Реферат: Л. А. Семенко (Методические рекомендации из опыта работы в 7 9 классах)

Л.А. Семенко

(Методические рекомендации из опыта работы в 7 – 9 классах)

Отрадная 2006 г.

Уравнения с модулем.

Основные виды уравнений и способы их решений.

1. Повторение.

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х, т.е. ‌‌ ‌‌| x |, называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное:

‌‌| x |=

2. Геометрический смысл модуля.

Каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, для которой это число является координатой. Абсолютная величина этого числа – это расстояние соответствующей точки оси до начала координат. Например: х = а и х = – а удалены от начала координат на | а|.

– а 0 а

. . . х

|←| а| = |– а| →|← | а| →|

Геометрически, абсолютная величина, (модуль) действительного числа есть расстояние от точки, изображающей это число на числовой оси, до начала координат.

Способы решения простейших уравнений с модулями.

1. | x | = с ( действительное число)

| x | = с

Примеры: | x |= 5, х = ± 5;

| x |= 0, х = 0;

| x |= –5, х ø;

2. | f ( x )| = b , b >0

| f ( x )| = b

| f ( x )| = b , или | f ( x )| = – b

Примеры:

а). | x +2 |= 7

x +2 = 7 или x +2 = – 7

x = 5; x = –9

Ответ: 5 ; –9.

б). | x ² –8 |= 1

x ² –8 = 1 или x ² –8 = –1

x ² =9; x ² =7

х_1,2 =± 3 х_3,4 = ±

Ответ: ± 3; ± .

в). | x ² – 4х |= 4

x ² – 4х = 4 или x ² – 4х = – 4

x ² – 4х – 4=0; x ² – 4х + 4=0

х_1,2 =2 ± 2 ; х_3,4 = 2

Ответ: 2 ± 2 ; 2.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. |5 x +1 |=4 | x ² – 4 |= 5 | x – |=

2. | x – 5 |=4 | x ² – 2х |= 3 | 3– 4х |= 3

3. |2х–5 |= 3 | x ² – 2х |= 1 | x ² – х–1 |= 1

4. | 3– 4х |= 1 | x ² – 3х |= 2 | x ² –х–5 |=1

5. | 5– 4х |= 3 | x ² + 3х |= 2 | x ² –5х+6|=2

3. | f ( x )| = g ( x ), g ( x ) = ≥0.

По смыслу модуля это уравнение может иметь решение, если правая часть g ( x ) = ≥ 0 ( неотрицательна ). Значит, раскрывая модуль при g ( x ) = ≥ 0 имеем два уравнения:

f ( x ) = g ( x ) или f ( x ) = – g ( x ) . То есть

| f ( x )| = g ( x )

Примеры:

а). |2х–3 |= х – 2

х – 2 ≥ 0 х ≥ 2

2х–3 = х – 2 или 2х–3 = – ( х – 2 )

х₁ = 1 х₂ =

. . . . х

0 1 2

Ответ: х ø

б). |2х–1 |= 5х – 10.

5х – 10 ≥ 0, 5х ≥ 0, х ≥ 2

2х–1 = 5х – 10 или 2х–1 = – ( 5х – 10)

2х–5х = 1 – 10 2х+5х = 1 + 10

–3х = – 9 7х = 11

х= 3 х =

. . . . . х

0 1 2 3

Ответ: х = 3

б). | х–1 |=1 – х²

1 – х² ≥ 0, (1 – х) (1 + х ) ≥ 0, –( х +1)( х–1) ≥ 0,

( х +1)( х–1) ≤ 0, –1 ≤ х ≤ 1.

х–1 =1 – х² или х–1 = х² – 1

х² + х – 2 = 0 –х² + х = 0

х₁ = – 2 х₃ = 0

х₂ = 1 х₄ = 1

. . . . х

–2 –1 0 1

Ответ: х = 0; 1.

Упражнения для самостоятельной работы:

1). |х+2 |= 6 – 2х 11).|2х² – 1|= х ² – 2х + 3

2).|3х – 7|=2х + 1 12).|5 – х² |= х² – 7

3).|х – 1|=х + 8 13).|х² +3х|=1 – х

4).|х+3 |=3(4 – х) 14).|х² +3х– 4|= х ² – 7х – 2

5).|х² –3х|=4 – х 15).|х² +3х+2|= (5х +16)

6). |х² +3х– 10|=3х – 1 16). |х² – 4|=х + 2

7). |х² –4х– 12|=6– х 17). |х² –х + 3|= – х – 1

8). |х² –4х+ 3|=2х–2 18). |х² +2х–5| =(х–1)

9). |х² –7х+ 12|= х² +8х– 3 19). |3х+3 |= 4 – 4х²

10).|х – 1|= 3х² 20). |х| = 1 – х² – 3х

4. | ± f ( x )| = f ( x ).

