Реферат: Представление чисел в ЭВМ

Содержание

Задание 1. Перевод чисел из одной позиционной системы в другую……………………….…3

1.1 Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную…………………....3

1.2 Изображение чисел в форме с фиксированной запятой (ФЗ).…….………………..5

1.3 Изображение чисел в форме с плавающей запятой (ПЗ)…………………..……….6

Задание 2. Сложение двоичных чисел…………………………………………………....….…..7

2.1 Сложение чисел в форме с ФЗ в обратном коде (ОК)………………………………7

2.2 Сложение чисел в форме с ФЗ в дополнительном коде (ДК)………………………8

2.3 Сложение чисел в форме с ФЗ в модифицированном коде………………...………8

2.4 Сложение чисел в форме с ПЗ………………………………………………….….…9

Задание 3. Умножение двоичных чисел………………………………………………………..11

3.1 Умножение чисел с ФЗ в ПК, используя первый способ умножения…………....11

3.2 Умножение чисел с ФЗ в ДК, используя второй способ умножения………….....13

3.3 Умножение чисел с ФЗ в ДК, используя третий способ умножения……...……...15

3.4 Умножение чисел с ПЗ, используя четвертый способ умножения……..……...…16

Задание 4. Деление двоичных чисел………………………………………………..…………..19

4.1 Деление чисел с ФЗ в ПК первым способом, применяя алгоритм с восстановлением остатков (ВО) и ОК при вычитании………………………………………………………………………………..……….19

4.2 Деление чисел с ФЗ в ПК вторым способом, применяя алгоритм без ВО и ДК

при вычитании………………………………………………………….…………….………….21

4.3 Деление чисел с ФЗ в ДК вторым способом, применяя алгоритм с автоматической коррекцией…………………………………………………………………………………..……23

4.4 Деление чисел с ПЗ первым способом…………………………………...…………24

Задание 5. Сложение двоично-десятичных чисел……………………………………………..27

5.1 Сложение двоично-десятичных чисел в коде 8-4-2-1………………………..……27

5.2 Сложение двоично-десятичных чисел в коде с избытком три………………..….28

5.3 Сложение двоично-десятичных чисел в коде 2-4-2-1………………………..……30

5.4 Сложение двоично-десятичных чисел в коде 3а+2………………………..………31

Задание 6. Умножение двоично-десятичных чисел…………………………………......…….32

6.1 Умножение старорусским методом удвоения – деления пополам……...………..32

6.2 Умножение методом десятично-двоичного разложения множителя………….....34

Список литературы………………………………………………………………………...…….36

I . Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую с использованием промежуточных систем счисления и изображение чисел в форматах ЕС и СМ ЭВМ.

Любое число А в позиционной системе счисления (СС) с основанием q можно записать в виде:

A(q) = a_n qⁿ + a_n-1 q^n-1 +…+ a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 +…+ a_-m q^-m =,

где a_k – цифра числа в данной СС;

q^k – разрядный вес цифры a_k ;

n+1 – количество разрядов в целой части числа;

m – количество разрядов в дробной части числа.

Чтобы перевести целое число в новую СС, его необходимо последовательно делить на основание новой СС до тех пор, пока не получится частное, у которого целая часть равна 0. Число в новой СС записывают из остатков от последовательного деления, причем последний остаток будет старшей цифрой нового числа.

Чтобы перевести правильную дробь из одной позиционной СС в другую, надо её последовательно умножать на новое основание до тех пор пока в новой дроби не будет получено нужного количества цифр, определяемого заданной точностью. Правильная дробь в новой СС записывается из целых частей произведений, и старшей цифрой новой дроби будет целая часть первого произведения.

Формула для определения количества цифр в новой СС: ,

где m₁ – количество цифр исходной дроби с основанием p;

m₂ – количество цифр в новой дроби с основанем q.

А=356,31

10сс­­ – 8сс – 2сс

Перевод целой части:

356 8

4 44 8

4 5 8

5 0

Перевод дробной части :

Количество цифр после перевода дроби из 10 СС в 8 СС:

= 3

0 ,31

8

2 ,48

8

3, 84

8

6 ,72

Проверка:

2cc – 16сс – 10сс

0001 0110 0100 , 0100 1111 0000 ₂ = 164,4F₁₆ = (1*256+6*16+4+4*16^-1 +15*16^-2 )₁₀ =

1 6 4 4 15 0

= 356,3085…₁₀ = 356,31₁₀ (верный результат)

B =723,54

10сс­­ – 16сс – 2сс

Перевод целой части:

723 16

3 45 16

13 2 16

2 0

Перевод дробной части:

Количество цифр после перевода дроби из 10 СС в 16 СС:

= 3

0 ,54

16

8 ,64

16

10 ,24

16

3 ,84

Проверка:

2cc – 8сс – 10сс

001 011 010 011 , 100 010 100 011 ₂ = 1323,4243₈ = (1*512+3*64+2*8+3+4*8^-1 +2*8^-2 +4*8^-3 )₁₀ =

1 3 2 3 4 2 4 3

= 723,539…₁₀ = 723,54₁₀ (верный результат)

Для двоичных чисел с ФЗ используют 3 формата фиксированной длины: полуслово – короткий с ФЗ (2 байта = 16 бит, 16 разрядов); слово – длинный с ФЗ (4 байта = 32 бита, 32 разряда); двойное слово – для промежуточных действий(8 байт = 64 бита, 64 разряда), чтобы обеспечить высокую точность вычислений. Двоичные операнды имеют вид целых чисел в дополнительном коде, у которых крайний левый разряд – знаковый. Это правило справедливо как для ЕС ЭВМ, так и для ПЭВМ.

