Книга: Дослідження точності впливу ситуативної тривожності на характеристики памяті методом статистични

Міністерство освіти і науки України

Міжнародний економіко-гуманітарний університет

ім. Академіка С. Дем’янчука

ДОСЛІДЖЕННЯ

точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичних випробувань Монте Карло

Модель ППП 051- 1

Науковий керівник:

кандидат технічних наук,

доцент Р.М. Літнарович

Рівне, 2007

Абрамович К.П. Дослідження точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичних випробувань Монте Карло. Модель ППП О51 – 1.МЕГУ, Рівне, 2007, -30с,

Рецензент: С.В. Лісова, доктор педагогічних наук, професор. Відповідальний за випуск: Й.В. Джунь, доктор фізико-математичних наук, професор.

На основі результатів психологічного експерименту побудована математична модель залежності ситуативної тривожності на характеристики пам’яті у вигляді кубічного поліному по способу найменших квадратів.

В даній роботі генеруються середні квадратичні похибки, які приводяться до заданих нормованих, будується спотворена модель, зрівноважується по способу найменших квадратів. Знаходяться ймовірніші значення коефіцієнтів а, в, с, d кубічного поліному апроксимуючої математичної моделі.

Робиться оцінка точності і даються узагальнюючі висновки. Примінений метод статистичних випробовувань Монте Карло дав можливість провести широкомасштабні дослідження і набрати велику статистику.

Для студентів і аспірантів педагогічних вузів

© Абрамович К.П.

Передмова

За результатами психолого-педагогічного експерименту при дослідженні впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті, будується математична модель у вигляді поліному третього порядку.

Вихідними даними для проведення досліджень в даній роботі беруться результати психолого-педагогічного експерименту – бали тесту самооцінки тривожності по шкалі Спірбергера (Х_і ) і характеристики пам’яті – кількість правильних відповідей на запитання вікторини (У_і ).

За цими даними була побудована математична модель у вигляді поліному третього порядку способом найменших квадратів. Дана модель приймалась за істинну модель.

Генерувались випадкові числа, знаходився коефіцієнт пропорційності К і дані випадкові числа приводилися до середньої квадратичної похибки 0,1 і 0,05, що відповідає ціні найменшої поділки шкали Спірбергера і половині поділки даної шкали.

Будується спотворена модель, яка зрівноважується по способу найменших квадратів.

Дається оцінка точності елементів, зрівноважених процедурою способу найменших квадратів. Робляться узагальнюючі висновки.

1. Представлення істинної моделі

За результатами строгого зрівноваження [6,c.33] отримана емпірична формула залежності характеристик пам’яті Х від ситуативної тривожності У9(істинна модель)

у = -4,717425 Х³ + 33,731505 Х² – 85,78331 Х + 88,244437. (1.1)

Таблиця 1. Вихідні дані істинної моделі у табличному вигляді [6,c.28]

За даними табл.. 1 побудуємо точкову діаграму і графік

Рис.1. Точкова діаграма і графік

Побудувавши ймовірнішу модель по способу найменших квадратів і зробивши оцінку точності її елементів, в подальшому необхідно провести дослідження точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичних випробувань Монте Карло. Для цього необхідно генерувати істинні похибки за допомогою генератора випадкових чисел.

2. Генерування істинних похибок для дослідження математичної моделі методом статистичних випробувань Монте Карло

По шкалі Спірбергера [1] незалежні змінні представляються з точністю 0,1. прийнято, що точність спостережень дорівнює половині шкали.

Тому логічно генерувати випадкові похибки з точністю, яка б дорівнювала 0,05, тобто половині шкали з якою ми працюємо. Але поставимо перед собою задачу ще дослідити математичні моделі з граничною точністю, яку приймемо вдвічі більшу за 0,05, тобто рівну 0,1. При цьому непарні моделі генерують середню квадратичну похибку 0,1, а парні – 0,05.

Сучасні калькулятори мають “вшиті” генератори для генерування випадкових чисел від 0 до 1. але вони генерують числа тільки зі знаком “плюс”.

Приведемо методику розрахунку випадкових чисел, які приймемо в подальшому як істинні похибки для побудови спотвореної моделі.

1. Отримавши ряд випадкових (а точніше псевдовипадкових) чисел ξ_і , натиском клавіш К, Cч, розраховують середнє арифметичне генерованих псевдовипадкових чисел ξ_ір .

(2.1)

де п – сума випадкових чисел.

