А.А.Дмитриевский

Скоро Новый год.

А завтра, 21 декабря будет полное лунное затмение, которое в России можно видеть только на северо-востоке России.

Поэтому я решил написать о солнечных календарях.

Слово «календарь» в русском языке имеет много значений. Здесь под словом «календарь» понимается система измерения и счета длительных промежутков времени, значительно более длинных, чем сутки.

Теория солнечных календарей — очень проста для понимания. И оказывается, что эта теория, несмотря на то, что является довольно абстрактной, имеет прямое отношение к практике исчисления времени для целей богослужения. Поэтому она и стала ареной борьбы различных направлений христианства.

Люди, пытаясь обосновать свои предпочтения (какой календарь лучше, юлианский или григорианский календарь), тщетно стремятся доказать недоказуемое.

Я воздержусь от того, чтобы погружаться в полемику с религиозной окраской, тем более, что по этому поводу понаписано много глупостей с точки зрения астрономии, и самое разумное — все игнорировать.

Моя цель: объяснить простым человеческим языком теорию солнечных календарей, без излишних усложнений, — только самое необходимое.

1. Почему есть те или иные календари?

Сорок с лишним лет тому назад я вместе с другими студентами, обучающимися на военной кафедре, был на военных сборах целых два месяца. У нас не было ни газет, ни радио, нам не нужно было знать какое сегодня число. Каждое утро подъем, делаешь, что приказано, а вечером отбой. И так день за днём….

Я с удивлением заметил, что стал считать время по Луне! Например: "В лагерях мы должны быть две луны. Полторы луны уже прошло, значит осталось половина луны, — около двух недель".

Оказывается, очень удобно ориентироваться во времени по фазам Луны! Неудивительно, что весь мусульманский мир живёт по лунному календарю. Такой календарь имеет своим истоком быт скотоводов и кочевников.

Дата в лунном календаре указывает на фазу Луны.

Земледельцем фаза Луны не очень интересна. Им важно провести сельхозработы в благоприятное для этого время. Ориентироваться по погоде получается не всегда, — год на год, как мы знаем, не приходится. Поэтому земледельцам нужен календарь, который указывал бы на сезон года.

В свою очередь, сезоны года зависят от Солнца: летом Солнце высоко над горизонтом, да и дни длиннее, поэтому летом тепло. Зимой всё наоборот.

Поэтому для земледельцев солнечный календарь — самый подходящий.

Кроме того, солнечный календарь предпочтительнее, чем лунный в умеренных поясах Земли, потому что именно там наиболее выражены сезоны года.

Дата в солнечном календаре указывает на сезон года.

Итак, в практике всех народов мира применяются, в основном, два типа календарей, — лунные и солнечные.

Другие типы календарей — экзотика.

В частности, лунно-солнечные календари, указывающие и на фазу Луны, и на сезон года, слишком сложны, поэтому широкого распространения не получили.

2. Что такое средние солнечные сутки?

Прежде чем вести учёт длительных промежутков времени, нужно определиться, в каких единицах это делается.

Наша обыденная жизнь связана со световым днём и, следовательно, с Солнцем. Поэтому естественно было бы взять за основу истинное солнечное время, которое показывают солнечные часы. А промежутки времени измерять в истинных солнечных сутках, которые длятся от одного полудня, когда Солнце выше всего над горизонтом, до следующего, когда оно снова будет выше всего над горизонтом.

Но, оказывается, не так всё просто. Уже более трёхсот лет тому назад парижские часовщики написали на цеховом гербе: «Солнце показывает время обманчиво». — Показания солнечных и точных механических часов расходятся, причём разница может превышать 16 минут. Это значит, что истинное солнечное время — не равномерное, а истинные солнечные сутки имеют разную продолжительность в зависимости от сезона года.

Отсюда понятно, что для точного измерения и счёта времени истинное солнечное время и истинные солнечные сутки не подходят; требуется равномерно текущее время с одинаковыми по длительности сутками, и, кроме того, имеющее привязку к Солнцу.

