Контрольная работа: Современная портфельная теория

Министерство сельского хозяйства РФ

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Экономический факультет

кафедра _____________

№ зачетной книжки 08163/ф

Контрольная работа

По дисциплине «Теоретические основы финансового менеджмента»

Тема: «Современная портфельная теория»

Выполнила: Заболотских К.В.

Форма обучения: заочная сокращенная

Специальность: финансы и кредит

5 курс

Проверила: Снегирева Г.Д.

Киров 2011г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

1.Выбор наилучшего портфеля и диверсификации………………………...4

2.Средняя доходность портфеля……………………………………………….5

4.Оценка средней доходности и стандартного отклонения на основании исторических данных…………………………………………………………...7

5.Эффект диверсификации……………………………………………………..9

6.Портфель с минимальным риском………………………………………...10

7.Хеджирование………………………………………………………………...12

8.Графическая иллюстрация…………………………………………………13

9.Эффективность инвестиционного портфеля. Эффективное множество……………………………………………………………………….17

10.Безрисковая ставка доходности…………………………………………..20

11.Безрисковая ставка и эффективное множество………………………...22

12. Модель Марковица………………………………………………………...24

13.Портфель, максимизирующий ожидаемую полезность………………..27

Список используемой литературы…………………………………………...28

Введение

Современная портфельная теория - принципы, лежащие в основе анализа и оценки рационального выбора инвестиционного портфеля на базе компромиссного соотношения риска и доходности и эффективной диверсификации.

Начало современной портфельной теории было положено революционной работой Гарри Марковица 1952 года. Результаты Марковица были развиты и дополнены не менее известными работами Джеймса Тобина, Вильяма Шарпа и других исследователей.

Важность этих разработок для развития современной экономики и финансов подчеркивает Нобелевская премия по экономике, которой были удостоены Гарри Марковиц, Джеймс Тобин и Вильям Шарп, в первую очередь, за развитие современной портфельной теории.

1.Выбор наилучшего портфеля и диверсификации

Итак, рассмотрим решения инвестора, располагающего богатством W и стоящего перед решением - каким образом использовать это богатство?

Будем считать, что выбор между текущим потреблением и инвестициями уже сделан, соответственно, пусть W - это стоимость, которая не будет потреблена в текущем периоде. Предположим для простоты, что инвестор рассматривает фиксированный плановый горизонт - средства W ему необходимо распределить на некоторый определенный период.

У нашего инвестора существует n возможностей использования средств, каждая из которых принесет соответственно x1, x2, ...,xn гривен дохода в расчете на 1 гривну вложений. Наиболее существенной проблемой для принятия решения является то, что величины xi в общем случае случайные, то есть каким именно будет доход, заранее неизвестно.

Главным предположением, которое принял Гарри Марковиц, анализируя эту задачу, являлось то, что для инвестора, при оценке альтернативных решений, важными являются только два параметра каждого из них: первый - ожидаемая доходность инвестиций

,

(E - математическое ожидание), второй - стандартное отклонение доходности, как показатель, характеризующий риск принимаемого решения

, (D - дисперсия).

Важно, что это предположение в целом не противоречит теории ожидаемой полезности Неймана - Моргенштерна: для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы либо доходности активов xi были распределены согласно нормальному закону либо, чтобы функция полезности богатства имела квадратичную форму.

Другим, не менее важным предположением, является следующие: инвестор не обязательно должен выбрать какое-то одно решение, он может выбрать любую комбинацию возможных инвестиций, распределяя свое богатство по различным направлениям вложений.

Оказывается, что проблема выбора в этом случае существенно упрощается. Пусть xi (i=1,...,n) - это доля от общего объема богатства, инвестируемого в i-й актив. Сформированную таким образом комбинацию инвестиций мы будем называть портфелем. Инвестору необходимо выбрать портфель, ожидаемая доходность mp и стандартное отклонение sp которого были бы для него наилучшими.

2.Средняя доходность портфеля

Прежде всего, необходимо установить какова средняя (ожидаемая) доходность портфеля. Доходность портфеля () мы определим как прирост богатства в расчете на единицу вложений, обеспечиваемый данным портфелем к моменту времени, рассматриваемому в качестве планового горизонта

,

где W - сегодняшний размер богатства, WE - размер богатства на конец периода. Доходность портфеля можно рассчитать как взвешенную по объемам инвестиций доходность каждого входящего в портфель актива

.

