| МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-43
Селюкова Н.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2004
Содержание
Введение
1. Основные определения, обозначения и используемые результаты
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Список литературы
Введение
Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.
Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.
 1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.
2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ , касающееся свойств централизаторов конгруэнций.
3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в (теорема(3)).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1
Пусть  --- некоторое непустое множество и пусть  , отображение  -ой декартовой степени в себя, тогда  называют -арной алгебраической операцией
.
Определение 1.2
Универсальной алгеброй
называют систему  состоящую из некоторого множества с заданной на нем некоторой совокупностью операций  .
Определение 1.3
Пусть --- некоторая универсальная алгебра и  ( ), тогда  называют подалгеброй универсальной алгебры
, если замкнута относительно операций из .
• Для любой операции  , где  и  .
• Для любой операции  элемент  фиксируемый этой операцией в принадлежит  .
Определение 1.4
Всякое подмножество  называется бинарным отношением
на .
Определение 1.5
Бинарное отношение называется эквивалентностью
, если оно:
• рефлексивно 
• транзитивно   и 
• симметрично  
Определение 1.6
Пусть  некоторая эквивалентность на , тогда через  обозначают множество  . Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности содержащий элемент  . Множество всех таких классов разбиения обозначают через  и называют фактормножеством
множества по эквивалентности .
Определим -арную операцию на фактормножестве следующим образом:
Определение 1.7
Эквивалентность на алгебре называется ее конгруэнцией
на , если выполняется следующее условие:
Для любой операции  для любых элементов  таких, что  имеет место  .
Определение 1.8
Если и  --- конгруэнции на алгебре ,  , то конгруэнцию  на алгебре назовем фактором
на .
 тогда и только тогда, когда  .
 или  или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .
Лемма 1.1 (Цорна).
Если любая цепь частично упорядоченного множества содержит максимальные элементы, то и само множество содержит максимальные элементы.
Определение 1.9
Пусть --- бинарное отношение на множестве  . Это отношение называют частичным порядком на
, если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.
Определение 1.10
Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством
.
Теорема Мальцев А.И.
Конгруэнции на универсальной алгебре  перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор  , что для любых элементов  выполняется равенство  . В этом случае оператор называется мальцевским.
Определение 1.11
Алгебра  называется нильпотентной
, если существует такой ряд конгруэнций  , называемый центральным
, что  для любого  .
Определение 1.12
Подалгебра алгебры называется собственной
, если она отлична от самой алгебры .
Определение 1.13
Подалгебра  универсальной алгебры называется нормальной
в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции  алгебры  .
Определение 1.14
Пусть и  --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение  называется гомоморфизмом
, если
1)  и  имеет место  ;
2)  , где  и  элементы фиксируемой операцией  в алгебрах и соответственно.
Определение 1.15
Гомоморфизм называется изоморфизмом
между и , если обратное к нему соответствие  также является гомоморфизмом.
Теорема Первая теорема об изоморфизмах
Пусть  - гомоморфизм,  --- конгруэнция, тогда  .
Теорема Вторая теорема об изоморфизмах
Пусть --- есть  -алгебра,  --- подалгебра алгебры и  --- конгруэнция на . Тогда  является подалгеброй алгебры ,  --- конгруэнцией на  и  .
Теорема Третья теорема об изоморфизмах
Пусть --- есть -алгебра и и  --- такие конгруэнции на , что  . Тогда существует такой единственный гомоморфизм  , что  . Если  , то  является конгруэнцией на  и  индуцирует такой изоморфизм  .
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
Определение 2.1
Пусть и --- конгруэнции на алгебре  . Тогда  централизует
(записывается:  ), если на существует такая конгруэнция  , что:
1) из 
всегда следует 
2) для любого элемента 
всегда выполняется 
3) если 
то 
Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие  .
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом , сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1
Пусть . Тогда:
1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;
2)  ;
3) если 
то 
Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции  на алгебре  всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором
конгруэнции  в и обозначается  .