А = 356,31

А = 101100100,010011110₂ М=2^-9

зн

B = -723,54

B = -1011010011,100010100011₂ М=2^-10

Двоичные числа с ПЗ изображаются по-разному в ЕС ЭВМ и ПЭВМ. Общим в изображении является лишь то, что порядки имеют смещения.

В ПЭВМ для чисел с ПЗ используются два формата: короткий и длинный. Смещенный порядок занимает восемь разрядов (смещение=128), крайний левый разряд сетки отводится под знак числа, остальные под мантиссу, изображенную в 2СС (23 разряда в коротком и 55 разрядов в длинном формате). Смещенный порядок содержит информацию о положении запятой в двоичной мантиссе числа. Для повышения точности представления мантиссы старший разряд ее, который в нормализованном виде всегда равен «1», может не заноситься в разрядную сетку, а просто подразумеваться.

В ЕС ЭВМ для чисел с ПЗ имеются три формата: короткий – слово, длинный - двойное слово и расширенный – учетверенное слово. Во всех этих форматах смещенный порядок занимает семь разрядов (смещение=64) и размещается в старшем байте вместе со знаковым разрядом числа. Остальные разряды (24 для короткого формата) занимает мантисса числа, изображаемая в 16 СС. Каждые 4 бита воспринимаются машиной как одна 16-ричная цифра, а в смещенном порядке содержится информация о положении запятой между 16-ричными, а не двоичными цифрами. Мантисса чисел с ПЗ всегда изображается в ПК и должна быть нормализована.

Сравнение представления мантисс с двоичным и шестнадцатеричным основанием показывает существенное расширение диапазона представления чисел в ЕСЭВМ.

А = -356,31

А = -000101100100,010011110₂

р = 6

а) 2сс мантисса

зн 8 разрядов мантисса

1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0

б) 16сс мантисса

зн 7 разрядов мантисса

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0

B = 723,54

B = 001011010011,100010100011₂

р = 9

а) 2сс мантисса

зн 8 разрядов мантисса

0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0

б) 16сс мантисса

зн 7 разрядов мантисса

0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1

II . Сложение двоичных чисел.

Отрицательные числа в ЦВМ представлены в специальных кодах: прямом, обратном и дополнительном.

Прямой код (ПК) представляет абсолютное значение числа с закодированным знаком: « + » – «0», « - » – «1».

Обратный код (OK) положительного числа совпадает с его прямым кодом. Для отрицательного числа в знаковый разряд заносится «1», а в остальных разрядах цифры заменяются на взаимообратные (0 на 1, 1 на 0), т.е. формируется поразрядное дополнение числа до единицы.

Дополнительный код (ДК) положительного числа совпадает с его прямым кодом. Для отрицательного числа в знаковый разряд заносится «1», а в цифровой части числа цифры заменяются на взаимообратные и к полученному инверсному изображению прибавляется, единица в младший разряд, т.е. код является дополнением до основания СС.

Таким образом, положительные числа во всех кодах одинаковы, а отрицательные – различны.

При алгебраическом сложении чисел в ОК со знаковым разрядом оперируют как с разрядом цифровой части числа, а при возникновении единицы переноса из знакового разряда ее прибавляют к младшему разряду числа.

А =-356,31₁₀ = -101100100,01001111₂

B = 723,54₁₀ = 1011010011,100010100011₂

А_пк = 1, 0101100100010011110000₂

В_пк = 0, 1011010011100010100011₂

А_ок = 1, 1010011011101100001111₂

В_ок = 0, 1011010011100010100011₂ М = 2¹⁰

Сложение:

1, 1010011011101100001111

0, 1011010011100010100011

10, 0101 1 0 11 1 10 011101 1001 0

1

0, 0101101111001110110011

0, 0101101111001110110011_ок = 101101111, 001110110011_пк

101101111, 001110110011_{2 =} 367,23₁₀

Проверка:

(-356,31) ₁₀ + 723,54₁₀ = 367,23₁₀

При алгебраическом сложении чисел в ДК результат получают также в ДК, а при возникновении единицы переноса из знакового разряда ее отбрасывают.