Это выражение можно представить в векторной форме ,

где , .

Ожидаемая доходность портфеля определяется по формуле математического ожидания суммы случайных величин:

Вынося детерминированные величины , за знак математи­чес­ко­го ожидания, получим

(6.1)

или в векторной форме

, где .

Таким образом, ожидаемая доходность инвестиционного портфеля - это средневзвешенная по долям инвестиций ожидаемая доходность каждого из активов, входящих в портфель.

3.Стандартное отклонение портфеля

Дисперсия доходности портфеля рассчитывается как дисперсия суммы случайных величин. Напомним, что если и - случайные величины, то

где - коэффициент ковариации случайных величин h и z. Таким образом, для портфеля

или, обозначив

, , ,

получим

. (6.2)

Стандартное отклонение портфеля sp , тем самым, равно

. (6.3)

4.Оценка средней доходности и стандартного отклонения на основании исторических данных

Одним из методов оценки средней доходности и стандартного отклонения финансового инструмента является использование исторических данных. Необходимо сразу же отметить недостатки этого подхода. Во-первых, исторический метод оценивает параметры финансового актива в прошлом (говорят, что результатом в этом случае являются величины ex post - после наблюдения), тогда как инвестора, принимающего решения, интересуют будущие величины (ex ante). Во-вторых, для расчетов необходимо располагать рядом наблюдений над фактической величиной доходности за ряд периодов - а эта информация часто может либо вовсе не существовать (если речь идет о вновь выпускаемой ценной бумаге), либо быть труднодоступной, либо содержать значительные искажения - это особенно характерно для пока еще недостаточно развитого и информационно закрытого украинского рынка.

Тем не менее, если существует необходимость оценки средней доходности и риска некоторой ценной бумаги, и невозможно применение более точных методов, исторический подход является полезным.

Обозначим через rt - наблюдавшуюся в периоде t доходность некоторой ценной бумаги. Всего есть T наблюдений (t=1,...,T). Тогда статистическая оценка для показателя средней доходности рассчитывается как

, (6.4)

оценка дисперсии

. (6.5)

Пусть существует информация о доходности двух видов ценных бумаг - акций АО «Урюпинскспецсталь» и АО «Приморский ЦБК» :

Используя эти данные и формулы (6.4), (6.5), получим, что оценка средней квартальной доходности акций «Урюпинскспецсталь» равна 5%, дисперсия - 0.25%, для Приморского ЦБК соответственно: 7.5% и 1%. Приведем эти величины к годовому измерению:

Для расчета статистической оценки коэффициента ковариации двух случайных величин используется формула

, (6.6)

где rt, st - наблюдения, , - средние величины.

В нашем примере, ковариация доходности в квартальном измерении равна 0.15%, соответственно в годовом измерении

,

откуда получим коэффициент корреляции

.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что расчитываемые по формулам (6.4) - (6.6) показатели представляют собой лишь статистические оценки исторических значений средней доходности, дисперсии и ковариации. Тем более нельзя считать, что эти оценки сколько-нибудь точно прогнозируют будущие значения рассматриваемых показателей. Вместе с тем, на практике, когда нет возможности более точной оценки показателей доходности и риска ценных бумаг, часто используют именно статистические методы.

5.Эффект диверсификации

Напомним, что если s12 - коэффициент ковариации показателей доходности некоторых двух ценных бумаг, то

.

где s1, s2 - стандартные отклонения, r12 - коэффициент корреляции случайных величин доходности 1-го и 2-го активов. Следовательно, формулу для расчета стандартного отклонения портфеля, состоящего из 2-х активов, можно записать

.

Таким образом, общий риск портфеля зависит от величины риска активов, входящих в портфель si, доли каждого из активов в портфеле xi и коэффициента, характеризующего статистическую взаимосвязь между величинами доходности активов, входящих в портфель r12.

