке

2) Приращение аргумента. Приращение функции

29. Определение производной 3

1) Задачи, приводящие к понятию производной

2) Определение производной

30. Вычисление производных 6

1) Формулы и правила дифференцирования

2) Вторая производная и ее физический смысл

3) Дифференцирование обратной функции

31. Уравнение касательной к графику функции 3

32. Применение производной для исследования функций 4

на монотонность и экстремумы

33. Построение графиков функций. Асимптоты. График

дробно-линейной функции 3

34. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших

значений величин 4

1) Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной

функции на промежутке

2) Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

___________________________________________________________________

Итого: 31

Повторение 8

_______________________

Всего 102

Использование указанной выше литературы:

§ 1-4 – 1-5

§ 5 – 7

§ 6-15 – 1-5

§ 16 – 1-5,7

§ 17-34 – 1-5

10. Примерное планирование курса алгебры и начал анализа

( базовый уровень)

11 класс (3 ч в неделю)

Повторение курса 10 класса 6

Глава 1 . ИНТЕГРАЛ

1. Первообразная 2

2. Определенный интеграл и его применения 5

__________________________

итого: 7

Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ. СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ

3. Понятие корня n -й степени из действительного числа 2

4. Функции , их свойства и графики 3

5. Свойства корня n -й степени 3

6. Преобразование выражений, содержащих радикалы 4

7. Обобщение понятия о показателе степени 3

8. Степенные функции, их свойства и графики (включая 5

дифференцирование и интегрирование) _______________________

итого: 20

Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

9. Показательная функция, ее свойства и график 3

10. Показательные уравнения 3

11. Показательные неравенства 2

12. Понятие логарифма 2

13. Функция , ее свойства и график 3

14. Свойства логарифмов 3

15. Логарифмические уравнения 3

16. Логарифмические неравенства 3

17. Переход к новому основанию логарифма 2

18. Дифференцирование показательной и логарифмической функций 3

__________________________

итого: 27

Глава 4. КОМБИНАТОРИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ

19. Правило умножения. Перестановки и факториалы 2 20. Выбор нескольких элементов. Сочетания и размещения 2

21. Формула бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов 2

Треугольник Паскаля

22. Случайные события и их вероятности 2

23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами 2

24. Табличное и графическое представление данных. Числовые

характеристики рядов данных. Вероятность и статистическая частота 3

наступления события ______________________________________________________________

Итого: 13

Глава 5.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

25. Равносильность уравнений 2

26. Общие методы решения уравнений 4

27. Решение неравенств с одной переменной 4

28. Системы уравнений 4

29. Уравнения и неравенства с параметрами 3

__________________________

итого: 15

Повторение 14

_______________________

Всего 102

Использование указанной выше литературы:

§ 1-18 – 1-5

§ 19-24 – 6, 7

§ 25-29 – 1-5

12. Предложения по реализации курса А

Издательство «Мнемозина» готовит к изданию к началу 2004/05 уч. года новые учебные пособия:

А.Г.Мордкович, И.И.Смирнова. Математика-10.

А.Г.Мордкович, И.И.Смирнова. Математика-11.

Курс «Математика 10-11 рассчитан на 3 ч. в неделю и включает в себя два предмета – алгебру и начала анализа и геометрию. Строить изучение курса учитель может по традиционной схеме: 2 ч. в неделю на курс алгебры и начал анализа и 1 ч. в неделю на курс геометрии. Но целесообразнее подавать материал цельными блоками, завершая каждый блок контрольной работой. Тогда практически каждая контрольная работа будет содержать в себе и алгебраический, и геометрический материал. Ниже приведен вариант соответствующего поурочного планирования; номера параграфов указаны по двум упомянутым выше учебным пособия (авторы – А.Г.Мордкович и И.М.Смирнова).

Примерное поурочное планирование курса «Математика-10»

Первый блок (11 ч.)

История возникновения и развития стереометрии (§ 30) 1

Основные понятия стереометрии (§ 31) 2

Пространственные фигуры (§ 32) 1

Параллельность прямых в пространстве (§ 33) 2

Параллельность прямой и плоскости (§ 34) 2

Параллельность двух плоскостей (§ 35) 2

Контрольная работа № 1 1

Второй блок ( 13 ч.)

Числовая окружность (§ 1) 2

Числовая окружность на координатной плоскости (§ 2) 2

Синус и косинус. Тангенс и котангенс (§ 3) 3

Тригонометрические функции числового аргумента (§ 4) 2

Тригонометрические функции углового аргумента (§ 5) 1

Формулы приведения (§ 6) 2

Контрольная работа № 2 1

Третий блок (14 ч.)