А=356,31₁₀ = 101100100,01001111₂

B =-723,54₁₀ = -1011010011,100010100011₂

А_пк = 0, 0101100100010011110000₂

B_пк = 1, 1011010011100010100011₂

А_дк = 0, 0101100100010011110000₂

М = 2¹⁰

Сложение:

0, 0101100100010011110000

1, 0100101100011101011101

1, 1010010000110001001101

1, 1010010000110001001101_дк = 1,0101101111001110110011_пк

-101101111, 001110110011=-367,23₁₀

Проверка:

356,31₁₀ + (-723,54) ₁₀ = -367,23₁₀

Модифицированные обратный и дополнительный коды (МОК и МДК) имеют для изображения знака два соседних разряда: « + » – «00», « - » – «11». Эти коды используются для обнаружения ситуации ПРС - переполнения разрядной сетки. ПРС возникает при сложении чисел с ФЗ одинакового знака, когда результат операции выходит за верхнюю границу диапазона представления чисел, это приводит к потере старших разрядов.

Формальным признаком ПРС при использовании МОК и МДК является появление запрещенных комбинаций в знаковых разрядах – «01» или «10».

Для исправления результата можно либо увеличить масштаб результата, сдвинув его вправо на один разряд, а в освободившийся старший знаковый разряд поместить значение младшего знакового разряда, либо увеличить масштабы исходных операндов и выполнить арифметическую операцию снова.

А=-356,31₁₀ = -101100100,01001111₂

B =-723,54₁₀ = -1011010011,100010100011₂

А_пк = 1, 010110010001001111₂

B_пк = 1, 1011010011100010100011₂

А_мдк = 11, 101001101110110001₂

В_мдк = 11,0100101100011101011101₂ М = 2¹⁰

Сложение:

11,1010011011101100010000

11,0100101100011101011101

1 10 ,1111001000001001101101

10 - запрещенная комбинация. Увеличиваем масштаб результата, сдвинув его вправо на один разряд, а в освободившийся старший знаковый разряд помещаем значение младшего знакового разряда:

1, 01111001000001001101101_дк = -10000110111110110010011_пк

-10000110111,110110010011₂ = -1079,848₁₀

Проверка:

-356,31₁₀ + (-723,54)₁₀ = -1079,85₁₀

Сложение чисел в форме с ПЗ выполняется в несколько этапов. Числа с ПЗ изображаются двумя частями: мантиссой и порядком.

Чтобы их сложить, надо выполнить различные действия над мантис­сами и порядками. Поэтому в машинах предусмотрены различные устрой­ства для обработки мантисс и порядков. Мантиссы исходных операндов нормализованы.

1. Выравнивание порядков слагаемых: меньший порядок увеличивает­ся до большего, при этом мантисса меньшего преобразуемого числа денормализуется. В машине выполняется вычитание порядков операндов. Знак и модуль разности порядков определяет, мантиссу какого из сла­гаемых надо сдвигать вправо и на сколько разрядов.

2. Сложение мантисс операндов по правилам сложения чисел с ФЗ.

3. Нормализация результата, если необходимо. При этом денормализация вправо, т.е. ситуация, когда в старшем разряде двоичной мантиссы «0», требует сдвига мантиссы влево и уменьшения порядка на соответствующее количество единиц. Денормализация влево означает временное ПРС мантиссы суммы, но в отличие от чисел с ФЗ, здесь возможна коррекция: сдвиг мантиссы на один разряд вправо и увеличе­ние на «1» порядка суммы.

При больших величинах порядков возможно возникновении истинно­го ПРС числа с ПЗ, хотя вероятность этого невелика.

Смещенные порядки используются в большинстве современных ЭВМ для упрощения процесса выравнивания порядков и их сравнения.

При этом для представления порядка применяется специальный до­полнительный код с инверсным кодированием знака: « + » – «1», « - » – «0». В результате порядки чисел увеличиваются (в ЕС ЭВМ на 2⁶ =64, в СМ ЭВМ на 2⁷ =128), что приводит к смещению всех порядков по числовой оси в положительном направлении. Такие смещенные порядки называют характеристиками, и так как они все оказываются целыми положительны­ми числами, то алгебраическое сложение можно производить без предва­рительного анализа знаков.

А=356,31 = 101100100,01001111₂

B =723,54 = 1011010011,100010100011₂

А

В

Сложение:

1) Выравниваем порядки, для чего выполняем их вычитание с использованием ДК

Р_А = 0,1001

( Р_в )_дк = 1,0110

1,1111

(Р_А - Р_В )_дк =1,1111

(Р_А - Р_В )_пк =1,0001

Р_А - Р_В = -1, значит денормализуем А – сдвигаем мантиссу на один разряд вправо и увеличиваем порядок А на 1.

А

2) Складываем мантиссы

0, 0101100100010011110000

0, 1011010011100010100011

1, 0000110111110110010011

ПРС! Сдвиг мантиссы на один разряд вправо и увеличение порядка суммы на 1.

0, 10000110111110110010011

А+В

Проверка:

10000110111, 110110010011₂ = 1079,847₁₀

356,31+723,54 = 1079,85

III . Умножение двоичных чисел.

Процесс умножения чисел в двоичной системе счисления прост, так как разрядами множителя могут быть либо «0», либо «1», и, следовательно, частичным произведением в каждом такте цикла умножения будет либо «0», либо множимое. Поэтому в цикле умножения двоичных чисел три элементарных операции:

1. анализ цифры очередного разряда множителя;

2. суммирование множимого с накопленной суммой частичных произведений, если цифра множителя «1»;

3. сдвиги в каждом такте умножения.