Эффект диверсификации - распределения инвестиций между различными направлениями, состоит в том, что, выбирая объемы инвестиций в различные активы, инвестор может регулировать рискованность портфеля - выбирать такую величину из возможных, которая отвечает его предпочтениям. Возможности по снижению риска портфеля зависят от тесноты статистической взаимосвязи между доходностью различных инвестиционных решений (в нашем примере - величины r12). Напомним, что величина коэффициента корреляции двух слу­чай­ных величин может изменяться в пределах от -1 до 1. Величина r12=-1 означает совершенную отрицательную взаимосвязь - если доходность одного актива увеличивается, доходность второго - пропорционально снижается. В случае r12=1 оба актива характеризуются совершенной положительной взаимосвязью: любое увеличение доходности одного из них с необходимостью приводит к пропорциональному увеличению доходности второго. Если же r12=0 - доходность одного актива никак не связана с доходностью второго.

6.Портфель с минимальным риском

Пусть целью инвестора является выбор портфеля с минимальным возможным риском, то есть необходимо так выбрать х1 и х2, чтобы величина риска портфеля была бы наименьшей. Эту задачу можно просто решить аналитически. Прежде всего, заметим, что для портфеля из 2-х активов всегда должно выполняться бюджетное ограничение

,

- сумма долей равняется единице. Значение х2 мы можем выразить через х1

.

Обозначим

Задачу выбора портфеля с наименьшим риском можно записать

. (6.9)

Запишем условие первого порядка для данной задачи (возьмем производ­ную по x и приравняем ее к нулю)

,

откуда, при условии, что знаменатель не равен нулю, получим

. (6.10)

Формула (6.10) дает возможность определить портфель, риск (стан­дарт­ное отклонение доходности) которого минимален.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Пусть r12=-1 тогда

,

.

В этом случае риск портфеля равен нулю

.

То есть, если доходность первого актива снизится, для портфеля в целом это будет полностью компенсировано ростом доходности второго актива.

2. В случае, когда r12=0, то есть какая-либо взаимосвязь между доходностью первого и второго актива отсутствует, портфель с наименьшим риском выбирается так:

, .

Стандартное отклонение такого портфеля будет равно. Если s1<1 и s2<1, риск портфеля будет меньше, чем риск каждого из отдельно взятых активов.

3. Когда r12=1, оптимальный портфель выбирается следующим образом:

, .

Риск такого портфеля также равен нулю:

,

но существует важное отличие от случая, когда r12=-1: при совершенной отрицательной корреляции оптимальные объемы инвестиций в каждый из активов были положительными. Здесь же, либо х*, либо 1-х* меньше нуля (причем, если х*<0, то (1-х*)>1, и наоборот). Отрицательный объем инвестиций означает короткую продажу - когда продается актив, взятый в долг с обязательством последующего возврата. Следовательно, в случае положительной корреляции, для того, чтобы получить портфель с минимальным риском, необходимо коротко продать один из активов, и инвестировать все имевшиеся и вырученные за счет короткой продажи средства во второй актив.

7.Хеджирование

Полученные выше результаты позволяют сделать очень важный вывод: чем больше степень статистической взаимосвязи между доходностью двух активов, тем больше возможностей по снижению риска путем комбинации инвестиций в эти активы (формирования портфеля), - другими словами тем более эффективна диверсификация, предпринимаемая с целью снижения риска. Данный факт лежит в основе стратегии хеджирования.

Хеджирование представляет собой стратегию снижения риска, при которой инвестор, для того, чтобы обезопасить себя от возможных потерь, связанных с инвестированием в некоторый актив, одновременно инвестирует в другой актив, доходность которого негативно коррелирована с доходностью первого.

В качестве примера рассмотрим ту же задачу выбора портфеля, но в несколько измененном виде.

Пусть инвестор владеет одной единицей некоторого актива, который принесет ему единиц чистого дохода на протяжении планового горизонта. Обозначим через x объем инвестиций в этот актив: .

Доходность z является случайной вeличиной. Предположим, что она может быть как положительной, так и отрицательной. Пусть инвестор желает обезопасить себя от риска потери стоимости своего актива - тех случаев, когда z окажется отрицательной. Для этого он инвестирует средства в другой актив, доходность которого h также случайна, но связана отрицательной статистической взаимосвязью с доходностью первого актива. Обозначим через h объем инвестиций во второй актив. Суммарная ожидаемая доходность инвестиций (портфеля) будет составлять

.

Риск портфеля будет равен

. (6.11)

Риск будет минимальным, если, исходя из условий первого порядка минимума функции (6.11), выполняется равенство

,

или

, (6.12)

где rzh - коэффициент корреляции случайных величин z и h.