Следовательно, истинное солнечное время нужно исправить. Для этого вводят поправку, называемую уравнением времени, — число минут, секунд и долей секунд, которые прибавляют к истинному солнечному времени, чтобы получить равномерно текущее среднее солнечное время.

Средние солнечные сутки (это промежуток времени от 0 часов среднего солнечного времени до следующего 0 часов) всегда имеют одинаковую продолжительность.

Именно средними солнечными сутками мы пользуемся в обыденной жизни. Когда мы говорим, что прошло столько-то суток, это означает, что речь идёт как раз о средних солнечных сутках.

Длительные промежутки времени в сутках измерять неудобно. Например, если вы спросите меня, каков мой возраст, я отвечу: примерно 22300 суток, — получается слишком большое число. Такими числами неудобно оперировать, они не обладают наглядностью. Поэтому все мы пользуемся тем или иным календарём, — системой измерения и счёта длительных промежутков времени.

3. Как установить тот факт, что Земля совершила полный оборот по отношению к Солнцу?

Нам уже известно, что дата в солнечном календаре указывает на сезон года. Чтобы календарь был точным, нужно чтобы продолжительность календарного года была бы в точности равна периоду, с которым меняются сезоны года.

Поэтому требуется знать период, с которым меняются сезоны года.

В начальной школе учили, что сезоны года меняются потому, что Земля совершает полный оборот вокруг Солнца за один год. Следовательно, сезоны года меняются с таким же периодом. Это совершенно правильный ответ. Но очень не точный, он нас не устраивает.

Поэтому поставим вопрос немного по-другому: «Что значит полный оборот, т.е. как установить тот факт, что Земля совершила полный оборот вокруг Солнца?"

Может быть так? — В какой-то момент Земля была ближе всего к Солнцу (в перигелии своей орбиты, это бывает в первых числах января), потом сделала полный оборот и снова вернулась туда же? Соответствующий промежуток времени астрономы называют аномалистическим годом. Его продолжительность равна 365,2596 средних солнечных суток.

А может быть по-другому? Если бы мы находились среди далёких звёзд, т.е. смотрели на солнечную систему со стороны, то обнаружили бы, что Земля обращается вокруг Солнца с периодом 365,25636 средних солнечных суток. Этот период называется сидерическим или звёздным годом.

А ещё астрономы знают тропический год, драконический год…. Это тоже в некотором смысле периоды обращения Земли вокруг Солнца.

Итак, какой год взять за основу солнечных календарей?

4. Что такое тропический год?

Земля обращается вокруг Солнца.

А земному наблюдателю представляется, что Солнце перемещается по небу среди звёзд; так думали в древности, в античные времена и в средневековье.

В июне-июле Солнце далеко смещается в северное полушарие неба, — в то полушарие неба, где расположена Полярная звезда. Поэтому Солнце сильно прогревает северное полушарие Земли, где в это время — лето. Наоборот, в декабре-январе Солнце далеко уходит в южное полушарие неба, поэтому оно прогревает южное полушарие Земли, и лето там, а в северном полушарии Земли в декабре-январе зима.

Это наглядно видно на карте экваториальной области неба:

Здесь фиолетовая линия — небесный экватор. Выше него — прилегающая к экватору часть северного полушария неба, ниже — экваториальная часть южного полушария.

Красная линия изображает годовой путь Солнца по небу, называемый эклиптикой. Изображение Солнца на карте перемещается вдоль эклиптики справа налево.

Дважды в год, в дни весеннего (20-21 марта) и осеннего равноденствий (23 сентября), Солнце бывает на небесном экваторе в точках весеннего и осеннего равноденствия. Наверху подписаны сезоны года для северного полушария Земли, когда Солнце находится в соответствующей области неба.

Солнце, проходя через точку весеннего равноденствия, — на карте она обозначена буквами ВР, — попадает из южного полушария неба в северное. Именно момент прохождения Солнца через точку весеннего равноденствия является началом астрономической весны. По своей сути этот момент является переходным от зимы к лету для северного полушария Земли.

