Реферат: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ I . МЕТОД ЭЙЛЕРА

211. Предварительные замечания. В этой главе мы будем изучать линейные системы уравнений:

Или (1′)

Где коэффициенты a_kl =(k, l=1,2,…,n) – постоянные вещественные числа, а f_k (x) (k=1,2,…,n) – функции от х, непрерывные в интервале (a,b).

Применяя общую теорию линейных систем уравнений, изложенную в предыдущей главе, мы покажем, что система (1) всегда может быть проинтегрирована в конечном виде, т. е. либо в элементар- ных функциях, либо в квадратурах.

Так как интегрирование неоднородной линейной системы приводится к интегрированию соответствующей однородной си­стемы, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородной системы:

В силу теоремы о построении общего решения, для построения общего решения системы (2) достаточно построить хоть одну фундаментальную систему решений.

Применяя теорему о существовании фундаментальной системы решений, мы видим, что существует фунда­ментальная система решений, определенных и непрерывных в промежутке

Более того, согласно замечанию теоремы о существовании фундаментальной системы решений, существует фундаментальная система решений, голо­морфных в интервале .

Мы покажем, что фундаментальная система решений может быть построена из элементарных функций, голоморфных в интервале .

212. Построение фундаментальной системы решений и об­щего решения однородной линейной системы в случае различ­ ных корней характеристического уравнения. По аналогии с однородным линейным уравнением с постоянными коэффици­ентами будем искать частное решение системы (2) в виде

(3)

g₁ , g₂ , ..,g_n и l - некоторые постоянные числа, причем числа g₁ , g₂ , ..,g_n не равны нулю одновременно, ибо в про­тивном случае мы получили бы очевидное нулевое решение, которое не может входить в состав фунда- ментальной системы и, следовательно, не может быть использовано для построения общего решения.

Обратим особое внимание на то, что число l мы берем одно и то же для всех функций, составляющих решение.

Подставляя функции (3) в систему (2), сокращая на е ^{l x} и пере- нося все члены направо, получим для определения чи­сел g_k следующую систему:

(4)

Нас интересует ненулевое решение этой системы. Такое решение существует лишь при условии, что определитель си­стемы равен нулю, т. е. при условии

(5)

Уравнение (5) называется характеристическим уравнением системы

(2), его корни— характеристическими числами, а оп­ределитель D(l) -характеристическим определителем.

Рассмотрим сначала случай, когда все характеристические числа

l₁ ,l₂ ,...,l_n различны. В этом случае имеем: D(l_i )=0, но Вследствие этого ранг матрицы

Составленной из коэффициентов системы

которая получается из системы (4) после замены в ней l на l_i - равен n-1.

Действительно, вычисляя D’(l), имеем:

где D_ll (l) - алгебраическое дополнение элемента a_ll - l определителя D(l). Так как то из (8) видим, что хоть один из определи- телей (п —1)-го порядка, именно один из D_ll (l_i ), отличен от нуля, так что ранг рассматриваемой матрицы ра­вен п — 1.

Поэтому одно из уравнений системы (7) есть следствие осталь-ных и эта система имеет ненулевое решение, определен­ное с точ-ностью до произвольного множителя пропорциональ­ности A_i :

g_i1 = A_i m_i1 , g_i2 = A_i m_i2 ,…, g_in = A_i m_in (i =1.2,…, n). (9)

Например, в качестве g_ik можно взять алгебраические до­полнения элементов любой строки определителя D_l (l_i ), если не все они равны нулю. В самом деле, так как сумма произведе­ний элементов какой-либо строки определителя D_l (l_i ) на алге­браические дополнения эле-ментов другой строки равна нулю, а сумма произведений элементов строки на их алгебраические дополнения равна самому определителю D(l_i ) т. е. снова равна нулю, то ясно, что, заменив в системе (7) неизвестные g_k взя­тыми алгебраическими дополнениями, мы получим тождества.

Фиксируя в формулах (9) множитель A_i , мы получим определен-ное решение системы (7).

