ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА МАТЕМЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ
РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ:
“ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”
ВЫПОЛНИЛ:
СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2
ПИВКОВ В.А.
ПРОВЕРИЛ:
ВОРОНОВА Е.А.
г. Липецк - 2006
Содержание.
I.
Функции нескольких переменных.
II.
Частные производные
III.
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Список литературы
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.
Определение функции нескольких переменных.
Переменная z
называется функцией двух независимых переменных x
и y
, если некоторым парам значении x
и y
по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.
Множество G
пар значений x
и y
, которые могут принимать переменные x
и y
, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z
в области определения, - областью значений функции z
. Переменные x
и называются аргументами функции.
Пара чисел x
и y
определяет положение точки M
на плоскости xOy
с координатами x
и y
. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных  можно рассматривать как функцию точки M , либо как скалярную функцию векторного аргумента   .
Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных  . Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.
Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.
1.2
Предел функции двух переменных.
Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству  или  называется δ-окрестность точки  .
Определение.
ЧислоA
называет пределом функции  при стремлении точки M
к точке , если для любого ε>0
существует такое δ>0
, что для всех точек M
из области определения этой функции, удовлетворяющих условию  имеет место неравенство  . Обозначают это так:  или 
Функция называется бесконечно малой при  если 
1.3
Непрерывность функции двух переменных.
Пусть точка принадлежит области определения  . Определение.
Функция называется непрерывной в точке  если
 или  причем точка M стремится к M0
произвольным образом, оставаясь в области определения функции.
Обозначим  ,  . Полным приращением
при переходе от точки , к точке M называется разность значении функции в этой точке  , т.е. 
Частные производные.
2.1 Частные производные.
Частной производной
функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных  в точке  частные производные определяются так:
 ,
 ,
если эти пределы существуют. Величина  называется частным приращением
функции z
в точке по аргументу  . Используются и другие обозначения частных производных:
 ,  ,  ,  ,
 ,  ,  ,  .
Символы  , ,  , как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).
Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная  - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности
и плоскости
  в соответствующей точке
.
Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная есть скорость изменения функции  относительно при постоянном  .
Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.
Пример 1. Если  , то  ,  .
Пример 2. Если  , то  ,  . Величина  называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.
2.2
Полный дифференциал.
 . (1)
Если приращение (1) можно представить в виде  , (2)
Где А
и В
не зависят от  и  , а  и  стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой
в точке  , а линейная часть  приращения функции (т.е. та часть  , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом
(или просто дифференциалом
) этой функции в точке и обозначается символом  :
 . (3)
Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.
Действительно, если в точке функция дифференцируема, то для этой точки представимо в форме (2), откуда следует, что
 ,
а это и означает, что в точке функция непрерывна.
Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости
).
В самом деле, пусть функция в точке дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем  , имеем:
 .
Деля на  и переходя к пределу при  , получаем:
 .
Это означает, что в точке существует частная производная функции по  и  . (4)
Аналогично доказывается, что в точке существует частная производная
 . (5)
Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде
 .
Если положить  , то  , т.е.  . Аналогично, полагая  , получим  . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде:  .
Теорема
(достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке .
Доказательство
. Дадим переменным  и  столь малые приращения и , чтобы точка  не вышла за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение  можно записать в виде  .
Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:
  (6)
Так как производные  и  непрерывны в точке , то
 , 
Отсюда
 , , где  и  - бесконечно малые при ,  . Подставляя эти значения в равенство (6), находим:
 ,
а это и означает, что функция дифференцируема в точке .
2.3 Производные и дифференциал сложной функции.
Пусть , где  ,  . Тогда в конечном итоге z
будет функцией одной переменной t
. Предположим, что  , непрерывны и  ,  существуют. Найдем  . Дадим переменной t
приращение  . Тогда x
,
y
,
а следовательно, и z
получат свои приращения , и . В силу достаточного условия дифференцируемости
 ,
откуда
 .
Устремим теперь к нулю. Тогда и будут стремиться к нулю, так как функции x
иy
непрерывны (мы предположили существование производных  и  ), а потому  и  будут стремиться к нулю. В пределе получим:
 ,
или, короче,
 . (7)
Формула (7) называется формулой производной сложной функции
.
Пример 1. Пусть ,  ,  . По формуле (7) имеем:
 .
Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию , где  . Согласно формуле (7) будем иметь:
 , (8)
так как  . В формуле (8) - частная производная по первому аргументу функции двух переменных , а  - обычная производная сложной функции одной переменной x
:  . Последнюю производную будем называть полной производной
функции. В случае, когда , где  , аналогично получает:
( - частная производная по второму аргументу функции ,  - полная производная функции одной переменной y:  ).
Пусть теперь  ,  ( здесь предполагается существование первых производных функций ,  по  и  ). В этом случае z
будет функцией двух независимых переменных и . Следовательно, для этого случая формулу (7) нужно переписать в виде
 . (9)
Аналогично
 . (10)
Пример 2. Если  , где  , от  ,  .
Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на  и  , то из формул (9) и (10) получили бы, что
 и  .
2.3
Неявные функции и их дифференцирование.
Если уравнение, с помощью которого задается функция одной переменной x
, не разрешено относительно y
, то эта функция называется неявной
. Разрешая это уравнение относительно y
,
мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y
невозможно (например,  ) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в левую часть):
 . (11)
В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у
.
Если в уравнении (11), определяющем неявную функцию  , задавать значения независимой переменной х
, то для нахождения соответствующего значения у
надо решать уравнение. Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно сказать также, что неявная функция , определенная уравнением (11), - это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по x
согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:
 .
Отсюда при  вытекает формула для производной неявной функции
 . (12)
Пример 1. Пусть y
как функция от x
задана соотношением  . Найти  .
Для  имеем:  ,  и согласно формуле (12)
 .
Пусть уравнение  (13)
Определяет z
как неявную функцию  независимых переменных x
иy
.
Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:
 ,  . (14)
Пример 2. Найти частные производные неявной функции z
, заданной уравнением  .
Согласно формулам (14)
 , 
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
3.1
Частные производные высших порядков.
Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка
. Так, для функции двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами
 ,  ,
 ,  .
Частные производные  и  , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка
.
Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.
Пример. Найти частные производные второго порядка функции  .
Имеем:
  ,   ,,
 , ,  ,   .
Здесь =. Оказывается, имеет место следующая теорема.
Теорема
. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны:  = .
Следствие.
Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность
.
Покажем это на примере:
 ,
т.е.
 .
Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции (мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство =. В общем случае схема рассуждений аналогична.
3.2
Признак полного дифференцирования.
Выясним, при каких условиях выражение  , (1)
где  и  непрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции  , или, кратко, полным дифференциалом.
Теорема
. Выражение
(1) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство
 .
3.3. Дифференциалы высших порядков.
Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной:
I.
  , .
II.
 .
III.
  .
IV.
  .
Пусть имеется функция независимых переменных x
иy
, обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал
(dx
иdy
– произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом
первого порядка
(или, кратко, первым дифференциалом
).
Так как и по предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции , в свою очередь, можно взять полный дифференциал  . Так получим полный дифференциал второго порядка
(или, кратко, второй дифференциал
), который обозначается  .
Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, п
-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п
-ого порядков.
Найдем выражения для второго дифференциала через частные производные. Пользуясь правилами I, III (dx
иdy
не
зависят отx
иy
, т.е. рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.1 теоремой, можно записать:
 (2)
(здесь  ,  ).
Формула (2) обобщается на случай дифференциала п
-го порядка.
|
