ЗАДАЧА 1
По годовым отчетам промышленных предприятий района получена следующая информация:
Номер предприятия |
Объем продукции, млн. руб. |
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб. |
1 |
134,4 |
7,2 |
2 |
264 |
11,6 |
3 |
372 |
15,6 |
4 |
145 |
7,6 |
5 |
427 |
16,0 |
6 |
585 |
22,0 |
7 |
170 |
8,4 |
8 |
464 |
18,8 |
9 |
180 |
9,2 |
10 |
308 |
13,2 |
11 |
586 |
21,0 |
12 |
338 |
14,0 |
13 |
480 |
19,0 |
14 |
240 |
11,0 |
15 |
362 |
14,8 |
16 |
603 |
23,0 |
17 |
375 |
15,6 |
18 |
216 |
10,0 |
19 |
572 |
19,8 |
20 |
277 |
12,4 |
Сгруппируйте предприятия по объему выработанной продукции, выделив четыре группы с равными интервалами. По каждой группе определите:
1. Число предприятий;
2. Объем продукции – в целом по группе и в среднем на 1 предприятие;
3. Стоимость основных производственных фондов – в целом по группе и в среднем на 1 предприятие.
Решение оформите в виде статистической таблицы. Сделайте выводы.
Изобразите ряд распределения предприятий по объему продукции графически в виде гистограммы распределения.
Решение
Ранжируем ряд по объему выработанной продукции
Номер предприятия |
Объем продукции, млн. руб. |
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб. |
1 |
134,4 |
7,2 |
4 |
145 |
7,6 |
7 |
170 |
8,4 |
9 |
180 |
9,2 |
18 |
216 |
10 |
14 |
240 |
11 |
2 |
264 |
11,6 |
20 |
277 |
12,4 |
10 |
308 |
13,2 |
12 |
338 |
14 |
15 |
362 |
14,8 |
3 |
372 |
15,6 |
17 |
375 |
15,6 |
5 |
427 |
16 |
8 |
464 |
18,8 |
13 |
480 |
19,0 |
19 |
572 |
19,8 |
6 |
585 |
22 |
11 |
586 |
21 |
16 |
603 |
23 |
При построении ряда с равными интервалами величина интервала h
определяется по формуле
где
– наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k
-
число групп интервального ряда.
Сгруппируем данные
Границы интервалов |
Число предприятий |
Объем продукции (млн. руб.) |
Среднегодовая стоимость фондов (млн. руб.) |
В сумме |
В среднем на 1 предприятие |
В сумме |
В среднем на 1 предприятие |
% к объему |
134,4-251,55 |
6 |
1085,4
|
180,9
|
53,4 |
8,9 |
4,92% |
251,55-368,7 |
5 |
1549 |
309,8 |
66,0 |
13,2 |
4,26% |
368,7-485,85 |
5 |
2118 |
423,6 |
65,5 |
13,1 |
3,09% |
485,85-603 |
4 |
2346 |
586,5 |
85,8 |
21,45 |
3,66% |
Σ |
20 |
7098,4 |
1500,8 |
270,7 |
56,65 |
15,93% |
Как мы видим из таблицы и диаграммы, частота распределения предприятий по объему выработанной продукции
имеет тенденцию к снижению, более часто встречаются предприятия с объемом выработанной продукции от 134,4 до 251,55 млн.руб. Также мы видим, что с ростом объема выработанной продукции, уменьшается среднегодовая стоимость фондов (с 4,92% к объему выработанной продукции в первой группе до 3,66% к объему выработанной продукции в четвертой группе)
Рис.1
ЗАДАЧА 2
Методом механического отбора проведено 5 % обследование веса расфасованного груза (мешки муки). Распределение 60 отобранных мешков по весу дало следующие результаты:
Вес мешка, кг. |
Число мешков |
До 45 |
3 |
45-50 |
6 |
50-55 |
40 |
55-60 |
7 |
60-и более |
4 |
Итого: |
60 |
Определите:
1. средний вес одного мешка муки в выборке;
2. размах вариации;
3. среднее линейное отклонение;
4. дисперсию;
5. среднее квадратическое отклонение;
6. коэффициент вариации.
