| Функціональне відображення поведінки споживача
1. Геометричне подання зміни попиту при зміні доходу й цін
Припустимо змінюється доход ( ). Його збільшення або зменшення еквівалентно паралельному зсуву бюджетної прямої. Зі зміною доходу змінюється й попит на товари. На кожній бюджетній прямій можна знайти точку рівноваги, в якій забезпечується максимум функції корисності  . Нехай цими точками є точки  ,  ,  ,  на рис. 1. З'єднавши їх, одержимо криву  . Така крива називається кривою доход-споживання, або кривою Енгеля. На рис. 1. крива Енгеля відображує зміну попиту споживача (при зростанні його доходу) у випадку, коли жоден з товарів не є малоцінним. За умови, що 1 – малоцінний, а 2 – цінний товари, крива Енгеля приймає вигляд, зображений на рис. 2.
 
Рисунок 1. Рисунок 2
Припустимо, що змінюється ціна товару 1. Установимо, як змінюється попит на товари 1 і 2. Розглянемо бюджетну пряму (рис. 2)
 .
Нехай  зменшується. Тоді точка  переходить у точку  , а точка – у точку – нову точку рівноваги, в якій споживачеві забезпечується новий максимум функції корисності  . Зменшимо ціну  . Тоді точка переміститься в точку  , а точка займе положення точки й т.д. З'єднавши точки  , , , , одержимо криву ціни-споживання (або криву цін) як геометричне місце точок, які характеризують зміну попиту двох товарів при зміні ціни . На відміну від лінії доход-споживання, що виходить із початку координат, лінія ціна-споживання починається в точці  .
Рисунок 3
Проаналізуємо більш детально процес переходу з точки в точку при зміні ціни (рис. 4). Позначимо вихідну бюджетну лінію через  , а змінену – через  . Проведемо пряму  паралельно прямій лінії цін так, щоб вона мала точку дотику з кривою байдужності 1. Нехай точкою дотику буде точка . Як у точці , так й у точці споживачеві забезпечується один і той самий рівень корисності, оскільки ці точки належать одній кривій байдужності. Перехід із точки в розглянемо поетапно: спочатку з в точку , потім із точки у точку . Перехід з А в точку В не супроводжується зміною корисності. Ціна першого товару знизилася, тому попит на нього зменшився – відбулася заміна одного товару іншим, що відповідає ефекту заміни. Перехід із точки у точку відповідає ефекту доходу й обумовлений зміною реального доходу при зміні цін.
Рисунок 4
2 Аналіз математичної моделі поведінки споживача. Функція попиту споживача
При будь-яких додатних цінах  і доході  розв’язок задачі поведінку споживача, існує й єдиний.
Очевидно, що цей розв’язок залежить від  і , тобто вибір споживача є функцією, що залежить від цін і доходу. Ця функція називається функцією попиту  або в розгорнутому вигляді:
 .
Цей запис означає, що при цінах і доході вибирається споживчих благ у кількостях  .
Основною властивістю функції попиту є її однорідність щодо всіх цін і доходу, тобто значення попиту інваріантні відносно пропорційних змін  й :
 , де  .
Ця властивість виражає той факт, що вибір споживача залежить тільки від співвідношення цін на товари, а не від масштабу цін.
Аналіз моделі поведінки споживача полягає у вивченні чутливості розв’язку до зміни її параметрів  і  . Цей підхід у математичній економіці називається методом порівняльної статистики.
Розглянемо задачу, в якій рівняння являють собою  умови першого порядку й можуть бути розв’язані відносно оптимальних кількостей усіх продуктів  і оптимального множника Лагранжа  , тобто розв’язок подається у вигляді функції попиту  та функції попиту та доходу  . Поставимо  й  в
або в розгорнутому вигляді
 (1)
Позначимо  і  .
Отже перейдемо до аналізу математичної моделі поведінки споживача відносно зміни її параметрів  і  :
1. Розглянемо вплив зміни доходу на розв’язок задачі споживання. Для цього продиференцюємо (1) по , тоді одержимо
 (2)
де  і  відображають ступінь чутливості стосовно зміни  .
Позначимо  , тоді в матричному позначенні рівняння (2) матимуть такий вигляд:
 ,
де матриця коефіцієнтів є матрицею Гессе, що облямована цінами, тобто
 , де – вектор-рядок.
Припустимо, що  . Розв’язок (2) знайдемо за методом Крамера. При фіксованому значенні  одержимо
де  – алгебраїчні доповнення елементів  ,  відповідно.
Якщо  , то  -й товар називається коштовним (цінним), при збільшенні доходу попит на цей товар також збільшується. На випадок, коли  -й товар називається малоцінним.
2. Розглянемо вплив зміни ціни одного товару, наприклад  , на поведінку споживача. Диференціюючи (1) по , одержимо:
 (3)
де  – дельта Кронекера  . Запишемо систему (3) у такому вигляді:
 .