Ну, сами посудите, как же может быть иначе? Летом дни длинные, зато ночи короткие, а зимой всё наоборот. В день весеннего равноденствия продолжительности дня и ночи в точности уравниваются1. Поэтому момент прохождения Солнца через точку весеннего равноденствия и принят за начало астрономической весны.

Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через точку весеннего равноденствия называется тропическим годом. Т.е. была весна (в северном полушарии Земли), а потом снова наступит весна.

Это значит, что сезоны года повторяются с периодом, равным тропическому году.

По современным данным его продолжительность на 1 января 2000 года равна 365,2421897 ср. солн. суток или 365 дней 5 часов 48 минут 45,19 секунды.

5. Почему у разных годов разная продолжительность?

Итак, продолжительность

— звёздного (сидерического) года 365, 25636 ср. солн. суток,

— аномалистического года 365,2596 ср. солн. суток,

— тропического года 365,2422 ср. солн. суток

С точки зрения геометрии и кинематики именно звёздный год и есть тот самый период, с которым Земля обращается вокруг Солнца.

Орбита, по которой Земля обращается вокруг Солнца, под воздействием планет солнечной системы, особенно таких, как Юпитер и Сатурн, со временем немного меняется. В частности перигелий орбиты Земли очень медленно движется так, что Земле приходится его догонять, а на это требуется время. Поэтому аномалистический год длиннее звёздного.

Тропический год, наоборот, короче звёздного, потому что точка весеннего равноденствия сама медленно движется по небу навстречу Солнцу, следовательно, Солнце и точка весеннего равноденствия встречаются раньше, чем Земля сделает полный оборот вокруг Солнца.

Т.е. равноденствия наступают немного раньше, "чем положено". Такое явление, получившее название «предварение равноденствий», объясняется прецессией земной оси. Оно было открыто основоположником научной астрономии Гиппархом из Никеи около 120 года до н.э. , а также независимо от него китайским астрономом Юй Си около 330 г. нашей эры.

Какой год самый главный? — Правильный ответ вы, наверное, уже и сами знаете.

— В небесной механике естественным образом возникает и поэтому является самым главным аномалистический год.

— Если нужно охарактеризовать обращение Земли вокруг Солнца в пространстве, — то главным является звёздный год.

— В теории солнечных календарей главным является тропический год, потому что сезоны года повторяются с периодом, равным тропическому году.

— Наконец, предсказания солнечных и лунных затмений выполняются на основе т. н. драконического года (346,620 ср. солн. суток).

6. Как измерить продолжительность тропического года?

Древний человек, у которого нет никаких астрономических инструментов, мог бы поступить так. В южной стене прочного помещения или пещеры делается такое отверстие, в которое прямые солнечные лучи в полдень попадают только дважды в год, — весной и осенью, а затем подсчитывается количество прошедших суток и лет.

Количество суток определяется по чередованию дня и ночи. Счёт лет следует начинать от дня появления весеннего солнечного луча, а затем наблюдать следующие появления. При этом нужно иметь в виду, что в какие-то годы наблюдения могут не получиться из-за плохой погоды.

В результате таких примитивных наблюдений станет известно, m суток составляют n лет. Тогда средняя продолжительность тропического года будет приближённо равна дроби m/n.

Спустя 20 лет можно будет утверждать, что продолжительность тропического года приблизительно равна 365,25 суток, что достаточно для создания юлианского календаря. Для создания календаря, подобного григорианскому, придётся наблюдать несколько сотен лет.

И ещё. Для определения продолжительности тропического года можно также наблюдать полуденную высоту Солнца, которая, как известно, минимальна в дни солнцестояний. Известно, что знаменитый древнегреческий астроном Метон для наблюдения солнцестояний воздвигал свои стелы (колонны) и инструменты в Афинах у самой площади народных собраний.

Около 125 до н.э. Гиппарх из Никеи уточнил продолжительность тропического года и синодического месяца, — промежутка времени между двумя последовательными, одинаковыми фазами Луны.

Согласно Гиппарху 304 солнечных года соответствуют 3760 лунным месяцам. Это позволило ему получить более точные значения продолжительности и тропического года, и синодического месяца, приблизив их к истинным значениям.