Решение данного уравнения равносильно решению неравенства f ( x ) ≥ 0, т.е. | ± f ( x )| = f ( x ) f ( x ) ≥ 0.

Примеры:

а). |х–8 |= х – 8

х – 8 ≥ 0,

х ≥ 8

Ответ: [8; + ∞).

б). |х| = – х.

Это уравнение можно рассматривать как уравнение

| –(–х)|= – х, поэтому – х ≥ 0, х ≤ 0.

Ответ:( – ∞; 0].

в). | х² + х–6 |= х² + х–6

х² + х–6 ≥ 0; (х+3)( х –2 ) ≥ 0

х₁ = –3 х₂ = 2

. . х

-3 2

Ответ:( – ∞; -3] [2; + ∞).

в). |4х–7 |= 7 – 4х

| –(7 – 4х) |= 7 – 4х;

7 – 4х ≥ 0; – 4х ≥ –7 ; х = , х ≤

. х

Ответ:( – ∞; ].

Упражнения для самостоятельной работы:

1). |х–2 |= х – 2 6). | х² –8 х+ 12 |= х² –8 х+ 12

2). |х| = х = 0 7). |2 х² –8 х+ 6 |= 2 х² –8 х+ 6

3). 7 – 4х = |4х–7 | 8). |- х² +5 х+ 6 |= х² +5 х+ 6

4). |9 – х² |= 9 – х² 9). | х² – х+ 5 |= х² – х+ 5.

5). х – |х–2 | = 2 10). | х² +х |= х² +х.

5. | f ( x )| = | g ( x )|.

Уравнение равносильно двум уравнениям f ( x ) = g ( x ) или f ( x ) = – g ( x ). То есть | f ( x )| = | g ( x )|

Примеры:

а). |х² –5х+ 7|= |2х – 5|

х² –5х+ 7= 2х – 5 или х² –5х+ 7= 5 – 2х

х² –7х+ 12=0 х² –3х+ 2=0

х₁ = 3 х₃ = 2

х₂ = 4 х₄ = 1

Ответ: 1; 2; 3; 4.

б). |х² – 1|=| х + 3|

х² – 1= х + 3 или х² – 1= – х – 3

х² – х –4 =0 х² + х +2 =0

D = 17 > 0 D = – 7 < 0 - корней нет

x _1,2 =

Ответ: .

в). |х² +5х– 3|= |2х – 1|

х² +5х– 3= 2х – 1 или х² +5х– 3=1 – 2х

D = 25 > 0 D = 81 > 0

x _1,2 = x _1,2 =

х₁ = х₃ =

х₂ = – 2 х₄ = –4

Ответ: – 2; ; –4.

Упражнения для самостоятельной работы:

1). | х² +6 х + 8 |= | 7х –6| 7). | 2х –1|=| х +3|

2). | 3х² –5х – 2 |= | х² +6х –16| 8). |х–2 |=| 3х +9|

3). | 2х² –1|=| х² – 2х – 3| 9). |х–2 |=| 3 –3х|

4). | 2х –3|=| х +7| 10). |х – х² –1|= | 2х –3 + х² |

5). | х +7|= |х–2 | 11). | х² +4 х + 3 |= | х +1|

6). | х² –1|= | х +5| 12). |х–2 |=3| 3 – х|

Способ подстановки ( замены переменной ).

х² –6| х| + 5 = 0. по свойству х² =| х|² имеем:

| х|² –6| х| + 5 = 0. Применим подстановку | х| = t ≥ 0, Тогда получим уравнение t ² – 6 t + 5 = 0, t ₁ = 1, t ₂ = 5.

1. | х|=1, х_1,2 = ± 1;

2. | х|=5, х_3,4 = ± 5

Ответ: –5; – 1; 1; 5.

Примеры:

а). х² –6| х| + 8= 0.

| х|² –6| х| + 8 = 0.

| х| = у ≥ 0, у ² – 6у + 8 = 0, у₁ = 4, у₂ = 2;

1. | х|=4, х_1,2 = ± 4;

2. | х|=2 х_3,4 = ± 2.

