Шпаргалка: Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

№1 Функциональные ряды

Членами являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х : U₁ (x )+ U ₂ ( x )+…+ U_n ( x )+… Придавая х какое-либо значение х₀ из области определения функций U_n ( x ), получим числовой ряд U ₁ ( x ₀ )+ U ₂ ( x ₀ )+…+ U_n ( x ₀ )+… Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка х₀ называется точкой сходимости функционального ряда. Если при х=х₀ ряд расходится, то точка х₀ называется точкой расходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Функциональный ряд называется правильно сходящимся на сегменте [ a , b ], если существует такой знакоположительный сходящийся ряд b ₁ + b ₂ +…+ b_n +…, что абсолютные величины членов данного ряда для любого значения х , принадлежащего сегменту [ a , b ], не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда, т. е. | U_n ( x )| ≤ b_n ( n =1, 2, …)

№2 Неопределенный интеграл и его свойства

Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти F(x), зная ее производную f(x).

Функция F(x) называется первообразной, если выполняется равенство F’(x)=f(x).

Если F(x) одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где С€R.

Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом

Свойства:

– неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;

– постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

№3 Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Прямая х=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если lim f(x)=∞ ,

^{x →0± a}

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y=Rx+b

R = lim(y/x) ; b = lim (y – Rx)

^{x →0 x →0}

Если y = b, то это уравнение горизонтальной асимптоты.

№4 Экстремум функции (для одной переменной)

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), то f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х₀ называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х_0, что для всех х, не равных х₀ из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(х₀ ), где х₀ – точка максимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке х₀ , то ее производная в этой точке равна 0.

Достаточное условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х₀ – точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х₀ – точка минимума.

№5 Производная. Ее геометрический и физический смысл.

Физический: производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ∆х при произвольном стремлении ∆х к 0.

Геометрический: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равен значению производной этой функции в точке х₀ .

№6 Замечательные пределы

lim (1+1/x)^x=e; lim (1+x)^1/x=e (e – экспонент)

^{x→∞ x→0}

№7 Точки разрыва функции, классификация

Точка х₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, что при х = х₀ функция разрывна. Это может произойти, если в точке х₀ функция не определена, или не существует предел функции при х → х₀ , или, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке х₀ : lim f(x) ≠ f(х₀ ). Точку х0 называют точкой разрыва первого рода,

^x→x 0

если существуют конечные односторонние пределы f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x), но f(x0-0)≠f(x0+0). ^{x → x} 0^{-0 x → x} 0⁺⁰

Точку х0 называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует (в частности, бесконечен).

№8 Непрерывность функции на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной, если:

– функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

– функция имеет предел при x→x₀ ,

– предел функции при x→x₀ равен значению функции в точке x₀ : lim f(x) = f(х₀ )

^x→x 0

Если в точке х₀ функция непрерывна, то точка х₀ называется точкой непрерывности данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х₀ справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ . Если lim f(x) = f(х₀ ), то говорят, что функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ справа; если lim f(x) = f(х₀ ),

^x→x 0^{+0 x→x} 0^{- 0}

то функция называется непрерывной в точке x₀ слева.

№9 Предел функции по Гейне

Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любой последовательности { x_n } сходящейся к x₀ , последовательность F({ x_n }) соответствующих значений функции сходится к А:

lim f(x) =A

^{x → x} 0

№10 Предел функции по Коши

Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдется такое число δ>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что | x-x₀ |< δ, x≠x₀ выполняется неравенство |f(x)-A|<E.

№11 Предел числовой последовательности

Число а называется пределом последовательности x_n , если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где n<N выполняется неравенство | x_n -a|<E. В этом случае обозначают так lim x_n = a

^{n →∞}

Если последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Операции над пределами последовательностей:

Пусть lim x_n = a; lim у_n = b, тогда

^{n →∞ n →∞}

– lim (x_n ± у_n ) = a±b;

^{n →∞}

– lim (x_n * у_n ) = a*b;

^n→∞

– lim (c* x_n ) = c*a;

^n→∞

– lim (x_n )^R = (lim x_n )^R=a^R;

^n→∞

– lim (x_n )^1/R = a^1/R;

^n→∞

– lim a = a.

^n→∞

Бесконечно большие последовательности:

– lim x_n = ±∞;

^{n →∞}

Правила вычисления пределов ЧП:

– lim x_n = а; lim y_n = ±∞, тогда lim x_n / lim y_n = а/±∞=0;

^{n →∞ n →∞ n →∞ n →∞}

– lim x_n = 0; lim y_n = ±∞, тогда lim y_n =0, lim (x_n / y_n )= ±∞

^{n →0 n →∞ n →∞ n →∞}

№12 Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Если точки М₀ (x₀ ; y₀ ; z₀ ), М₁ (x₁ ; y₁ ; z₁ ), М₂ (x₂ ; y₂ ; z₂ ) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением

x – x₀ y – y₀ z – z₀

x₁ – x₀ y₁ – y₀ z₁ – z₀ = 0

x₂ – x₀ y₂ – y₀ z₂ – z₀

№14 Уравнение прямой в пространстве (общее и каноническое).