Параллельное проектирование (§ 36) 1 Параллельные проекции плоских фигур (§ 37) 2 Изображение пространственных фигур на плоскости (§ 38) 2 Сечения многогранников (§ 39) 2

Функция y = sin x , ее свойства и график (§ 7) 2

Функция y = соs x , ее свойства и график (§ 8) 1

Периодичность функций y = sin x , y = соs x (§ 9) 1

Функции y = tg x , y = ctg x, их свойства и графики (§ 11) 1

Контрольная работа № 3 1

Четвертый блок (9 ч.)

Арккосинус и решение уравнения cos t = a (§ 12) 2

Арксинус и решение уравнения sin t = a (§ 13) 2

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a ,

ctg x = a (§ 14) 1

Тригонометрические уравнения (§ 15) 3

Контрольная работа № 4 1

Пятый блок (9ч.)

Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность

прямых (§ 40) 2 Перпендикулярность прямой и плоскости. Ортогональное

проектирование (§ 41) 2 Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой

и плоскостью (§ 42) 2

Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей (§ 43) 2

Контрольная работа № 5 1

Шестой блок (9 ч.)

Синус и косинус суммы и разности аргументов 2

Тангенс суммы и разности аргументов 1

Формулы двойного аргумента 2

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение 3 Контрольная работа № 6 1

Седьмой блок (13 ч.)

Предел функции (§ 21) 3.

Определение производной (§ 22) 3

Вычисление производных (§ 23) 4

Уравнение касательной к графику функции (§ 24) 2

Контрольная работа № 7 1

Восьмой блок (16 ч.)

Многогранные углы (§ 45) 2

Выпуклые многогранники (§ 46) 2

Правильные многогранники (§ 47) 2

Применение производной для исследования функций

на монотонность и экстремумы (§ 25) 3

Построение графиков функций (§ 26) 2

Применение производной для отыскания наибольших

и наименьших значений величин (§ 27) 3

Контрольная работа № 8 2

Повторение 8

___________________________________

всего: 102ч

Примерное поурочное планирование курса «Математика-11»

Первый блок (13 ч.)

Первообразная (§ 1) 3

Определенный интеграл (§ 2) 3

Цилиндр, конус (§ 23) 2

Тела вращения (§ 24) 2

Взаимное расположение сферы и плоскости (§ 25) 2

Контрольная работа № 1 1

Второй блок ( 12 ч.)

Симметрия пространственных фигур (§ 29) 2

Понятие корня n -й степени из действительного числа (§ 3) 2

Функции , их свойства и графики (§ 4) 2

Свойства корней n -й степени (§ 5) 2

Преобразование выражений, содержащих радикалы (§ 6) 3

Контрольная работа № 2 1

Третий блок (12 ч.)

Обобщение понятия о показателе степени (§ 7) 2

Степенные функции, их свойства и графики (§ 8) 3

Объем пространственного тела. Объем цилиндра (§ 31) 1

Принцип Кавальери (§ 32) 1

Объем пирамиды (§ 33) 2

Объем конуса (§ 34) 2

Контрольная работа № 3 1

Четвертый блок (11 ч.)

Объем шара (§ 35) 2

Площадь поверхности (§ 36) 1

Площадь поверхности шара (§ 37) 2

Показательная функция, ее свойства и график (§ 9) 2

Показательные уравнения и неравенства (§ 10) 3

Контрольная работа № 4 1

Пятый блок (14 ч.)

Понятие логарифма (§ 11) 2

Функция , ее свойства и график (§ 12) 2

Свойства логарифмов (§ 13) 2

Логарифмические уравнения (§ 14) 3

Логарифмические неравенства (§ 15) 2

Дифференцирование показательной

и логарифмической функций (§ 17) 2

Контрольная работа № 5 1

Шестой блок (14 ч.)

Равносильность уравнений (§ 18) 2

Общие методы решения уравнений (§ 19) 3

Решение неравенств с одной переменной (§ 20) 4

Системы уравнений (§ 21) 3

Контрольная работа № 6 2

Седьмой блок (10 ч.)

Прямоугольная система координат в пространстве (§ 38) 1

Векторы в пространстве (§ 39) 2

Координаты вектора (§ 40) 2

Скалярное произведение векторов (§ 41) 2

Уравнение плоскости в пространстве (§ 42) 2

Контрольная работа № 7 1

Повторение 16

___________________________________

всего: 102ч