Розрахунково-графічне завдання
з теми:
«Статистична обробка результатів прямих багаторазових вимірювань з незалежними рівноточними спостереженнями»
Виконала:
Студентка групиАП-48б
Арсентьєва К.Г.
Харків 2010
Исходные данные
Экспериментально получены результаты серии наблюдений напряжения U постоянного размера. Результаты наблюдений считаются независимыми и равноточными (по условиям эксперимента). В общем случае они могут содержать систематическую и случайную составляющие погрешности измерений. Указана доверительная вероятность P=0,95 результата измерения.
Задание
По результатам многократных наблюдений определить наиболее достоверное значение измеряемой физической величины и его доверительные границы.
Таблица 1
U(1)=170.02 |
U(17)=170.20 |
U(2)=170.41 |
U(18)=170.30 |
U(3)=169.95 |
U(19)=169.59 |
U(4)=170.17 |
U(20)=169.95 |
U(5)=169.95 |
U(21)=169.77 |
U(6)=170.01 |
U(22)=169.84 |
U(7)=170.26 |
U(23)=169.95 |
U(8)=190.23 |
U(24)=159.84 |
U(9)=169.84 |
U(25)=170.33 |
U(10)=169.73 |
U(26)=169.73 |
U(11)=169.74 |
U(27)=169.91 |
U(12)=170.21 |
U(28)=170.35 |
U(13)=169.76 |
U(29)=170.20 |
U(14)=169.67 |
U(30)=169.88 |
U(15)=169.83 |
U(31)=169.60 |
U(16)=170.35 |
U(32)=170.50 |
Доверительная вероятность: P= 0, 99
Доверительные границы:
Разрядность: 5 разрядов*
Количество наблюдений: n = 32
Обработка результатов измерений
Анализируем серию наблюдений на наличие промахов. Если они имеются, то их необходимо исключить из дальнейшей обработки.
При анализе обнаружен один промах U(8)=190.23 и U(24)=159.84
(В). Исключим его из результатов измерений.
Таблица 2
U(1)=170.02 |
U(16)=170.20 |
U(2)=170.41 |
U(17)=170.30 |
U(3)=169.95 |
U(18)=169.59 |
U(4)=170.17 |
U(19)=169.95 |
U(5)=169.95 |
U(20)=169.77 |
U(6)=170.01 |
U(21)=169.84 |
U(7)=170.26 |
U(22)=169.95 |
U(8)=169.84 |
U(23)=170.33 |
U(9)=169.73 |
U(24)=169.73 |
U(10)=169.74 |
U(25)=169.91 |
U(11)=170.21 |
U(26)=170.35 |
U(12)=169.76 |
U(27)=170.20 |
U(13)=169.67 |
U(28)=169.88 |
U(14)=169.83 |
U(29)=169.60 |
U(15)=170.35 |
U(30)=170.50 |
Проверим соответствие экспериментального закона распределения нормальному закону.
Для этого используем составной критерий согласия. Он включает в себя два независимых критерия, их обозначают I и II. Первый из этих критериев (критерий I) обеспечивает проверку соответствия распределения экспериментальных данных нормального закона распределения вблизи центра распределения, а второй критерий (критерий II) – на краях распределения. Если при проверке не удовлетворяется хотя бы один из этих критериев, то гипотеза о нормальности распределения результатов наблюдений отвергается.
Для проверки гипотезы о нормальности распределения исходной серии результатов наблюдений по критерию I вычисляют параметр d, определяемый соотношением:
(1),
где (В) – среднее арифметическое результатов наблюдений Ui
, ;
(В) – смещённая оценка СКО результатов наблюдений Ui
, .
Для облегчения дальнейших расчетов сведём значения и в таблицу:
Таблица 3
i |
|
|
|
1. |
0.02 |
0.0004 |
0.02 |
2. |
0.41 |
0.1681 |
0.41 |
3. |
-0.05 |
0.0025 |
0.05 |
4. |
0.17 |
0.0289 |
0.17 |
5. |
-0.05 |
0.0025 |
0.05 |
6. |
0.01 |
0.0001 |
0.01 |
7. |
0.26 |
0.0676 |
0.26 |
8. |
-0.16 |
0.0256 |
0.16 |
9. |
-0.27 |
0.0729 |
0.27 |
10. |
-0.26 |
0.0676 |
0.26 |
11. |
0.21 |
0.0441 |
0.21 |
12. |
-0.24 |
0.0576 |
0.24 |
13. |
-0.33 |
0.1089 |
0.33 |
14. |
-0.17 |
0.0289 |
0.17 |
15. |
0.35 |
0.1225 |
0.35 |
16. |
0.20 |
0.04 |
0.20 |
17. |
0.30 |
0.09 |
0.30 |
18. |
-0.41 |
0.1681 |
0.41 |
19. |
-0.05 |
0.0025 |
0.05 |
20. |
-0.23 |
0.0529 |
0.23 |
21. |
-0.16 |
0.0256 |
0.16 |
22. |
-0.05 |
0.0025 |
0.05 |
23. |
0.33 |
0.1089 |
0.33 |
24. |
-0.27 |
0.0729 |
0.27 |
25. |
-0.09 |
0.0081 |
0.09 |
26. |
0.35 |
0.1225 |
0.35 |
27. |
0.20 |
0.04 |
0.20 |
28. |
-0.12 |
0.0144 |
0.12 |
29. |
-0.4 |
0.16 |
0.4 |
30. |
0.5 |
0.25 |
0.5 |
|
|
|
Рассчитаем параметр d в соответствии с формулой (1):
Результаты наблюдений Ui
считаются распределёнными по нормальному закону, если выполняется следующее условие
,
где , - квантили распределения параметра d. Их находят по таблице П.1 α-процентных точек распределения параметра d по заданному объёму выборки n и принятому для критерия I уровню значимости α1
. Выберем α1
и α2
из условия α≤α1
+α2
, где α=1-Р=1-0,99=0,01.
