Реферат: Дискретное преобразование Фурье 2

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (Технический университет)

Гуманитарный факультет

Индивидуальная работа по дисциплине Эконометрика

на тему

Выполнил: студент

Санкт – Петербург

2010

Дискретное преобразование Фурье

Существует две формы преобразования Фурье - интегральное преобразование (1)

и

(2),

которое определено на бесконечном интервале непрерывных значений времени и отображает непрерывную временную функцию в частотную область, и непрерывно-дискретное преобразование

(3),

которое определено на бесконечном интервале дискретных значений времени и тем самым дает возможность определять частотный состав сигнала, заданного бесконечным временным рядом. Для вычислений на ЭВМ применяется третья форма записи - дискретное преобразование Фурье, в которой как X( f) , так и x( t) дискретны и пределы суммирования конечны:

(4)

Дискретные значения частот в преобразовании (4) обусловлены конечной длиной записи, т.е. конечностью временного ряда. Здесь для краткости, как и в случае непрерывно-дискретного преобразования, вместо x( iT) используется обозначение x( i) . Точно также вместо X( bk) записано X( k) . Величина b зависит от интервала дискретизации: b=( NT)^Г1 .

К форме записи (4) можно перейти от непрерывно-дискретного преобразования Фурье (3), полагая x( i)=0 для i<0 и i>( N-1) , а также определяя дискретные значения частот следующим образом: f_k = bk . Покажем это.

Укажем некоторые особенности дискретного преобразования Фурье, знание которых необходимо для правильного составления алгоритма вычисления на ЭВМ.

1. Согласно теореме Котельникова, максимально возможной частотой в спектре является частота Найквиста F_n =(2 T)^Г1 , поэтому соответствующее значение k в формуле (4) определяется из условия f_{k =} F_n :

Отсюда следует, что частота Найквиста соответствует середине последовательности X( k) . Это означает, что значениям индексов k в промежутке 0,…, N/2 соответствуют частоты, непревосходящие частоту Найквиста. Какой же смысл имеют величины X( k) при k> N/2 ? Оказывается, что этим величинам соответствуют отрицательные частоты. Покажем это. В формуле (4) заменим индекс k на -p :

Далее умножим экспоненту на единицу, записанную в виде: :

т.е. X(-p)=X(N-p) . Таким образом, при вычислении дискретного преобразования Фурье, подобно случаю непрерывного преобразования, в спектре с необходимостью появятся отрицательные частоты, которые однако отсутствуют в реальном спектре и появление которых и в дискретном, и в непрерывном случаях обусловлено математической операцией преобразования Фурье. Поэтому для N значений данных получается примерно вдвое меньше значений спектральных составляющих.

2. Дискретное преобразование Фурье является периодическим. Покажем это. Предположим, например, что i= pN+ q ; p, q , - целые числа, причем 0 ≤ q≤ N-1 . Подставим новое значение i в выражение обратного преобразования Фурье:

Последнее в этом выражении равенство обусловлено тем, что множитель равен единице. Аналогичное доказательство можно провести для функции X( k) . Таким образом, если попытаться продолжить вычисления для индексов k> N , то полученные значения X( k) полностью повторят уже имеющиеся: X( k+ N) = X( k) . Поэтому для вычисления функций x( i) и X( k) вне множества 0,…,( N-1) следует брать значения их индексов по модулю N .