Ответ: – 4; –2; 2; 4.

а). х² +| х| – 2= 0.

| х|² +| х| – 2= 0

| х| = у ≥ 0, у² +у – 2= 0, у₁ = – 2, у₂ = 1;

1. | х|= –2, корней нет

2. | х|=2 х_1,2 = ± 1.

Ответ: ± 1.

Упражнения для самостоятельной работы:

1). х² –2| х| – 3= 0 9). х² –3| х| = 0

2). х² –| х| – 2= 0 10). х² –| х| + 2= 0

3). х² +5| х| + 4= 0 11). х² –2| х| + 3= 0

4). х² –6| х| + 5= 0 12). х² –7| х| + 12= 0

5). х² –5| х| + 6= 0 13). х² –2| х| – 35 = 0

6). х² +| х| + 2= 0 14). х² –| х| – 6 = 0

7). х² –4| х| + 5= 0 15). х² –2| х| – 4 = 0

8). х² –3| х| + 2= 0 16). Х² +7| х| +12= 0

Метод интервалов ( для решения всех типов уравнений с модулями).

Метод интервалов - это универсальный метод решения уравнений всех видов с модулями.

Метод интервалов состоит в том, что область определения уравнения разбивается на промежутки, в каждом из которых все подмодульные выражения сохраняют знак. Для этого достаточно найти корни подмодульных выражений и расположить их в порядке возрастания. Концы полученных промежутков можно относить к любому из смежных промежутков. Раскрыть модули ( входящие в уравнение) на каждом промежутке. Для этого необходимо число из данного промежутка подставить вместо переменной в подмодульное выражение. Определив знак подмодульного выражения, освободиться от модуля. Решить уравнение на каждом промежутке своё и найденные решения объединить в ответе.

Примеры:

а). | х–1 |+| х +2|= 1.

Найдем корни подмодульных выражений

х – 1 =0, х = 1;

х +2 = 0 , х= – 2.

. . х

–2 1

Решим уравнения на промежутках.

Ι. (–∞;–2): –х+1–х–2 = 1; –2х – 1 = 1; –2х =2; х = – 1;

– 1 (–∞;–2); корней нет

ΙΙ. [–2; 1 ] ; –х + 1+х + 2 = 1; 0х = –2, решений нет.

ΙΙΙ. ( 1; + ∞ ); х – 1 + х + 2 = 1; 2х + 1 = 1; 2х = 0; х = 0; 0 ( 1; + ∞ ); корней нет.

Ответ: корней нет.

б). |2 х + 1 |+ |5 –3 х |+1– 4х= 0 .

2х + 1 = 0; 2х= – 1; х = – .

5 – 3х = 0; – 3х= – 5; х = =

. . х

–

Ι. (–∞;–): –2х–1+ 5 –3х+ 1 –4 = 0; –9х +5 = 0; х =;

(–∞;–); корней нет.

ΙΙ. [– ; ] ; 2х + 1 + 5 – 3х + 1– 4х = 0 ; –5х = –7, х =, х = [– ; ]; - корень уравнения.

ΙΙΙ. ( ; + ∞ ) ; 2х + 1 – 5+ 3х + 1– 4х = 0; х – 3 = 0, х = 3 ( ; + ∞ ); х = 3- корень уравнения.

Ответ: ; 3.

в). | х – 1 |+ |х –2 | = 1

х – 1 = 0, х = 1.

х –2 = 0, х = 2.

. . х

1 2

Ι. (–∞;1) : – х + 1 –х + 2 – 1; –2х + 3 = 1; – 2х = – 2;

х = 1 (–∞;1), корней нет.

ΙΙ. [1; 2 ] ; х – 1 – х + 2 = 1; 0х + 1 = 1; 0х = 0, х – любое число х из промежутка [1; 2 ] .

ΙΙΙ. (2 ; + ∞ ); х – 1 + х – 2 = 1; 2х –3 = 1; 2х = 4; х = 2 (2 ; + ∞ ), корней нет.

