| Канашский филиал
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
По математике
Вариант 3
Студента 1 курса экономического факультета
Шифр: 04653033 Учебная группа: 53-06
Работа выслана в Чувашский госуниверситет
«____» ____________2006 г.
Передана на кафедру «Экономики и управления»
Оценка___________ «___» _____________2006г.
Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич
Возвращена в деканат______________________
Математика
Вариант 3
Даны вершины А(х1
;у1
) ,В(х2
;у2
), С(х3
;у3
) треугольника. Требуется найти: 1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла
;
7)угол
в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.
вариант 3: А(5;-1), В(1;-4), С(-4;8).
Решение:
1)Длина стороны ВС:
  ;
2)Длина стороны АВ:
 ;
Скалярное произведение векторов  и
Угол :
cos
= ; =arcos
0,2462=75,75
;
3) Уравнение стороны ВС:
 ;  ;  ;  ;  ;
4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:
 ;  ;
Условие перпендикулярности двух прямых:
 ;  ;
 ;  ;  ;  ;
5) Длина высоты, проведенной из вершины А:
6) 
 
Уравнение прямой АС:
 
Уравнение биссектрисы внутреннего угла
:
7) Угол
в радианах с точностью до 0,01:
8) Уравнение стороны ВС:
Уравнение стороны АС:
Уравнение стороны АВ:
Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.
Задание 13.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).
Решение:
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:
По условию задачи 
Искомые прямые:
Задание 23.
Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки
F
(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.
Решение:
По условию задачи: 
- уравнение гиперболы с центром в точке  и полуосями 
Задание 33.
Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой  с окружностью  и ось  является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.
Решение.
Рассмотрим уравнение окружности:
Найдем точки пересечения окружности и прямой.
Координаты точек пересечения окружности и прямой  т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид  учитывая что  найдем параметр p
Таким образом, уравнение параболы 
Уравнение директрисы параболы: 
Задание 43.
Дано уравнение параболы f
(
x
;
y
)=0.
Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO
1
Y
уравнение параболы приняло вид X
2
=
aY
или Y
2
=
aX
.
Построить обе системы координат и параболу.
Решение:
Задание 53
Даны вершины А1
(Х1
;
Y
1
;
Z
1
),. А2
(Х2
;
Y
2
;
Z
2
), А3
(Х3
;
Y
3
;
Z
3
), А4
(Х4
;
Y
4
;
Z
4
)
пирамиды. Требуется найти: 1) длину ребра А1
А2
; 2)Угол между ребрами А1
А2
и А1
А4
; 3)угол между ребром А1
А2
и гранью А1
А2
А3
; 4) площадь грани А1
А2
А3
; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины А4
на грань А1
А2
А3
; 7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4
на грань А1
А2
А3
, и вершину А1
пирамиды.
A1
(3
;5;4),
А2
(5;8;3),
А3
(1;9;9), A4
(6;4;8)
;
Решение:
1) 
Длина ребра А1
А2
;
2) 
Длина ребра А1
А4
;
Скалярное произведение векторов А1
А2
и А1
А4
:
   
