Правило Лопиталя или правило Бернулли?

Любой студент вуза, в котором изучается математика, должен знать имя Лопиталя и его знаменитые правила для вычисления пределов вида . В частности, правило Лопиталя гласит, что для двух данных функций и , непрерывных и дифференцируемых в точке , таких, что , предел при , стремящемся к , отношения равен пределу при отношения производных

,

при условии, что этот предел существует. Сказанное может показаться сложноватым для непосвященных, однако математическая запись этого достаточно проста:

при условиях, о которых написано выше.

Это правило названо в честь французского математика, жившего в XVII веке, Франсуа Гийома Антуана, маркиза де Лопиталя (1661–1704), который в 1692 году написал Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), первую книгу по дифференциальному исчислению. Книга состоит из десяти разделов, и девятый, в частности, включает в себя результат, в настоящее время известный как правило Лопиталя.

Лопиталь

Работа в свое время имела большой успех, и несколько раз переиздавалсь в восемнадцатом веке. Во введении автор признает свой долг перед Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли, так как “Я свободно использовал их открытия”. Лопиталь утверждает, что роль Лейбница в анализе близка к роли Ньютона, но он предпочитает первого, “поскольку его изложение более простое и прямое”. О Бернулли, однако, он ничего не добавляет, кроме как то, что он является профессором в Гронингене.

Так кто же был Иоганн Бернулли и почему маркиз де Лопитал был в долгу перед ним?

Иоганн Бернулли

Вопреки мнению отца, десятый ребенок в семье Бернулли, Иоганн изучал медицину в университете Базеля. В то же время ему тайно давал уроки математики его старший брат Якоб, с которым он вскоре сравнялся в знаниях. В 1691 году он принял участие в своей первой математической дуэли, решении задачи о выводе уравнения цепной линии, поставленной Якобом. Молодой Иоганн решил задачу быстро и потряс своих современников.

Иоганн Бернулли

В одной из своих поездок в Париж Иоганн Бернулли познакомился с маркизом де Лопиталем, который был в то время одним из наиболее выдающихся французских математиков. Лопиталь был поражен талантом молодого Бернулли и его мастерством владения дифференциальным и интегральным исчислением, созданным Лейбницем. Сознавая свое незнание, Лопиталь нанял Иоганна за приличное вознаграждение, чтобы тот научил его тайнам нового исчисления. Когда Иоганн был вынужден вернуться в Базель, он обещал никому не говорить о занятиях, которые продолжались по переписке.

Иоганн воспользовался возможностью, чтобы скопировать письма, поскольку у него возникла идея подготовить курс анализа. Но ученик опередил учителя. Используя уроки Иоганна, Лопиталь опубликовал в 1696 году первую работу по дифференциальному исчислению “Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes” (“Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий”).

Книга раздора

Иоганн молчал, как и обещал маркизу, и не требовал признания своего авторства. Но в частном порядке он посетовал, что открытия Лопиталя являются наглым плагиатом. В письме к Лейбницу в 1698 году Бернулли заявил, что “за исключением нескольких страниц, все остальное он получил от меня в письменной форме [...] Его главное достоинство в том, что он все упорядочил и аккуратно изложил по-французски то, что я беспорядочно писал для него, частично на французском языке и частично на латыни”. Только после смерти маркиза в 1704 году Бернулли несколько возместил утраченное, опубликовав многие свои результаты, в частности, и правило Лопиталя.

Но Иоганну повредила его репутация смутьяна. Он ожесточенно соперничал со своим братом и учителем Якобом, и с собственным сыном Даниилом, которого он тоже учил. Он также активно участвовал в полемике Ньютона и Лейбница, связанной с приоритетом открытия дифференциального исчисления, он был на стороне Лейбница. В отличие от Иоганна, репутация маркиза была безупречна. Претензии Иоганна не привели ни к чему и вскоре были забыты.

Потерянная переписка

Первые признаки того, что претензии Иоганна могут быть справедливыми, появились в 1922 году, когда в библиотеке Базеля нашли экземпляр курса Иоганна Cálculo diferencial (“Дифференциальное исчисление”), который никогда не публиковался. Если сравнить его с книгой Лопиталя, ясно, что по сути это одно и то же.

Но определенность появилась в 1955 году, когда обнаружилась первая переписка между Иоганном и Лопиталем. Затем открылось необычное предложение, которое маркиз де Лопиталя сделал Иоганну Бернулли в письме от 17 марта 1694 года.

“Я Вам с удовольствием предоставлю содержание в 300 ливров, начиная с 01 января этого года и пришлю Вам 200 ливров за первую часть года, за обзоры, которые Вы отправили, и дам еще 150 ливров за вторую половину этого года, так будет и дальше. Я обещаю, что эти суммы в ближайшее время увеличатся, так как я понимаю, что они скромные, и я это сделаю, как только мои дела прояснятся… Я не так неразумен, чтобы претендовать на все Ваше время, но я прошу уделять мне время от времени несколько часов, чтобы ответить на мои вопросы, и чтобы сообщить мне о своих открытиях с условием не рассказывать о них другим. Также сообщаю, что не буду посылать Вариньону или другим копии этих записей, поскольку мне это не нравится. Ответьте мне на это”.

Хотя ответ Бернулли не сохранился, понятно, что он согласился на сделку (что неудивительно, если учесть, что Иоганну тогда было всего 24 года, и он и был безработным). В последующих письмах Бернулли отвечал маркизу на его вопросы. Одно из них содержит правило Лопиталя. Кроме того, примеры, приведенные Бернулли, практически идентичны тем, которые включены в работу, изданную позднее маркизом. Но мы должны также признать, что Лопиталь исправил некоторые ошибки, совершенные Бернулли, например, Бернулли считал конечным интеграл от .

Иоганн Бернулли умер в возрасте 80 лет. В его большое математическое наследие очень немногие включают то, что сегодня мы называем правилом Лопиталя.