2. Розраховуються попередні значення істинних похибок Δ΄_і за формулою

, (2.2)

3. Знаходять середню квадратичну похибку попередніх істинних похибок за формулою Гаусса

, (2.3)

4. Вичисляють коефіцієнт пропорційності К для визначення істинних похибок необхідної точності

, (2.4)

де С – необхідна нормована константа.

Так, наприклад, при т _Δ΄ = 0,28 і необхідності побудови математичної моделі з точністю с=0,1 , будемо мати

,

а при С=0,05 , отримаємо К_0,05 = 0,05/0,28 =0,178

5. Істинні похибки розраховуються за формулою

, (2.5)

6. Заключним контролем служить розрахунок середньої квадратичної похибки т _∆ генерованих істинних похибок ∆

, (2.6)

і порівняння

(2.7)

Таблиця 2 . Генерування псевдовипадкових чисел і розрахунок істинних похибок

№ п/п	ξ і	- ξср		∆΄ і 2		∆і 2
1	0,008	0,457	-0,449	0,20174	-0,207	0,04283629
2	0,39	0,457	-0,067	0,004457	-0,031	0,00094637
3	0,37	0,457	-0,087	0,007527	-0,04	0,00159833
4	0,78	0,457	0,3232	0,104484	0,149	0,02218548
5	0,47	0,457	0,0132	0,000175	0,0061	0,00003722
6	0,24	0,457	-0,217	0,046985	-0,100	0,00997656
7	0,46	0,457	0,0032	1,05E-05	0,00149	0,00000223
8	0,61	0,457	0,1532	0,023482	0,071	0,00498610
9	0,5	0,457	0,0432	0,00187	0,01992	0,00039699
10	0,74	0,457	0,2832	0,080225	0,13052	0,01703443
П = 10	4,568	Суми	8E-16	0,470955	3,6E-16	0,10000000

Середня квадратична похибка попередніх істинних похибок

mΔ’ = (0,470955/10)0.5 =0,2170151.

Коефіцієнт пропорційності

.

Середня квадратична похибка при генеруванні випадкових чисел з точністю с=0,1

m_{Δ ’} =(0.10000000/10)^0.5 = 0.1000000.

Таблиця 3 . Побудова спотвореної моделі

По даним спотвореної моделі виконують строге зрівноваження методом найменших квадратів і отримують ймовірніші моделі, яким роблять оцінку точності зрівноважених елементів і дають порівняльний аналіз на основі якого заключають на предмет поширення даної моделі для рішення проблеми в цілому.

3. Представлення системи нормальних рівнянь

В результаті проведеного експерименту ми маємо ряд результатів Х_і , У_і , функціональну залежність між якими будемо шукати за допомогою поліному степені К, де коефіцієнти а_і являються невідомими.

Тоді, система нормальних рівнянь буде

па₀ +а₁ [х ]+а₂ [х² ]+...+а_т [х^т ]- [у ] = 0,

а₀ [х ]+а₁ [х² ]+а₂ [х³ ]+...+а_т [х^т+1 ]- [ху ] = 0,

а₀ [х² ]+а₁ [х³ ]+а₂ [х⁴ ]+...+а_т [х^т+1 ]- [х^2у ] = 0,(3.1)

............................

а₀ [х^т ]+а₁ [х^т+1 ]+а₂ [х^т+2 ]+...+а_т [х^2т ]- [х^т у ] = 0,

де знаком [ ] позначена сума відповідного елемента.

Для поліному третього порядку виду

y = ax ³ + bx ² + cx + d (3.2)

система нормальних рівнянь буде

dn + c [ x ] + b [ x ² ] + a [ x ³ ] - [ y ] = 0,

d[x] + c[x² ] + b[x³ ] + a[x⁴ ] - [xy] = 0, (3.3)

d[x² ] + c[x³ ] + b[x⁴ ] + a[x⁵ ] - [x² y] = 0,

d[x³ ] + c[x⁴ ] + b[x⁵ ] + a[x⁶ ] - [x³ y] = 0,

або

a[x⁶ ] + b[x⁵ ] + c[x⁴ ] + d[x³ ] – [x³ y]= 0,

a[x⁵ ] + b[x⁴ ] + c[x³ ] + d[x² ] – [x² y]= 0, (3.4)

a[x⁴ ] + b[x³ ] + c[x² ] + d[x] – [xy] = 0,

a [ x ³ ] + b [ x ² ] + c [ x ] + dn – [ y ]= 0,

В подальшому будемо рішати систему лінійних нормальних рівнянь (3.3) або (3.4) одним із відомих в математиці способів.

