Операционное исчисление и некоторые его приложения
Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :
1) 
2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<MeS
0
t
Рассмотрим функцию f(t)×e-
pt
, где р – комплексное число р = ( а + i
b).
 (1)
Применим к этому соотношению формулу Эйлера :
Проинтегрировав это равенство получим :
 (2)
Оценим левую часть равенства (2) :
А согласно свойству (3) |f(t)| < MeS
0
t
В случае если a>S0
имеем :
Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).
Таким образом при a>S0
интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р
:
 (3)
Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) ÜF(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.
 - это оператор Лапласа.
Смысл введения интегральных преобразований.
Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
Теорема единственности
: если две функции j(t) и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.
Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.
Изображение функций
s
0
(
t
),
sin
(
t
),
cos
(
t
).
Определение:  называется единичной функцией.
Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :
Изображение единичной функции 
Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :
интегрируя по частям получим :
 т.е. 
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию  в области преобразований. Откуда : 
Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.
 где а – константа.
Таким образом : 
 и 
Свойства линейности изображения.
Теорема
: изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
Если  , то  , где 
Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e-
a
t
f(t) (4)
Доказательство :
Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)
Что и требовалось доказать.
Таблица основных изображений:
Изображение производных.
Теорема. Если , то справедливо выражение :
 (1)
Доказательство :
 (2)
 (3)
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :
Что и требовалось доказать.
Пример
: Решить дифференциальное уравнение :
 Если x
(0)=0 и x
’(0)=0
Предположим, что x
(t) – решение в области оригиналов и  , где  - решение в области изображений.
Изображающее уравнение :
Теорема о интегрировании оригинала
. Пусть  находится в области оригиналов, , тогда  также оригинал, а его изображение  .
Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений
: Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и  также оригинал, а  - является сходящимся интегралом, тогда  .
Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ¥ в области изображений.
Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
 (1)
Свертка обозначается следующим образом :
 (1’)
Равенства (1) и (1’) идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
Теорема о умножении изображений
. Пусть  и  , тогда произведение изображений  представляется сверткой оригиналов  .
Доказательство :
Пусть изображение свертки 
 (1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2
(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема Эфроса
. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф
(р) и q
(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что  , тогда  .
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
 (2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Обратное преобразование Лапласа.
- Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :
 ,где s
– некоторая константа.
Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.
Теоремы разложения.
Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.
Первая теорема разложения
. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде  , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом,  , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы :  .
Вторая теорема разложения
. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией  . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни a1
, a2
, …, an
соответствующий кратности k1
, k2
, …, kn
, при этом k1
+ k2
+…+ kn
= n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :
 (3)
Например :
Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.
Преобразование Лапласа имеет вид :
(1)
На f
(
t
)
наложены условия :
1) f
(
t
)
определена и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ )
2) f
(
t
)
º 0 , tÎ (- ¥ ;0)
3) При M, S0
>0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<MeS
0
t
Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f
(
t
)
принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :
 (2)
Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.
Пусть в (1) и (2) p
=
a
+
in
, где a
и n
– действительные числа.
Предположим, что Re(
p
)
= a = 0, т.е.
 (4)
 (5)
(4) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.
Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :
1) Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
2) Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.
3) Функция абсолютно интегрируема :  , это условие выполняется, если |f(t)|<MeS
0
t
Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f
(
t
) =
C
Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :
 т.к. 
Если f
(
t
)
= 0 при t
>0
и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F
(
p
)
не обращается в число справа от мнимой оси.
Если f(t) ¹ 0, t<0
 (6)
Обозначим 
Очевидно, что  (6’)
Функция (6) называется спектральной плотностью
В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :
1) Вычисление интеграла (5)
2) Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.
Функция F
(
iu
)
может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной
 (7)
|F
(
iu
)|
- амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол.
В алгебраической форме : F
(
iu
) =
a
(
u
) +
ib
(
u
)
 (8)
 (9)
Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F
(
iu
)|
и фазовый угол y (u).
Пример.
Найти спектральную плотность импульса :
откуда  , далее
Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.
Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.
Прямое преобразование Фурье необходимо :
1) Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.
2) Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.
Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:
Если для заданной функции y
=
f
(
t
) существует непрерывное изображение по Лапласу F
(
p
),
то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p
=
iu
.
Спектральной плотностью F
1
(
iu
)
неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F
2
(
iu
a
)
абсолютно интегрируемой функции.
|