Величина h, рассчитанная по формуле (6.12) называется коэффициентом хеджирования с минимальным риском. Заметим, что если

rzh=-1,

то h=1, то есть хеджирование будет обеспечивать минимальный риск, если в портфеле каждой единице средств, инвестированных в первый актив, будет соответствовать ровно одна единица инвестиций в актив, используемый для хеджирования. Хеджирование в пропорции «один к одному» называют еще «наивным хеджем», так как коэффициент хеджирования с минимальным риском равен единице лишь в случае абсолютной отрицательной взаимосвязи между доходностью двух активов.

8.Графическая иллюстрация

Предполагая, что инвесторы, принимая решение, ориентируются лишь на среднюю доходность и риск, измеряемый стандартным отклонением доходности, мы можем использовать в качестве иллюстрации портфельных инвестиций диаграмму из главы 3, на которой по вертикали откладывается средняя доходность, а по горизонтали - риск, под которым теперь будем понимать стандартное отклонение случайной величины доходности (рисунок 6-1).

Точки У и П соответствуют активам, которые мы выбрали в качестве примера (акции «Урюпинскспецсталь» и Приморского ЦБК). Рассчитаем, каким будет средняя доходность и стандартное отклонение нескольких вариантов портфеля.

Рассматриваемые нами варианты портфеля приведены в таблице (цифры обозначают процент от общего объема средств, инвестируемый в соответствующий актив):

Доходность и стандартное отклонение портфелей рассчитывается по формулам (6.7) и (6.8) соответственно. Результаты приведены на рисунке 6-1 и в таблице:

Портфели
А	Б	В	Г	Д
	28%	26%	25%	24%	22%
	16.71%	13.74%	12.45%	11.35%	9.96%

Можно сделать вывод, что все возможные портфели лежат на кривой П-A-Б-В-Г-Д-У. Однако это относится лишь к случаю, когда и . Мы не накладывали ограничений на неотрицательность величин хУ и хУ, так как предполагается возможность неограниченных коротких продаж. Рассмотрим следующие два портфеля:

В случае портфеля Е инвестор вкладывает все свое богатство в акции Приморского ЦБК, одновременно коротко продает акции Урюпинска, и все вырученные деньги также вкладывает в акции Приморска. Средний доход портфеля Е 33%, риск 25.26%.

Для портфеля Ж - ситуация обратная: инвестор коротко продает акции Приморска на сумму, равную половине всех инвестиций, и все деньги (собственное богатство и средства, вырученные от короткой продажи) вкладывает в акции Урюпинска. Средняя доходность этого портфеля равна 15%, стандартное отклонение 15.33%.

В целом, при неограниченных возможностях коротких продаж, все доступные инвестору комбинации доходности и риска можно представить на рисунке в виде кривой Е-П-A-Б-В-Г-Д-У-Ж, которая задана параметрически уравнениями (6.7) и (6.8).

Допустимые комбинации риска и доходности при разной степени статистической взаимосвязи активов, входящих в портфель

Пусть есть портфель из двух активов: х1 и х2 обозначают долю от общего объема инвестиций, приходящуюся на каждый из активов, m1 и m2 - ожидаемые доходности, s1 и s2 - стандартные отклонения доходности первого и второго активов соответственно. Средняя доходность и риск портфеля рассчитываются как

, (6.13)

. (6.14)

Рассмотрим, используя рисунок, случаи, когда показатели доходности активов, входящих в портфель, связаны между собой абсолютной положительной зависимостью: r12=1, абсолютной негативной взаимосвязью r12=-1, а также ситуацию, когда статистическая взаимосвязь между доходностью двух активов отсутствует r12=0.

Если , стандартное отклонение равно

(6.15)

Уравнения (6.13) и (6.15) определяют линейную взаимосвязь между mp и sp при изменении параметров x1 и x2 (намним, что x1 = 1 - x2). Тем самым комбинации риска и дохода для различных портфелей лежат на прямой, проходящей через точки a и b на рисунке 6-2.

При r12=-1,

(6.16)

Комбинации риска и дохода, соответствующие этому случаю - точки, лежащие на лучах ca и cb (рисунок 6-2). Отрезки ca и cb соответствуют комбинациям стандартного отклонения и доходности при условии

x1 ³ 0 и x2 ³ 0.