По данным Гиппарха солнечный год равнялся 365 дням 5ч 55 мин 16 сек, а лунный месяц — 29 дням 12 ч 44 мин 2,5 сек. Первая из этих величин всего лишь на 6 мин 30,41 сек больше принятого в настоящее время значения, а вторая — на 0,5 сек меньше.

Современное значение для продолжительности тропического года таково: на 1 января 2000 года он равен 365,2421897 ср. солн. суток или 365 дней 5 часов 48 минут 45,19 секунды.

7. В чём главная проблема солнечных календарей.

Календарный год должен содержать целое число суток, — альтернативная возможность даже не обсуждается, потому что иначе будет очень неудобно измерять время.

Тропический год длиннее, чем 365 суток на 0,2422 суток. Поэтому, если принять продолжительность календарного года в 365 суток, то новый год будет наступать раньше, чем положено, на 0,2422 суток. За четыре года ошибка достигнет примерно одних суток, за 120 лет она будет равна целому месяцу, а за 360 лет — целому сезону! Это значит, что когда календарь указывает на Новый год, на самом деле ещё осень.

Отсюда понятно: чтобы между сезонами года и календарём не было расхождений, необходимо точное равенство календарного и тропического года.

Итак, календарный год должен содержать целое число суток. Тропический год не содержит целое число суток. Поэтому они не могут быть в точности равны.

Противоречие.

В прошлом сообщении отмечено противоречие: чтобы календарь был точный, нужно добиться строгого равенства календарного и тропического года, — что невозможно. Потому что календарный год должен содержать целое число средних солнечных суток, а продолжительность тропического года равна 365,2422 средних солнечных суток.

Противоречие разрешается введением високосных годов.

Допускается, что разные календарные года могут содержать разное число целых суток. При этом требуется, чтобы средняя продолжительность календарного года была в точности равна тропическому году.

Принимается, что обычный год содержит 365 суток, а високосный год — 366 суток.

Это наиболее простое и разумное решение.

Конечно, можно иметь не два, а три, четыре, пять и т.д., видов годов разной продолжительности. Или, например, простой год может иметь 363 суток, а високосный 370 суток. — Но такие усложнения совершенно ни к чему, потому что они не дают ни малейшей выгоды в смысле упрощения календарной системы.

8. Арифметическая теория солнечных календарей.

Посмотрим, как накапливается расхождение между показаниями самого простого календаря, — древнеегипетского, все годы которого имеют одинаковую продолжительность 365 ср. солн. суток и сезонами года, которые повторяются с периодом в 365, 2422 ср. солн. суток.

Обращаю ваше внимание на третью колонку таблицы. Числа в ней является поправкой, которая показывают, насколько накопившаяся ошибка отличается от ближайшего целого числа суток.

Неустранимой является лишь та часть ошибки (см. вторую колонку), которая содержит дробное число суток. Наоборот, ту часть ошибки, которая является целым числом суток, можно легко устранить введением високосных годов.

Поэтому, именно поправка является мерой точности календаря, — чем меньше поправка, тем более точен календарь.

Из таблицы следует, что возможен солнечный календарь, называемый юлианским календарём, с периодом в четыре года, среди которых три простых и один високосный год.

Юлианский календарь элементарный, но, как оказалось, довольно точный. Ниже будет показано, что ошибка юлианского календаря составляет 1 сутки за 128 лет.

И на этом можно остановиться. — В самом деле, если кто и проживёт 128 лет, то ошибку в 1 сутки уж точно не заметит!

Но, как говорится, нет предела совершенству…

Поэтому продолжаем таблицу:

Здесь опущены многие результаты, которые хуже, т.е. менее точны, чем юлианский, четырёхлетний период, а точные календарные системы помечены красным цветом.

Продолжаем эту таблицу, но теперь опускаем все результаты, которые менее точны, чем те, которые уже имеются.

Оказывается, в точности такую же таблицу можно легко получить с помощью цепных (непрерывных) дробей. Но поскольку теперь в школах непрерывные дроби не изучаются и, следовательно, многие люди слышат об них впервые, пришлось обойтись без таких дробей.

