| Министерство образования Российской Федерации
Башкирский государственный педагогический университет
Кафедра математического анализа
Дипломная квалификационная работа
Автор: Гарипов Ильгиз.
Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.
К защите допущен ____________
Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.
Уфа 2001
Содержание
Стр.
Введение 3
§
1
Свойства функции  . 4
§ 2
Свойства функции  и ее производных. 5
2.1
 5
2.2
 6
2.3
 где a>0 7
2.4
 9
§ 3 Поведение
11
3.1
 11
3.2
11
3.3
 12
3.4
 13
§ 4 Поведение
14
4.1
14
4.2
15
4.3
15
4.4
16
Заключение 17
Литература 18
Введение
Пусть произвольная функция, определенная на  , и  при 
Введем в рассмотрение функцию  с помощью следующего равенства:
 (1)
Назовем эту функцию усреднением функции
Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить
 
§
2
Свойства функции
.
1. Если  , при  , то  при
Доказательство:
,  ,  " N >0,  :  
2.  (2)
3.  (3)
Дифференцируя формулу (1) по dx
получаем
 (4)
 (5)
§ 2 Свойства функции и ее производных.
I) Рассмотрим вид функции для случаев когда :
2.1
2.
2
2
.3
 где a>0;
Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.
Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при  функция стремится к 0.
Доказательство:
Рассматривая второй интеграл, мы получаем:
Рассматривая первый интеграл, получаем:
Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении  , то есть при возрастании x
эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при  становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при 
Следовательно:
2.4.
Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие  не влияло на поведение функции.
Рассматривая полученное выражение можно заметить что
становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части
как только  . Ограничение №1
В тоже время
Становится бесконечно малым как только  . Ограничение №2
Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что
должен быть очень малым при то есть
так как  ограниченная функция, к 0 должен стремится  .
 
 Ограничение №3
Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:
Следовательно,  ограничение на  удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции  .
§ 3 Рассмотрим поведение функции
для случаев:
3.1)
3.
2)
3.3)
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:
 =
 =
рассматривая пределы при  видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член
Поведение данной функции при эквивалентно поведению функции
 (*)
Вычислим интеграл в знаменателе:
 =
 (**)
Учитывая (*)и (**) получаем
Следовательно, по формуле (2) получаем 
3.4
Отдельно вычислим числитель и знаменатель:
По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:
Вычислим знаменатель:
Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:
По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при
Следовательно, знаменатель:
§4. Рассмотрим поведение второй производной 
Для облегчения вычислений введем обозначения:
При этом формула для  примет вид  (6)
4.1 
Виду того, что d(
x)
очень мал то  будет несравним с d(
x)
т.е.
4.2 
используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:
(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).
Отсюда следует что 
4.3
Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что
Возвращаясь к п. 3.3 находим:
Вычисляя по формуле 6, получаем:
и
4.4
и 
Заключение
В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице:
|