Прямая L, проходящая через точку М₀ (x₀ ; y₀ ; z₀ ) и имеющая направляющий вектор a {l , m , n }, представляется уравнениями x – x₀ y – y₀ z – z₀

= = ,

l m n

выражающими коллинеарность векторов a {l , m , n } и М₀ М { x – x ₀ , y – y ₀ , z – z ₀ }. Они называются каноническими.

№15 Уравнение прямой на плоскости.

Ax + By + C = 0, где А, В, С – постоянные коэффициенты.

Заметим, что n (А; В) – нормальный вектор (n ┴ прямой).

Частные случаи этого уравнения:

– Ах + By = 0 (C=0) – прямая проходит через начало координат;

– Ах + С = 0 (В=0) – прямая параллельна оси Оу;

– Ву + С = 0 (А=0) – прямая параллельна оси Ох;

– Ах = 0 – прямая совпадает с осью Оу;

– Ву = 0 – прямая совпадает с осью Ох.

№16 Векторы. Операции над векторами.

Вектор – направленный отрезок прямой.

I. Правила треугольника. Правила параллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.

а b а b а a c

а b a + b = c

a b b а

Равенство векторов:

Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов:

Суммой векторов называется третий вектор

Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т.д.

Коллинеарность векторов:

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Скалярное произведение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними

Угол между векторами:

cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2

№17 Система линейных уравнений. Формулы Крамера.

x = ∆1/∆; x2 = ∆2/∆; … xn = ∆n/∆

№18 Система линейных уравнений. Метод Гауса.

Системой линейных уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида а11х1 + а12х2 + а13х3+…+аnxn = b1;

{ а21х1 + а22х2 + а23х3+…+аnxn = b2; }, где а_ij – коэффициенты системы, b_i – свободные

am1x1 + am2x2 + am3x3+…+amnxn = bm члены

№19 Обратная матрица. Ранг матрицы.

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А* А^-1 = А^-1 *А = Е

Всякая невырожденная матрица (т.е. ∆≠0) имеет обратную.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. вычисляем определитель, составленный по данной матрице;

2. находим матрицу А^Т , транспонированную к А;

3.

4. вычисляем обратную матрицу по формуле А^-1 = А^* /∆А = 1/∆А* ( )

Ранг м-цы:

Минором R-го порядка произвольной м-цы А называется определитель, составленный из элементов м-цы, расположенных на пересечении каких-либо R-строк и R-столбцов.

Рангом м-цы А называется наибольший из порядков ее миноров, неравных 0.

Базисным минором называется любое из миноров м-цы А, порядок которого равен рангу А.

При элементарных преобразованиях ранг м-цы не изменяется.

Ранг ступенчатой м-цы равен количеству ее не нулевых строк.

Свойства:

– при транспонировании м-цы ее ранг не меняется;

– если вычеркнуть из м-цы нулевой ряд, то ранг не изменится.

№20 Матрицы. Операции над матрицами.

Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие м-цу, называются элементами м-цы.

Две м-цы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно.

Виды: м-ца-строка; м-ца-столбец.

М-ца называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Квадратная м-ца, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называется диагональной.

Если у диагональной м-цы n-го порядка все элеметы главной диагонали равны 1, то м-ца называется единичной n-го порядка и обозначается Е.

Если все элементы м-цы равны 0, то она называется нулевой.

Операции над матрицами:

Умножение м-цы на число. Произведением м-цы А на число λ называется матрица В= λ*А, элементы которой b_ij = λ* a_ij (i=1,…,m, j=1,…,n)

Сложение м-ц. Суммой двух м-ц А и В одинакового размера m на n называется м-ца С=А+В, элементы которой Сij=aij+bij.

Аналогично находится разность.

Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+aiR*bR = ∑ais*bsj

Возведение в степень.

А^2=A*A

Транспонирование м-цы – переход от м-цы А к м-це А^Т , в которой строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка.

№21 Определители n-го порядка. Свойства определителей.

Квадратной м-це А порядка n можно сопоставить число дельта А(|А|, ∆), которое называется определителем, если:

– n=1, A=(a1), ∆A=a1;

– n=2, A= , ∆= =a11a22-a12a21;

–n=3, A= ; ∆A=

Свойства определителей:

1. Если у определителя какая-л строка (столбец) состоит только из нулей, то ∆=0;

2. Если какие-л две строки (столбца) определителя пропорциональны, то ∆=0;

3. Если какую-л строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число;

4. Если две строки (столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак;

5. Если к какой-л строке (столбцу) определителя прибавить какую-л другую строку (столбец), умноженное на произвольное число, то определитель не изменится;

6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

№22 Признаки сравнения положительных рядов.

Для исследования сходимости данного положительного ряда U0+U1+U2+… его часто сравнивают с другим положительным рядом V0+V1+V2+…, о котором известно, что он сходится или расходится.