4. Встановлення коефіцієнтів нормальних рівнянь

Приведемо розрахункову таблицю, на основі якої отримують коефіцієнти нормальних рівнянь.

Таблиця 4. Розрахунок коефіцієнтів нормальних рівнянь.

Продовження таблиці 4.

Параметр S розраховується за формулою

S = x + x ² + x ³ + x ⁰ - y (4.1)

Таким чином, на основі проведених розрахунків нами отримана слідуюча система нормальних рівнянь

10 d+25,6 c+68,980b+193,314a-101=0,

25 d+68,980c+193,314b+558,398a-234,389=0,

68,980d+193,314c+558,398b+1651,756a-578,105=0 , (4.2)

193,314d+558,398c+1651,756b+4980,054a-1496,166=0,

або

4980,054a+1651,756b +558,398c +193,314d -1496,166=0,

1651,756a+558,398b +193,314c +68,980d-578,105=0,

578,105a+100 ,998 b+68,980c+25,6d-234,389=0 , (4.3)193,314a+68,980b+25,6c+10d-101=0

5. Рішення системи лінійних рівнянь способом Крамера

Нехай, маємо систему лінійних рівнянь

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +…+ a_m x_n = b₁ ,

a₂₁ x₁ +a₂₂ x₂ +…+a_2n x_n =b_2, (5.1)

………………………..

a_n1 x₁ +a_n2 x₂ +…+a_nn x_n =b_n .

Для того, щоб із цієї системи визначити невідомі х_і , складемо із коефіцієнтів при невідомих визначних Δ, який називається визначником системи рівнянь (5.1)

Помножимо ліву і праву частини рівності (5.2) на х_і . В лівій частині будемо мати Δ х_і , в правій же частині введемо у всі члени і –го стовпчика визначника а_кі множник х_і

Після до і – го стовпчика визначника (5.3) додамо всі остальні стовпчики, помножені відповідно на х₁ , х₂ , ... , х_п . Величина визначника від цього не зміниться. Тоді і -й стовпчик представить собою ліву частину системи рівнянь (5.1).

Замінимо його вільними членами цієї системи і позначимо через Δ_і

Звідки:

(5.5)

Формула (5.5) дає можливість визначити кожне невідоме системи лінійних рівнянь (5.1).

Якщо вільні члени системи лінійних рівнянь рівні нулю, то вона буде системою лінійних однорідних рівнянь.

Система лінійних однорідних рівнянь може мати рішення відмінне від нульового, якщо визначник системи Δ рівний нулю.

Для системи чотирьох лінійних рівнянь

(5.6)

якщо визначник системи Δ не дорівнює нулю

(5.7)

то система визначена і по Крамеру її невідомі виражаються формулами

(5.8)

(5.9)

, (5.10)

, (5.11)

Як бачимо, що

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

Приведемо формулу знаходження визначника четвертого порядку

(5.16)

І в нашому випадку

тоді невідомий коефіцієнт а при х³ буде

Невідомий коефіцієнт b при х² буде

;

і невідомий коефіцієнт с при х буде:

Коефіцієнт d буде

d = Δx₄ /Δ =40,522935

Таким чином, на основі проведених досліджень, математична модель впливу ситуативної тривожності х_і на характеристики пам’яті у_і виражається формулою

(5.17)

6. Контроль зрівноваження

Підставляючи отриманні значення коефіцієнтів а , b , c , d у формули (4.3), отримаємо слідуючі результати.

7. Оцінка точності параметрів, отриманих із рішення системи нормальних рівнянь

Середні квадратичні похибки визначаємих невідомих х₁ , х₂ , х₃ , х₄ , розраховуються за формулами

, (7.1.)

, (7.2)

, (7.3)

, (7.4)

де т_х1 , т_х2 , т_х3 , т_х4 – середні квадратичні похибки невідомих, що визначаємо х₁ , х₂ , х₃ , х₄ , т – середня квадратична похибка одиниці ваги, яка розраховується за формулою

, (7.5)

У формулі (7.5) п – число значень факторних і результуючих ознак (х і у ), к – степінь поліному. В нашому випадку п =10; к =3. V - різниця між вихідним значенням у_і і вирахуваним значенням у ΄ за отриманою нами формулою (5.17);

, (7.6)

А₁₁ , А₂₂ , А₃₃ , А₄₄ – алгебраїчні доповнення першого, другого, третього і четвертого діагональних елементів

, (7.7)

, (7.8)

, (7.9)

, (7.10)

де

(7.11)

Приведемо формулу розкриття визначника третього порядку

. (7.12)

І в нашому випадку отримаємо

Величина оберненої ваги

(1/Px₁₁ )^0.5 = 10.399008.