Подставляя теперь в (3) вместо l последовательно характе­ристи-ческие числа l_i ,а вместо g₁ , g₂ ,..., g_n — соответствующие им решения системы (7), определяемые формулами (9) при фиксированных множителях A_i , получим п решений:

Эти решения линейно независимы в интервале .

Если при этом все корни l₁ , l₂ ,..., l_n вещественны, то все решения (10) тоже будут вещественными.

Таким образом, в случае различных вещественных корней характеристического уравнения система (2) имеет п веществен­ ных линейно независимых частных решений вида (10), так что последние образуют фундаментальную систему решений.

Поэтому, в силу теоремы о построении общего решения, формулы

Дают общее решение системы (2) в области

Если характеристические числа различные, но среди них есть комплексные, то последние входят сопряженными парами. Пусть a + ib и а – ib — простые корни характеристического уравнения. Корню a + ib соответствует согласно формуле (3) решение

y₁ =g₁ e ^{( a + ib ) x} , y₂ =g₂ e ^{( a + ib )} , … , y_n =g_n e ^{( a + ib )} . (13)

здесь g1,g2, ...,gn – комплексные числа. Полагая

g₁ =g₁₁ +i g₂₁ , g₂ =g₁₂ +i g₂₂ , … ,g_n =g_{1 n} +i g_{2 n} ,

Получаем решение

y₁ =( g₁₁ +i g₂₁ ) e ^{( a + ib ) x} , y₂ =( g₁₂ +i g₂₂ ) e ^{( a + ib ) x} , … , y_n =( g_{1 n} +i g_{2 n} ) e ^{( a + ib ) x} .

Это решение комплексное. Отделяя в нем вещественные и мни­мые части, мы получим, согласно свойствам решений однородной системы, два вещественных решения:

Эти решения, очевидно, линейно независимы в интервале . Нетрудно убедиться, что сопряженный корень а —ib не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений.

Таким образом, если все характеристические числа — раз­ личные и вещественные, то мы получаем соответствующие им вещественные линейно независимые частные решения в виде (10). Если же все характеристические числа — различные, но среди них есть комплексные, то последние обязательно входят сопряженными парами и каждой паре таких характеристиче­ских чисел соответствуют два линейно независимых частных решения вида (15). Всего мы получим п вещественных частных решений. Все эти решения линейно независимы в интервале .

В самом деле, предположим обратное. Тогда, написав соответствующую систему соотношений между этими решениями и перейдя в ней от тригонометрических функций к 'показатель­ным, мы получили бы, что системы функций вида (10), где l₁ , l₂ , … , l_n —различные числа, оказались бы линейно зависимы­ми.

Общее решение системы (2) в области (12) представляет собою линейные комбинации построенных п вещественных ли­ нейно независимых частных решений с произвольными посто­ янными коэффициентами.

Пример 1 . Найти общее решение системы:

Решая характеристическое уравнение

или l² -10l+9=0;

находим: l₁ =1, l₂ =9, так что характеристические числа различные и ве­щественные.

Составляем систему для определения чисел g₁ и g₂ соответствующих характеристическому числу l₁ = 1. Матрица коэффициентов этой системы получается из матрицы

5-l 4

4 5-l заменой l на l₁ =1, так что искомая система будет иметь вид

Здесь, как и следовало ожидать, второе уравнение является следствием первого (оно даже совпадает с первым уравнением) и его можно было и не выписывать. Полагая , находим g₁ =1, находим g₂ = −1

Таким образом, характеристическому числу Х₁ =1 соответствует реше­ние:

y ₁ = е^х , z ₁ = − e^x . (20)

Аналогично, решая систему, соответствующую характеристическому числу l₂ =9:

(21)

находим: g₁ =1, g₂ =1 так что этому характеристическому числу соот-ветствует решение:

y₂ =e ^{9 x} , z ₂ = e ^{9 x} (22)

Мы получили фундаментальную систему решений:

(23)

Беря линейную комбинацию, получаем общее решение:

Пример 2 . Рассмотрим систему:

