1. Определения
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида
 (1)
где  ,  ,  , называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.
Если заданы начальные данные в виде
 (2)
То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.
В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:
Def
1
.Функция  называется решением системы (1), (2) на отрезке  , если она удовлетворяет следующим условиям:
 на отрезке  .
Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.
Для начала сделаем некоторые обозначения.
a)  есть функция, определенная на отрезке  и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть
 ;
b) 
c)
Def
2.
 удовлетворяет условиям a),b),c)}
2. Полезная лемма
Lemma
1:
-
выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке функций.
Proof
:
1)Выпуклость:
a)Выберем произвольные функции  , тогда
b)  ;
c) на отрезке   на том же отрезке для любых  .
2)Ограниченность:
Множество определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса 
3)Замкнутость:
Возьмем последовательность функций такую, что
 ,  .
a)
Возьмем  тогда
Так как это верно при любом  , то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.
b) По теореме Кантора  равномерно на отрезке.
Предположим, что при этом  (для простоты доказательства предположим что  , если  , рассуждения проводятся аналогично)
Возьмем  , тогда, так как для любого положительного и любого  выполнено  , то выполнено и для данных и t. Получим:
Так как по предположению , то получаем что  , а это невозможно, так как  . Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой  .
c)
на отрезке  .
Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что  , то есть множество замкнуто.
Лемма доказана полностью.
3. Существование и единственность решения
Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3].
Def
2.
Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное.
Def
3.
Семейство Ф
функций φ, определенных на  называется равномерно ограниченным, если 
Def
4.
Семейство Ф
функций φ, определенных на , называется равностепенно непрерывным, если 
Теорема 1.
(Арцела)
Для того чтобы семейство Ф
непрерывных, определенных на отрезке функций было предкомпактом в  , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.
Теорема 2
.(Шаудера, принцип неподвижной точки)
Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха Xоператор  вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.
Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.
Теорема 3.
(существование и единственность решения системы (1).(2))
Пусть система (1),(2) такая что:
Тогда  такая что на отрезке  существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.
Замечание.
Для простоты возьмем  , для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.
Доказательство:
Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию:
Обозначим
и будем искать решение в виде 
Где 
Определим оператор
 ,
Который действует из  в себя, действительно, возьмем произвольный элемент 
a) Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем
При  
b) 
При  выполнено  .
c)  при  по определению оператора.
Выполнение условий a,b,c означает что  .
Для этого необходимо подобрать параметры  так, чтоб одновременно выполнялись условия:
(3)
(4)
Покажем, что оператор Т
осуществляет непрерывное отображение:
Возьмем последовательность  такую что
Оценка выполнена на всем интервале, величина  положительна и конечна, отсюда следует, что при |
 также стремится к нулю, а значит оператор Т
переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.
Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве  с соответствующей нормой.
1) ,
правая часть не зависит ни от t
,
ни от y
, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций.
2) 
Выбирая  получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.
А значит, образ множества  предкомпакт, а оператор Т
вполне непрерывен.
Так как множество ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т
компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка  из этого множества.
 , а это значит, что  - решение системы (1),(2).
Единственность:
Предположим, что при выполнении условий теоремы x
иy
– решения системы (1),(2) на интервале  .
При оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале  оценим модуль разности функций, являющимися решениями.
Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что
 ,
Выбирая  таким малым, чтоб  было меньше 1, получаем что  , а значит на  . Последовательно строя интервалы длинной закончим доказательство теоремы.
4.Пример неединственности (
Winston
)
Для уравнения  с начальными данными
для малых положительных t
существует два различных решения:
Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению:
Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых t
аргумент  оказывается в окрестности -1, а при этих значениях начальные данные недостаточно гладки, не выполнено условие Липшица.
Список использованной литературы
[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. –Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977.
[2] Резуненко А.В. Краткое введение в обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Харьков-2004.
[3] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьков-2006.
[4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems . «Аста»-2002.
[5] Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. «Мир»-1985.
[6] Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976
|