Умножение можно выполнять как с младших, так и со старших разрядов множителя, со сдвигом, как частичной суммы, так и множимого в процессе умножения. Этим объясняется существование четырех способов умножения чисел.

Следует обратить внимание на то, что множитель сдвигается во всех способах умножения, так как в каждом такте анализируется очередной разряд: при умножении с младших разрядов сдвиг вправо (в сторону младших разрядов), при умножении со старших разрядов множитель сдвигается влево. И еще одна особенность, позволяющая легко запомнить способы умножения: сумма частичных произведений обычно сдвигается в ту же сторону, что и множитель, а множимое сдвигается навстречу множителю, т.е. в противоположную сторону.

I способ - умножение с младших разрядов множителя со сдвигом суммы частичных произведений вправо.

Устройства, которые хранят операнды, регистры, имеют следующую разрядность:

1. регистры множителя и множимого – n-разрядные;

2. регистр частичных произведений – 2n-разрядный.

Суммирование множимого следует выполнять в старшие n разряды регистра суммы частичных произведений. Причем разрядность его можно уменьшить вдвое, до n разрядов, помещая при сдвиге младшие разряды суммы на место освобождающихся разрядов регистра множителя.

Особенность I способа умножения состоит в том, что имеется возможность временного переполнения разрядной сетки (ПРС) в регистре суммы частичных произведений, которое ликвидируется при очередном сдвиге вправо.

Алгоритм умножения двоичных чисел в прямом коде:

1. определить знак произведения путем сложения по модулю два знаковых разрядов сомножителей;

2. перемножить модули сомножителей одним из четырех способов;

3. присвоить полученному произведению знак из п.1. данного алгоритма.

C = 23 ₁₀

D = -57 ₁₀

С = 10111₂

D = -111001₂

С _пк = 0,010111 М = 2⁶

D _пк = 1,111001

D = 0,111001 – модуль множимого

Знак произведения: 0 + 1 = 1

Масштаб произведения: М = 2¹²

Ответ:

1, 010100 011111_пк = -101 000 1111 1₂ = 1311₁₀

Проверка:

23₁₀ * (-57)₁₀ = 1311₁₀

II способ - умножение с младших разрядов множителя со сдвигом множимого влево.

Устройства, которые хранят операнды, регистры, имеют следующую разрядность:

1. регистр множителя – n-разрядный;

2. регистры множимого и суммы частичных произведений – 2n-разрядный.

Первоначально множимое помещается в младшие разряды регистра, а затем в каждом такте сдвигается на один разряд влево.

Умножение чисел в дополнительном коде с автоматической коррекцией

Этот алгоритм разработан Бутом и является универсальным для умножения чисел в ДК. Сомножители участвуют в операции со знаковыми разрядами, которые рассматриваются как цифровые разряды числа. Результат получается сразу в дополнительном коде со знаком.

В процессе умножения анализируются две смежные цифры множителя: та, на которую выполняется умножение в данном такте – m₁ , и соседняя младшая цифра – m₂ . В двоичном множителе этой паре соответствуют четыре возможных набора – «00», «01», «10», «11», каждый из которых требует выполнения следующих действий:

1. набор «01» требует сложения множимого с предыдущей суммой частичных произведений;

2. набор «10» требует вычитания множимого из предыдущей суммы частичных произведений;

3. наборы «00» и «11» не требуют ни сложения, ни вычитания , так как частичное произведение равно нулю.

В цикле умножения в каждом такте выполняются соответствующие сдвиги на один разряд. При этом могут использоваться все четыре способа умножения с некоторыми особенностями:

1. в I способе не следует выполнять последний сдвиг суммы частичных произведений;

2. в IV способе не выполняется первый сдвиг множимого.

Это объясняется тем, что в этих тактах реализуется умножение не на цифровой, а на знаковый разряд числа.

Кроме того, при выполнении алгоритма умножения с автоматической коррекцией следует помнить о правилах сдвига отрицательных чисел в ДК : при сдвиге влево освобождающиеся младшие разряды заполняются нулями, при сдвиге вправо освобождающиеся старшие разряды заполняются единицами, т.е. реализуется арифметический сдвиг числа.

C = -23₁₀ = -10111₂

D = 57₁₀ = 111001₂

C _пк = 1,010111

D _пк = 0,111001

С _дк = 1,101001 М = 2⁶

D _дк = 0,111001 - множитель

Ответ:

С*D_дк = -101011 100001₂

С*D_пк = -010100 011111₂

Проверка:

(-23)₁₀ *57₁₀ =(-1311)₁₀

III способ - умножение со старших разрядов множителя со сдвигом суммы частичных произведений влево.

Устройства, которые хранят операнды, регистры, имеют следующую разрядность:

1. регистры множителя и множимого – n-разрядные;

2. регистр частичных произведений – 2n-разрядный.