7. с вероятностью 0,997 пределы, в которых может быть гарантирован средний вес мешка муки во всей партии.
Сделайте выводы.
Решение:
Рассчитаем характеристики ряда распределения. Середины крайних (открытых) интервалов определим, исходя из гипотезы равнонаполненности интервалов.
Для расчетов составим вспомогательную таблицу:
Количество изделий за смену, шт. |
Середина интервала,
х
i
|
Частота,
fi
|
|
|
|
До 45 |
42,5 |
3 |
127,5 |
30,75 |
315,1875 |
45-50 |
47,5 |
6 |
285 |
31,5 |
165,375 |
50-55 |
52,5 |
40 |
2100 |
10 |
2,5 |
55-60 |
57,5 |
7 |
402,5 |
33,25 |
157,9375 |
60-и более |
62,5 |
4 |
250 |
39 |
380,25 |
Σ
|
60
|
3165
|
144,5
|
1021,25
|
1. Для расчета средней дневной выработки рабочих воспользуемся формулой средневзвешенного:
2. Размах вариации равен:
3. Среднее линейное отклонение определим по формуле:
4. Дисперсию найдем по формуле:
5. Соответственно, среднеквадратическое отклонение равно:
6. Вычислим коэффициент вариации
Коэффициент вариации значительно меньше 33% – совокупность достаточно однородна.
1. Определим возможные границы, в которых ожидается среднедневная выработка изделий в генеральной совокупности рабочих. По условию n = 100, тогда N – размер совокупности равен:
N = 60*100% /5% = 1200 шт.
Используем формулы для бесповторного отбора:
Предельная ошибка выборки равна:
,
т.е. ошибка выборки для средней величины составляет 0,519 кг.
Установим предельные значения для генеральной средней с вероятностью 0,997, учитывая, что вероятности 0,954 соответствует значение коэффициента доверия t=3:
== 52,75 3* 0,519 , или 52,23 кг ≤ ≤ 53,27 кг
Таким образом, с вероятностью 99,7%, средний вес мешка муки во всей партии может быть га рантирован в пределах от 52,23 до 53,27 кг.
ЗАДАЧА 3
Имеются следующие данные о продаже картофеля по двум рынкам города:
Рынок
|
Цена за 1 кг, руб.
|
Продано картофеля, т
|
I квартал
|
II квартал
|
I квартал
|
II квартал
|
1 |
12 |
10 |
5 |
8 |
2 |
11,5 |
9,5 |
7 |
10 |
3 |
14 |
11 |
4,5 |
6 |
Определите:
1. Индивидуальные индексы цен.
2. Индекс цен переменного состава.
3. Индекс цен фиксированного состава.
4. Индекс влияния структурных сдвигов.
Решение
Индивидуальные индексы цен
ip
1
=10/2=0,83=83,3% (снижение на 16,7%)
ip
2
=9,5/11,5=0,83=82,6% (снижение на 17,4%)
ip
3
=11/14=0,79=78,6% (снижение на 21,4%)
Составим вспомогательную таблицу
Рынок
|
Цена за 1 кг, руб.
|
Продано картофеля, т
|
|
|
|
I квартал
|
II квартал
|
I квартал
|
II квартал
|
1 |
12 |
10 |
5 |
8 |
60 |
80 |
96 |
2 |
11,5 |
9,5 |
7 |
10 |
80,5 |
95 |
115 |
3 |
14 |
11 |
4,5 |
6 |
63 |
66 |
84 |
Сумма |
16,5
|
24
|
203,5
|
241
|
295
|
На изменение средних цен влияют два фактора:
- цена единицы продукции на рынке
- структура выпуска продукции
Совместное влияние факторов на изменение средней цены картофеля учитывает индекс переменного состава.
Он представляет собой соотношение двух средних величин, т.е. здесь учитываются и структурные изменения в составе совокупности, и изменение качественного признака у отдельных объектов.
Средняя цена снизилась на 18,58% за счет совместного действия двух факторов
В абсолютном выражении это
=(10,04-12,33)=-2,29 р.
Т.е. средняя стоимость 1 кг картофеля снизилась на 2,29 руб.
Изменение за счет качественного признака учитывает индекс фиксированного (постоянного) состава
Средняя стоимость 1 кг картофеля снизилась на 18,31% за счет изменения единицы продукции на каждом рынке.
