| КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9
ВАРИАНТ 9.3.
Найти область сходимости указанных рядов
9.3.1.
а)
По признаку Лейбница для знакопеременных рядов  ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)
 .
б)
Отсюда следует, что при  ряд сходится, т.е. при  . При  ряд расходится.
Рассмотрим случай 
Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов  Ряд сходится условно, т.к. ряд 
При  аналогично получим ряд  , ряд сходится условно.
Ответ: 
9.3.2.
а)
 . По признаку Даламбера ряд сходится, если  .
Ряд будет сходится при 
Первый случай  или
В промежутке  ряд сходится.
Второй случай
В промежутке 1<x<l ряд сходится. Объединяем интервалы и получим  . Рассмотрим концы интервала.
При x=1 получим ряд  , т.е. ряд вида — -1+1-1+1-1+…
Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).
При  получим ряд  т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к. 
б)
Ряд будет сходиться при  .
1)
в интервале  ряд сходится.
2)
в интервале 3<x<8 ряд сходится.
Общий интервал сходимости –2<x<8.
На концах интервала х=-2, имеем ряд:
— расходящийся гармонический ряд.
в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.
Ответ: (-2,8]
9.3.3.
а)
Ряд сходится при условии 
1) 
Решим неравенство:
корней нет, следовательно:  — всегда.
Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала:  Здесь ряд сходится.
Исследуем концы интервалов:
1) . Получаем ряд:  . Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда  .
2)
б)
 .
Ряд сходится при  .
1)  интервал сходимости  .
2)  интервал сходимости  .
Исследуем границы интервала.
1)
По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд  — расходится.
2)  .
Сравним с рядом  по второму признаку сравнения
расходится, то расходится и ряд  .
3.9.4.
а)
Ряд сходится при 
1)  тогда
 
корней нет,  .
Решаем неравенство:
 .
Решаем полученное неравенство:
В промежутке (1,3) ряд сходится.
На концах интервала имеем:
1)
Ряд расходится, т.к.  .
2)
б)
Ряд сходится при условии  или
Интервал сходимости  .
На концах интервала.
1)
— ряд расходится, т.к. расходится ряд  .
2)
Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.
9.3.5.
а)
Ряд сходится при условии  .
1)
2)
Исследуем концы интервала:
1) 
2)
б)
Ряд сходится при условии  откуда 
9.3.6.
а)
Ряд сходится при
и корней нет, следовательно, имеет условие
Интервал сходимости  .
Исследуем концы интервалов:
1)
Ряд знакочередующийся, проверим условие Лейбница
 — выполняется
Ряд сходится при
Получим такой же ряд.
б) 
Проверяем признак Даламбера:
Условие сходимости
На концах интервала имеем:
1)
Ряд знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.
Ряд сходится условно при  .
Получим такой же ряд, но члены имеют обратные знаки.
 .
9.3.7.
а)
Проверяем концы интервалов
1)
Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.
При  получится такой же ряд (т.к. x в четной степени).
б)
9.3.8.
а)
Условие сходимости  .
Найдем дискриминант знаменателя: D=64-72<0. Условие принимает вид
Интервал сходимости  .
На концах интервала
Получаем один и тот же ряд
 .
Члены этого ряда не меньше членов ряда  , следовательно, ряд расходится.
б)
Условие сходимости
На краях интервалов:
1)  . Получается ряд:
Ряд знакочередующийся, по признаку Лейбница сходится.
2)
9.3.9.
а)
1. Если  , т.е.  и необходимо решить неравенство:  . Получается интервал  .
2.
Интервал с учетом  .
На концах интервала:
1)
Ряд сходится. Аналогично при  .
 .
б)
Интервал сходимости определяется неравенством
9.3.10.
а)
Найдем дискриминант числителя
б)
1)
2)
1.
2.
|