Характеристическое уравнение

Имеет комплексные сопряженные корни λ₁ = 2 + i, λ₂ = 2 – i. Найдем решение, соответствующее λ_1. Это решение имеет вид y = γ₁ e^{(2+ i ) x} ,

z = γ₂ e^{(2+ i ) x} . Числа γ₁ и γ₂ ищем из системы

Полагая γ₁ =1, находим γ₂ = - i, так что искомым решением будет

Это решение комплексное. Отделяя в нем вещественные и мнимые части, получим два вещественных решения

Эти решения составляют фундаментальную систему решений, так что общим решением будет

Пример 3 . Найти общее решение системы:

Характеристическое уравнение

Имеет различные и притом вещественные корни λ₁ = 2, λ₂ = 3, λ₃ =6, так что фундаментальная система решений имеет вид (10). Найдем сначала частное решение вида

Соответствующее характеристическому числу λ₁ = 2. В качестве чисел γ_11, γ_22, … , γ_{1 n} можно взять алгебраические дополнения элементов первой строки определителя

который получается из характеристического определителя Δ (λ) заменой λ на λ₁ =2. Получаем

или (деля на 2)

Подставляя эти значения γ_{1 k} в (33), получим

Аналогично найдем, что в качестве чисел γ_{2 k} , γ_{3 k} , соответствующих характеристическим числам λ₂ = 3, λ₃ =6, можно взять γ₂₁ = 1, γ₂₂ = 1, γ₂₃ = 1, γ₃₁ = 1, γ₃₂ = -2, γ₃₃ = 1. Фундаментальной системой решений будет

Так что общее решение имеет следующий вид

Случай наличия кратных корней характеристического уравнения.

Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни, то изложенный выше способ построе­ния фундаментальной системы решений, очевидно, не приме­ним.

Однако и в этом случае удается построить фундаменталь­ную систему решений в элементарных функциях.

Заметим, прежде всего, что если l₁ есть простое характе­ристическое число, то независимо от того, будут среди осталь­ных характеристических чисел встречаться кратные или нет, ему всегда соответствует одно частное решение вида:

y ₁ = g ₁ e ^{l 1 x} , y ₂ = g ₂ e ^{l 1 x} , … , y_n = g _n e ^{l 1 x} (38)

где g₁ , g₂ , … ,g_n — некоторые постоянные числа, определяемые с точностью до постоянного множителя.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти част­ные решения, соответствующие кратному корню.

При этом, так же как и для линейного однородного урав­нения n-го порядка, оказывается, что одному характеристичес­кому числу кратности k соответствует k линейно независимых частных решений.

Теорема . Если l ₁ есть характеристическое число крат­ ности k , то ему соответствует решение вида

y₁ =P₁ (x) e ^{l 1 x} , y₂ =P₂ (x) e ^{l 1 x} , … , y_n =P_n (x) e ^{l 1 x} (39)

где P ₁ ( x ), P ₂ ( x ), … , P_n ( x ) суть полиномы от х степени не вы­ ше чем k −1 , имеющие в совокупности k произвольных коэф­фициентов, так что среди всех коэффициентов всех этих поли­ номов k коэффициентов являются произвольными, а все осталь­ ные выражаются через них.

В частности может случиться, что все эти полиномы вырождаются в постоянные числа. В таком случае k-кратному харак­теристическому числу l₁ будет соответствовать решение вида

y ₁ = g ₁ e ^{l 1 x} , y ₂ = g ₂ e ^{l 1 x} , … , y_n = g _n e ^{l 1 x} (40)

Однако здесь k из коэффициентов g ₁ , g ₂ , … , g _n являются про­извольными, в то время как для простого характеристического числа произвольным является только один из них.

Практически при нахождении решения, соответствующего характеристическому числу l ₁ нужно искать решение в виде (39), считая P ₁ (х), Р₂ (х), ..., Р_п (х) полиномами (k−1)-й сте­пени с неопределенными коэффициентами и, подставляя (39) в (2), выразить все коэффициенты через k из них, которые оста­ются произвольными.