Ниже приводится сводная таблица наиболее известных солнечных календарей в порядке возрастания их точности.

Число средних солнечных суток в календарном периоде, состоящем из n лет равно: [365(n – m) + 366m], а n тропических лет длятся 365,2422n средних солнечных суток. Эти два числа не равны, так как календарная система обладает некоторой погрешностью.

Разность между этими двумя числами — ошибка календаря, которая накапливается за один календарный период. Разделив это число на n, получим среднегодовую ошибку календарной системы (пятый столбец последней таблицы):

Δ = [365(n – m) + 366m – 365,2422n]/n =

[365(n – m) + 366m]/n – 365,2422 = (m/n) – 0,2422.

Следовательно, целые сутки накопятся за (1/|Δ|) лет.

Например, для юлианского календаря: (m/n)=1/4=0,25.

Поэтому Δ = 0,25 – 0,2422 = 0,0078(сут/год). Сутки накапливаются за 1: 0,0078=128 лет.

При этом отметим, что такие большие значения, как 50.000 лет, 100.000 лет, до некоторой степени условны. Они вычислены в предположении, что продолжительность тропического года неизменна и равна в точности 365,2422 средних солнечных суток.

Но это не так. Продолжительность тропического года медленно меняется хотя бы потому, что вращение Земли постепенно тормозится из-за приливов, и, кроме того, орбита Земли меняется вследствие планетных возмущений.

Да и кому нужны здесь точные цифры? Например, ошибка, равная одним суткам, в новоюлианском календаре накапливается или за 43.500 лет, или за 50.000 лет, — не всё ли равно?! Пусть тот, кому нужна точность, доживёт и проверит!

9. О правилах високосных годов

Представим себе, что в григорианском календаре, сначала пройдут подряд все 97 високосных лет, а потом 303 простых года. Такой календарь будет, как мы знаем, давать ошибку на протяжении календарного периода одни сутки за Δ=3280 лет.

Но жить с таким календарём не лучше, чем с древнеегипетским! В самом деле, за 97 лет должно быть примерно 24 високосных года. Поэтому окажется 97–24=73 високосных года лишних, откуда следует, что ошибка такого календаря будет достигать δ=73 суток, — более двух месяцев.

Такую ошибку все заметят!

После чего ошибка постепенно уменьшится почти до нуля, потому что все оставшиеся 303 года будут простыми.

Этот пример показывает, что

— нужно различать среднегодовую ошибку (Δ) и текущую ошибку календаря (δ).

— важно сформулировать хорошие правила високосных годов, т.е. такие правила, которые удачно распределяют високосные годы внутри календарного периода.

Выведем формулу, которая позволит проводить диагностику правил високосных годов, — какие правила лучше, а какие хуже.

Допустим, что прошло t лет (t ≤ n), из которых, согласно правилу високосных годов, было b високосных и t-b простых. Тогда текущая ошибка календаря будет равна:

δ = |366b + 365(t - b) – 365,2422t| =

= |b – 0,2422t|.

Пример.

Правило високосных годов юлианского календаря:

Если порядковый номер года делится без остатка на 4, то год високосный, если нет, — то простой.

Рассмотрим текущую ошибку юлианского календаря, начиная с 2011 года:

Таблица для 2012 года:

Ещё две таблицы для 2013 и 2014 года не приводятся, так как они не содержат текущую ошибку больше, чем 0,7578.

Отсюда понятно, максимальная текущая ошибка юлианского календаря составляет 0,7578 средних солнечных суток.

Точно также, перебрав всевозможные варианты, можно найти максимальную текущую ошибку для любой календарной системы с любым конкретным правилом високосных годов. Именно максимальная текущая ошибка является показателем качества правила високосных годов.

Однако на практике, оказывается, всё очень просто. — Високосные годы следует распределять в календарном периоде как можно более равномерно. Тогда ошибка не превысит 1,5 — 2 суток. Такую ошибку никто не заметит, кроме нескольких астрономов, но им — всё равно.

10. Взаимосвязь систем солнечных календарей.