Суммирование множимого следует выполнять в младшие n разрядов регистра суммы частичных произведений.

Особенность III способа умножения состоит в том, что в последнем такте не следует выполнять сдвиг в регистре сумм частичных произведений.

Алгоритм умножения двоичных чисел в ДК с простой коррекцией:

1. определить знак произведения путем сложения по модулю два знаковых разрядов сомножителей.

2. перемножить модули сомножителей, представленных в ДК, одним из четырех способов – получить псевдопроизведение.

3. если хотя бы один из сомножителей отрицателен, выполнить коррекцию по следующим правилам:

· если один сомножитель отрицателен, к псевдопроизведению прибавляется дополнительный код от модуля положительного сомножителя;

· если оба сомножителя отрицательны, к псевдопроизведению прибавляются дополнительные коды от модулей дополнительных кодов обоих сомножителей, т.е. их прямые коды.

4. Присвоить модулю произведения знак из п.1 данного алгоритма.

C = -23₁₀ = -10111₂

D = -57₁₀ = -111001₂

C _пк = 1,010111

D _пк = 1,111001 М = 2⁶

С _дк = 1,101001

D _дк = 1,000111

С _дк = 0,101001 – модуль множимого

D _дк = 0,000111 – модуль множителя

Знак произведения: 1 + 1 = 0

Псевдопроизведение = 0, 000100 011111

Коррекция (складываем модули операндов):

+0, 000100 011111

0, 010111

+0, 011011 011111

0, 111001

1, 010100 011111

Ответ:

(C*D)_пк =10100011111_{2 =} 1311₁₀

Проверка:

(-23)_10* (-57)₁₀ = 1311₁₀

IV способ - умножение со старших разрядов множителя со сдвигом множимого вправо.

Устройства, которые хранят операнды, регистры, имеют следующую разрядность:

1. регистр множителя – n-разрядный;

2. регистры множимого и частичных произведений – 2n-разрядный.

Первоначально множимое помещается в старшие разряды регистра, а затем в каждом такте сдвигается на один разряд вправо.

Особенность IV способа умножения состоит в том, что перед началом цикла умножения следует множимое сдвинуть на один разряд вправо.

Умножение чисел в форме с плавающей запятой

Когда сомножители заданы в форме с ПЗ, то их произведение определяется следующим образом:

Т.е. мантисса произведения m_с равна произведению мантисс сомножителей, а порядок р_с – сумме порядков сомножителей.

Это позволяет сформулировать алгоритм умножения чисел в форме с ПЗ:

1. определить знак произведения путем сложения по модулю два знаковых разрядов сомножителей;

2. перемножить модули мантисс сомножителей по правилам умножения дробных чисел с ФЗ;

3. определить порядок произведения алгебраическим сложением порядков сомножителей с использованием модифицированного дополнительного или обратного кодов;

4. нормализовать мантиссу результата и выполнить округление, если это необходимо.

Примечания:

1. Так как мантиссы исходных сомножителей нормализованы, то денормализация мантиссы произведения возможна только на один разряд.

2. При умножении чисел с ПЗ возможно возникновении ПРС при сложении порядков, поэтому необходимо предусматривать выявление признаков ПРС в устройствах умножения чисел с ПЗ.

C = -23₁₀ = 10111₂

D = -57₁₀ = 111001₂

С

зн мантисса порядок

0 1 0 1 1 1 0 0 00101

D

зн мантисса порядок

0 1 1 1 0 0 1 0 00110

Знак произведения: 0 + 0 = 0

Порядок произведения:

00,0110

00,0101

00,1011 = 11₁₀

Выполняем нормализацию :

0,101000 111110 ( М=2¹² ) = 0,010100011111 (М=2¹² )

зн мантисса порядок

0 10100011111 1011

Ответ:

(C*D)_пк =10100011111_{2 =} 1311₁₀

Проверка:

23_10* 57₁₀ = 1311₁₀

IV . Деление двоичных чисел

Процесс деления состоит из последовательности операций вычитания и сдвигов, при этом операция вычитания заменяется операцией сложения остатка с делителем, представленным в обратном или дополнительном кодах.

При делении чисел в прямом коде знак частного определяется сложением по модулю два знаковых разрядов делимого и делителя, и далее в процессе деления участвуют модули операндов.

Так как операция деления обратна умножению и начинается всегда со старших разрядов, то существуют два способа деления – обращенный III и IV способы умножения. Причем нередко для реализации умножения и деления целесообразно использовать одно и то же оборудование: регистр множимого - как регистр делителя, регистр множителя – как регистр частного, а регистр частных сумм – как регистр делимого, в который заносят остатки от деления.

Алгоритм деления с восстановлением остатков:

1. Определить знак частного сложением по модулю 2 знаковых разрядов делимого и делителя. Далее использовать модули операндов.

2. Вычесть из делимого делитель, путем сложения в ОК или ДК.

3. Проанализировать знак остатка после первого вычитания:

а) если остаток положительный, то произошло ПРС, операцию следует прекратить до смены масштабов операндов;

б) если остаток отрицательный, то в частное занести «0» (этот разряд по окончании деления станет знаковым разрядом частного) и восстановить остаток, прибавив к нему делитель.