Полагая поочередно один из этих произвольных коэффици­ентов равным единице, а остальные равными нулю, мы построим k линейно независимых решений, соответствующих характеристическому числу l ₁ . Все эти частные решения будут состав­лены из произведений показательной функции e ^{l 1 x} на полино­мы от х, степени которых не превышают k −1. Если же поли­номы в формулах (39) вырождаются в постоянные числа, то мы получим k линейно независимых частных решений такого же вида, как и в случае простого корня характеристического уравнения.

Если l ₁ — вещественное характеристическое число, то по­строенные выше k линейно независимых решений будут веще­ственными.

Если же система (2) имеет комплексное характеристическое число a + ib кратности k , то оно имеет сопряженное характери­стическое число а —ib той же кратности.

Построив k линейно .независимых комплексных решений, со­ответствующих характеристическому числу a + ib , и отделив в них вещественные и мнимые части, мы получим 2k, веществен­ных линейно независимых частных решений.

В общем случае каждому простому вещественному характе­ ристическому числу соответствует одночастное решение, каждой паре простых сопряженных комплексных характеристических чисел соответствует два вещественных линейно независимых решения, вещественному характеристическому числу кратности k соответствует k вещественных линейно независимых частных решений, а каждой паре сопряженных комплексных характе­ ристических чисел кратности k соответствует 2 k вещественных линейно независимых частных решений. Всего получается п вещественных решений. Все эти решения линейно независимы в интервале(-∞,+∞ ), так что они образуют фундаменталь­ ную систему решений. Взяв линейные комбинации решений этой фундаментальной системы по столбцам с одними и теми же произвольными постоянными С₁ , С₂ , ..., С_п , мы получим общее решение системы (2) в области (12).

Заметим, однако, что мы не можем ,на основании указанной теоремы выяснить до конца структуру фундаментальной систе­мы решений до тех пор, тюка не построим ее фактически.

Мы выясним эту структуру в следующей главе, где будет дан другой способ построения фундаментальной системы, при­чем в отличие от настоящего пункта там строится сразу вся фундаментальная система.

Указанный выше вид фундаментальной системы решений дает возможность сделать некоторые заключения об устойчи­вости нулевого решения однородной системы (2)* .

Теорема об асимптотической устойчивости (в смысле Ляпунова) нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим систему:

где a_kl — постоянные . вещественные числа, а х₁ , x ₂ , ..., x_n — неиз­вестные функции от времени t .

Теорема. Если все характеристические числа системы (41) отрицательные или имеют отрицательную вещественную часть, то нулевое решение

x ₁ ≡ 0, х₂ ≡ 0, ..., х_п 5≡ 0 (42)

асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при t→+∞ причем начальные возмущения можно брать любыми.

Это утверждение непосредственно следует из вида фунда­ментальной системы решений и соответствующего ей общего ре­шения системы(41), установленного для общего случая харак­теристических чисел этой системы ранее.

Теорема о неустойчивости нулевого решения однород­ной линейной системы с постоянными коэффициентами. Если хоть одно из характеристических чисел системы (41) положи­тельно или имеет положительную вещественную часть, то нуле­вое решение (42) неустойчиво в смысле Ляпунова при t →+∞.

Приведение однородной линейной системы к системе с постоянными коэффициентами при помощи замены незави­ симой переменной . Рассмотрим систему:

Введем вместо х новую независимую переменную t по фор­муле

t = y( x ). (44)

Тогда получим систему:

(k=1, 2, … , n ). (45)

Предположим, что коэффициенты этой системы постоянны, т. е.

Тогда p_kl (х) имеют вид

p_kl (x)=a_kl ψ΄(x), (47)

т. е. р_к1 (х) представляют собой произведения постоянных чи­сел на одну и ту же функцию от х.

Обратно, если коэффициенты p_kl ( x ) обладают этим свой­ством, т. е. если

p_kl (x)=a_kl φ(x), (48)

то, положив

t=ψ(x)=∫φ(x)d x, (49)

мы получим систему с постоянными коэффициентами a_kl .