Наконец, если r12=0, то все возможные варианты отражает кривая, параметрически задаваемая уравнением (6.13) и уравнением

. (6.17)

Рисунок 6-2 позволяет проследить важную закономерность: чем меньше величина r12 (чем ближе она к -1), тем меньшего уровня риска можно достичь, причем при r12=-1 существует портфель с нулевым риском (точка с) - факт, уже обоснованный нами выше, и используемый в стратегии хеджирования.

9.Эффективность инвестиционного портфеля. Эффективное множество

Вернемся к анализу более реальной ситуации - когда инвестор имеет возможность выбирать не из двух, а из гораздо большего количества активов, каждый из которых характеризуется своими показателями доходности и риска (точки 1, 2, 3, и т.д. на рисунке 6-3). Теперь инвестор может выбирать любой актив (и в любом количестве) для включе­ния в свой портфель. Кривые 1-2, 2-4, и т.д., отражают комбинации риска и дохода, которые может получить инвестор, выбирая портфель, состоящий исключительно из первого и второго активов, второго и четвертого, и так далее. Однако этим возможности не ограничиваются. Пусть, скажем, точка А соответствует портфелю на 50% состоящему из инвестиций в 1-й актив и на 50% - во второй. Точка В - портфель, представляющий собой сочетание 50 : 50 из 1-го и 5-го активов. Тогда кривая, проходящая через точки А и В - это значения риска и дохода, соответствующие всем возможным сочетаниям портфеля А и портфеля В. Например, пусть точка О - это точка полу­чен­ная сочетанием в общем портфеле 25% вложений в портфель А и 75% вложе­ний в портфель В. Это означает, что в общем портфеле содержится

1-го актива ;

2-го актива ;

3-го актива .

Все возможные сочетания инвестиций образуют область допустимых зна­че­ний риска и дохода (заштрихованная область на рисунке 6-4). Очевидно (см. рисунок 6-3), что область допустимых значений является выпуклой.

Рассмотрим допустимые портфели с точки зрения их привлекательности для несклонного к риску инвестора. Как мы помним, человек, несклонный к риску всегда предпочитает меньший риск при одинаковом ожидаемом доходе, и, соответственно, всегда стремится к большему значению среднего дохода при одинаковом уровне риска. Поэтому, для несклонного к риску инвестора портфель А, например, всегда лучше портфеля В, или портфеля С. Хотя портфели А и В обеспечивают одинаковый ожидаемый доход, портфель В - более рискован. Аналогично, хотя портфели А и С имеют одинаковую степень риска, портфель С менее выгоден с точки зрения его доходности.

Эффективным портфелем называется портфель, обеспечивающий наивысший уровень ожидаемого дохода при данном уровне риска и наименьший риск при данном уровне дохода. Согласно этому определению, портфели А, Д, Е на рисунке 6-4 являются эффективными, а портфели В и С - нет.

Очевидно, если существует множество альтернатив для инвестирования (множество активов) то существует и множество эффективных портфелей. На рисунке 6-4 множество эффективных портфелей - это портфели лежащие на границе допустимой области. Множество эффективных портфелей называют границей эффективности или эффективным множеством.

Если возможности по инвестированию ограничиваются лишь некоторым набором рискованных активов, то есть достижимые комбинации риска и дохода ограничены областью допустимых значений риска и ожидаемой доходности, выбор инвестора определяется его индивидуальными предпочтениями (рисунок 6-5).

10.Безрисковая ставка доходности

Предположим, что на рынке помимо рискованных инвестиций, существует возможность финансовых вложений, которые гарантированно обеспечи­ва­ют получение определенного дохода. Другими словами, положим, что существует безрисковая ставка доходности. В реальности, трудно найти активы, которые свободны от какого бы то ни было риска. Как правило, свободными от риска считают государственные ценные бумаги. Однако даже в этом случае риск есть, хотя, возможно и значительно меньший по сравнению с другими финансовыми инструментами.

В данном случае мы будем считать, что существует актив, характеризующийся определенной ставкой доходности и нулевым риском. На нашей диаграмме в координатах риска и дохода - это точка лежащая на оси среднего дохода - точка О на рисунке 6-6. Ставку m0 - мы назовем безрисковой ставкой доходности.