4. Выполнить сдвиги: частного на один разряд влево и остатка на один разряд влево (I способ) или делителя на один разряд вправо (II способ).

5. В цикле формирования цифр частного вычитать из остатка делитель, прибавляя его в ОК или ДК.

6. Проанализировать знак полученного остатка:

а) если > 0, то в частное заносится «1»;

б) если <0, то в частное заносится «0».

7. Восстановить отрицательный остаток, сложив его с делителем.

8. Выполнить сдвиги, как указано в п.4.

9. Завершить цикл формированием (n+1)-го остатка для округления частного.

10. Выполнить округление результата и присвоить частному знак из п.1.

C = 23₁₀ = 10111₂

D = -57₁₀ = -111001₂

С_пк = 0,010111- делимое М = 2⁶

D_пк = 1,111001

D_ок = 1,000110 - делитель

Округление:

0,011001

1

0,011010

(C/D)_пк = 0,011010

C/D = 0,011010₂ = 0,40625₁₀

Точный результат: C/D = -23/-57 = - 0,40351

Абсолютная погрешность: - 0,40625 + 0,40351 = - 0,00274

Относительная погрешность: (-0,00274)/(-0,40351) = 0,0068 , т.е. 0,7%

Алгоритм деления без восстановления остатков:

1. Определить знак частного путем сложения по модулю два знаковых разрядов делителя и делимого. Далее использовать модули операндов.

2. Вычесть из делимого делитель путем сложения в ДК или ОК.

3. Проанализировать знак остатка после первого вычитания:

а) если положителен, то произошло ПРС, операцию следует прекратить для смены масштаба операндов;

б) если остаток отрицателен, то в частное занести «0» и продолжить операцию деления.

4. Выполнить сдвиги частного на один разряд влево и остатка на один разряд влево (I способ) или делителя на один разряд вправо (II способ).

5. Если до сдвига остаток был положителен, то вычесть из остатка делитель, если был отрицателен – прибавить к остатку делитель.

6. Если вновь полученный остаток положителен, то в очередной разряд частного занести «1», в противном случае - «0».

7. Выполнить пп.4-6 алгоритма (n+1) раз, причем последний сдвиг частного не выполнять, т.к. (n+1)-ый разряд формируется для округления.

8. Выполнить округление результата и присвоить частному знак из п.1.

C = -23₁₀ = -10111 ₂ - делимое

D = -57₁₀ = -111001 ₂ - делитель

С_пк = 1,010111

D_пк = 1,111001

С_дк = 1,101001 М = 2⁶

D_дк = 1,000111

1 1 = 0

Округление:

0,011001

1

0,011010

(C/D)_пк = 0,011010

C/D = 0,011010₍₂₎ = 0,40625₁₀

Точный результат: C/D = -23/-57 = - 0,40351

Абсолютная погрешность: - 0,40625 + 0,40351 = - 0,00274

Относительная погрешность: ( (-0,00274)/(-0,40351) )= 0,0068 , т.е. 0,7%

Алгоритм деления в дополнительном коде (с автоматической коррекцией).

Операнды участвуют в операции деления со знаковыми разрядами. Знак частного определяется в процессе деления.

1. Если знаки делимого и делителя совпадают, то в частное заносится «0», в противном случае – «1». Этот разряд знаковый.
2. Если знаки операндов совпадают, то делитель вычитается из делимого, в противном случае делитель прибавляется к делимому.
3. Если знак первого остатка совпадает со знаком делимого, то произошло ПРС. Операцию деления прекратить. В противном случае деление продолжить.
4. Выполнить сдвиги частного и остатка на один разряд влево (I способ) или делителя на один разряд вправо (II способ).
5. Все последующие остатки формируются по правилу: если знаки делителя и остатка до сдвига совпадали, то делитель вычесть из остатка, в противном случае – делитель прибавить к остатку.
6. Если знаки нового остатка и делителя совпадают, то в очередной разряд частного занести «1», в противном случае – «0».
7. Выполнить пп.4-6 (n+1) раз, причем последний сдвиг частного не выполнять.
8. Выполнить округление результата.

C = -23₁₀ = -10111₂ - делитель

D = 57₁₀ = 111001₂ - делимое

С_пк = 1,010111

D_пк = 0,111001

С_дк = 1,101001 М = 2⁶

D_дк = 0,000111

1 0 = 1

(D/C)_дк = 1,011000

(D/C)_пк = 1,101000

Порядок частного:

0,0111

1,1011

10,0010=0,0010 = 2₁₀

D/C = 10,1000₂ = 2,5 M = 2²

Точный результат: 57/(-23) = -2,4783

Абсолютная погрешность: |- 2,5+ 2,4783| = 0,0217

Относительная погрешность: (0,0217)/(2,4783) = 0,0088 , т.е. 0,9%

Деление чисел в форме с плавающей запятой

Когда операнды заданы в форме с ПЗ, то их частное определяется следующим образом:

Т.е. мантисса частного m_С есть частное мантисс делимого и делителя, а порядок р_С – сумма порядков операндов.