Пример 1 . Пусть дана система:

Здесь условие (48) выполнено, причем φ(x)=1/x

Поэтому подстановка

t=∫φ(x )dx =∫1/ xdx = ln x ( x >0) (51)

или

x = e ^t (52)

приводит данную систему к системе с постоянными коэффициентами:

Интегрируя эту систему, получаем:

(54)

Поэтому общим решением системы (50) будет:

(55)

Отсюда видно, что решения системы (50) могут иметь особенность только в точке х=0, которая является единственной особой точкой этой си­стемы. (В точке х=0 не выполнены условия теоремы существования). Наря­ду с такими решениями существует целое семейство решений y ₁ = Cx ² , y ₂ = Cx ² , y ₃ = Cx ² голоморфных в окрестности особой точки х = 0. Заме­тим, однако, что среди них (и вообще) нет решений, в которых функции у₁ , y ₂ и y ₃ стремились бы к пределам, не равным одновременно нулю, когда х стремится к особой точке х = 0.

Интегрирование неоднородной линейной системы с по­ стоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных. Рассмотрим теперь неоднородную линейную систему с постоянными коэффициентами

Так как соответствующая однородная система всегда инте­грируется в элементарных функциях, то, применяя метод ва­риации произвольных постоянных, мы всегда можем получить общее решение неоднородной системы (56), по крайней мере, в квадратурах, а иногда и в элементарных функциях.

Замечание. Если в системе (56) функции f_k ( x ) представ­ляют собою произведения показательной функции (с вещест­венным или комплексным показателем) на полином от х, то для построения общего решения этой системы можно вместо применения метода вариации произвольных постоянных найти частное решение методом неопределенных коэффициентов и прибавить его к общему решению соответствующей однородной системы. Тогда мы получим общее решение системы (56).

Интегрирование линейной системы с постоянными ко­эффициентами при помощи приведения ее к уравнению п-го порядка (метод исключения).

Применим к системе

общий способ приведения нормальной системы n уравнении к одному уравнению n-го порядка. Тогда мы получим либо одно линейное уравнение м-го порядка с по­стоянными коэффициентами, либо несколько таких уравне­ний более низких порядков, причем сумма порядков всегда равна п. Найдя общее решение каждого из этих уравнений, мы получим общее решение системы (1) уже без дальнейших квадратур.

Пример . Найти общее решение системы:

y ΄₁ = y ₂ + y ₃ ,

y΄ ₂ = y ₁ + y ₃ , (2)

y΄ ₃ = y ₁ + y ₂ .

Дифференцируя первое уравнение и, пользуясь вторым и третьим, по­лучаем:

y ˝₁ =2 y ₁ + y ₂ + y ₃ . (3)

Но y ₂ + у₃ = у΄₁ . Поэтому

y ˝₁ − y΄ ₁ −2 y ₁ =0; (4)

Исключим у₃ . Из первого уравнения системы (2) имеем:

y ₃ = y΄ ₁ − y ₂ . (5)

Подставляя во второе уравнение, получаем

y΄ ₂ = y΄ ₁ − y ₂ + y ₁ (6)

или

y΄ ₂ + y ₂ = y΄ ₁ + y ₁ (7)

Таким образом система (2) приводится к двум линейным уравнениям (4) и (7) с неизвестными функциями у₁ и у₂ второго и первого порядка. Интегрируя уравнение (4), находим:

y ₁ = C ₁ e ^{− x} + C ₂ e ^{2 x} (8)

Подставляя это значение у₁ в (7), получаем:

y΄ ₂ + y ₂ =− C ₁ e ^{− x} +2 C ₂ e ^{2 x} + C ₁ e ^{− x} + C ₂ e ^{2 x} , (9)

или

y΄ ₂ + y ₂ =3 C ₂ e ^{2 x} (10)

откуда

y ₂ = C ₃ e ^{− x} + c ₂ e ^{2 x} (11)

Теперь находим у₃ :

y ₃ = y΄ ₁ − y ₂ =− C ₁ e ^{− x} +3 C ₂ e ^{2 x} − C ₃ e ^{− x} − C ₂ e ^{2 x} . (12)

Общее решение системы (2) имеет вид:

Метод Даламбера. Знание k ( k < n ) независимых первых интегралов нормальной системы п-го порядка дает возможность понизить порядок этой системы на k единиц. Если же мы знаем п независимых первых инте­гралов, то мы имеем общий интеграл.