В абсолютном выражении это
= (10,04-12,29)= -2,25 руб.
Изменение структуры выпуска продукции (т.е. изменение доли предприятий в общем выпуске продукции) учитывает индекс структурных сдвигов.
Средняя цена картофеля снизилась на 0,34% за счет изменения структуры продажи картофеля.
В абсолютном выражении это
=(12,29-12,33)= 0,04 руб.
Взаимосвязь системы индексов:
Iпер
=Iфикс
*Iстр
.
0,814=0,817*0,997
Общий вывод: если бы произошедшие изменения стоимости картофеля не сопровождались структурными изменениями в ее выпуске, то средняя стоимость снизилась бы на 18,31% (на 2 руб. 25 коп.). Изменение структуры продаж на рынках в общем объеме продаж вызвало снижение стоимости на 0,34% (4 коп.). Одновременное воздействие обоих факторов снизило среднюю стоимость 1 кг картофеля на 18,58%, или 2 руб. 29 коп.
ЗАДАЧА 4
Имеются следующие данные о ежесуточной добычеугляпо шахте за первую декаду:
День |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Добыча угля, т. |
800 |
790 |
804 |
808 |
805 |
810 |
800 |
817 |
820 |
832 |
Для анализа динамики добычи угля по шахте определить:
1. абсолютные приросты, темпы роста и прироста добычи угля (базисные и цепные);
2. абсолютное значение 1 % прироста.
3. среднемесячный темп роста и прироста, средний абсолютный прирост (двумя способами);
4. ожидаемый объем добычи угля на 11 день при условии, что среднемесячные темпы с 1 по 10 день сохранятся на 11 день.
Полученные результаты представьте в табличной форме. На основе базисных темпов роста изобразите графически динамику добычи угля.
Сделайте выводы.
Решение:
Показатели динамики
Добыча угля,
т.
|
Абсолютный прирост,
Δ, т.
|
Коэффициент роста,
Кр
|
Темп роста,
Тр, %
|
Темп прироста,
Тп, %
|
Абсолютное значение 1% прироста, А
i
|
С переменной
базой
|
С постоянной
базой
|
С переменной
базой
|
С постоянной
базой
|
С переменной
базой
|
С постоянной
базой
|
С переменной
базой
|
С постоянной
базой
|
С переменной
базой
|
дни
|
значение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
800 |
2 |
790 |
-10,00 |
-10,00 |
0,99 |
0,99 |
98,75% |
98,75% |
-1,25% |
-1,25% |
8,00 |
3 |
804 |
14,00 |
4,00 |
1,02 |
1,01 |
101,77% |
100,50% |
1,77% |
0,50% |
7,90 |
4 |
808 |
4,00 |
8,00 |
1,00 |
1,01 |
100,50% |
101,00% |
0,50% |
1,00% |
8,04 |
5 |
805 |
-3,00 |
5,00 |
1,00 |
1,01 |
99,63% |
100,63% |
-0,37% |
0,63% |
8,08 |
6 |
810 |
5,00 |
10,00 |
1,01 |
1,01 |
100,62% |
101,25% |
0,62% |
1,25% |
8,05 |
7 |
800 |
-10,00 |
0,00 |
0,99 |
1,00 |
98,77% |
100,00% |
-1,23% |
0,00% |
8,10 |
8 |
817 |
17,00 |
17,00 |
1,02 |
1,02 |
102,13% |
102,13% |
2,13% |
2,13% |
8,00 |
9 |
820 |
3,00 |
20,00 |
1,00 |
1,03 |
100,37% |
102,50% |
0,37% |
2,50% |
8,17 |
10 |
832 |
12,00 |
32,00 |
1,01 |
1,04 |
101,46% |
104,00% |
1,46% |
4,00% |
8,20 |
Средние показатели динамики
Показатель |
Средний
Абсолютный прирост, т.
|
Средний
Коэффициент рост
|
Средний
Темп роста, %
|
Средний
Темп прироста, %
|
Средняя величина
абсолютного значения 1% прироста
|
Метод расчета |
|
|
0 |
|
|
Значение |
3,56 |
1,004 |
100,44% |
0,44% |
8,14 |
Рассчитаем ожидаемый объем добычи угляна 11 день при условии, что среднемесячные темпы роста с 1 по 10 день сохранятся на 11 день.