Это позволяет сформулировать алгоритм деления чисел в форме с ПЗ:

1. Определить знак частного путем сложения по модулю два знаковых разрядов операндов.
2. Разделить модуль мантиссы делимого на модуль мантиссы делителя по правилам деления дробных чисел с ФЗ.
3. Определить порядок частного вычитанием порядка делителя из порядка делимого, используя ОК или ДК.
4. Нормализовать мантиссу результата и присвоить знак из п.1.

В отличие от деления чисел с ФЗ при выполнении п.2 алгоритма, получение положительного остатка при первом вычитании не означает ПРС. При обработке чисел с ПЗ такая ситуация требует денормализации мантиссы делимого сдвигом её на 1 разряд вправо с одновременным увеличением порядка делимого на «1».

Однако ситуация ПРС при делении чисел с ПЗ возможна при вычитании порядков операндов, если они были разных знаков.

C = 23₁₀ = 10111₂ - делитель

D = 57₁₀ = 111001₂ - делимое

Операнды в разрядной сетке условной машины

C = 23₁₀ = 101110₂

D = 57₁₀ = 111001₂ – делимое

C_пк = 0,010111₂ М = 2⁶

C_дк = 1,101001

0 0 = 0

Порядок частного

0,0111

1,1011

10,0010=0,0010 = 2₁₀

Округление мантиссы:

0,101000

1

0,101001

D/C = 10,1001₂ = 2,5625

Точный результат: 57/(-23) = -2,4783

Абсолютная погрешность: |- 2,5625+ 2,4783| = 0,0842

Относительная погрешность: (0,0842)/(2,4783) = 0,034 , т.е. 3,4%

V . Сложение двоично-десятичных чисел

\\\

Код с естественными весами 8-4-2-1 .

Каждая десятичная цифра в этом коде образуется естественным замещением ее двоичным эквивалентом.

Алгоритм сложения в коде 8-4-2-1.

1. Проверить знаки слагаемых. Отрицательные слагаемые преобразовать в обратный код для чего инвертировать тетрады и прибавить потетрадно код 1010. Единица переноса между тетрадами отбрасывается.

2. Сложить двоично-десятичные числа по правилам двоичной арифметики.

3. Выполнить коррекцию результата, прибавив код 0110 к неправильным тетрадам (1010, 1011,1100, 1101, 1110, 1111), а также к тетрадам, в которых сформировались единицы переноса при сложении. Здесь единица переноса из тетрады в тетраду учитывается.

4. Проверить знак результата. Если он отрицателен, то преобразовать его в ПК для чего инвертировать все тетрады и прибавить потетрадно код 1010. Единица переноса отбрасывается.

А=-356,31

B=-723,54

А=-0,035631

B=-0,072354

М=10⁴

A_{8-2-4 =} 1,0000 0011 0101 0110 0011 0001

B_8-2-4 = 1,0000 0111 0010 0011 0101 0100

Обратный код:

Сложение чисел:

Коррекция:

Перевод числа в ПК:

(A+B)_пк = 1, 0001 0000 0111 1001 1000 0101_8-2-4

С учетом масштаба: (A+B) = -1079,85₁₀

Проверка: A+B =-356,31₁₀ - 723,54₁₀ =-1079,85₁₀

Код с избытком 3

ПК получается прибавлением избытка 3 к коду 8-4-2-1.

Алгоритм сложения в коде с избытком 3

1. Проверить знаки слагаемых. Отрицательные преобразовать в ОК путем инвертирования тетрад.

2. Сложить двоично-десятичные числа по правилам двоичной арифметики.

3. Выполнить коррекцию результата, прибавив код 1101 к тетрадам суммы, из которых не сформировалась единица переноса и прибавив код 0011 к тетрадам суммы из которых сформировалась единица переноса. Единицу переноса между тетрадами при коррекции отбрасывать.

4. Проверить знак результата. Отрицательный преобразовать в ПК, инвертируя тетрады.

А = 356,31

В = - 723,54

А_/ = 0,35631 М=10³

В_/ = - 0,72354

А_2-10 = 0,0110.1000.1001.0110.0100

В_2-10 = 1,1010.0101.0110.1000.0111

В_ок = 1,0101.1010.1001.0111.1000

Сложение:

(А+В)_8-4-2-1+3 = 1, 0110.1001.1010.0101.0110

Результат с учетом масштаба М=10³

(А+В)= - 367,23₁₀

Проверка:

356,31₁₀ +(-723,54)₁₀ = - 367,23₁₀

Код 2-4-2-1

Алгоритм сложения в коде 2-4-2-1.

1. Проверить знаки слагаемых. Отрицательные преобразовать в ОК, инвертируя тетрады.

2. Сложить двоично-десятичные числа по правилам двоичной арифметики.

3. Выполнить коррекцию суммы:

если каждая из исходных тетрад меньше 5, то

- коррекция не нужна ,если суммарная тетрада также <5

- если суммарная тетрада ³ 5, то необходима коррекция кодом +6 (0110).