Для линейной системы с по­стоянными коэффициентами Даламбер указал общий метод .нахождения первых интегралов.

Рассмотрим этот метод в случае линейной системы двух уравнений:

Умножим второе уравнение на некоторое число k и сложим почленно с первым. Получим:

Или

Выберем k так, чтобы

(17)

Или

a ₁₂ + ka ₂₂ = k ( a ₁₁ + ka ₂₁ ). (18)

тогда уравнение (16) можно переписать в виде

Это линейное уравнение первого порядка с искомой функцией y + kz . Интегрируя его, найдем:

y + kz = e ^{( a11 + ka 21 ) x} { C +∫[ f ₁ ( x )+ kf ₂ ( x )] e ^{−( a 11 + ka 21 ) x} dx }. (20)

если корни уравнения (18)различные и вещественные, то, обозначив их через k ₁ , k ₂ , будем иметь два первых интеграла в неявной форме:

Разрешая систему (21) относительно С₁ и С₂ , найдем общий интеграл системы (14), а разрешая относительно y и z , найдем общее решение этой системы.

Если корни уравнения (18) кратные: k ₁ = k ₂ , то формула (20) дает только один первый интеграл:

y+k₁ z=e^{(a 11 +k 1 a 21 )x} {C+∫[f₁ (x)+k₁ f₂ (x)]e^{−(a 11 +k 1 a 21 )x} dx}. (22)

Подставляя значение г/, найденное отсюда, во второе уравнение системы (14), получим одно линейное уравнение первого по­рядка с неизвестной функцией z .

Пример 1. Найти общее решение системы:

Составляем уравнение для k :

4+5 k = k (5+4 k ). (24)

Отсюда k _1,2 =±1. поэтому первыми интегралами будут:

Решая систему (25) относительно y и z , получим общее решение системы (23).

Пример 2. Найти общее решение системы:

Здесь мы имеем:

4 — 2 k = k {2 — k ), k ² — \ k + 4 = 0. (27)

Это уравнение имеет двукратный корень k _1,2 =2. Поэтому метод Даламбера дает возможность найти только один первый интеграл.

Умножая второе из уравнений (26) на 2 и складывая почленно с первым, получаем

Отсюда находим первый интеграл системы (26)

Используя этот первый интеграл, мы можем переписать второе из уравнений (26) в виде

Отсюда

Поэтому

Общее решение системы (26) имеет следующий вид

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. СОДЕРЖАЩИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Метод исключения. Используя общий метод сведения любой кано-нической системы к уравнению более высокого порядка, мы, вообще говоря, всегда можем свести линейную систему, содержащую произ-водные выше первого порядка, к одному линейному уравнению более высокого порядка. Найдя решение этого уравнения, мы получим решение заданной си­стемы уже без дальнейших квадратур.

Пример. Проинтегрировать систему :

Эта система приводится к одному уравнению четвертого порядка:

y ⁽⁴⁾ − k ⁴ y =0 (2)

Отсюда:

y = C ₁ e^kx + C ₂ e ^{− kx} + C ₃ coskx + C ₄ sinkx (3)

Поэтому: ввв

Метод Даламбера.

Метод Даламбера, изложенный ранее, распространяется и на линейные системы уравнений, со­держащие производные выше первого порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений:

Умножая второе уравнение на k , складывая почленно с первым уравнением и выбирая k из условия:

a₁₂ +ka₂₂ =k(a₁₁ +ka₂₁ ) (6)

получаем:

Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами относительно y + kz . Интегрируя его, найдем:

y + kz = φ ( x , C ₁ , C ₂ , … , C_n ). (8)

если корни уравнения (6) различные относительно y и z , получим общее решение системы (5).

Укажем, в заключение, что линейная система с постоянны­ми коэффициентами так же, как и линейное уравнение с по­стоянными коэффициентами, может быть проинтегрирована операторным методом.