Угол между ребрами А1
А2
и А1
А4
:
3) Уравнение грани А1
А2
А3
:
Угол между ребром А1
А2
и гранью А1
А2
А3
:
4)Площадь грани А1
А2
А3
:
 кв. ед.
5) Объем пирамиды:
 куб. ед.
6) уравнение высоты, опущенной из вершины А4
на грань А1
А2
А3
:
7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4
на грань А1
А2
А3
, и вершину А1
пирамиды.
Задание 63.
Определить вид поверхности, заданной уравнением f
(
x
;
y
;
z
)=0
, и показать её расположение относительно системы координат.
Решение:
Эллиптический параболоид с вершиной О(
z
;
o
;
o
)
, направленный вдоль оси ОХ
, и имеющий полуоси на оси  по оси 
Задание 73.
Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.
Решение:
| 2
|
-9
|
-4
|
-3
|
3
|
|
-83
|
= >
= >
|
0
|
-47
|
-28
|
-13
|
7
|
|
-459
|
| 2
|
-7
|
-2
|
-1
|
-4
|
|
-57
|
0
|
-45
|
-26
|
-11
|
0
|
|
-433
|
| 7
|
-6
|
2
|
-2
|
0
|
|
-35
|
0
|
-139
|
-82
|
-37
|
-14
|
|
-1351
|
| 1
|
19
|
12
|
5
|
-2
|
|
188
|
1
|
19
|
12
|
5
|
-2
|
|
188
|
| |
|
| 0
|
-47/7
|
-4
|
-13/7
|
1
|
|
-459/7
|
0
|
68/77
|
30/77
|
0
|
1
|
|
980/77
|
| 0
|
-45
|
-26
|
-11
|
0
|
|
-433
|
0
|
45/11
|
26/11
|
1
|
0
|
|
433/11
|
| 0
|
-233
|
-138
|
-63
|
0
|
|
-2269
|
0
|
272/11
|
120/11
|
0
|
0
|
|
2320/11
|
| 1
|
39/7
|
4
|
3/7
|
0
|
|
398/7
|
1
|
94/77
|
-190/77
|
0
|
0
|
|
481/77
|
| |
| 0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
-2900/77
|
| 0
|
-19/15
|
0
|
1
|
0
|
|
-2583/11
|
| 0
|
13,6
|
1
|
0
|
0
|
|
116
|
| 1
|
1574/231
|
0
|
0
|
0
|
|
22521/77
|
Общее решение системы:
Задание 83.
Даны векторы  и  . Показать, что векторы  образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора  в этом базисе.
Решение:
Составим определитель из координат векторов  и вычислим его:
Так как  ,то векторы составляют базис. Найдем координаты вектора  в этом базисе:
| 2
|
-10
|
0
|
-4
|
|
-42
|
= >
|
0
|
-20
|
4
|
-4
|
|
-88
|
= >
|
0
|
48
|
-12
|
|
|
252
|
| 4
|
-9
|
10
|
3
|
|
-43
|
0
|
-29
|
18
|
3
|
|
-135
|
0
|
-80
|
30
|
|
|
-350
|
| 2
|
-7
|
0
|
-1
|
|
-39
|
0
|
-17
|
4
|
-1
|
|
-85
|
0
|
17
|
-4
|
|
|
85
|
| 1
|
5
|
-2
|
0
|
|
23
|
1
|
5
|
-2
|
0
|
|
23
|
1
|
5
|
-2
|
|
|
23
|
| 0
|
-4
|
1
|
0
|
|
-21
|
= >
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
3
|
| 0
|
40
|
0
|
0
|
|
240
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
6
|
| 0
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
-5
|
| 1
|
-3
|
0
|
0
|
|
-19
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|
-1
|
Итак 
Проверка:
2(-1)-10*6 -4(-5)=-42; -42=-42;
4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43; -43=-43;
2(-1)-7*6- -(-5)=-39; -39=-39;
-1+5*6-2*3 =23; 23=23.
 или 
Задание 93.
Дана матрица А .
Требуется найти: 1) матрицу, обратную матрице А;
2) собственные значения и собственные векторы матрицы А
.
Решение:
| -1
|
-2
|
12
|
|
1
|
0
|
0
|
|
1
|
2
|
-12
|
|
-1
|
0
|
0
|
| 0
|
4
|
3
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
4
|
3
|
|
0
|
1
|
0
|
| 0
|
5
|
6
|
|
0
|
0
|
1
|
0
|
5
|
6
|
|
0
|
0
|
1
|
| |
| 1
|
0
|
-13,5
|
|
-1
|
-0,5
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
|
-1
|
-8
|
6
|
| 0
|
1
|
0,75
|
|
0
|
0,25
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
6/9
|
-3/9
|
| 0
|
0
|
2,29
|
|
0
|
-1,25
|
1
|
0
|
0
|
1
|
|
0
|
-5/9
|
4/9
|
Обратная матрица:
Корни характеристического уравнения:
 - собственные значения матрицы А
.
При 
Собственный вектор:
Задание 103.
Построить график функции y
=
f
(
x
)
деформацией и сдвигом графика функции y
=
sin
x
.
Решение:
Задание 113.
Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).
 