;
На основании рассмотренных данных мы видим, что темп роста добычи угля за рассматриваемый период колеблется. За десять дней лет темп прироста составил 4%. Средний коэффициент роста составил около 1,004 раза, что соответствует среднему приросту в день 0,44%. Средний абсолютный прирост составил 3,56 т. в день.
ЗАДАЧА 5
По данным задачи 1 найдите уравнение корреляционной связи между факторным (х) и результативным (у) признаками. Проанализируйте параметры уравнения регрессии. Для оценки тесноты связи между признаками исчислите линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации. Изобразите корреляционную связь графически.
Решение:
Найдем уравнение линейной регрессии
Заполним вспомогательную таблицу:
Таблица
x
|
y
|
х2
|
y
2
|
хy
|
|
|
|
|
7,2 |
134,4 |
51,84 |
18063,36 |
967,68 |
125,46 |
8,94 |
0,067 |
79,88 |
7,6 |
145 |
57,76 |
21025 |
1102 |
138,02 |
6,98 |
0,048 |
48,75 |
8,4 |
170 |
70,56 |
28900 |
1428 |
163,13 |
6,87 |
0,040 |
47,20 |
9,2 |
180 |
84,64 |
32400 |
1656 |
188,24 |
8,24 |
0,046 |
67,92 |
10 |
216 |
100 |
46656 |
2160 |
213,35 |
2,65 |
0,012 |
7,01 |
11 |
240 |
121 |
57600 |
2640 |
244,74 |
4,74 |
0,020 |
22,49 |
11,6 |
264 |
134,56 |
69696 |
3062,4 |
263,58 |
0,42 |
0,002 |
0,18 |
12,4 |
277 |
153,76 |
76729 |
3434,8 |
288,69 |
11,69 |
0,042 |
136,61 |
13,2 |
308 |
174,24 |
94864 |
4065,6 |
313,80 |
5,80 |
0,019 |
33,64 |
14 |
338 |
196 |
114244 |
4732 |
338,91 |
0,91 |
0,003 |
0,83 |
14,8 |
362 |
219,04 |
131044 |
5357,6 |
364,02 |
2,02 |
0,006 |
4,09 |
15,6 |
372 |
243,36 |
138384 |
5803,2 |
389,13 |
17,13 |
0,046 |
293,59 |
15,6 |
375 |
243,36 |
140625 |
5850 |
389,13 |
14,13 |
0,038 |
199,79 |
16 |
427 |
256 |
182329 |
6832 |
401,69 |
25,31 |
0,059 |
640,57 |
18,8 |
464 |
353,44 |
215296 |
8723,2 |
489,58 |
25,58 |
0,055 |
654,40 |
19 |
480 |
361 |
230400 |
9120 |
495,86 |
15,86 |
0,033 |
251,51 |
19,8 |
572 |
392,04 |
327184 |
11325,6 |
520,97 |
51,03 |
0,089 |
2603,99 |
22 |
585 |
484 |
342225 |
12870 |
590,03 |
5,03 |
0,009 |
25,28 |
21 |
586 |
441 |
343396 |
12306 |
558,64 |
27,36 |
0,047 |
748,67 |
23 |
603 |
529 |
363609 |
13869 |
621,42 |
18,42 |
0,031 |
339,20 |
290,20
|
7098,40
|
4666,60
|
2974669,36
|
117305,08
|
7098,40
|
259,12
|
0,710
|
6205,59
|
Определим коэффициенты регрессии:
Уравнение имеет вид:
С увеличением среднегодовой стоимости производственных фондов на 1 млн.руб. объем продукции увеличивается на 31,39 млн.руб. в среднем.
Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:
Допустимый предел значений A
– не более 8 – 10%.
В рассматриваемом случае в среднем расчетные значения отклоняются от фактических в допустимых пределах. Качество уравнения регрессии можно оценить как хорошее.
Определим коэффициент корреляции (воспользуемся вспомогательной таблицей):
Коэффициент детерминации: r2
= 0,986
Соответственно 98,6% изменения фактора y объясняется изменением фактора x.
Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:
Вычисленное t-значение сравним с табличным (критическим) значением при принятом уровне значимости а
= 0,05 и числе степеней свободы v
=
n - 2 = 20-2 = 18.
Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,101.
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и наличии линейной связи между факторами.
Оценим значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение F
факт
с табличным (критическим) значением F
табл
.
Фактическое значение F
факт
рассчитаем по формуле:
Табличное значение F
табл
по таблице значений F-критерия Фишера при а
= 0,05, n
=20,
m
=
1 (т -
число параметров при переменной х)
равно:
F
(0,05;1;18)
=
4,414
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи r
ху
.
Рис.1
На графике корреляционного поля видно, что между показателями наблюдается хорошо выраженная прямая положительная зависимость (с увеличением стоимости основных производственных фондов увеличивается объем выпущенной продукции). Что также подтверждается теоретическими расчетами.
ЗАДАЧА 6
Численность занятых, безработных и экономически активного населения Волгоградской области характеризуется данными (тыс. человек):
Год |
численность |
занятые |
безработные |
экономически активное |
2001 |
938,0 |
159,0 |
1097,0 |
2002 |
1079,3 |
153,7 |
1233,0 |
Определить:
1. уровни безработицы, уровни занятости;
2. темпы роста и прироста исчисленных показателей.
Сделайте выводы.
Решение
.
Уровень безработицы – это удельный вес безработных в численности экономически активного населения
Уровень безработицы
= Численность безработных / Численность экономически активного населения *100%.
Уровень занятости
= Численность занятых / Численность экономически активного населения * 100%.
Уровень занятости характеризует степень использования трудоспособного населения в сфере общественно полезного труда.
Составим таблицу
Уровень |
Год |
Темпы роста/прироста |
2001 |
2002 |
Темп роста |
Темп прироста |
занятости |
85,5% |
87,5% |
1,02 |
0,02 |
безработицы |
14,5% |
12,5% |
0,86 |
0,14 |
Выводы
В период за 2001-2002 год в области увеличился процент занятости, то есть увеличилась степень использования трудоспособного населения с 85,5% до 87,5%. Темп прироста этого показателя составил 2%. Уровень безработицы понизился и составил 12,5% в 2002 году по сравнению с 14,5% в 2001 году. То есть темп прироста (снижения) этого показателя составил 14%.
ЗАДАЧА 7
Выполнить анализ факторов, влияющих на объем выпуска продукции хлебозавода, на основе следующих данных (среднегодовой стоимости основных фондов и фондоотдачи):
Показатели |
Базисный год |
Отчетный год
в сопоставимых ценах
|
Объем товарной продукции, тыс. руб., |
12455 |
13248 |
Среднегодовая стоимость основных фондов, тыс. руб., |
6120 |
6220 |
Решение:
Определим фондоотдачу и составим таблицу:
Показатели |
Базисный год |
Отчетный год
в сопоставимых ценах
|
Объем товарной продукции, тыс. руб., |
12455 |
13248 |
Среднегодовая стоимость основных фондов, тыс. руб., |
6120 |
6220 |
Фондоотдача, |
Влияние каждого фактора на изменение объема товарной продукции найдем методом цепных подстановок.
Сущность метода цепных подстановок заключается в последовательной замене отчетной величины факториальных показателей базисной величиной этих показателей или, наоборот, в последовательной замене базисной величины факториальных показателей отчетной и определение влияния этой замены на результативный показатель.
Влияние качественного фактора определяется при фактической величине количественного фактора, влияние количественного фактора, наоборот, определяется по базисной величине качественного фактора.
Введем обозначения:
Q
0
и Q1
– результативный показатель базисного и отчетного периода;
V
0
,
f
0
– факториальные показатели базисного периода;
V
1
,
f
1
– то же, отчетного периода.
Тогда, общее изменение объема товарной продукции:
Изменение объема товарной продукции под влиянием изменения среднегодовой стоимости основных фондов:
;
Изменение объема товарной продукции под влиянием изменения показателя фондоотдачи:
;
Проверим результат расчета:
Используемая литература
1. Экономическая статистика: Учебник / Под ред. Ю.Н. Иванова – М.:ИНФРА-М, 1999. – 480 с.
|