Оказывается, что все солнечные календари, за исключением древнеегипетского и республиканского, являются производными от двух календарей, — юлианского и календаря Омара Хайяма.

Теперь пара слов на языке математики, а потом то же самое скажу простым человеческим языком.

Любую календарную систему с високосными годами можно изобразить матрицей–столбцом, где верхнее число, — количество високосных лет (m), среднее число — количество простых лет (n – m), нижнее число — календарный период (n).

Пусть МЮ и МОХ — матрицы, характеризующие юлианский календарь и календарь Омара Хайяма соответственно. Тогда матрица М любого солнечного календаря с високосными годами может быть представлена как линейная комбинация:

М = α МЮ + β МОХ ,

здесь α и β — некоторые целые числа.

На простом человеческом языке это означает, что если α, взятое из таблицы, умножить на 1, т.е. число високосных лет в юлианском календаре, а β, взятое из той же строки таблицы, умножить на 8, число високосных лет в календаре Омара Хайяма, то получим число високосных лет в соответствующем календаре. Аналогично для простых лет, а также для календарных периодов.

Например, для григорианского календаря, α=1, β=12:

Число високосных лет: 1х1+12х8=97;

Число простых лет: 1х3+12х25=303

Календарный период в годах: 1х4+12х33=400.

Это значит, что григорианский календарь составлен из 12 календарных периодов календаря Омара Хайяма, к которым добавлен один период юлианского календаря.

Ещё пример, для календаря Иоганна Медлера, α=–1, β=4:

Число високосных лет: (–1)х1+4х8=31;

Число простых лет: (–1)х3+4х25=97;

Календарный период в годах: (–1)х4+4х33=128.

Это значит, что календарь Иоганна Медлера составлен из четырёх календарных периодов календаря Омара Хайяма, а затем из них исключён один период юлианского календаря.

Впрочем, и без этого календарь Иоганна Медлера возникает очень естественно: в юлианском календаре ошибка в одни сутки набегает в течение 128 лет, и за это же время должно быть 128:4=32 високосных года. В календаре Иоганна Медлера только 31 високосный год, т.е. календарь Медлера получается в результате очевидного исправления юлианского календаря.

11. Три типа солнечных календарей.

Первый тип, когда ошибка не исправляется. Таков древнеегипетский календарь, где календарный год содержит 365 средних солнечных суток. Поэтому ошибка, возникающая вследствие того, что тропический год не укладывается в целое число средних солнечных суток, никак не исправляется.

Второй тип, когда ошибка исправляется нерегулярно, по мере необходимости. Таков республиканский календарь или, иначе, календарь французской революции (конец XVIII века — начало XIX века). В этом календаре ошибка совсем не накапливается, потому что компенсируется по мере необходимости, исходя из астрономических вычислений. Год в этом календаре начинался в полночь того дня, на который по среднему солнечному парижскому времени приходился момент осеннего равноденствия.

Високосные годы вследствие этого наступают то через четыре, то через пять лет. А точнее, семь раз подряд високосные годы повторяются через четыре года, а восьмой високосный год наступает через пять лет. Иначе говоря, в 33-летнем периоде високосными годами являются 4-й, 8-й, 12-й, 16-й, 20-й, 24-й, 28-й, и, наконец, 33-й.

Точно также високосные годы чередуются в календаре Омара Хайяма, при условии, что високосные годы расположены внутри 33-х летнего периода оптимальным образом. И это совсем неудивительно, — календарь Омара Хайяма является самым точным из простейших календарей.

Третий тип, промежуточный, когда ошибка исправляется введением високосных лет. Арифметическая теория таких календарей нами уже полностью рассмотрена. Оказалось, что все календари третьего типа являются производными от двух календарных систем, — юлианского календаря и календаря Омара Хайяма.

Всё!

Больше ничего в теории солнечных календарей от астрономии нет. Всё остальное в солнечных календарях — никак не детерминировано той или иной астрономической реальностью; некоторые особенности календарей, может быть, и были когда-то, в далёком прошлом, связаны с астрономическими явлениями, но теперь такая связь утрачена.