Если ряд 2 сходится и сумма его равна V, а члены данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда 2, то данный ряд сходится, и сумма его не превосходит V. При этом остаток данного ряда не превосходит остатка ряда 2.

Если ряд 2 расходится, а члены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда 2, то данный ряд расходится.

№23 Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда

Признак Даламбера:

Пусть в положительном ряде U1+U2+…+Un+… отношение U_{n +1} /U_n последующего члена к предыдущему при n→∞ имеет предел q. Возможны три случая:

q<1 –ряд сходится; q>1 – ряд расходится; q=1 – ряд может сходиться, а может и расходиться.

№24 Производные обратных тригонометрических функций.

I. d arcsin x = dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arcsin x = 1/(1-x^2)^1/2

II. d arccos x = - dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arccos x= - 1/(1-x^2)^1/2

III. d arctg x = dx/(1+x^2), d/dx arctg x = 1/(1+x^2)

IV. d arcctg x = - dx/(1+x^2), d/dx arcctg x = - 1/(1+x^2)

№25 Дифференцирование функций, заданных неявно.

Пусть уравнение, связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y как неявную функцию от x. Для разыскания производной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нужды искать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и из полученного равенства найти отношение dy к dx.

№26 Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Предположим, что функция y от х задана параметрически уравнениями x=x(t), y=y(t), причем в некоторой области изменения параметра t функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x’(t)≠0.

Найдем производную у’_x . Как мы знаем у’_x = dy/dx. Так как dx = x’(t)dt, dy = y’(t)dt, то

y’_x = dy/dx = y’(t)dt/x’(t)dt = y’(t)/x’(t) = y’t/x’t.

Таким образом, dy/dx = y’t/x’t. Эта формула позволяет находить производную функции, заданной параметрически.

№28 Дифференциал функции.

Пусть приращение функции y=f(x) разбито на сумму двух членов: ∆y = A ∆x+α, где А не зависит от ∆x (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и α имеет высший порядок относительно ∆x (при ∆x → 0).

Тогда первый член, пропорциональный ∆x, называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).

№29 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, где функции X1 и X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 – только от y, приводится к виду ydx – xdy = 0 делением на Y1X2. Процесс произведения называется разделением переменных.

№30 Площадь криволинейной трапеции.

равна

№31 Дифференциальные однородные уравнения первого порядка.

ДУ первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде y’ = g (y/x).

Однородное ДУ преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены z=y/x; y=z*x, то y’=z’x+z, поэтому уравнение y’=g(y/x) преобразуем к виду z’x+z=g(z); dz*x/dx=g(z)-z; dz\(g(z)-z)=dx/x.

Найдя его общее решение следует заметить в нем z на y/x.

Однородное ДУ часто задается в дифференциальной форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0.

ДУ будет однородным, если P(x;y) и Q(x;y) – однородные функции одинакового порядка.

Переписав уравнение в виде dy/dx=-P(x;y)/Q(x;y) и переменив в правой части рассмотренное выше преобразование получим уравнение y’=g(y/x).

При интегрировании уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 нет необходимости предварительно приводить их к виду y’=g(y/x): подстановка z=y/x сразу преобразует уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 в уравнение с разделяющимися переменными.

№32 Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида а₀ +а₁ х+а₂ х² +…+a_n xⁿ +…, а также ряд более общего вида а₀ +а1(х-х₀ )+а₂ (х-х₀ )² +…+a_n (x-х₀ )ⁿ +…, где х₀ – постоянная величина. О первом ряде говорят, что он расположен по степеням х, во втором – что он расположен по степеням х-х_0.

Постоянные а₀ , а₁ , …, а_n , … называются коэффициентами степенного ряда.

Степенной ряд всегда сходится при х=0.

№33 Кривые второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола).

Линии, определяемые уравнениями второй степени относительно переменных x и y, т.е. уравнениям вида Ах² +2Вху+Су² +2Вх+2Еу+F=0 (А² +В² +С² ≠0), называются кривыми 2-го порядка.

Эллипс.

х² /а² +у² /b² =1

Гипербола.

х² /а² -у² /b² =1

Парабола.

y² =2px, где p>0

№35 Эллипсоид (уравнение и чертеж).

x² /a² +y² /b² +z² /c² =1

№36 Гиперболоид (уравнение, чертеж).

x² /a² +y² /b² -z² /c² =1

№37 Параболоид эллиптический (уравнение, чертеж)

x² /a² +y² /b² =2pz

№38 Параболоид гиперболический (уравнение, чертеж)

x² /a² -y² /b² =2pz

№39 Уравнение в полных дифференциалах

Если коэффициенты P(x,y), Q(x,y) в уравнении

P (x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)удовлетворяют условию

δP/δy=δQ/δx, то левая часть (1) есть полный дифференциал

некоторой функции F (x,y). Общий интеграл уравнения (1)

будет: F (x,y) = C.