Если существует безрисковая ставка доходности, перед инвестором стоит задача распределения инвестиций между некоторым рискованным активом (портфелем активов) с ожидаемым доходом mp и стандартным отклонением sp, и безрисковым вложением средств по ставке m0, причем mp>m0 (рисунок 6-6). Пусть xp - доля богатства, вкладываемая в рискованное направление, х0 - доля, инвестируемая по безрисковой ставке.

Обозначим доходность общего портфеля через :

. (6.18)

Риск (стандартное отклонение доходности) общего портфеля будет равен (учитывая, что стандартное отклонение детерминированной величины равняется нулю)

. (6.19)

Уравнения (6.18) и (6.19) при xp ³ 0, x0 ³ 0, xp + x0=1 параметрически задают отрезок ОА на рисунке 6-6. Если xp=0, тогда х­0=1 и параметры портфеля соответствуют точке О. Напротив, при xp=1 и х0=0, - все средства направляются в рискованные вложения, и портфель определяется точкой А. Все возможные промежуточные значения, когда часть инвестиций являются рискованными, а часть - безрисковыми, лежат на отрезке ОА.

Безрисковое заимствование

До этого мы говорили лишь о безрисковых инвестициях. Предположим теперь, что существует возможность не только инвестиций, но и заимствования по ставке m0.

Другими словами, инвестор может взять кредит по ставке m0 и инвестировать эти средства в рискованный портфель. Согласно введенной выше терминологии безрисковое кредитование аналогично «короткой продаже» безрискового актива. Используя наши обозначения, возможна ситуация, когда x0 < 1 и xp > 1 (естественно, что бюджетное ограничение xp+x0=1 сохраняется). В этом случае возможные комбинации риска и дохода также определяются уравнениями (6.18) и (6.19), но эти возможности не ограничиваются отрезком ОА, а расширяются на весь луч ОАА’ (комбинации риска и дохода, достигаемые через кредитование, изображены на рисунке 6-6 пунктирной линией).

11.Безрисковая ставка и эффективное множество

Попробуем теперь соединить, с одной стороны - возможности рискованных инвестиций, определенные множеством допустимых портфелей и соответствующим ему множеством допустимых сочетаний риска и дохода, и с другой - инвестирование в безрисковые активы. Рассмотрим, каким образом будет себя вести рациональный, не склонный к риску инвестор, когда он может одновременно формировать портфель из рискованных и безрисковых активов. Картина теперь существенно изменится. Рассмотрим рисунок 6-7. Пусть безрисковая ставка доходности равна m0 и допустимое множество рискованных портфелей ограничено кривой ЕЕ’.

Задачу инвестора теперь можно раделить на две подзадачи: во-первых, необходимо выбрать рискованный портфель из множества возможных, во-вторых, распределить средства между безрисковыми вложениями и рискованным портфелем. Какой из доступных рискованных портфелей будет выбран? Мы уже установили, что рациональный инвестор всегда стремится выбрать эффективный портфель, то есть такой, средняя доходность и риск которого лежат на границе допустимого множества ЕЕ’. Сравним два портфеля, например, А и В на рисунке 6-7. Допустимые сочетания риска и дохода при различных сочетаниях безрисковых и рискованных инвестиций в случае выбора портфеля А отражаются лучом ОА, при выборе портфеля В - лучом ОВ. Очевидно, что в случае портфеля В мы при любом решении получаем больший средний доход при одинаковой степени риска. Сравнивая аналогично портфели М и В, мы видим, что, в свою очередь, портфель М лучше портфеля В.

Вывод очевиден: если существует возможность безрискового инвестирования, то наилучшим для любого несклонного к риску инвестора будет тот портфель рискованных активов, который соответствует точке касания луча, проведенного из точки О (m=m0, s=0) к границе эффективности.

Таким образом, все инвесторы будут стремиться инвестировать средства в портфель М. Различными будут лишь пропорции, в которых инвесторы распределяют свое богатство между рискованным и безрисковыми инвестициями (то есть между портфелем М и безрисковым активом). Относительно более консервативный инвестор (с большей степенью несклонности к риску) выберет решение ближе к точке О. Агрессивный инвестор (менее несклонный к риску) может решить инвестировать средства в портфель М не только за счет собственных средств, но и за счет кредитования по ставке m0 (рисунок 6-8).