- если одна из исходных тетрад <5, а другая – ³5, то коррекции не требуется.

- если каждая из исходных тетрад ³5, то

- коррекция не нужна, если тетрада суммы ³5

- если тетрада суммы <5, то нужна коррекция кодом –6 (1010)

ИЛИ!

1. Корректируется тетрада суммы прибавлением кода 0110, если содержится 0 в 4-м разряде тетрад обоих слагаемых и комбинации 10 или 01 в 4-м и 3-м разрядах тетрады суммы и есть единица либо во 2-м, либо в 1-м разрядах тетрады суммы.

2. Корректируется тетрада суммы прибавлением кода 1010, если содержится 1 в 4-м разряде обоих слагаемых и комбинация 01 или 10 в 4-м и 3-м разрядах тетрады суммы и есть 0 либо во 2-м, либо в 1-м разрядах тетрады суммы.

! Единица переноса между тетрадами не учитывается.

Проверить знак результата. Если результат отрицателен, преобразовать его в ПК, инвертировав все тетрады.

А = - 356,31

В = 723,54

А_/ = - 0,35631 М=10³

В_/ = 0,72354

А_2-4-2-1 = 1,0011.1011.1100.0011.0001

А_ок = 1,1100.0100.0011.1100.1110

В_2-4-2-1 = 0,1101.0010.0011.1011.0100

Сложение:

(А+В)_2-4-2-1 = 0, 0011.1100.1101.0010.0011_2-4-2-1

Результат с учетом масштаба М=10³

(А+В)=367,23₁₀

Проверка:

-356,31₁₀ +723,54₁₀ =367,23₁₀

А = - 356,31

В = - 723,54

А_/ = - 0,035631 М=10⁴

В_/ = - 0,072354

А_3а+2 = 1,00010.01011.10001.10100.01011.00101

А_ок = 1,11101.10100.01110.01011.10100.11010

В_3а+2 = 1,00010.10111.01000.01011.10001.01110

В_ок = 1,11101.01000.10111.10100.01110.10001

Сложение:

(А+В)_3а+2 = 1, 00101.00010.10111.11101.11010.10001

Результат с учетом масштаба М=10⁴

(А+В)= - 1079,85₁₀

Проверка:

-356,31₁₀ +(-723,54) ₁₀ = - 1079,85₁₀

VI . Умножение двоично-десятичных чисел.

Алгоритм умножения заключается в удвоении на каждом шаге множимого, что равносильно сдвигу его на один разряд влево, и делению пополам множителя, что равносильно сдвигу его на один разряд вправо. Шаги повторяются, пока множитель не станет равным нулю.

При сдвиге двоично-десятичных чисел (код 8-4-2-1) на один разряд как влево так и вправо необходима коррекция. При сдвиге влево коррекция производится точно так же, как и при сложении, то есть при появлении неправильных тетрад или единицы переноса из тетрады осуществляется прибавление к данной тетраде корректирующего кода 0110. При сдвиге вправо корректирующий код образуется как разница между математическим результатом деления двоичной тетрады пополам (16/2=8) и фактическим (10/2=5), 8-5=310=0011. Эту разницу нужно вынести из тетрады, в которой образовалась единица переноса. Таким образом, корректирующий код будет 310=-00112=1101ДК.

А = 356₁₀

В = 723₁₀

А = 0011.0101.0110_8-2-4-1 - множитель

В= 0111.0010.0011_8-2-4-1 - множимое

А*B = 0010.0101.0111.0011.1000.1000_8-2-4-1 = 257.388₁₀

Проверка:

356₁₀ *723₁₀ = 257 388₁₀

Метод основан на преобразовании множителя в виде суммы произведений десятичных чисел на степень двойки. Множитель представляется в коде 8-4-2-1. Особенностью преобразованного множителя является то, что десятичное число состоит только из символов 0 и 1, а слагаемых в нём не более четырёх. Каждое из четырёх частичных произведений получают последовательно сдвигом множимого на требуемое количество десятичных разрядов (тетрад) с подсуммированием и коррекцией. Умножение же на степень двойки равносильно сдвигу влево на 1 разряд с введением коррекции.

А_2-10 = 0011.0101.0110_8-2-4-1 -множимое

В_2-10 = 0111.0010.0011_8-2-4-1 - множитель

Преобразование множителя:

B_2-10 = 0111. 0010.0011_8-2-4-1 = (0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ )*10² + (0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ )*10¹ + (0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ )*10⁰ = (000)*2³ +(100)*2² +(111)*2¹ +(101)*2⁰

A_2-10 =0011.0101.0110_8-2-4-1

A*B=0010.0101.0111.0011.1000.1000_8-2-4-1 = 257 388₁₀

Проверка: A*B =356₁₀ *723₁₀ = 257 388₁₀

Список используемой литературы

1.Фадеева Т.Р., Долженкова М.Л. Организация арифметических операций над двоичными числами. – Киров: Изд-во ВятГУ, 2001. – 40 с.

2. Конспекты лекций по дисциплине «Информатика».