Ответ: [1; 2 ]

Упражнения для самостоятельной работы

1). | х + 4 |– |х –3 |= 1 9). | 2 х + 6 |+|3х +7 |= х – 3

2). | х |+ |х –1|+ |х –2|= 6 10). | х–1 |+ | х –2|+ |х –3 |= 4

3). | х + 4 |+ |х –3 |= 7 11). |х–1|–| х|+ 3|х –1|–|х –2|=х+2

4). | х |+ |х –1|+ |х –2|= 2 12). | х + 2 |– | 5 – х |= –7

5). | х |– |х –2| = 2 13). |х –4|+ |х +4|= 9

6). |х –3|+|х +2|–|х –4|=3 14). | х |+ |х –1|+ |х –2|= 6

7). |5–х |+|х +2|=|3–х | 15). | х–1 |+ | х –2|= |х –3 |– 4

8). |х|–2|х +1|+3|х +2|= 0 16). х² – |х –2| – 10 = 0

Уравнения со «сложным» модулем.

К таким уравнениям относятся уравнения, в которых под знаком модуля находится функция, в записи которой один или несколько модулей, то есть «модули под модулем». Уравнения данного вида можно решать методом интервалов или применяя свойства модуля.

Примеры:

а). | 3 – | х | |=4

| 3 – | х | |=4

3 – | х| = 4 или 3 – | х|= – 4

– | х| = 1 – | х|= – 7

| х| = –1 | х|= 7

корней нет х = ±7

Ответ: ±7

б). |3 + | х + 1||= 5

5 >0 , |3 + | х + 1||= 5

3 + | х + 1|= 5 или 3 + | х + 1|= –5

| х + 1|=2 | х + 1|= –8

корней нет

х + 1 =2 х + 1 = –2

х₁ =1 х₂ = –3

Ответ: 1;–3.

в). ||| х | –1|–1|=1.

||| х | –1|–1|=1

|| х | –1|–1=1 или || х | –1|–1= –1

|| х | –1|=0

| х | –1=2 | х |=1, х = ± 1

| х |= 3

| х |= ±3

Ответ: ±1; ±3

в). |х – |2 х + 3|| =3х– 1.

О.Д.З. 3х– 1≥ 0, 3х ≥ 1, х ≥ .

|х – |2 х + 3|| =3х– 1

х – |2 х + 3| =3х– 1 или х – |2 х + 3| =1– 3х

Решим методом интервалов каждое уравнение:

2 х + 3=0

2х = –3

х = –, х = –

. х

–

Ι. (–∞;– ) : х + 2х + 3 = 3х–1, 0х = –4 - решений нет.

ΙΙ. [–;+ ∞) : х – 2х –3=3х–1, –4х = 2, х = –, – [–;+ ∞). Решений нет.

2 х + 3=0

2х = –3

х = –, х = –

. х

–

Ι. (–∞;– ) : х + 2х + 3 =1–3х, 3х + 3х= 6х –2, х = –,

– (–∞;– ) – решений нет.

ΙΙ. [–;+ ∞) : х – 2х –3= 1–3х, 2х = 4 , х=2 [–;+ ∞).

х = 2 – корень уравнения.

Ответ: 2.

Упражнения для самостоятельной работы

|3 – | х – 2|| = 5 || х – 1|+2| = 1

|| х + 1|+2| = 1 |х| + | х + 1|| =0

|| х + 1|–4| = 2 |х–|2 х + 3||= 3х + 1

|| х |–2| = 4 | х– |4–х| = 4

|2 –|1–|х ||=1 ||| х |+ 1|+1| = 1

|| х – 1||+ х = 4 |2 – | 1 –|х| || = 1

| х² – 3|х|+2| = х² – 2х ||| х |–2|+ 1| = 2

| х² – 3|х|+1| = 1 ||| х |+2|– 1| = 3

Литература

М.К. Потапов и др. Конкурсные задачи по математике М. 1995.

Я.К. Фельдман Готовимся к экзаменам С.- Петербург 1997.

А.Г. Цыпкин Справочник по математике для средней школы. М.: Наука, 1981.

Д.Т. Письменный Математика для старшеклассников. М.; 1996.

А.Г. Мерзляк Алгебраический тренажер. Киев: 1997.

В.В. Казак, А.В. Козак Тесты по математике. Централизованное тестирование. Москва: 2003

Оглавление стр.

Основные виды упражнений и способы их

решений…………………………………………………. 1

Способы решения простейших уравнений

с модулями………………………………………………. 2

Способ подстановки ( замены переменной )………... 7

Метод интервалов ( для решения всех типов

уравнений с модулями)………………………………… 8

Уравнения со «сложным» модулем………………… 11

Литература……………………………………………. 15