Якщо матриця коефіцієнтів невироджена, тобто , тоді маємо при фіксованому такий розв’язок, який називають рівнянням Слуцького
 (4)
Рівняння (4) є основним рівнянням у теорії цінності. Вираз  називається коефіцієнтом Слуцького. З рівняння Слуцького випливає, що при змінюванні ціни на  -й товар зміна попиту на  -й товар наведена двома доданками, перший одержав назву ефекту заміни, другий – ефекту доходу. Отже: « Загальний ефект = вплив заміни + вплив доходу». Наприклад, при зниженні ціни на  -й товар відбувається зростання доходу (ефект доходу), але він іде не повністю на закупівлю -го товару – частина його витрачається на закупівлю інших товарів (ефект заміни).
Нехай розв’язок (4) справедливий для всіх та таких, що  , тоді матриця  розміром  симетрична й від’ємно визначена, тобто  .
Можна встановити властивості цієї матриці.
Діагональні елементи виражають чистий ефект заміщення, тобто визначають зміну  , яка є результатом варіації ціни  , за умови, що доход підтримується на такому рівні, що значення  залишається незмінним.
При  товари та прийнято вважати взаємозамінюючими, при  – взаємодоповнюючими, а при  – незалежними.
3 Коефіцієнт еластичності
Коефіцієнтом еластичності функції одного аргументу  називається величина, отримана в результаті ділення відносного приросту функції на відносний приріст аргументу. Позначаючи еластичність через  , маємо за означенням
 ,
де  – приріст аргументу;
 – викликаний ним приріст функції.
Звичайно праву частину помножують і ділять на 100% та говорять, що коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків змінюється значення функції при зміні аргументу на 1%.
При  маємо
 .
Якщо функція  є функцією декількох аргументів, то говорять про часткові коефіцієнти еластичності
 .
Функція попиту  є векторною функцією, її можна розглядати як сукупність  функцій попиту на окремі товари  , кожна з яких є функцією від  змінної. Отже, для кожної з цих функцій існує частковий коефіцієнт еластичності.
Залежно від типу аргументу розрізняють коефіцієнти еластичності за цінами й доходом.
Величини  , що показують, на скільки відсотків зміниться попит на  -й товар у розрахунку зміни ціни  -го товару на 1%, називають коефіцієнтами еластичності за цінами (якщо  – то перехресними коефіцієнтами).
Показники  , що характеризують аналогічно зміну попиту від доходу, називаються еластичністю за доходом.
4 Алгоритми розв’язання задачі споживання
Умови Куна-Такера дають повну характеристику розв’язку, однак не містять конструктивного методу його пошуку. Одними з алгоритмів розв’язання задачі нелінійного програмування (ЗНП) є градієнтні методи.
Процес знаходження розв’язку ЗНП градієнтними методами полягає в тому, що, починаючи з деякої точки  , здійснюється послідовний перехід до деяких інших точок, поки не буде знайдений прийнятний розв’язок задачі. При цьому градієнтні методи розділяють на два класи.
До першого класу відносять методи, в яких точки , що досліджуються, не виходять за межі області припустимих розв’язків задачі. Найпоширенішим з таких є метод Франка-Вульфа.
До другого класу методів відносять методи, під час використання яких досліджувані точки можуть як належати, так і не належати області припустимих значень (метод Ероу-Гурвіца, метод штрафних функцій).
Під час знаходження розв’язку задачі градієнтними методами ітераційний процес здійснюється до того моменту, поки градієнт функції в черговій точці  не стане дорівнювати нулю або ж поки
 ,
де  – достатньо мале позитивне число, що характеризує точність отриманого розв’язку.
Для чисельного розв’язування задачі споживача використовуватимемо метод Франка-Вульфа.
Нехай потрібно знайти максимальне значення функції корисності  за умови  .
Характерною рисою даного методу є те, що обмеженням в задачі є лінійна нерівність. Ця особливість є основною для заміни нелінійної цільової функції лінійною поблизу досліджуваної точки, завдяки чому розв’язування задачі зводиться до послідовного розв’язання задач лінійного програмування.
Наприкінці першого розділу наведемо алгоритм методу Франка-Вульфа:
1. Процес знаходження розв’язку задачі починається з визначення точки, що належить області припустимих розв’язків задачі.
2. Знайдемо градієнт цільової функції в точці  
 .
3. Побудуємо лінійну функцію 
 .
4. Знайдемо максимум при обмеженні  , тобто розв’яжемо задачу лінійного програмування (ЗЛП), звідки визначимо вектор  , що доставляє максимум .
5. Визначимо значення оптимального кроку обчислення  за формулою
 .
6. Обчислимо компоненти нового припустимого розв’язку за формулою
 .
7. Знайдемо значення  ,  .
8. Порівняємо отримані ,  з точністю  . Якщо  , тоді  і алгоритм переходить до пункту 2, якщо  , тоді отримано оптимальний розв’язок задачі  і  при  .
|