Решение:
 
  
  
Подстановка: 
 
 
Задание 123.
Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x1
,x2
,x3
. Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.
Решение:
 
Так как   ,то функция в точке Х1
=-1 непрерывна.
   
Так как   ,то функция в точке х=3 разрывная.
 
Так как   ,то функция в точке х=7 непрерывна.
Задание 133.
Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график.
Решение:
 
Так как   , то функция в точке х=-1 разрывна.
 
Так как   , то функция в точке  непрерывна.
Задание 143.
Найти производные 
a)  б)  в) 
г)  д) 
Решение.
а) 
б) 
в) 
г)
д) 
Задание 153.
Найти  для функции, заданной параметрическим.
Решение.
Задание 163.
На линии  найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой 
Решение.
Угловой коэффициент прямой:
 или  
Угловой коэффициент касательной к линии:
Так как касательная к линии и прямая параллельны, то 
тогда:
Таким образом получаются две точки:
Задание 173.
Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
Решение.
Задание 183.
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.
 
Решение.
1. область определения функции: 
так как  то функция нечетная.
2. Точки пересечения с осями координат:
При  при 
3. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:
При  функция возрастает.
При  функция убывает.
При  функция убывает.
При  функция возрастает
Точка  точка максимума.
Точка  точка минимума.
4. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.
При  функция выпукла;
При  функция вогнута;
При  функция выпукла;
При  функция вогнута.
Точки  - точки перегибов.
5. Асимптот нет
1. область определения функции: 
2. точки пересечения с осями координат:
При 
 так как  то функция нечетная.
3. области возрастания (убывания) функции; точки экстремумов.
Точек экстремумов нет.
Так как  то функция возрастает.
4. область выпуклости (вогнутости) функции; точки экстремумов.
При  функция вогнута;
При  функция выпукла;
Точка (0;0) точка перегиба.
5. асимптоты.
 асимптота.
Задание 193.
Определить количество действительных корней уравнения  ;
отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001.
Решение.
Исследуем график функции.
Количество корней К=1.
Таким образом, функция принимает значения на отрезке  ,в качестве начального приближения возьмем 
метод касательных:
составим таблицу:
| 
|
|
|
|
|
|
|
| 1
2
3
|
-0,1
-0,398
-0,388
|
-0,001
-0,063
-0,586
|
1,499
-0,053
-0,0001
|
5,03
5,475
5,452
|
0,298
-0,0097
-0,00002
|
-0/3980
-0,3883
-0,3882
|
Искомый корень х=-03882
Задание 203.
Найти частные производные функции 
Решение.
Частные производные:
Задание 213.
Дана функция  и две точки  . Требуется:
1) вычислить приближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 2) вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.
Решение.
Вычислим частные производные в точке А.
Приближенное значение:
Вычислим точки значения функции:
Относительная погрешность вычисления:
Задание 223.
Даны функция  точка  и вектор а. Требуется найти:
1) grad z в точке А; 2)производную по направлению вектора в точке А.
Решение.
1) вектором градиентом функции двух переменных  является вектор:
Найдем частные производные в точке А:
2) производная по направлению вектора  вычисляется по формуле.
 
Задание 233.
Найти наименьшее и наибольшее значение функции  в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.
Решение.
Частные производные:
На прямой АВ:  \
На прямой АС: 
На прямой ВС: 
 
Z наибольшее =5; z наименьшее =-117.
Использованная литература:
1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М:МЦНМО,2002 г.
2 Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:
-М: Оникс 21 век, 2005 г.
3 Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание, переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М:УНЦДО, 2004 г.
|