(1/Px₂ )^0.2 = 71,748385.

; (1/Px₃₃ )^0.5 =843.11354

; (1/Px₄₄ )^0.5 = 256.49004.

Підставляючи у виведену нами формулу (5.17) значення Х спотвореної моделі, отримаємо розрахункові значення у΄ , які будуть дещо відрізнятись від вихідних значень У .

Таблиця 6 . Порівняльний аналіз результатів строгого зрівноваження.

Тоді, середня квадратична похибка одиниці ваги буде

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта а

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта b

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта с

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта d

В исновки.

На основі проведених досліджень в даній роботі:

1. Генеровані випадкові числа, які приведено до нормованої досліджуваної точності.

2. На основі істинної моделі і генерованих істинних похибок побудована спотворена модель впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті.

3. Математична модель апроксимована по способу найменших квадратів кубічним поліномом.

4. Отримана формула

залежності характеристик пам’яті У від ситуативної тривожності Х .

5. Встановлено, що середня квадратична похибка одиниці ваги за результатами зрівноваження складає балів по шкалі Спірбергера:

середня квадратична похибка визначення коефіцієнта а при х³ т_а = 0,676073;

середня квадратична похибка визначення коефіцієнта b при х² т _b = 4,900198;

середня квадратична похибка визначення коефіцієнта с при х т_с = 11,4082;

середня квадратична похибка визначення коефіцієнта d т_d = 8,472532;

6. Розроблена методика підготовки істинних похибок наперед заданої точності.

7. Дана робота відкриває дорогу для проведення досліджень методом статистичних випробовувань Монте Карло.

8. Вона дає можливість охопити велику аудиторію, тому що генеруються похибки індивідуально і вони не повторюються в других моделях.

9. Робота виконується вперше. Нам невідомі літературні джерела, де б виконувались аналогічні дослідження в царині психології.

Література.

1. Максименко С.Д., Е.Л. Носенко Експериментальна психологія (дидактичний тезаурус). Навчальний посібник –К.: МАУП, 2004, -128 с.

2. Літнарович Р.М. Основи математики. Дослідження впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті. Навчальний посібник для студентів Педагогічного факультету. Частина 2. МЕГУ, Рівне, 2006,-270.

3. Літнарович Р.М. Основи математики. Дослідження результатів психолого-педагогічного експерименту логарифмічною функцією. Частина 3. МЕГУ, Рівне, 2006 –19с.

4. Літнарович Р.М. Основи математики. Дослідження результатів психолого-педагогічного експерименту експоненціальною функцією. Частина 4. МЕГУ, Рівне, 2006 –17с.

5. Літнарович Р.М. Основи математики. Дослідження результатів психолого-педагогічного експерименту степенною функцією. Частина 5. МЕГУ, Рівне, 2006, - 17с.

6. Літнарович Р.М. Дослідження точності апроксимації результатів психолого-педагогічного експерименту методом статистичних випробувань Монте Карло.Ч.1.МЕГУ, Рівне,2006,-45с.

Додаток 1

Генерування псевдовипадкових чисел, підпорядкування їх нормальному закону розподілу і розрахунок істинних похибок

Додаток 2.Побудова спотвореної моделі

Додаток 3.Розрахункова таблиця

Продовження розрахункової таблиці

Додаток 5. Розрахунок визначників

Додаток 6.Вільні члени нормальних рівнянь

Додаток 7.Розрахунок коефіцієнтів апроксимуючого поліному

Нами виведена формула за результатами теоретичних досліджень

Додаток 8.Знаходження алгебраїчних доповнень

Додаток 10.Оцінка точності зрівноважених елементів

Абрамович К.П.

Дослідження точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичних випробувань Монте Карло

Модель ППП 051- 1

Комп’ютерний набір, Верстка і макетування та дизайн в редакторі Microsoft^® Office^® Word 2003 Абрамович Катерина

Міжнародний Економіко-Гуманітарний Університет ім.акад. С.Дем’янчука

Кафедра математичного моделювання

33027,м.Рівне,вул..акад. С.Дем’янчука,4.