В частности, если  , то централизатор  в будем обозначать  .
Лемма 2.2
Пусть  ,  --- конгруэнции на алгебре ,  ,  ,  . Тогда справедливы следующие утверждения:
1)  ;
2)  , где  ;
3) если выполняется одно из следующих отношений:
4) из  всегда следует 
Доказательство:
1) Очевидно, что  --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и  .
2)  --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению
2.1. Значит 
3) Пусть  .
Тогда 
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор  такой, что 
Тогда получим 
т.е.
Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).
4) Пусть 
Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно, 
где  --- мальцевский оператор.
Тогда 
то есть  .
Так как 
то  .
Таким образом  . Лемма доказана.
Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
Лемма. 2.3
Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ  , является конгруэнцией на алгебре .
Доказательство:
Пусть  
Тогда из   
следует, что 
Аналогичным образом из  
получаем, что 
Итак,  симметрично и транзитивно. Лемма доказана.
Лемма 2.4
Пусть . Тогда  для любой конгруэнции  на алгебре  .
Доказательство:
Обозначим  и определим на алгебре  бинарное отношение  следующим образом: 
тогда и только тогда, когда 
где  
Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что  --- конгруэнция на алгебре  , причем 
Пусть 
то есть 
Тогда 
и, значит 
Пусть, наконец, имеет место 
Тогда справедливы следующие соотношения:
применяя мальцевчкий оператор  к этим трем соотношениям, получаем 
Из леммы 2.2 следует, что 
Так как  то 
Значит, 
Но  , следовательно,  .
Итак, 
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5
Пусть  ,  --- конгруэнции на алгебре  ,  и  --- изоморфизм, определенный на  .
Тогда для любого элемента  отображение  определяет изоморфизм алгебры  на алгебру  , при котором  .
В частности,  .
Доказательство.
Очевидно, что  --- изоморфизм алгебры на алгебру  , при котором конгруэнции  , изоморфны соответственно конгруэнциям  и  .
Так как 
то определена конгруэнция 
удовлетворяющая определению 2.1.
Изоморфизм алгебры на алгебру  индуцирует в свою очередь изоморфизм  алгебры  на алгебру  такой, что
для любых элементов  и  , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что  --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции  .
Это и означает, что 
Лемма доказана.
Определение 2.2
Если  и  --- факторы на алгебре такие, что  то конгруэнцию  обозначим через  и назовем централизатором фактора
в .
Определение 2.3
Факторы и  назыавются перспективными
, если либо  либо 
Теорема
Пусть , ,  , --- конгруэнции на алгебре . Тогда:
1) если  , то 
2) если  , то  
3) если ,  и факторы , перспективны, то 
4) если  - конгруэнции на и  , то 
где  ,  .
Доказательство.
1) Так как конгруэнция  централизует любую конгруэнцию и  , то 
2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что 
а в силу леммы 2.4 получаем, что 
Пусть  - изоморфизм  . Обозначим
По лемме 2.5  , а по определению 
Следовательно, 
3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции  и  на алгебре имеет место равенство 
Покажем вналале, что 
Обозначим  . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре  существует такая конгруэнция  , что выполняются следующие свойства:
а) если  , то 
б) для любого элемента  , 
в) если  
то 
Построим бинарное отношение на алгебре  следующим образом: 
тогда и только тогда, когда 
и 
Покажем, что --- конгруэнция на .
Пусть 
для  . Тогда 
и 
Так как  --- конгруэнция, то для любой  -арной операции  имеем
Очевидно, что 
и 
Следовательно, 
Очевидно, что для любой пары  
Значит, 
Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует . Пусть 
Тогда 
Так как  , и  , то  . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.
Если , то 
значит, 
Пусть, наконец, имеет место (1) и 
Тогда 
Так как  и  , то  , следовательно,  . Из (2) следует, что  , а по условию  . Значит,  и поэтому
Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .
Докажем обратное включение.
Пусть 
Тогда на алгебре  определена конгруэнция  удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре  следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и , .
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что  . Покажем поэтому, что  централизует .
Так как    то 
то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если  , то 
следовательно, 
Пусть имеет место (3) и  .
Так как 
то 
Из (4) следует, что  , следовательно, 
то есть 
На основании леммы 2.2 заключаем, что 
Следовательно,  .
А так как , то  , то есть 
4) Обозначим  . Пусть 
и удовлоетворяет определению 2.1.
Определим бинарное отношение на  следующим образом
тогда и только тогда, когда
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.
Это и означает, что 
Теорема доказана.
Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Определение 3.1
Конгруэнция  универсальной алгебры называется фраттиниевой
, если  , для любой собственной подалгебры  из ;
Определение 3.2
Собственная подалгебра  универсальной подалгебры называется максимальной
, если из того, что для некоторой подалгебры  выполняется  , всегда следует, что либо  , либо  .
Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.
Теорема
Конгруэнция универсальной алгебры является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры  из имеет место равенство  .
Доказательство:
Пусть --- фраттиниева конгруэнция алгебры и --- максимальная подалгебра из .
Так как  и  , то .
Обратно. Пусть удовлетворяет свойству и пусть  --- любая собственная подалгебра алгебры .
Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра алгебры , что  , но  .
Тем самым теорема доказана.
Определение 3.3
Пусть  --- конгруэнция на универсальной алгебре  , тогда  называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией 
, если  тогда и только тогда, когда существуют  такие, что  .
Определение 3.4
Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры
назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры и будем обозначать  .
Теорема
Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.
Доказательство:
Из теоремы следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства  , где --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что 
Так как  , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций  , что  . Это означает, что существует последовательность элементов, что  .
Так как  и  , то  . Аналогичным образом получаем, что  .
Следовательно,  .
Теорема доказана.
Напомним следующее определение из книги.
Определение 3.5
Пусть  --- множество всех максимальных подалгебр алгебры ,  --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями на , что ,  .
Лемма 3.1
Конгруэнция  является фраттиниевой конгруэнцией на и всякая фраттиниева конгруэнция на входит в .
Доказательство:
Пусть  --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в подалгебра , что . Значит,  и тем более  . Следовательно, фраттиниева конгруэнция на .
Пусть теперь --- произвольная фраттиниева алгебры , --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда  , т.е.  . Следовательно,  . Лемма доказана.
Определение 3.6
Подалгебра Фраттини
универсальной алгебры называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через  .
Теорема
Пусть --- алгебра. Тогда  .
Доказательство:
От противного. Предположим, что  . Тогда существует элемент  такой, что  не принадлежит  . Так как  , то существует  и, следовательно, для любой максимальной подалгебры и  --- фраттиниева. Значит, принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно,  . Теорема доказана.
Лемма 3.2
Пусть --- максимальная подалгебра алгебры  такая, что  , где  , тогда  .
Доказательство:
Определим бинарное отношение на алгебре  следующим образом:  тогда и только тогда, когда существует элементы  и  .
Как показано в работе --- конгруэнция на алгебре .
Покажем, что  , т.е. является смежным классом по конгруэнции  .
Пусть  и пусть  . В силу определения найдутся такие элементы  и  , что 
Применим мальцевский оператор  . Отсюда получаем 
Следовательно, .
Лемма доказана.
Лемма 3.3
Пересечение нормальных подалгебр алгебры является нормальной подалгеброй алгебры  .
Теорема
Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в .
Доказательство:
Пусть алгебра --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций,  , где  . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры  алгебры всегда найдется такой номер  , что  и  .
По лемме 3.2.  . Отсюда следует, что  . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то  .
Теорема доказана.
Заключение
В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в .
Список использованной литературы
Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с.
Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с  -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34
Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.
Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994.
Кон П. М., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.
|