Границей эффективности при существовании безрисковой ставки будет уже не кривая EE’, характеризующая возможности рискованных инвестиций, а прямая (точнее - луч) - касательная к допустимому множеству, проведенная из точки O (линия OM на рисунке 6-8).

12.Модель Марковица

Модель поведения инвестора, согласно которой инвестиции оцениваются исключительно по двум параметрам - ожидаемой доходности и риску, измеряемому как величина стандартного отклонения доходности, позволяет сформулировать единое правило формирования портфеля, которому следуют все без исключения инвесторы: независимо от индивидуальных предпочтений, все инвесторы стремятся сформировать эффективный портфель - такой, который обеспечивает минимальную степень риска для выбранного уровня дохода, либо, что то же самое, максимальный ожидаемый доход при заданной степени риска. Этот подход, и сама задача, выбора эффективного портфеля носит название модели Марковица.

Пусть, как и прежде, существует n активов, каждый из которых обеспечивает случайную величину доходности xi­ (i=1,...,n), mi - ожидаемая (средняя) доходность i-го актива (математическое ожидание случайной величины xi):

,

- стандартное отклонение доходности i-го актива:

,

- ковариация между доходностями i-го и j-го активов:

,

(rij - коэффициент корреляции случайных величин xi и xj).

Модель Марковица можно сформулировать следующим образом: необходимо найти такие пропорции распределения средств между доступными активами: x1,x2,...,xn (где xi - доля средств, инвестируемых в i-й актив), чтобы риск портфеля при заданном уровне доходности был бы минимальным. Математически модель можно сформулировать так: найти

, (6.20)

при ограничениях

(6.21)

В приведенной формулировке модели, - заданный уровень средней доходности,

(согласно принятым обозначениям).

Модель можно записать в матричной форме, обозначив: x - вектор распределения средств между рискованными активами: x={xi}i=1,...,n; - вектор доходности активов, V - ковариационная матрица (квадратная матрица, состоящая из значений sij, i=1,...,n; j=1,...,n ). Тогда необходимо найти

, (6.22)

при ограничениях

(6.23)

где e - единичный вектор:

,

T - знак транспонирования вектора.

Для модели (6.22), (6.23) легко найти аналитическое решение

,

где и - множители Лагранжа ограничений (6.23).

Если существует безрисковый актив, модель можно записать

, (6.24)

, (6.25)

, (6.26)

где m0 - безрисковая ставка, x0 - доля богатства, инвестируемая в безрисковый актив. От ограничения (6.26) можно избавиться, сделав замену:

. (6.27)

Тогда ограничение (6.25) будет выглядеть как

, (6.28)

и решение задачи (6.24)-(6.26) можно записать

,

где j - множитель Лагранжа ограничения (6.28).

13.Портфель, максимизирующий ожидаемую полезность

Модели (6.22)-(6.23) и (6.24)-(6.26) позволяют выбрать эффективный порт­фель. Но эффективных портфелей существует множество. Выбор оптимального для данного инвестора портфеля определяется его степенью несклонности к риску (то есть - формой функции полезности). Если сделать предположение о постоянной абсолютной несклонности к риску (см. главу 3) и о нормальном распределении доходности финансовых активов, то портфель, максимизирующий ожидаемую полезность инвестора, выбирается как решение задачи

(6.29)

где k - степень несклонности к риску инвестора.

Используя (6.27), задачу (6.29) можно свести к безусловной

.

Запишем условие первого порядка

,

откуда получим решение

.

Естественно, рассмотренные модели упрощены. В реальности существует множество не учтенных здесь дополнительных ограничений: невозможность или ограни­чен­ность коротких продаж, отсутствие делимости активов, и другие.

Список используемой литературы

1. Бланк И.А. Инвестиционный менеджмент. – Киев: МТ «ИТЕМ» ЛТД Юнайтед Лондон Трейд Лимитед (Москва-Лондон), 2005

2. Данилов О.Д., Ивашина Г.М , Чумаченко О. Г. Инвестирование: Учебник, 2001 – 364 с.

3. Плоткин Я.Д. Инвестиционный менеджмент. Конспект лекций. – Киев: ДУЛП, 20066 -53с.

4. Касимов Ю.Ф. Введение в теорию оптимального портфеля ценных бумаг. -М., Анкил, 2005.