α1
=0,02 и α2
=0,01.
Для n=15,р=0,95, α=0,02
a)Для n=30,P=0.99 .
26 |
0.8901 |
30 |
У |
31 |
0.8827 |
Проведём интерполяцию:
Y(d )=0.8901+0.8(0.8827-0.8901)=0.8901-0.0059=0.8842
Для n=30,P=0.99
26 |
0.7040 |
30 |
У |
31 |
0.7110 |
Проведём интерполяцию:
Y( )=0,7040+0,8(0,7110-0,7040)=0,7040+0,0056=0,7096
0,7096<0,8643<0,8842
Распределение результатов наблюдений соответствует критерию I.
По критерию II, распределение результатов наблюдений соответствует нормальному закону распределения, если не более m разностей превзошли значение
,
где (В) – несмещенная оценка СКО результатов наблюдений Ui
;
- верхняя квантиль распределения интегральной функции нормированного нормального распределения, соответствующая доверительной вероятности Р2
. Значение m и Р2
находим по числу наблюдений n и уровню значимости α2
для критерия II по таблице П.2 приложения. m=2, Р2
=0,99. Затем вычисляем:
По таблице П.3 приложения интегральной функции нормированного нормального распределения находят , соответствующее вычисленному значению функции Ф(): при Ф()=0,995;=2,82;
=2,82*0,2597=0,7323 (В).
Ни одно значение не превосходит величину , следовательно распределение результатов наблюдений удовлетворяет и критерию II, поэтому экспериментальный закон распределения соответствует нормальному закону.
Проведём проверку грубых погрешностей результатов наблюдений (оценки анормальности отдельных результатов наблюдений). Для этого:
а) Составим упорядоченный ряд результатов наблюдений, расположив исходные элементы в порядке возрастания, и выполним их перенумерацию:
Таблица 4
U(1)=169.59 |
U(16)=169.95 |
U(2)=169.60 |
U(17)=169.95 |
U(3)=169.67 |
U(18)=170.01 |
U(4)=169.73 |
U(19)=170.02 |
U(5)=169.73 |
U(20)=170.17 |
U(6)=169.74 |
U(21)=170.20 |
U(7)=169.76 |
U(22)=170.20 |
U(8)=169.77 |
U(23)=170.21 |
U(9)=169.83 |
U(24)=170.26 |
U(10)=169.84 |
U(25)=170.30 |
U(11)=169.84 |
U(26)=170.33 |
U(12)=169.88 |
U(27)=170.35 |
U(13)=169.91 |
U(28)=170.35 |
U(14)=169.95 |
U(29)=170.41 |
U(15)=169.95 |
U(30)=170.50 |
б) Для крайних членов упорядоченного ряда U1
и U15
, которые наиболее удалены от центра распределения (определяемого как среднее арифметическое Ū этого рядя) и поэтому с наибольшей вероятностью могут содержать грубые погрешности, находим модули разностей =(В) и =(В), и для большего из них вычисляем параметр:
в) Для n=30, из таблицы 4 определим =3,071.
Так как ti
< tT
, поэтому грубых результатов нет.
Вычислим несмещенную оценку СКО результата измерения в соответствии с выражением:
(В).
Определим доверительные границы случайной составляющей погрешности измерений с многократными наблюдениями в зависимости от числа наблюдений n 30 в выборке, не содержащей анормальных результатов, по формуле: , где Z– коэффициент по заданной доверительной вероятности Р=0,99 ; Z =2,58
(В).
Определим доверительные границы суммарной не исключённой систематической составляющей погрешности результатов измерений с многократными наблюдениями:
(В).
Определим доверительные границы суммарной (полной) погрешности измерений с многократными наблюдениями.
Так как , тогда
В.
Запишем результат измерений с многократными наблюдениями:
U= (170,000±0,151) В; Р=0,99
|